TD5 : Équations de Tolman-Oppenheimer

TD5 : Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
10 novembre 2015
Nous cherchons une métrique statique, solution de l’équation d’Einstein, décrivant l’intérieur d’une étoile à symétrie sphérique, que nous supposerons constituée d’un fluide parfait. Cette métrique doit prendre la forme générale que nous avons établie lorsque nous
avons dérivé la solution de Schwarzschild. Il existe donc un système de coordonnées (x α ) =
(t , r, ϑ, φ) tel que
gαβ dx α dx β = −e 2α(r ) dt 2 + e 2β(r ) dr 2 + r 2 dϑ 2 + sin2 ϑ dφ 2 ,
où α(r ) et β(r ) sont deux fonctions à déterminer. Le tenseur énergie-impulsion d’un fluide
parfait de quadrivitesse u a , de densité d’énergie ε et de pression P a pour expression
Ta b = (ε + P ) ua u b + P ga b .
À En utilisant le fait que la quadrivitesse u a du fluide doit nécessairement être colinéaire
au vecteur de Killing (∂ t )a , ainsi que la normalisation de la quadrivitesse, exprimer
les composantes Tαβ du tenseur énergie-impulsion Ta b en fonction de α, β, ε et P .
Á En posant e −2β(r ) ≡ 1−2m(r )/r , montrer que la composante t t de l’équation d’Einstein peut s’écrire sous la forme
dm
= 4πr 2 ε .
dr
(1)
Comment interpréter physiquement la variable m(r ) ?
 En utilisant la composante r r de l’équation d’Einstein, montrer que
2m −1 m
dα
= 1−
+ 4πr P .
dr
r
r2
(2)
à En utilisant la conservation du tenseur énergie-impulsion, établir la relation suivante :
dP
dα
= − (ε + P )
.
dr
dr
(3)
Les relations (1)–(3) forment un système de trois équations différentielles du premier
ordre pour les variables α(r ), m(r ), ε(r ) et P (r ), les équations de Tolman-OppenheimerVolkoff (TOV). Ce système doit être complété par une équation d’état P = P (ε) reliant la
pression et la densité d’énergie.
Ä Monter que, dans la limite newtonienne où m(r ) ≪ r et P ≪ ε, les équations TOV
se réduisent aux équations usuelles de l’équilibre hydrostatique. Comment interpréter
α(r ) dans cette limite ?
Considérons à présent le cas d’une étoile incompressible, c’est-à-dire une étoile dont la
densité d’énergie est uniforme : ε(r ) = ε0 = const. Quoique irréaliste, cette hypothèse va
nous permettre de résoudre analytiquement les équations TOV.
1
Å Pour un fluide de densité p
d’énergie ε et de pression P , la vitesse du son locale est donnée par l’expression c s = dP /dε. Que vaut-elle pour notre étoile incompressible ?
En quoi ce résultat est-il irréaliste ?
Æ Intégrer l’équation différentielle (1). Pourquoi doit-on fixer la constante d’intégration
de sorte que m(0) = 0 ? Exprimer le résultat en fonction du rayon (de coordonnée)
R de l’étoile et de sa masse totale M = m(R). Que vaut m(r ) lorsque r > R ?
Ç Donner l’expression de la métrique à l’extérieur de l’étoile. En déduire la valeur des
fonctions α(r ) et β(r ) lorsque r > R.
È Montrer que l’Éq. (3) se réduit à l’expression (ε0 + P ) e α = const.
Que valent P et α
p
à la surface de l’étoile ? En déduire que la constante vaut ε0 1 − 2M /R.
É À l’aide des réponses aux questions précédentes, montrer que l’on peut mettre l’Éq. (2)
sous la forme
s
2M r 2 −1 3 −α
1 dα 2M
2M
= 3 1−
e
1−
−1 .
r dr
R
R3
2
R
p
En posant x ≡ 1 − 2M r 2 /R 3 et N ≡ e α , montrer que cette équation différentielle
est équivalente à
s
dN
3
2M
x
−N =−
1−
.
dx
2
R
⃝
11 Quelle est la solution générale de l’équation homogène associée ? Donner une solu-
tion particulière. En déduire la forme de la solution générale de l’équation complète.
Montrer qu’en fixant la constante d’intégration grâce à la valeur de α(r ) à la surface
de l’étoile, on trouve (pour tout 0 ⩽ r ⩽ R)
s
s
3
2M 1
2M r 2
α(r )
e
=
.
1−
−
1−
2
R
2
R3
⃝
12 Déduire des réponses aux questions È et ⃝
11 l’expression du champ de pression P (r ).
Que valent P (0) et P (R) ? Exprimer alors P (0) en fonction de ε0 et du paramètre de
compacité Ξ ≡ M /R de l’étoile. Que se passe-t-il lorsque Ξ = 4/9 ? En déduire que
la compacité d’une étoile incompressible est nécessairement inférieure à une certaine
valeur critique¹. En déduire également que, pour ε0 fixé, la masse de l’étoile ne peut
excéder une certaine masse limite Mmax .
⃝
13 Calculer le décalage spectral gravitationnel subi par un photon émis depuis la surface
de l’étoile et reçu par un observateur situé à grande distance (r → ∞) et immobile
par rapport à l’étoile. Quelle est la valeur maximale de ce décalage spectral ?
¹Comme l’a montré Hans Buchdahl en 1959, ce résultat est en fait valable pour toute étoile statique et à
symétrie sphérique, indépendamment de l’équation d’état.
2