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Centrale Physique 2 PC 2012 — Énoncé 1/7
2012
Physique2
PC
4heuresCalculatricesautorisées
Trajectoiresélectroniquesdans unatome
Traitement durayonnement Zeeman
Le champmagnétiquerégnantàlasurfacedu soleil estun desparamètresqui influentsurl’activitésolaire
(instabilités,jetsdeplasma, etc.).Ilestdoncnécessairede caractériserau mieuxcelui-ci.
Figure1Jetdeplasmasoumisau champmagnétiquesolaire(image NASA/SDO/AIA)
DanslespartiesIetII,on déterminel’effetd’un champmagnétiquesurlestrajectoiresélectroniquesau sein
desatomes(effetZeeman),puisdanslapartieIII on s’intéresseauxondesélectromagnétiquesproduitespar
detels systèmesetsurlafaçon delescaractériser.La partieIII estdansunelarge mesureindépendantedes
deuxpremières.
Lesdonnées sontregroupéesen fin d’énoncé.Lesrésultatsnumériques serontdonnésavec un nombrede chiffres
significatifscompatibleavec celuiutilisépourlesdonnées.
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Centrale Physique 2 PC 2012 — Énoncé 2/7
IAtomeisolé
Ons’intéresseau mouvementd’un électron d’un atome,supposéponctuel, demassemetde charge −e,étudié
dansun référentielR=(Oxyz)galiléen.On noteMlaposition de cetélectron eton pose−−→ OM=rþer.
Dansunepremièreapproche,on supposequelaforce quis’exerce surl’électron seréduitàlaforce électrostatique
exercée par lenoyau,detype
þ
F=−k
r2þer
Le noyau,demassetrès supérieureàlamassedesélectrons,pourraêtre considéré commefixeàl’originedu
référentielR.
I.A–Donnerl’expression dekdansle cas particulierdel’atomed’hydrogène.
I.B–Montrer,pourkquelconque,quelemouvementestplan.Onsupposerapar lasuiteque ce plan coïncide
avec Oxy.
I.C–Montrerqu’unetrajectoire circulairederayon aestpossible etdéterminerl’expression delavitesse
angulaire(ou pulsation)ω0del’électron pourcettetrajectoire circulaire.Onexprimeraω0enfonction dea,m
etk.
I.D–Pourun atomed’hydrogène,donnerl’ordredegrandeurdeaeten déduirel’ordredegrandeurdeω0
dansce modèle.
Onadmettrapar lasuitequel’ordredegrandeurdeω0est1016 rad ·s−1.
II Atomeplacédansun champmagnétique extérieur
Onsupposedésormaisquel’atome estplacédansle champmagnétique extérieurþ B1=B1þezeton s’intéresse
àlamodification,sousl’effetde ce champmagnétique,du mouvementdel’électron.Pourlesapplications
numériques,on considèreraquel’ordredegrandeurdeB1nedépassepas ladizainedeTesla. Le référentiel
R=(Oxyz)est toujours supposégaliléen.
II.A–Mise enéquation
II.A.1) En notant toujoursþ Flaforce exercée par lenoyau surl’électron,þaetþvrespectivementl’accélération
etlavitessedel’électron par rapportàR,déterminerlarelation entreþa,þ F,þv,þω1=eþ B1/m etm.
II.A.2) Préciser,enjustifiantleraisonnement, ladimension deω1etdéterminerl’ordredegrandeurmaximal
deω1/ω0.
II.B–Étude générale
Onintroduitun référentielR′enrotation àlavitesseangulaireþω=ωþezuniforme.On noteþe′
x,þe′ yetþe′ zles
vecteursunitairesliésàR′,enrotation àþωpar rapportàR.Onsupposequ’àt=0lesdeuxréférentielsRet
R′coïncidentetqu’àtoutinstantþe′
z=þez.
Pourun pointMquelconque,on désignerespectivementpar þvetþv′lesvitessesdu pointMpar rapportaux
référentielsRetR′etpar þaetþa′lesaccélérationsdu pointMpar rapportauxmêmesréférentiels.Pourun
vecteurþ Uquelconque,on noteAdþ
U
dtBR
etAdþ
U
dtBR′
lesdérivéesdeþ UdanslesréférentielsRetR′.
II.B.1) Déterminerlaprojection desvecteursþe′
xetþe′ ysurlabasedesvecteursþexetþey.
