Convergences 2/2 : le théorème du point fixe

Convergences 2/2 - le thÉorÈme du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire :
Suites extraites .......................................................................2
Le thÉorÈme de Bolzano-Weierstrass..........................................2
La preuve du thÉorÈme de Bolzano-Weierstrass...........................3
Fonction K-contractante............................................................4
Le thÉorÈme du point fixe .........................................................5
La preuve du thÉorÈme du point fixe ..........................................6
Utilisations du thÉorÈme du point fixe.........................................8
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La taverne
taverne de l'Irlandais
vous prÉsente
L'enjeu
On l'effleure en Terminale Scientifique avant d'y revenir l'annÉe suivant le
Bac. Le thÉorÈme du point fixe est un ÉnoncÉ qui permet sous certaines
conditions de dÉterminer la limite d'une suite dÉfinie par rÉcurrence.
Il est assez rare que ce thÉorÈme soit clairement ÉnoncÉ en Terminale
Scientifique. Cependant il est tout aussi rare qu'il ne soit pas employÉ.
Ce cours a ÉtÉ conÇu dans une double optique : s'adresser À la fois aux
personnes qui veulent tout savoir et À celles que seul l'emploi pour les
suites intÉresse.
Les premiÈres parcourront tout le document. Les secondes iront
directement au dernier paragraphe.
Ce cours a ÉtÉ conÇu comme une aventure amenant le lecteur au thÉorÈme
du point fixe en passant par celui de Bolzano-Weierstrass. Il s'achÈve sur
l'Étude d'exemples d'utilisations de ce premier.
Une incroyable aventure racomptÉe par JÉrÔme ONILLON
- Second volet de la sÉrie "Convergences" -
Ce second volet de la sÉrie "Convergences" s'adresse donc À des personnes
ayant le niveau Terminale Scientifique. A l'instar des autres chapitres de la
taverne de l'Irlandais, il va au-delÀ des programmes.
Seul le paragraphe Utilisations est susceptible d'Être du programme de
Terminale S
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l'Irlandais". Il ne peut faire l'objet d'aucune distribution commerciale. Seule une
diffusion restreinte est autorisÉe. Il est fourni tel que sans aucune garantie. En
aucun cas, il ne peut Être considÉrÉ comme un document de rÉfÉrence ou officiel.
Si vous dÉcouvriez une possible erreur, merci de me la signaler par e-mail.
E-mail de l'auteur : [email protected]
Edition du samedi 26 juillet 2003
Ce document a ÉtÉ conÇu et rÉdigÉ par JÉrÔme ONILLON en aoÛt 2001 et est exclusivement distribuÉ par la taverne de l'Irlandais (http://www.tanopah.com).
Convergences 2/2 - le thÉorÈme du point fixe - Page 2 sur 9
Suites
Suites extraites
Le thÉorÈme de Bolzano−
Bolzano−Weierstrass
Une suite (un ) est une famille infinie de nombres indexÉe sur
l'ensemble des entiers naturels. Le premier de ces nombres est le
terme de rang 0, le second celui de rang 1, le troisiÈme...
Ce thÉorÈme Énonce un rÉsultat qui peut paraÎtre surprenant :
quand une suite est bornÉe, on peut toujours en extraire une suite
convergente.
Comme nous le verrons, cela est dÛ au fait qu'une suite est infinie.
DÉfinition d'une suite extraire.
Dire que la suite (vn ) est une sous-suite ou une suite extraite de
(un ) signifie qu'il existe une application ̌ : N ջ N strictement
ThÉorÈme de Bolzano-Weierstrass.
Si une suite rÉelle (un ) est bornÉe alors on peut en extraire une
croissante telle que pour tout entier n, v n = ǔ(n)
L'application ̌ porte le nom d'extractrice.
Donnons un exemple d'application de ce thÉorÈme.
De maniÈre pratique, une sous-suite de (un ) est une nouvelle suite
constituÉe À partir des termes de cette derniÈre.
