Convergences 2/2 : le théorème du point fixe

Convergences 2/2 - le thÉorÈme du point fixe - Page 1 sur 9
Ce document a ÉtÉ conÇu et rÉdigÉ par JÉrÔme ONILLON en aoÛt 2001 et est exclusivement distribuÉ par la taverne de l'Irlandais (http://www.tanopah.com).
Au sommaire :
Suites extraites .......................................................................2
Le thÉorÈme de Bolzano-Weierstrass..........................................2
La preuve du thÉorÈme de Bolzano-Weierstrass...........................3
Fonction K-contractante............................................................4
Le thÉorÈme du point fixe .........................................................5
La preuve du thÉorÈme du point fixe ..........................................6
Utilisations du thÉorÈme du point fixe.........................................8
Pour accÉder À un point de ce menu, il suffit de cliquer dessus.
L'enjeu
On l'effleure en Terminale Scientifique avant d'y revenir l'annÉe suivant le
Bac. Le thÉorÈme du point fixe est un ÉnoncÉ qui permet sous certaines
conditions de dÉterminer la limite d'une suite dÉfinie par rÉcurrence.
Il est assez rare que ce thÉorÈme soit clairement ÉnoncÉ en Terminale
Scientifique. Cependant il est tout aussi rare qu'il ne soit pas employÉ.
Ce cours a ÉtÉ conÇu dans une double optique : s'adresser À la fois aux
personnes qui veulent tout savoir et À celles que seul l'emploi pour les
suites intÉresse.
Les premiÈres parcourront tout le document. Les secondes iront
directement au dernier paragraphe.
Ce cours a ÉtÉ conÇu comme une aventure amenant le lecteur au thÉorÈme
du point fixe en passant par celui de Bolzano-Weierstrass. Il s'achÈve sur
l'Étude d'exemples d'utilisations de ce premier.
Ce second volet de la sÉrie "Convergences" s'adresse donc À des personnes
ayant le niveau Terminale Scientifique. A l'instar des autres chapitres de la
taverne de l'Irlandais, il va au-delÀ des programmes.
Seul le paragraphe Utilisations est susceptible d'Être du programme de
Terminale S
Note : Ce document est exclusivement mis en ligne par le site web "la taverne de
l'Irlandais". Il ne peut faire l'objet d'aucune distribution commerciale. Seule une
diffusion restreinte est autorisÉe. Il est fourni tel que sans aucune garantie. En
aucun cas, il ne peut Être considÉrÉ comme un document de rÉfÉrence ou officiel.
Si vous dÉcouvriez une possible erreur, merci de me la signaler par e-mail.
E-mail de l'auteur : jerome.onill[email protected]
La t
La tLa t
La taverne de l'Irlandais
averne de l'Irlandaisaverne de l'Irlandais
averne de l'Irlandais
vous prÉsente
Une incroyable aventure racomptÉe par JÉrÔme ONILLON
- Second volet de la sÉrie "Convergences" -
Edition du
Edition du Edition du
Edition du samedi
samedisamedi
samedi 26
2626
26 juillet
juilletjuillet
juillet 2003
20032003
2003

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Suite
SuiteSuite
Suites extraites
s extraitess extraites
s extraites
Une suite
(
)
n
u est une famille infinie de nombres indexÉe sur
l'ensemble des entiers naturels. Le premier de ces nombres est le
terme de rang 0, le second celui de rang 1, le troisiÈme...
DÉfinition d'une suite extraire.
Dire que la suite
(
)
n
v est une sous-suite ou une suite extraite de
(
)
n
u signifie qu'il existe une application NN ջ̌ : strictement
croissante telle que pour tout entier n, )n(n uv ̌ =
L'application ̌ porte le nom d'extractrice.
De maniÈre pratique, une sous-suite de
(
)
n
u est une nouvelle suite
constituÉe À partir des termes de cette derniÈre.