II.B.2) En déduirel’expression de3dþe′
x
dt4R
enfonction deþωetþe′
xuniquement,ainsiquel’expression de
3dþe′
y
dt4R
enfonction deþωetþe′
y.
II.B.3) Déterminerl’expression deþvenfonction deþv′,þωet−−→ OM.
II.B.4) Déterminerl’expression deþaenfonction deþa′,þv′,þωet−−→ OM.
II.B.5) MontrerquepourunevaleurparticulièreþωLdeþω,on a:
þa′=þ
F
m+þωL∧1þωL∧
−−→
OM2
etpréciserl’expression deþωL(pulsation deLarmor)enfonction deþω1.
II.B.6) Onadmetquelaforce þ Fconduit,enl’absence de champmagnétiqueþ B,àdestrajectoiresélectroniques
circulairesdepulsation ω0dansR.En déduirequeletermeþωL∧1þωL∧
−−→
OM2estnégligeabledevantleterme
þ
F/m etécrirel’équation différentielleapprochée vérifiée par þa′.Commenter.
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Centrale Physique 2 PC 2012 — Énoncé 3/7
II.B.7) OnconsidèrelestrajectoirescirculairesdansleréférentielR′quisontcontenuesdansun plan or-
thogonal au champmagnétiqueþ B1.Montrerquelerésultat précédentpermetdeprédirel’existence,dansR,
demouvementscirculairesdesensopposésetdepulsationsω+etω−(on choisiraω+>ω−>0)etdonner
l’expression de cespulsationsenfonction deω0etω1.Représenterdansleplan 0xycestrajectoiresen précisant
danschaque cas les sensdeparcours.
II.B.8) OnconsidèrelestrajectoirescirculairesdansleréférentielR′quisontcontenuesdansun plan contenant
le champmagnétiqueþ B1(on peutpar exempleprendredestrajectoiresdansleplan Ox′z′).On notealerayon
delatrajectoire.Déterminerl’expression descoordonnéesx′(t)etz′(t)enfonction deaetω0.Montrerque,
dansR, lemouvementpeutsevoircommelasuperposition d’un mouvementsinusoïdal selon Ozetdedeux
mouvementscirculairesdansleplan Oxy,donton préciseralescaractéristiques.
II.B.9) Onconsidère enfin le cas d’unetrajectoire circulairedansR′dansun plan dontlanormalefait
avec l’axeOz′un angleαquelconque.Décrirequalitativementl’évolution,dansleréférentielR,du plan dela
trajectoire etpréciseren particulierlasurfacedécritepar levecteurþ L′(O)=−−→ OM∧mþv′.Montrerquedansle
cas du mouvementcirculairequelconquedansR′,on peut toujoursdécomposerlemouvementdansRen deux
mouvementcirculairesetun mouvementrectilignedepulsationsdifférentesquel’on précisera.
II.C–Aspecténergétique
Danscettesouspartie,on seplacedansleréférentielRgaliléeneton considèrequel’électron soumisàlaforce
þ
Fetplacé éventuellementdansle champmagnétiqueþ B1aunetrajectoire circulairedansleplan Oxyàla
pulsation ω(àpriori iciquelconque).
II.C.1) Variation d’énergiemécanique
a)Déterminerl’expression del’énergiepotentielleEpassociée àlaforce þ F.
b) En déduirel’expression del’énergieE=Ec+Epdel’électron dansle cas particulierdu mouvementcirculaire
depulsation ωenfonction dem,ωetk.
c) Onconsidèrel’évolution delatrajectoired’un électron entreunerotation circulaireuniformeàω0dansle
plan Oxyenl’absence de champmagnétique etunerotation circulaireuniformeàω+=ω0+ω1/2dansleplan
Oxyen présence du champmagnétiqueþ B1.Onsupposeω1≪ω0.Calculerl’expression approchée delavariation
relative∆E/E del’énergieEentre cesdeuxétats.Onexprimeralerésultat enfonction ω0etω1uniquement.
d)Cettevariation d’énergiepeut-elleavoirété causée par laforce dueau champmagnétique?Justifierbriève-
ment.
e) Proposerune explication qualitativedescausesde cettevariation d’énergie.