Par exemple, la suite (u2.n ) est une suite extraite de (un ) . Elle est
constituÉe À partir des termes de rang pair de cette derniÈre. Ici
l'extractrice est l'application strictement croissante ̌(n) = 2.n
De mÊme, (u2n +1 ) est une sous-suite de (un ) formÉe À partir de ses
termes de rang impair. L'extractrice est ici ̌(n) = 2.n + 1
(u3n ) ou (u3n +2 ) sont d'autres suites extraites de (un ) .
Cependant rien ne dit qu'une suite extraite doive Être aussi
rÉguliÈre au niveau de ses indices. La seule chose qu'impose la
dÉfinition est que l'application ̌ soit strictement croissante.
( )k∈N .
Une autre notation de suite extraite que sera utilisÉe, est upk
Ici (pk )k ∈N est une suite d'entiers naturels strictement croissante.
On extrait ici tous les termes de la suite d'indice
pk .
Ainsi si l'on utilisait cette notation pour la suite (u2n +1 ) , la suite
(pk )k∈N
suite qui elle sera convergente.
La suite (un ) dÉfinie pour tout entier n par un = (−1)n est bornÉe
par les nombres -1 et 1. Elle est aussi clairement divergente.
Par contre, les suites extraites (u2n ) et (u2n +1 ) sont clairement
toutes les deux convergentes : la premiÈre vers 1 et la seconde
vers -1.
Pour les Étourdis, prÉcisons que pour tout entier n :
et
u2n +1 = −1
u2.n = 1
Les deux suites extraites sont stationnaires.
De mÊme, les suites (sin(n)) et
(cos(n)) Étant bornÉes, on peut en
extraire deux suites convergentes.
Une chose que ne dit pas le
thÉorÈme est comment les
obtenir...
Remarque : le thÉorÈme prÉcise que l'on peut extraire au moins
une suite. Cela dit, rien ne dit qu'il y en ait plusieurs comme dans
l'exemple ci-dessus...
serait dÉfinie pour tout entier k par, pk = 2.k + 1
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La preuve du thÉorÈme de Bolzano−
Bolzano−Weierstrass
Notre action reposera sur le fait que lorsque l'on partage une
infinitÉ en deux, il en rÉsulte toujours une autre infinitÉ.
Nous savons que la suite
(un )
est bornÉe. Appelons m l'un de ses
minorant et M l'un de ses majorants.
Clairement, chaque un se trouve dans l'intervalle [m ; M].
On pose :
a0 = m
et
J1
I1
Les deux compÈres rÉalisant une partition de [m ; M], ils se
partagent les ÉlÉments de la suite (un ) .
L'un des deux en possÈde nÉcessairement une infinitÉ de termes
un .
Si c'est I1 , on pose alors :
m+M
2
De plus, on appelle p1 le minimum de {n tel que un ∈ I1} .
p1 dÉsigne donc le plus petit indice de la suite (un ) dont les
a1 = m
et
b1 =
termes figurent dans l'intervalle I1 .
•
Si c'est J1 , on Écrit que :
m+M
et
b1 = M
2
Et dans ce cas, p1 dÉsigne le plus petit indice de la suite
a1 =
(un )
celle existant entre a0 et b 0 .
Puis on recommence le processus avec l'intervalle [a1 ; b1 ] .
Nous savons qu'il contient une certaine infinitÉ de termes un .
Comme prÉcÉdemment, partageons notre intervalle en deux . Il en
rÉsulte deux sous-parties :
a + b1 ⌉
⌈
⌈ a1 + b1
⌉
et
a1 ; 1
; b1
2
2
⌊
⌋
⌊
⌋
b0 = M
Partageons cet intervalle en deux en son milieu. Il en rÉsulte deux
intervalles :
⌈ m + M⌉
⌈m + M ⌉
m;
et
;M
2 ⌋
⌊
⌊ 2
⌋
•
Dans les deux cas, la diffÉrence entre a1 et b1 est la moitiÉ de
dont les termes figurent dans l'intervalle J1 .
