TD5 : Équations de Tolman-Oppenheimer

TD5 : Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff 10 novembre 2015
Nous cherchons une métrique statique, solution de l’équation d’Einstein, décrivant l’in-
térieur d’une étoile à symétrie sphérique, que nous supposerons constituée d’un fluide par-
fait. Cette métrique doit prendre la forme générale que nous avons établie lorsque nous
avons dérivé la solution de Schwarzschild. Il existe donc un système de coordonnées (xα) =
(t,r,ϑ,φ)tel que
gαβ dxαdxβ=−e2α(r)dt2+e2β(r)dr2+r2dϑ2+sin2ϑdφ2,
où α(r)et β(r)sont deux fonctions à déterminer. Le tenseur énergie-impulsion d’un fluide
parfait de quadrivitesse ua, de densité d’énergie εet de pression Pa pour expression
Tab = (ε+P)uaub+P gab .
ÀEn utilisant le fait que la quadrivitesse uadu fluide doit nécessairement être colinéaire
au vecteur de Killing (∂t)a, ainsi que la normalisation de la quadrivitesse, exprimer
les composantes Tαβ du tenseur énergie-impulsion Ta b en fonction de α,β,εet P.
ÁEn posant e−2β(r)≡1−2m(r)/r, montrer que la composante t t de l’équation d’Ein-
stein peut s’écrire sous la forme
dm
dr=4πr2ε.(1)
Comment interpréter physiquement la variable m(r)?
ÂEn utilisant la composante r r de l’équation d’Einstein, montrer que
dα
dr=1−
2m
r−1m r2+4πr P .(2)
ÃEn utilisant la conservation du tenseur énergie-impulsion, établir la relation suivante :
dP
dr=−(ε+P)dα dr.(3)
Les relations (1)–(3) forment un système de trois équations différentielles du premier
ordre pour les variables α(r),m(r),ε(r)et P(r), les équations de Tolman-Oppenheimer-
Volkoff (TOV). Ce système doit être complété par une équation d’état P=P(ε)reliant la
pression et la densité d’énergie.
ÄMonter que, dans la limite newtonienne où m(r)≪ret P≪ε, les équations TOV
se réduisent aux équations usuelles de l’équilibre hydrostatique. Comment interpréter
α(r)dans cette limite ?
Considérons à présent le cas d’une étoile incompressible, c’est-à-dire une étoile dont la
densité d’énergie est uniforme : ε(r) = ε0=const. Quoique irréaliste, cette hypothèse va
nous permettre de résoudre analytiquement les équations TOV.
1

ÅPour un fluide de densité d’énergie εet de pression P, la vitesse du son locale est don-
née par l’expression cs=pdP/dε. Que vaut-elle pour notre étoile incompressible ?
En quoi ce résultat est-il irréaliste ?
ÆIntégrer l’équation différentielle (1). Pourquoi doit-on fixer la constante d’intégration
de sorte que m(0) = 0? Exprimer le résultat en fonction du rayon (de coordonnée)
Rde l’étoile et de sa masse totale M=m(R). Que vaut m(r)lorsque r>R?
ÇDonner l’expression de la métrique à l’extérieur de l’étoile. En déduire la valeur des
fonctions α(r)et β(r)lorsque r>R.
ÈMontrer que l’Éq. (3) se réduit à l’expression (ε0+P)eα=const. Que valent Pet α
à la surface de l’étoile ? En déduire que la constante vaut ε0p1−2M/R.
ÉÀ l’aide des réponses aux questions précédentes, montrer que l’on peut mettre l’Éq. (2)
sous la forme
1
r
dα
dr=2M R31−
2M r 2
R3−13 2e−αs1−
2M
R−1.
En posant x≡p1−2M r 2/R3et N≡eα, montrer que cette équation différentielle
est équivalente à
xdN
dx−N=−
3
2s1−
2M
R.
11
⃝Quelle est la solution générale de l’équation homogène associée ? Donner une solu-
tion particulière. En déduire la forme de la solution générale de l’équation complète.
Montrer qu’en fixant la constante d’intégration grâce à la valeur de α(r)à la surface
de l’étoile, on trouve (pour tout 0⩽r⩽R)
eα(r)=3
2s1−
2M
R−
1
2s1−
2M r 2
R3.
12
⃝Déduire des réponses aux questions Èet 11 ⃝l’expression du champ de pression P(r).
Que valent P(0)et P(R)? Exprimer alors P(0)en fonction de ε0et du paramètre de
compacité Ξ≡M/Rde l’étoile. Que se passe-t-il lorsque Ξ=4/9? En déduire que
la compacité d’une étoile incompressible est nécessairement inférieure à une certaine
valeur critique¹. En déduire également que, pour ε0fixé, la masse de l’étoile ne peut
excéder une certaine masse limite Mmax.
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⃝Calculer le décalage spectral gravitationnel subi par un photon émis depuis la surface
de l’étoile et reçu par un observateur situé à grande distance (r→ ∞) et immobile
par rapport à l’étoile. Quelle est la valeur maximale de ce décalage spectral ?
¹Comme l’a montré Hans Buchdahl en 1959, ce résultat est en fait valable pour toute étoile statique et à
symétrie sphérique, indépendamment de l’équation d’état.
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