Laurent Nottale CNRS LUTH, Observatoire de Paris-Meudon Références et pdf’s : http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale 1 PRINCIPES PREMIERS RELATIVITÉ COVARIANCE EQUIVALENCE faible / forte Action Géodésique CONSERVATION Noether 2 RELATIVITÉ D’ÉCHELLE Continuité + Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de l’espace-temps Théorème Généraliser la relativité du mouvement ? Transformations de coordonnées non-différentiables ? Dépendance explicite des coordonnées en fonction des variables d’échelle + divergence ESPACE-TEMPS FRACTAL Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle 3 Etat d’un système de coordonnées: Mouvement t Vitesse Accélération Echelle δt Résolution Origine δx Position Orientation x Angles 4 Surface fractale: dépendance d’échelle k=0 k=1 k=2 k=3 5 Métrique et courbure d’une surface fractale Surface (espace fractal de dimension topologique 2 ) Métrique (divergente) 6 Lois de transformation d’échelle De l’invariance à la covariance d’échelle http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/ 7 Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy: Equation différentielle du premier ordre : Développement limité: Solution: loi fractale de dimension constante + transition: 8 Une transition fractal/non-fractal Solution de l’équation différentielle d’échelle: dL/d ln r = a +b L 9 Deux transitions Solution de l’équation différentielle d’échelle: dL/d ln r = a +b L +c L2 10 Λ 16 re la tio n 10 λ P 1012 ation l e r w e n sta nd ar d Length Scale (in Z scale unit) Nouvelle transformation entre échelles de longueur et échelles de masse en relativité d’échelle restreinte 108 104 λZ 1 91 mZ 10 7 1011 1015 1019 mP 10 23 10 27 1031 1035 Mass Scale (GeV) 11 Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective en relativité d’échelle restreinte (lois de dilatation log-lorentziennes) (Cas simplifié : transition scale independent ln ε Planck scale Planck scale ln L delta fractal scale independent special scale-relativity transition variation of the scale dimension variation of the length fractal ) ln ε 12 Dynamique d’échelle: équations Lois d’échelle solutions d’équations aux dérivées partielles du deuxième ordre dans l’espace des échelles « djinn » (dimension d’échelle variable) identifié comme un « temps d’échelle» Resolution identifiée comme une « vitesse d’échelle »: Principe de moindre action dans l’espace des échelles ––> équations d’échelle d’Euler Lagrange en fonction du « djinn »: 13 Dynamique d’échelle: force d’échelle constante (asymptotique) scale independent ln ε transition delta ln L fractal scale independent constant "scale-force" fractal variation of the scale dimension transition variation of the length ln ε Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’ constante: 14 Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique ln L scale independent ln ε transition delta fractal scale independent harmonic oscillator scale-force fractal variation of the scale dimension transition variation of the length ln ε Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur harmonique (dans l’espace des échelles) 15 Loi log-périodique (Petites fluctuations) variation of the length variation of the scale dimension transition ln L delta scale independent scale independent ln ε "log-periodic" transition fractal fractal ln ε Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un comportement logpériodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe) 16 avec transition fractal / nonfractal. Equations du mouvement Géodésiques / Mécanique Quantique http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/ 17 NON-DIFFERENTIABILITE Fractalité Infinité de géodésiques Description fluide Irréversibilité Fluctuations fractales Dédoublement (+,-) Termes de 2è ordre dans eqs. différentielles Nombres complexes Dérivée covariante complexe 18 Voie vers Schrödinger : ‘partie classique’ (différentiable) et ‘partie fractale’ Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale): Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle): Cas de la dimension fractale critique DF = 2: 19 Voie vers Schrödinger : non-différentiabilité ––> complexes Définition ordinaire de la dérivée: N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition: f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution ») Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autre par la réflexion dt <––> -dt 20 Opérateur de dérivation covariante Partie Classique (différentiable) 21 Amélioration de la covariance « quantique » On introduit l’opérateur de vitesse complexe: En terme de cet opérateur, la dérivée covariante-quantique s’écrit: Elle satisfait alors à la règle de Leibniz du premier ordre pour les dérivées partielles et la composition de fonction. Hamiltonien: 22 RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE Opérateur de dérivation covariante Equation fondamentale de la dynamique Changement de variables (S = action complexe) et intégration Equation de Schrödinger généralisée 23 Newton 24 Schrödinger Trois représentations Géodésique (U,V) Schrödinger généralisé (P,θ) Euler + continuité ( P, V) Born: P = |ψ|2 Nouvelle énergie “potentielle”: 25 Simulation de géodésiques fractale 26 Expérience de fentes d’Young 27 Nombre Expérience de fentes d’Young: 2 fentes Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à la prédiction quantique 28 Exemples d’applications http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/ 29 Astrophysique : planétologie 30 Système solaire : -->Kuiper belt systèmes interne et externe 70 UA 7 49 N 5 N U 4 3 16 9 S SE 2 J 1 SI 1 0.043 UA/Msol --> Exoplanètes 2 3 4 5 6 7 H C Hun M T V m Predictions (1992) 25 a (AU) (obs.) 36 P 6 √a 55 UA 8 Hil 4 1 9 10 rank n 0.17 UA/Msol 31 Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific) Outer Solar System:Kuiper belt (SKBOs) Validation of predicted probability peaks (55, 70, 90, 110 AU, …) 2003 UB 313 (« Eris ») Pluton + KBOs Repliement sur période attendue Probabilité: 2 x 10-4 2009 data 32 Sedna + distant SKBOs SKBOs 2006 SQ372 Sedna 2003 VB 12 2001 FP 185 nex=7 Nombre 2002 GB 32: a=219 2000 CR 105: a=222 2001 FP 185: a=228 2003 VB 12: a=495 2000 OO 67: a=517 2006 SQ372: a=915 Confirmation: 2 nouveaux objets en n=2, 1 nouvel objet en n=3 ndss=( a / 57 UA )1/2 Prédit,UA Observé (57) 57 228 227 513 509 912 915 1425 2052 33 Exoplanets (data 2005) Proba: 10-4 (P / M*)1/3 34 Exoplanètes (données 2008, N=301) Proba = 10-7 1 3 5 7 Hygeia Ceres Mars Terre Venus Nombre Mercure Spectre de puissance 9 (P/M*)1/3 Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol 35 Exoplanètes: données 2010 Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10. Repliage: 120 100 r 80 e b 60 m u N 40 20 - 0.4 - 0.2 0 0.2 Deviation from expected peak 0.4 Proba 2 x 10-6 (tenant compte de l’ajustement) Spectre de puissance: 331 exoplanètes entre 0.6 et 8.6 -> pic prévu en k=8. Observé avec puissance p=12 Proba: e-p = 6 x 10-6 Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s 36 Planètes autour du pulsar PSR1257+12 A 1 2 3 4 5 6 B C 7 8 Base: planète C : aC= 68, nC=8 Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002 (nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020 δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996) Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C: (aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001 (nB)pred =7 <--> (nB)obs =6.9985 ± 0.00001 δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2 37 Cosmologie 38 Constante cosmologique Comparaison prédiction (1993) / observations (2009, WMAP 5 ans) LN93: Λ = 1.36284(27) 10-56 cm-2 ΩΛ h2 = 0.38874(12) 39 Particle Physics and High Energy Physics 40 Comparison to experimental data + extrapolation by renormalization group Energy (GeV) 10 -3 1 10 3 10 6 α1-1 10 9 12 10 18 10 27 10 ∞ New:E = 3.2 1020 eV 50 « Bare » (infinite energy) effective electromagnetic inverse coupling Inverse Couplings α 0-1 Electroweak unification scale 40 4π 2 30 αg-1 20 α 3-1 C (λ) 10 e Predicted strong coupling at Z scale 0.1173(4) Grand unification chromodynamics and gravitational inverse couplings α 2-1 lp r0 0 QCD 10 WZt Mass-coupling relations (from scale-relativistic gauge theory) GUT 20 30 ln (λ e / r ) 40 50 41 Constante de couplage forte αs(mZ) Prediction date Data: PDG 1992-2010 prediction 0.1177± 0.0004 (from expected critical value 4 π2 of inverse coupling at Planck energy scale and running from Planck to Z scales using renormalization group equations with special scalerelativistic correction) 42 Constante de couplage électromagnétique « nue » (à énergie infinie) Prédiction théorique: 4 π2 43 Géosciences 44 Banquise Arctique 1953-2009 *Loi exponentielle : tStudent= 14.6, var= 0.198; t0 = 2018, S = 7.92 - 0.34 exp(0.075 t) *Loi critique : tStudent= 14.7, var= 0.195 ; t0 = 2014, S = 8.61 - 59.8 (2020.5 - t)-1.03 45 Séismes Nbr Sichuan 2008: distribution du taux de répliques. ln (t - tc) tc = 12.265 (12 mai 2008) Proba d’accord pic / creux : 0.0001 Analyse par spectre de puissance: power = 15.01 (proba 6 x 10-6) 46 Expérimentation Astrophysique de laboratoire FLEX : Fluides Expérimentaux REFLEX : Fluides Expérimentaux en Relativité d’Echelle 47 Simulation d’un potentiel quantique macroscopique Transition 1->2 vertex 48 Biologie 49 MODELE de DUPLICATION (saut d’énergie) Solution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger macroscopique 1 2 5 3 6 9 7 10 13 14 4 8 11 15 12 50 16 MODELE de DUPLICATION Solution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger généralisée Potentiel: oscillateur harmonique 3D isotrope Passage de n = 0 (E = 3mDω) à n =1 (E = 5mDω) Représentation : 2D, niveaux de densité 51 Croissance, arborescence, bifurcation Solutions de Schrödinger (oscillateur 2D) avec sauts d’énergie n=0 à n=1 52 Morphogénèse. Formes florales. Solution de l’équation de Schrödinger généralisée pour un processus de croissance à partir d’un centre (diffusion, onde sphérique sortante) 53 Croissance le long des angles de probabilité maximale (force constante) Formes florales solutions de l’équation de Schrödinger 54 FLEURS de Schrödinger … Platycodon (campanulacée)! 55 56 57 Solutions fractales (nondifférentiables) de l’équation de Schrödinger dans une boite 58