I2
J2
Chaque un figurant dans l'intervalle [a1;b1 ] , se trouve soit dans
l'un, soit dans l'autre.
Quoiqu'il en soit, l'un des deux À nÉcessairement une infinitÉ de
termes un .
Disons que c'est I2 . On construit alors les nombres a2 , b2 et p2
en Écrivant que :
•
a2 = a1
a1 + b2
2
est le plus petit indice n > p1 tels que un ∈ I2
•
b2 =
•
p2
LÀ encore remarquons que la diffÉrence entre a2 et b2 est la
moitiÉ de celle existant entre a1 et b1 . Ainsi :
b 2 − a2 =
b − a0
b1 − a1
= 0
2
4
Puis on recommence le cirque avec l'intervalle [a2 ;b2 ] .
Et ainsi de suite, jusqu'À la fin des temps...
Avec ce processus sans cesse rÉpÉtÉ, on construit plusieurs suites.
Deux suites (ak ) et (bk ) qui ont les propriÉtÉs suivantes.
•
L'intervalle [ak ;bk ] contient une infinitÉ de termes un .
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•
La suite (ak ) est croissante et majorÉe par le rÉel M.
•
Donc elle est convergente. Appelons L sa limite.
La suite (bk ) est dÉcroissante et minorÉe par le rÉel m.
•
Donc elle est convergente. Appelons L' sa limite.
La diffÉrence entre ak et bk est Égale À la moitiÉ de celle
entre ak −1 et bk −1 . Ainsi :
b − a0
b
− ak −1
b
− ak − 2
bk − ak = k −1
= k −2
= .... = 0
2
4
2k
Il est clair que lorsque k tend vers l'infini, la diffÉrence
bk − ak tend vers 0.
Donc les deux suites convergentes (ak ) et (bk ) ont des
limites Égales : c'est L pour les deux.
On construit Également une suite strictement croissante d'entiers
naturels (pk ) qui a pour particularitÉ :
Pour tout entier naturel k,
upk ∈ [ak ;bk ] .
Ainsi donc, pour tout entier naturel k, nous avons que :
ak ≤ upk ≤ bk
( )k ∈N qui est extraite de la suite (un )n∈N , est donc
La suite upk
coincÉe entre (ak ) et (bk ) qui ont la mÊme limite.
En application du thÉorÈme des gendarmes, nous pouvons donc
affirmer que la suite upk
est convergente et que sa limite est
( )k ∈N
L.
Ce qui dÉmontre le thÉorÈme !
Fonction K−
K−contractante
Avant de nous attaquer au thÉorÈme du point fixe, nous allons
dÉfinir ce qu'est une fonction (ou une application) K-contractante.
DÉfinition de la contractance.
I est un intervalle et K un rÉel strictement positif.
Dire que la fonction f : I ջ
est K-contractante signifie que
pour tous les rÉels x et y de l'intervalle I, on a l'inÉgalitÉ :
f ( x ) − f ( y ) ≤ K. x − y
Est par exemple contractante, la fonction affine f(x) = 2.x + 5 .
En effet, pour tout rÉels x et y, on a l'inÉgalitÉ :
f(x) − f(y) ≤ 2. x − y
La fonction f est 2-contractante sur
.
x +1
.
x+2
Pour le prouver, il faut majorer la diffÉrence f(x) − f(y) par x − y
Un autre exemple d'application contractante est f(x) =
fois une constante. DÉmontrons-le sur l'intervalle [0;+∞[ !
Pour tout rÉels positifs x et y, on peut Écrire que :
( x + 1 ).( y + 2 ) − ( y + 1 ).( x + 2 )
f(x ) − f(y ) =
( x + 2 ).( y + 2 )
=
x − y
( x + 2 ).( y + 2 )
=
1
1
1
.
.x − y ≤
.x − y
x + 2 y + 2
4
≤1 / 2
≤1 / 2
1
-contractante sur [0;+∞[ .
