Chapitre V : Interféromètre de Michelson 1. L`interféromètre

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire" 1
Interférences
Chapitre V : Interféromètre de Michelson
Objectif :
•Etude de l’interféromètre de Michelson.
•Mise en œuvre expérimentale.
1. L’interféromètre théorique de Michelson : réduction à une lame d’air
1.1. Description
L’interféromètre théorique de Michelson est représenté sur la gure 1ci-dessous :
A
S1
(SP)
(M1)
(M'1)
(M2)
I2
I'1
J1
O
(e1)
(e2)
X
Y
O1
O2
/4
ENTRÉE
I1
S2
K2
K1
J2
Source de lumière (S)
SORTIE
Figure 1
•Miroirs
Un interféromètre de Michelson est constitué de deux surfaces planes parfaitement ré!échissantes (M1)et (M2)grossière-
ment perpendiculaires ; l’angle dièdre qu’elles forment vaut /2+avec de l’ordre de quelques minutes d’angle. On
les baptisera miroirs (M1)et (M2).
Dans un trièdre OXY Z :(M1)coupe l’axe des Xen O1, du côté des Xpositifs.
(M2)coupe celui des Yen O2, du côté des Ypositifs.
On note OO1=X10et OO2=Y20.
OO1et OO2sont usuellement appelés les bras de l’interféromètre.
La di*érence e12 =X1Y2est donc positive, négative ou nulle : elle est algébrique.
(M1)est grossièrement perpendiculaire à OX en O1(à quelques minutes d’angle près).
De même (M2)est grossièrement perpendiculaire à OY en O2 (à quelques minutes d’angle près).
•Séparatrice
Une surface plane d’équation X=Yjoue un rôle ré!échissant (selon les lois de Descartes) et transparent.
On l’appelle surface semi-transparente ou semi-ré!échissante : un faisceau lumineux peut donc s’y ré!échir et la
traverser, se coupant en deux. Pour cette raison on la dénomme aussi surface séparatrice (sous-entendu des faisceaux
lumineux). On la note (SP)sur les schémas.
Le tout baigne dans l’air d’indice de réfraction pris égal à 1.
La région X<0est appelée entrée de l’interféromètre et la région Y<0la sortie.

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1.2. Visite guidée de l’appareil réel
Voir annexe pour la photographie.
Le gure 2ci-dessous fournit une vue de dessus de l’appareil.
Miroir "chariotable"
Séparatrice
Compensatrice
Miroir "fixe" (6)
(1)
(2) (3)
(4) (5)
Verre
anticalorique
(7)
Y
O
(M1)
(M2)
SORTIE
ENTRÉE
X
(C)
(SP)
(VA)
Figure 2
On distingue principalement dans un Michelson réel :
•Trois lames de verre : le verre anticalorique (VA), la séparatrice (SP)et la compensatrice (C).
•Deux miroirs (M1)et (M2).
•Les di*érentes vis de réglage de l’interféromètre, numérotées de (1) à(7).
Deux directions sont référencées :
•Une direction de droite, celle de translation rectiligne du miroir (M1), dite direction de chariotage, notée OX.
•Une direction de plan, celle de la séparatrice, d’équation X=Y, inclinée à 45sur la direction de chariotage.
Détail des di*érentes vis de réglage :
•Les vis de rotation rapide (1) et (2).
•Les vis de rotation lente (4) et (5), les languettes correspondantes.
•La vis (3), de chariotage de (M1)en translation rectiligne le long de la direction de référence OX.
•Les vis de réglage en rotation de la compensatrice (6) et (7).
1.3. Rôle de la compensatrice
La lame séparatrice est un verre, à faces parallèles, dont une des deux faces est traitée pour être semi ré!échissante.
Un rayon qui suit la voie 1,doncquiseré!échit sur le miroir M1traverse trois fois la séparatrice.
Un rayon qui suit la voie 2,doncquiseré!échit sur le miroir M2ne traverse qu’une fois la séparatrice.
Cette dissymétrie entre deux voies compliquerait les calculs, et introduirait des di4cultés d’ordre expérimental.
En plaçant une lame du même verre, de même épaisseur, parallèlement à la séparatrice, on compense cette dissymétrie :
cette lame s’appelle la compensatrice.
Sur chaque voie, les faisceaux traversent maintenant quatre fois l’épaisseur edu même verre, d’où une compensation des
di*érences de marche supplémentaires dans le verre sur les deux trajets. En général, cette compensation n’est pas parfaite
puisque les épaisseurs traversées dépendent de l’incidence des rayons, mais elle s’avère su4sante expérimentalement. La
compensation n’est parfaite que si l’interféromètre est réglé en lame d’air à faces parallèles et si les interférences sont observées
à l’inni.