II.C.2) Étudedu régimetransitoire
Ons’intéresseiciàl’évolution du champmagnétiquedanslequelestplacél’atome.On noteþ B=B(t)þezla
valeurinstantanée du champmagnétique,B(t)variantde0àB1.Onconsidèreque ce champestuniforme.On
cherchel’expression du potentielvecteurþ Aduqueldérivele champmagnétique.Onseplace encoordonnées
cylindriquesd’axeOz(cffigure6)eton impose,d’unepartlanullitédu potentielsurl’axe etd’autrepart, la
relation dejauge deCoulomb divþ A=þ 0.
a)Préciserlesdépendancesencordonnéesde chaque composantedu potentielvecteur.
b) Déterminerl’expression deþ A.
Onsupposequel’établissementdu champmagnétiqueBestsuffisammentlentpourquel’évolution dela
trajectoired’un électron surunepériodesoitfaible etquel’on puisse considérercelle-ciquasicirculaire.On
supposerademêmequelemomentcinétique enOdel’électron variepeulorsdel’établissementdu champ,de
sortequ’on pourra à toutinstantle confondreavec lemomentcinétiqueinitial.
c) Montrerquelaquantitérvpeutalorsêtre considérée constante.On noteraCcettevaleur.
d)Déterminerletravail infinitésimal reçu par un électron pendantdtlorsdel’établissementdu champmagné-
tique,dû auxforcesautresquel’attraction électrostatique exercée par l’atome.
e) En déduirel’expression du travailtotal Wde cesforceslorsdel’établissementdu champetexprimerWen
fonction dee,CetB1.
f)Comparerl’expression deWàlavariation ∆Ed’énergiemécaniqueobtenueprécédemment.Commenter.
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Centrale Physique 2 PC 2012 — Énoncé 4/7
III Étudedesondesélectromagnétiquesémises
III.A–Structuredel’onde émise
Ons’intéressedanscettepartieauxondesélectromagnétiquesémisespar un système constituéd’uneparticule
fixede charge e,placée àl’origineOdu référentield’étude etd’uneparticulemobilede charge −eplacée enM.
Onsupposequelescoordonnéesdu pointMsontdelaforme:
x(t)=acos(ω+t)+bcos(ω−t)
y(t)=asin(ω+t)−bsin(ω−t)
z(t)=ccos(ωt)
avec ω+=ω+ω1/2etω−=ω−ω1/2.
On donnedeplus,pourun dipôle électriqueþp(t)variableplacé enO, l’expression du champélectromagnétique
créé par ce dipôleàl’instantten un pointM«trèséloigné» du dipôle:
þ
E(M,t)=K
r5A3d2þp dt24t−r/c
∧
−−→
OMB∧
−−→
OM,þ B=þer∧þ
E
c
avec Kconstant,−−→ OM=rþeretoù lanotation 3d2þp
dt24t−r/c
signifiequeladérivée doitêtre estimée àl’instant
t−r/c.
Enfin on introduitlesvecteursunitairesþe+(t)=cos(ω+t)þex+sin(ω+t)þeyetþe−(t)=cos(ω−t)þex−sin(ω−t)þey.
III.A.1) Onconsidèreun dipôlededirection fixeþp=p(t)þez.Déterminerl’expression du champélectrique créé
par ce dipôle en un pointMquelconque enfonction descoordonnées sphériquesrelativesàM(cffigure7).
III.A.2) Proposeruneinterprétation qualitativedu termet−r/c.
III.A.3) Montreràl’aidedeschémas quelesystèmedesdeuxchargesprécédemmentdéfinipeutêtrevucomme
lasuperposition dedeuxdipôlesdenorme constantetournantensensopposésdansun plan P1etd’un dipôle
oscillantdemanièreharmoniqueorthogonalementàP1.Préciserleplan P1.
III.A.4) On prend un pointM1del’axeOxsituéàgrandedistance deO.Déterminerl’expression du champ
électriquerayonnépar lesystèmedeschargesau niveau du pointM1.Onexprimerale champenfonction deK,
e,r,a,b,c,ω,ω+,ω−,cos(ω(t−r/c)),sin(ω+(t−r/c)) etsin(ω−(t−r/c)).Montrerque ce champ peutêtre
vucommelasuperposition detroischampsdepolarisationsrectilignesetdepulsationsdifférentesetpréciser
surun schéma.
III.A.5) On prend maintenantun pointM2del’axeOzsituéàgrandedistance deO.Déterminerdemême
l’expression du champélectriquerayonnépar lesystèmedeschargesau niveau du pointM2.Montrerque ce
champ peutêtrevucommelasuperposition dedeuxchampspolariséscirculairementdepulsationsdifférentes.