4
Pour dÉmontrer qu'une fonction est contractante, on peut se servir
de l'inÉgalitÉ des accroissements finis.
Celle-ci stipule que si f est une fonction dÉrivable dÉfinie sur un
intervalle :
La fonction f est donc
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Si ∀x∈I, f' (x) ≤ M alors
∀ a et b ∈ I, f(a) − f(b) ≤ M.b − a
Ainsi, si l'on dÉmontre que sur un intervalle, la dÉrivÉe d'une
fonction est bornÉe en valeur absolue alors on prouve qu'elle est Kcontractante.
Par exemple, intÉressons-nous À la fonction sinus qui est dÉrivable
sur .
Sa dÉrivÉe est cosinus. Or pour tout rÉel x, cos(x) ≤ 1
En application de l'inÉgalitÉ des accroissements finis, on peut Écrire
que :
Pour tous rÉels a et b, sin(a) − sin(b) ≤ a − b
Conclusion : la fonction sinus est 1-contractante sur
.
Le thÉorÈme du point fixe
Il existe plusieurs variantes de ce thÉorÈme. Les plus importantes
portent les noms de mathÉmaticiens cÉlÈbres. Celle que nous allons
Énoncer est celle de Picard-Banach.
D'abord prÉcisons ce qu'est un point fixe.
Un point fixe pour une fonction f est un nombre x qui est sa propre
image par celle-ci. C'est un nombre tel que f(x) = x
ThÉorÈme du point fixe - Version Picard-Banach.
I est un intervalle de . f : I ջ I est une fonction de cet intervalle
dans lui-mÊme.
Si la fonction f : I ջ I est K-contractante avec K ∈ [0;1[ alors
1. La fonction f admet un unique point fixe x 0 sur l'intervalle I.
2. Si (un ) est une suite de points de I telle que
pour tout entier n, un +1 = f(un )
et sa limite est x 0 .
alors
(un )
est convergente
Quelques remarques sur ce thÉorÈme :
• La fonction f.
Elle est dÉfinie sur un intervalle I et elle y prend
impÉrativement ses valeurs. Mais cela ne signifie pas que
tout ÉlÉment de I aura un antÉcÉdent par f. La seule chose
sÛre est que tout image d'un point de I par f sera aussi dans
I.
Ainsi donc : f(I) ⊂ I
•
La suite (un ) de points de I.
Cela signifie que pour tout entier n, un ∈ I .
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Or nous savons que K est un gentil rÉel positif de l'intervalle [0;1[ .
La preuve du thÉorÈme du point fixe
Il en va alors de mÊme pour Kn et 1 − K n .
Pour dÉmontrer ce thÉorÈme, nous allons nous servir de BolzanoWeierstrass. Nous avons deux choses À Établir. Mais ce ne sont pas
les deux points de l'ÉnoncÉ. Non, ce que nous devons prouver est
l'existence puis l'unicitÉ de ce point fixe x 0 .
L'existence.
Soit (un ) une suite de I telle que pour tout entier, un +1 = f(un ) .
PremiÈre objection : Est-ce qu'une telle suite existe ?
Bien sÛr, tout cela À cause de notre fonction f dÉfinie de I dans I...
Le problÈme ici n'est pas le vide mais l'Éventuel trop plein !
♦ Phase premiÈre : cette suite (un ) est nÉcessairement bornÉe.
En effet, pour tout entier n on peut Écrire que :
u n + 1 − u n = f (u n ) − f (u n − 1 )
≤ K .u n − u n −1
car f est Kcontractante
.u1 − u 0
Les puristes pourront s'acharner À prouver ce rÉsultat par
rÉcurrence.
A partir de lÀ, on peut Écrire que pour tout entier naturel n :
u n − u 0 = u n − u n − 1 + u n − 1 − .... − u1 + u1 − u 0
≤ u n − u n − 1 + u n − 1 − u n − 2 + .... + u1 − u 0
≤ K n − 1 . u1 − u 0 + K n − 2 . u1 − u 0 + .... + u1 − u 0
≤ u1 − u 0 .
