(G, )GG
G
(G, ) (G, ) (H,
H)
H G ;
HH;
(H,
H)
H
(G, )H G H (G, )
H
H
H
(G, )
(G, )
(G1,
1) (G2,
2) (G1,
1)
(G2,
2)ϕ G1G2x y G
ϕ(x
1y) = ϕ(x)
2ϕ(y).
ϕ(G1,
1) (G2,
2)
ϕ(eG1) = eG2.
x G1ϕ(x1)=(ϕ(x))1.
H1(G1,
1)ϕ(H1) (G2,
2)
H2(G2,
2)ϕ1(H2) (G1,
1)
ϕ1({eG2}) (G1,
1) ; ϕ
Ker(ϕ)
ϕ(G1,
1) (G2,
2)ϕ
Ker(ϕ) = {eG1}
(A, +,×)A+×G
(A, +)
×
×
×+
×
(A, +,×) (A, +,×) (B, +
B
,×
B)
B A +×;
1AB;
+
B×
B+×B;
(B, +
B
,×
B)
B
(A, +,×)B A (A, +,×)
1A
B+
B
B×
(A1,+
1
,×
1) (A2,+
2
,×
2)ϕ
A1A2
ϕ(1A1) = 1A2
x y A1ϕ(x+
1
y) = ϕ(x) +
2
ϕ(y)
x y A1ϕ(x×
1
y) = ϕ(x)×
2
ϕ(y)
ϕ A1A2ϕ
ϕ(A1,+
1
,×
1) (A2,+
2
,×
2)
ϕ(A1,+
1) (A2,+
2)
x1A1ϕ(x1
1) = (ϕ(x1))1
(A1,+
1
,×
1)ϕ
(A2,+
2
,×
2)ϕ
(A, +,×)
(A, +,×)
(A, +,×)
a b A a ×b= 0Aa= 0Ab= 0A
(K, +,×)
(K, +,×)
(K, +,×)
K0K
(K, +,×) (K, +,×)
(K, +,×)k K k (K, +,×)
1.1Kk, k
2. k +,
3. k ,
4. k ×,
5. k
(K1,+
1
,×
1) (K2,+
2
,×
2)ϕ
K1K2
ϕ(1A1) = 1A2ϕ
x y K1ϕ(x+
1
y) = ϕ(x) +
2
ϕ(y)
x y K1ϕ(x×
1
y) = ϕ(x)×
2
ϕ(y)
ϕ ϕ
ϕ(K1,+
1
,×
1) (K2,+
2
,×
2)
x1K1ϕ(x1
1) = (ϕ(x1))1
(K1,+
1
,×
1)ϕ
(K2,+
2
,×
2)ϕ
(A, +,×) (Z,+,×) (K[X],+,×)
(A, +,×)=0A
(=0,+) (A, +)
x0=0a A a ×x0∈ =0
(K,+,×) (K=R,C, . . . ) (E,+
E
,·)E
+
E
E·K E K ×E
E; (α, x)7→ α·x,(E,+
E)
αK x y E
α·(x+
E
y) = (α·x) +
E(α·y).
x E α β K
(α+β)·x= (α·x) +
E(β·x).
x E α β K
(α×β)·x=α·(β·x).
x E 1·x=x.
+
E+· · +
E
(E,+, .)K(E,+,·) (H,+
H
,·
H,)
HE+·(H+HH,K·HH) ;
+
H
H+·
HK H ·;
(H,+
H
,·
H,)K
H
(E,+, .)K H E H (E,+, .)
H
H
K(E,+,·)K(F,+,·)
f E F (x,y)E2(α, β)K2f(α·x+β·y) =
α·f(x) + β·f(y).
f(E,+,·) (F,+,·)
f(0E) = 0F
H(E,+,·)f(H) (F,+,·)
H0(F,+,·)f1(H0) (E,+,·)
f1({0F}) (E,+,·) ; f
Ker(f)fKer(f) = {0E}
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