Par exemple, la suite
(
)
n.2
u est une suite extraite de
(
)
n
u . Elle est
constituÉe À partir des termes de rang pair de cette derniÈre. Ici
l'extractrice est l'application strictement croissante n.2)n( =̌
De mÊme,
(
)
1n2
u+ est une sous-suite de
(
)
n
u formÉe À partir de ses
termes de rang impair. L'extractrice est ici 1n.2)n( +=̌
(
)
n3
u ou
(
)
2n3
u+ sont d'autres suites extraites de
(
)
n
u .
Cependant rien ne dit qu'une suite extraite doive Être aussi
rÉguliÈre au niveau de ses indices. La seule chose qu'impose la
dÉfinition est que l'application ̌ soit strictement croissante.
Une autre notation de suite extraite que sera utilisÉe, est
(
)
N∈k
pk
u .
Ici
(
)
N∈k
k
p est une suite d'entiers naturels strictement croissante.
On extrait ici tous les termes de la suite d'indice
k
p.
Ainsi si l'on utilisait cette notation pour la suite
(
)
1n2
u+, la suite
(
)
N∈k
k
p serait dÉfinie pour tout entier k par, 1k.2pk+=
Le thÉorÈme de Bolzano
Le thÉorÈme de BolzanoLe thÉorÈme de Bolzano
Le thÉorÈme de Bolzano−
−−
−Weierstrass
WeierstrassWeierstrass
Weierstrass
Ce thÉorÈme Énonce un rÉsultat qui peut paraÎtre surprenant :
quand une suite est bornÉe, on peut toujours en extraire une suite
convergente.
Comme nous le verrons, cela est dÛ au fait qu'une suite est infinie.
ThÉorÈme de Bolzano-Weierstrass.
Si une suite rÉelle
(
)
n
u est bornÉe alors on peut en extraire une
suite qui elle sera convergente.
Donnons un exemple d'application de ce thÉorÈme.
La suite
(
)
n
u dÉfinie pour tout entier n par n
n)1(u −= est bornÉe
par les nombres -1 et 1. Elle est aussi clairement divergente.
Par contre, les suites extraites
(
)
n2
u et
(
)
1n2
u+ sont clairement
toutes les deux convergentes : la premiÈre vers 1 et la seconde
vers -1.
Pour les Étourdis, prÉcisons que pour tout entier n :
1u n.2 = et 1u 1n2 −=
+
Les deux suites extraites sont stationnaires.
De mÊme, les suites (sin(n)) et
(cos(n)) Étant bornÉes, on peut en
extraire deux suites convergentes.
Une chose que ne dit pas le
thÉorÈme est comment les
obtenir...
Remarque : le thÉorÈme prÉcise que l'on peut extraire au moins
une suite. Cela dit, rien ne dit qu'il y en ait plusieurs comme dans
l'exemple ci-dessus...

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La preuve du thÉorÈme de Bolzano
La preuve du thÉorÈme de BolzanoLa preuve du thÉorÈme de Bolzano
La preuve du thÉorÈme de Bolzano−
−−
−Weierstrass
WeierstrassWeierstrass
Weierstrass
Notre action reposera sur le fait que lorsque l'on partage une
infinitÉ en deux, il en rÉsulte toujours une autre infinitÉ.
Nous savons que la suite
(
)
n
u est bornÉe. Appelons m l'un de ses
minorant et M l'un de ses majorants.
Clairement, chaque n u se trouve dans l'intervalle [m ; M].
On pose :
ma0= et Mb0=
Partageons cet intervalle en deux en son milieu. Il en rÉsulte deux
intervalles :
1
I
2
Mm
;m 
⌋
⌉
⌊
⌈+ et
1
J
M;
2
Mm 
⌋
⌉
⌊
⌈+
Les deux compÈres rÉalisant une partition de [m ; M], ils se
partagent les ÉlÉments de la suite
(
)
n
u .