[K
+K
n −1
+ .... + K + 1
]
Somme des n premiÈres puissances de K
1 − Kn
≤ u1 − u 0 .
1−K
1 − Kn
1
≤ u1 − u 0 .
1−K
1−K
Autrement Écrit :
−
u1 − u0
u1 − u0
≤ un − u0 ≤
1−K
1−K
Tous les termes de la suite (un ) se trouve donc dans l'intervalle
⌈
u1 − u 0
u1 − u0 ⌉
u0 −
; u0 +
.
1−K
1−K ⌋
⌊
Les rÉels u0 , u1 et K Étant connus et fixÉs, nous pouvons dire que
la suite (un ) est bel et bien bornÉe.
(ǔ(n) )
n
n −1
un − u 0 ≤ u1 − u 0 .
♦ Phase seconde : application de Bolzano-Weierstrass.
La suite (un ) Étant bornÉe, on peut donc en extraire une suite
≤ K 2 .u n −1 − u n − 2
.....
≤ K
Il vient donc que pour tout entier n,
qui elle est convergente. On appelle L la limite de cette
sous-suite.
Pour note, ̌ : N ջ N est ici l'extractrice correspondant À cette
suite extraite.
♦ Phase troisiÈme : prouver que x 0 est un point fixe par f.
Pour y parvenir, nous devons dÉmontrer que f(x 0 ) = x 0 .
La seule chose que nous sachions sur x 0 est qu'il est la limite de la
suite extraite ǔ(n)
.
(
)n∈N
D'autres diront que lorsque n tend vers l'infini, la diffÉrence
ǔ(n) − L tend vers 0
IntÉressons-nous maintenant À la diffÉrence f(L) − L .
Pour tout entier n, on peut Écrire que :
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(
) (
)
f (L ) − f (u ̌ (n ) ) + f (u ̌ (n ) ) − u ̌ (n )
f (L ) − L = f (L ) − f u ̌ (n ) + f u ̌ (n ) − u ̌ (n ) + u ̌ (n ) − L
≤
+ u ̌ (n ) − L
≤ K . L − u ̌ (n ) + u ̌ (n ) + 1 − u ̌ (n ) + u ̌ (n ) − L
≤ (K + 1). u ̌ (n ) − L + K ̌ (n ) . u 1 − u 0
Or lorsque n tend vers l'infini :
•
ǔ(n) tend vers L donc la diffÉrence ǔ(n) − L tend vers 0.
K ̌(n) a aussi pour limite 0 car K est strictement infÉrieur À
1.
Donc le second membre tend vers 0.
Ainsi :
•
La diffÉrence positive f(L) − L est donc toujours coincÉe entre 0 et
D'oÙ la propriÉtÉ.
Comme K est strictement plus petit que 1, la suite K n . u 0 − L
(
tend donc vers 0.
Par suite, grÂce À la propriÉtÉ, nous pouvons affirmer que lorsque n
tend vers 0, la diffÉrence un − L tend vers 0 donc la suite (un )n∈N
s'en va vers L.
L'unicitÉ.
VoilÀ certainement la partie la plus facile de toute cette
dÉmonstration.
Nous allons procÉder par l'absurde.
Supposons que la fonction f : I ջ I admette deux points fixes
distinctes L 1 et L 2 . On peut alors Écrire que :
L 1 − L 2 = f (L 1
) − f (L 2 )
≤ K.L 1 − L 2 < L 1 − L 2
un truc qui y va. Cette diffÉrence est donc elle-mÊme Égale À 0.
Ainsi f(L ) − L = 0 donc f(L) = L
Donc L est un point fixe pour f.
Points fixes !
♦ Phase quatriÈme : prouver que x 0 est aussi la limite de (un )n∈N .
Pour y parvenir, nous allons dÉmontrer par rÉcurrence que :
Pour tout entier naturel n, un − L ≤ K n .u 0 − L
On entame le boulot !