Précisersurun schéma.
III.A.6) La figure2représenteunepartiedu spectred’émission pourun mélange d’atomesd’hydrogène
(nombrede charge Z=1,nombredemasseA=1)etdedeutérium(nombrede charge Z=1,nombre
demasseA=2)placédansun champmagnétique extérieur.La direction d’observation estperpendiculaireau
champmagnétique.L’axedesordonnéesreprésenteunegrandeurproportionnelleàl’intensité.Onobservedeux
groupesdetroisraiesd’émission, ladifférence d’intensitérelativede cesraiesestdueàdeseffetsdonton n’a
pas tenu comptedanscette étude.
a)Expliquerqualitativementlaprésence de cesdeuxgroupes.
b) Ons’intéresseuniquementauxraiescomprisesentrelestraitsverticauxen pointillé.On noteλ0lalongueur
d’onde émise enl’absence de champmagnétique et∆λl’écartmaximal entrelesraiesémisesen présence de
champmagnétique.Ona∆λ≪λ0.Déterminerl’expression approchée del’intensitéB1du champmagnétique
régnantau voisinage del’atome émettantce rayonnementenfonction dem,e,λ0,∆λetdelacéléritédesondes
électromagnétiquesdanslevidec.Fairel’application numérique.
III.B–Étuded’unpolarimètre
III.B.1) ParamètresdeStokes
Pouruneonde électromagnétiqueplaneprogressiveharmoniquesepropageantselon l’axeOzdanslesensdes
zcroissants,on donne en notation complexe
þ
E=
A
B
0
ei(ωt−kz)
On définitdemêmequatreparamètres,appelésparamètresdeStokespar lesrelations:I=AA∗+BB∗,
Q=AA∗−BB∗,U=AB∗+A∗B,V=i(A∗B−AB∗).
a)Onconsidèreuneondepolarisée rectilignementcaractérisée par son amplitudeE0etpar l’angleαentrel’axe
Oxetladirection du champélectrique.Déterminerl’expression desparamètresdeStokesrelatifsàcetteonde.
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Centrale Physique 2 PC 2012 — Énoncé 5/7
656,0656,1656,2656,3656,4
0
1
2
3
4
λ(nm)
Intensitérelative
Figure2SpectreZeeman d’un mélange hydrogènedeutériumd’après
C.C.Chu etJ.D.HeyContrib.PlasmaPhys.40(2000) 5–6, 597–606
b) Mêmequestion pouruneonded’amplitudeE0depolarisation circulairedroite.
c) On donne enfin uneondedontlesparamètresdeStokes sontles suivants:I=E2
0,Q=0,U=0,V=E2 0.
DéterminerlesamplitudescomplexesAetBde cetteonde etdéterminersapolarisation.
Onadmettrapar lasuitequeladonnée desquatreparamètresI,Q,U,Vpermetsystématiquementdefaire
cettedétermination.
III.B.2) Dispositifàlamesàretard
Onconsidèreun dispositifconstituédedeuxlamesàretardL1,L2etd’un polariseurPtousorthogonauxà
l’axeOz.Onétudiel’action de ce dispositifsuruneonde électromagnétiqueplaneprogressiveharmoniquese
propageantselon l’axeOzdanslesensdeszcroissants,dontlanotation complexe est toujours
þ
E=
A
B
0
ei(ωt−kz)
z
x
y
L1
x
x′
y
y′
L2
π/4
P
Axelent
Figure3
La lameL1(respectivementL2)comporteun axelentetun axerapide, lapropagation delacomposantedu
champélectrique colinéaireàl’axelentsefaisantavec un retard dephaseϕ1(respectivementϕ2)par rapportà
lacomposante colinéaireàl’axerapide.Cettepropagation s’effectuesansaucuneatténuation.L’axelentdeL1
estselon Ox,celuideL2faitun angleβ= +π/4avec l’axeOxetlepolariseurasadirection depolarisation
colinéaireàOx.
a)Déterminerdanslabase(þex,þey,þez),àun termemultiplicatifprès, l’expression descoordonnéesdeþ E1,
amplitude complexedu champensortiedelalameL1.
b) Déterminerdemêmedanslabase(þe′
x,þe′ y,þez)issued’unerotation π/4delabase(þex,þey,þez),àun terme
multiplicatifprès, l’expression descoordonnéesdeþ E2,amplitude complexedu champensortiedelalameL2.
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