L'un des deux en possÈde nÉcessairement une infinitÉ de termes
n
u .
• Si c'est 1 I , on pose alors :
ma1= et 2
Mm
b1
+
=
De plus, on appelle
1
p le minimum de
{
}
1n Iu que tel n ∈.
1
p dÉsigne donc le plus petit indice de la suite
(
)
n
u dont les
termes figurent dans l'intervalle 1 I .
• Si c'est 1 J , on Écrit que :
2
Mm
a1
+
= et Mb1=
Et dans ce cas, 1 p dÉsigne le plus petit indice de la suite
(
)
n
u dont les termes figurent dans l'intervalle 1 J .
Dans les deux cas, la diffÉrence entre 1 a et 1 b est la moitiÉ de
celle existant entre 0 a et 0 b .
Puis on recommence le processus avec l'intervalle
[
]
11 b;a .
Nous savons qu'il contient une certaine infinitÉ de termes n u .
Comme prÉcÉdemment, partageons notre intervalle en deux . Il en
rÉsulte deux sous-parties :
2
I
11
12
ba
;a 
⌋
⌉
⌊
⌈+ et
2
J
1
11 b;
2
ba 
⌋
⌉
⌊
⌈+
Chaque n u figurant dans l'intervalle
[
]
11
b
;
a
, se trouve soit dans
l'un, soit dans l'autre.
Quoiqu'il en soit, l'un des deux À nÉcessairement une infinitÉ de
termes n u .
Disons que c'est 2 I . On construit alors les nombres 2 a , 2 b et 2 p
en Écrivant que :
• 12 aa =
• 2
ba
b21
2
+
=
• 2 p est le plus petit indice n > 1 p tels que 2n Iu ∈
LÀ encore remarquons que la diffÉrence entre 2 a et 2 b est la
moitiÉ de celle existant entre 1 a et 1 b . Ainsi :
4
ab
2
ab
ab 00
11
22
−
=
−
=−
Puis on recommence le cirque avec l'intervalle
[
]
22 b;a .
Et ainsi de suite, jusqu'À la fin des temps...
Avec ce processus sans cesse rÉpÉtÉ, on construit plusieurs suites.
Deux suites
(
)
k
a et
(
)
k
b qui ont les propriÉtÉs suivantes.
• L'intervalle
[
]
kk b;a contient une infinitÉ de termes n
u .

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• La suite
(
)
k
a est croissante et majorÉe par le rÉel M.
Donc elle est convergente. Appelons L sa limite.
• La suite
(
)
k
b est dÉcroissante et minorÉe par le rÉel m.
Donc elle est convergente. Appelons L' sa limite.
• La diffÉrence entre k a et k b est Égale À la moitiÉ de celle
entre 1k a− et 1k b−. Ainsi :
k
00
2k2k1k1k
kk 2
ab
....
4
ab
2
ab
ab − ==
−
=
−
=− −−−−
Il est clair que lorsque k tend vers l'infini, la diffÉrence
kk ab − tend vers 0.
Donc les deux suites convergentes
(
)
k
a et
(
)
k
b ont des
limites Égales : c'est L pour les deux.
On construit Également une suite strictement croissante d'entiers
naturels
(
)
k
p qui a pour particularitÉ :
Pour tout entier naturel k,
[
]
kkp b;au k∈.
Ainsi donc, pour tout entier naturel k, nous avons que :
kpk bua k≤≤
La suite
(
)
N∈k
pk
u qui est extraite de la suite
(
)
N∈n
n
u , est donc
coincÉe entre
(
)
k
a et
(
)
k
b qui ont la mÊme limite.
En application du thÉorÈme des gendarmes, nous pouvons donc
affirmer que la suite
(
)
N∈k
pk
u est convergente et que sa limite est
L.
Ce qui dÉmontre le thÉorÈme !