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1.4. Fabrication
Pour approcher le modèle de l’interféromètre idéal, il faut satisfaire des conditions optiques draconiennes :
•Les miroirs, la séparatrice et la compensatrice ne doivent pas déformer les surfaces d’ondes. Cela impose une planéité
et un polissage très précis, avec une tolérance qui est de l’ordre de 10 nm.
•La compensation doit être de bonne qualité, ce qui dépend du parallélisme de la compensatrice et de la séparatrice. Il
faudra donc régler ce parallélisme très précisément.
Les interférences mettent en évidence des déplacements inférieurs à la longueur d’onde, d’où des impératifs mécaniques :
•Il faut éviter toute vibration intempestive qui risquerait de détruire les interférences.
•Les réglages d’orientation des miroirs doivent être à la fois très sensibles et très stables.
•La translation du miroir M1doit être très progressive, en gardant une orientation rigoureusement constante.
Le respect d’un tel cahier des charges fait qu’un interféromètre de Michelson, association d’une mécanique et d’une optique
de haute précision, est un objet lourd et coûteux. Il nécessite des manipulations soigneuses et déliées. Il faut parfois des
”doigts de fée” pour peauner un réglage.
1.5. Équivalence Michelson théorique - lame d’air :
Intéressons nous à la marche de deux rayons lumineux entrant dans l’interféromètre (issus d’un point de l’entrée) et émergeant
(par la sortie) après avoir subi une seule ré!exion sur (M1)ou (M2).
La gure 1signale la marche du rayon incident primitif issu de S1,ré!échi sur M1(avec les points d’impact en transmission
ou ré!exion sur les miroirs et la séparatrice K1,I
1,J 1) ainsi que celle du rayon incident issu de S2,ré!échi sur M2(avec les
points d’impact K2,I
2,J 2).
Les rayons émergents correspondant sont notés (e1)et (e2).
Du point de vue de la marche optique (n’oublions pas que l’on va s’intéresser à des phénomènes d’interférence et donc à des
di*érences de marche optique entre les émergents (e1)et (e2)), la gure 1est inchangée si l’on replie la portion K1I1J1+(M1)
vers le haut autour de (SP).
Le pliage autour d’une droite simule la symétrie par rapport à cette droite : qui n’a pas dans son enfance taché d’encre
une feuille de papier et ne l’a plié en deux pour obtenir de superbes papillons parfaitement symétriques !
On constate que (M1)sereplieen(M
1)symétrique de M1par rapport à (SP),queI1se replie en I 1intersection de (M 1)et
du symétrique de K1I1par rapport à la séparatrice (SP). On notera que pour des raisons de symétrie liées à la ré!exion de
Descartes sur la séparatrice (SP),I1J1se replie sur I
1J1dans le prolongement amont de (e1). On peut aussi replier S1K1
et S2K2(dans le prolongement de K1I
1et de K2I2) sans changer les marches optiques.
La gure 3ci-dessous est donc équivalente à la gure 1pour ce qui concerne les marches optiques des rayons émergents (e1)
et (e2).
A
S1
(M'1)
(M2)
I2
I'1
(e1)
(e2)
X
Y
S2
Source de
lumière (S)
Figure 3
On constate alors sur la gure 3que le Michelson théorique est équivalent à ce qu’on appelle une lame d’air constituée
des deux plans théoriques (M
1)et (M2)se coupant éventuellement à distance nie suivant la droite ou arête (A)en formant