• Pour n = 1 : La chose est À peu prÈs Évidente. En effet :
u1 − L = f (u0 ) − f(L) ≤ K.u0 − L
•
)
Contractance
0 ≤ K<1
Nous arrivons donc À un nombre strictement plus petit que luimÊme !
Ce qui est trÈs fort ! Et surtout trÈs absurde.
Donc la fonction f : I ջ I n'a qu'un et un seul point fixe !
Ce qui achÈve la dÉmonstration !
Supposons que la propriÉtÉ soit vraie au rang n. C'est-Àdire que :
un − L ≤ Kn.u0 − L
Nous allons prouver qu'alors elle se propage au rang n+1.
un + 1 − L = f(un ) − f(L )
≤ K.un − L = K · K n . u 0 − L
= K n + 1 .u 0 − L
HypothÈse
de rÉcurrence
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− 5 −1
5 −1
et
.
2
2
Nous avons deux solutions pour un seul point fixe.
Sauf que le point fixe est un rÉel positif. Seule la seconde
solution remplit cette condition.
Utilisations du thÉorÈme du point fixe
donc
Ce sublime ÉnoncÉ du point immobile peut servir À plusieurs
choses. Voyons-les en dÉtails :
•
DÉterminer la limite d'une suite dÉfinie par
rÉcurrence.
Par exemple, dÉterminons la limite de la suite (un ) dÉfinie
par
u0 = 47251
Pour tout entier n, un + 1 =
•
un + 1
un + 2
Le dÉfi peut sembler inrelevable ! Pourtant, l'affaire va se
rÉgler À la vitesse du clavier !
Ceux qui Étaient avec nous lorsque nous savons parler de la
x +1
contractance, se souviennent que la fonction f(x) =
x+2
1
est
-contractante sur l'intervalle des rÉels positifs qu'est
4
[0;+∞[ .
Chose importante : nous savons que f : [0;+∞[ ջ [0;+∞[ !
En application du thÉorÈme du point fixe, cette fonction f
admet un et un seul point fixe x 0 .
De plus, ce rÉel est la limite de toute suite (an ) de [0;+∞[
dÉfinie par an +1 = f(an ) .
Or (un ) est clairement une suite de rÉels positifs dans ce
cas. Donc elle converge et sa limite est le point fixe x 0 .
Si nous dÉterminons ce point fixe alors nous connaÎtrons la
limite de notre suite. Pour cela, nous devons rÉsoudre
l'Équation f(x) = x . Alors au boulot !
x +1
− x2 − x + 1
−x =0⇔
=0
x+2
x+2
Une fraction Étant nulle lorsque et seulement lorsque son
numÉrateur l'est, les deux solutions de cette Équation sont
f(x) = x ⇔
Conclusion : la limite de la suite (un ) est Égale À
5 −1
.
2
DÉterminer la solution d'une Équation À l'aide d'une
suite.
Le thÉorÈme du point fixe peut aussi servir À rÉsoudre des
Équations. La connaissance de la limite de la suite
rÉcurrente donne la solution de l'Équation.
Et puis, quant on ne connaÎt exactement la limite de la
suite, il est toujours possible d'en connaÎtre une valeur
approchÉe. Tout cela, toujours grÂce au thÉorÈme du point
fixe.
Par exemple, intÉressons-nous À l'Équation :
cos(x) = x
Par l'Étude des positions des
courbes et surtout grÂce À
celle de la fonction
f(x) = cos(x) − x , nous savons
que cette Équation admet une
seule solution x 0 comprise
entre 0,5 et 1.
Cela dit, aucune mÉthode ne permet de rÉsoudre cette
Équation. Cependant, il est possible d'en connaÎtre une
valeur approchÉe grÂce au thÉorÈme du point fixe.
La partie lÉgale : la premiÈre chose À vÉrifier est que les
conditions du thÉorÈme sont remplies.
Pour cela, on s'intÉresse À la fonction cosinus sur l'intervalle
[0;1] . On choisit cet intervalle car cos([0;1]) ⊂ [0;1] .