Fonction K
Fonction KFonction K
Fonction K−
−−
−contractante
contractantecontractante
contractante
Avant de nous attaquer au thÉorÈme du point fixe, nous allons
dÉfinir ce qu'est une fonction (ou une application) K-contractante.
DÉfinition de la contractance.
I est un intervalle et K un rÉel strictement positif.
Dire que la fonction f : I ջ  est K-contractante signifie que
pour tous les rÉels x et y de l'intervalle I, on a l'inÉgalitÉ :
yx.K)y(f)x(f −≤−
Est par exemple contractante, la fonction affine 5x.2)x(f += .
En effet, pour tout rÉels x et y, on a l'inÉgalitÉ :
yx.2)y(f)x(f −≤−
La fonction f est 2-contractante sur .
Un autre exemple d'application contractante est 2x
1x
)x(f +
+
=.
Pour le prouver, il faut majorer la diffÉrence )y(f)x(f − par yx −
fois une constante. DÉmontrons-le sur l'intervalle
[
[
+∞;0 !
Pour tout rÉels positifs x et y, on peut Écrire que :
yx.
4
1
yx.
2y
1
.
2x
1
)2y).(2x(
yx
)2y).(2x(
)2x).(1y()2y).(1x(
)y(f)x(f
2/1
2/1
−≤−
++
=
++
−
=
++
++−++
=−
≤
≤
La fonction f est donc 4
1-contractante sur
[
[
+∞;0 .
Pour dÉmontrer qu'une fonction est contractante, on peut se servir
de l'inÉgalitÉ des accroissements finis.
Celle-ci stipule que si f est une fonction dÉrivable dÉfinie sur un
intervalle :

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Si ∀x∈I, M)x('f ≤ alors ∀ a et b ∈ I, ab.M)b(f)a(f −≤−
Ainsi, si l'on dÉmontre que sur un intervalle, la dÉrivÉe d'une
fonction est bornÉe en valeur absolue alors on prouve qu'elle est K-
contractante.
Par exemple, intÉressons-nous À la fonction sinus qui est dÉrivable
sur .
Sa dÉrivÉe est cosinus. Or pour tout rÉel x, 1)xcos( ≤
En application de l'inÉgalitÉ des accroissements finis, on peut Écrire
que :
Pour tous rÉels a et b, ba)bsin()asin( −≤−
Conclusion : la fonction sinus est 1-contractante sur .
Le thÉorÈme du point fixe
Le thÉorÈme du point fixeLe thÉorÈme du point fixe
Le thÉorÈme du point fixe
Il existe plusieurs variantes de ce thÉorÈme. Les plus importantes
portent les noms de mathÉmaticiens cÉlÈbres. Celle que nous allons
Énoncer est celle de Picard-Banach.
D'abord prÉcisons ce qu'est un point fixe.
Un point fixe pour une fonction f est un nombre x qui est sa propre
image par celle-ci. C'est un nombre tel que x)x(f =
ThÉorÈme du point fixe - Version Picard-Banach.
I est un intervalle de . II:f ջ est une fonction de cet intervalle
dans lui-mÊme.
Si la fonction II:f ջ est K-contractante avec
[
[
1;0K ∈ alors
1. La fonction f admet un unique point fixe 0 x sur l'intervalle I.
2. Si
(
)
n
u est une suite de points de I telle que
pour tout entier n, )u(fu n1n =
+ alors
(
)
n
u est convergente
et sa limite est 0 x .
Quelques remarques sur ce thÉorÈme :
• La fonction f.
Elle est dÉfinie sur un intervalle I et elle y prend
impÉrativement ses valeurs. Mais cela ne signifie pas que
tout ÉlÉment de I aura un antÉcÉdent par f. La seule chose
sÛre est que tout image d'un point de I par f sera aussi dans
I.
Ainsi donc : I)I(f ⊂
• La suite
(
)
n
u de points de I.
Cela signifie que pour tout entier n, Iun∈.