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l’angle dièdre .
La séparatrice a disparu de la construction équivalente.
Par la suite nous raisonnerons toujours sur ce schéma équivalent.
1.6. Di+érents modes de fonctionnement
On distingue trois cas di*érents :
•Coin d’air :
L’angle dièdre et e12sont ”faibles”.
On parle de Michelson théorique monté en coin d’air d’arête (A).
•Lame d’air à faces parallèles :
L’angle dièdre est nul et e12est di*érent de 0, quoique ”faible”.
On parle de Michelson monté en lame d’air à faces parallèles. L’épaisseur de la lame d’air correspondante est notée e.
Rigoureusement, eest légèrement di*érent de e12,saufsi(M
1)et (M2)sont tous deux perpendiculaires à OY .
•Contact optique :
Si (M
1)et (M2)coïncident, on dit qu’il y a contact optique entre les deux miroirs du Michelson. Dans ces conditions
=0et e12 =e=0.
2. L’interféromètre théorique de Michelson : interférence à deux ondes
2.1. Éclairage par une source ponctuelle
On éclaire la lame équivalente au Michelson théorique par une source de lumière quasi ponctuelle S(voir gure 4).
A
S
(M'1)
(M2)
(e1)
(e2)
X
Y
Source ponctuelle de lumière (S)
S2
S'1
M
Point du champ d'interférence
SORTIE
I2
I'1
Figure 4
Un point Mà la sortie de l’interféromètre peut être atteint par deux émergents de type (e1)et (e2)dénis plus haut,
issus de S.
Celui ré!échi sur (M
1)venant de Sémerge de (M 1)en passant nécessairement par S 1image de Sà travers (M 1).
Celui ré!échi sur (M2)venant de Sémerge de (M2)en passant nécessairement par S2image de Sà travers (M2).
Il n’y a donc que deux émergents de type (e1)et (e2)issus de Saboutissant en M.
Dans ces conditions il s’agit bien d’interférence à deux ondes réglée par la valeur de la di*érence de marche 2/1(M)en M,
par raison de symétrie (voir gure 4).
2/1(M)=SI2MSI
1M=S2MS 1M

Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson 5
On retrouve alors le phénomène d’interférence à deux ondes classique, rappelons les résultats essentiels :
Le système des franges d’interférences n’est pas localisé. Il est constitué d’une famille d’hyperboloïdes de révolution
autour de l’axe S
1S2:
S2
S’1
•Sur un écran perpendiculaire à l’axe des sources secondaires S
1S2, on observe un ensemble ni dénombrable d’anneaux
concentriques axés sur S
1S2dont le contraste variera très peu quand on déplacera l’écran perpendiculairement à l’axe
de révolution S
1S2.
•Sur un écran parallèle à l’axe des sources secondaires S
1S2et distant de Don observe les franges ”rectilignes”
d’interfrange i=0D/a:aveca=S
1S2.
2.2. Éclairage par une source monochromatique étendue spatialement
L’utilisation d’une source ponctuelle permet l’observation d’un système de franges d’interférence non localisées. Mais cette
non localisation se paie au prix d’une luminosité faible (un seul quasi point source !).
On a ici encore un exemple du fameux compromis entre luminosité et contraste.
L’idée prévaut alors d’étendre spatialement la source de lumière, pour augmenter l’éclairement.
A
S
(M'1)
(M2)
(e1)
(e2)
Point moyen de la source de lumière
M
Point du champ
d'interférence
SORTIE
I2
I'1
J'1
J2
SPoint voisin de S
(f1)
(f2)
m
vm
Sm
S'v1
S'm1
Sv2
2
Figure 5
Raisonnons donc sur une source étendue spatialement à l’ordre 1autour d’un point moyen Sm(on entend par cette
phrase un peu vague mais qui évite de longues circonlocutions mathématiques que les paramètres géométriques qui traduisent
l’éloignement du point courant de la source au point moyen sont considérés comme inniment petits équivalents d’ordre 1).
Considérons donc deux points de la source étendue, Smle point moyen et Svun point voisin à l’ordre 1(voir gure 5).
On note (e1)et (e2)les rayons interférant en Missus de Smet (f1)et (f2)ceux interférant en Missus de Sv.
Les di*érences de marche correspondantes sont :
(Sm,e
2/e1,M)=SmI2MSmI
1M;(Sv,f
2/f1,M)=SvJ2MSvJ
1M