Il faut montrer que sur cet intervalle cosinus est
contractante.
Pour cela, on s'intÉresse À la dÉrivÉe qui est − sin(x) .
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Sur l'intervalle [0;1] , nous savons que :
sin(x) ≤ sin(1)
En application de l'inÉgalitÉ des accroissements finis, il vient
que pour tous rÉels x et y de [0;1]
cos(x) − cos(y) ≤ sin(1) · x − y
La fonction cosinus est donc sin(1)-contractante sur [0;1] .
Comme sin(1) est strictement plus petit que 1, le thÉorÈme
du point fixe est donc applicable À cosinus sur l'intervalle
[0;1] .
Cela nous dit ce que l'Équation cos(x) = x a une seule
solution qui est dans [0;1] , une chose que nous savions
dÉjÀ. Elle nous apprend surtout que cette solution point fixe
est la limite de n'importe quelle suite rÉcurrente
un +1 = cos(un ) .
La partie lÉgale est terminÉe. Ici commence le travail de la
machine. Il faut tout d'abord choisir une bonne suite de
[0;1] .
On considÈre la suite rÉcurrente (un ) dÉfinie par :
u0 = 0,5
Pour tout entier n, un +1 = cos(un )
La valeur de dÉpart peut avoir son importance. Dans
l'inconnu, autant prendre le milieu de l'intervalle [0;1] .
Le travail de la machine consistera À calculer tous les
termes l'un aprÈs l'autre. Se pose alors la question :
"Jusqu'oÙ ?"
Tout dÉpend de la prÉcision recherchÉe.
Dans la quatriÈme phase de la dÉmonstration du thÉorÈme
du point fixe, nous avons dÉmontrÉ que :
Pour tout entier n, un − x 0 ≤ K n.u0 − x 0
Cette inÉgalitÉ peut fournir une indication de la distance
existant entre le terme de rang n et sa limite/point fixe x 0 .
En effet, comme tout ce petit monde est dans
[0;1] et que
petite que 0,5.
1
n
· (sin(1)) .
2
Et on peut mÊme aller plus loin, en disant que sin(1) est
̉
3
plus petit que sin =
. Une majoration plus pratique
3
2
Émerge.
Ainsi pour tout entier naturel n, un − x 0 ≤
Pour tout entier naturel n, un − x 0
n
(
3)
≤
2n +1
Voici ce que donne le travail de la machine :
un
PrÉcision infÉrieure À
u1 ≈ 0,877582 ...
0,433
u2 ≈ 0,639012 ...
0,375
u3 ≈ 0,802685 ...
0,324
u5 ≈ 0,768195 ...
0,243
u7 ≈ 0,752355 ...
0,182
u10 ≈ 0,7535006 ...
0,118
u16 ≈ 0,738704 ...
0,050
u27 ≈ 0,739081 ...
0,008
u44 ≈ 0,739085 ...
0,0008
Une valeur approchÉe au milliÈme-prÈs de x 0 est 0,739.
Une recherche par dichotomie avec la fonction cos(x) − x
n'aurait demandÉ qu'une douzaine d'itÉrations pour arriver
au mÊme rÉsultat.
Cela ne signifie que notre mÉthode est mauvaise. Elle n'est
simplement pas assez rapide avec cette fonction.
Pour que la mÉthode du point fixe soit efficace, il faut que la
fonction soit assez calme. Comme un logarithme.
La mÉthode que nous venons de voir, permet de rÉsoudre n'importe quelle
Équation. MÊme celles du type f(x) = b. Sauf que le travail s'effectuera sur
un Éventuel point fixe de la fonction g(x) = f(x) - x + b.
u 0 vaut 0,5, la diffÉrence u 0 − x 0 est nÉcessairement plus
Ce document a ÉtÉ conÇu et rÉdigÉ par JÉrÔme ONILLON en aoÛt 2001 et est exclusivement distribuÉ par la taverne de l'Irlandais (http://www.tanopah.com).