Chapitre V : Interféromètre de Michelson 1. L`interféromètre

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire"
1
Interférences
Chapitre V : Interféromètre de Michelson
Objectif :
• Etude de l’interféromètre de Michelson.
• Mise en œuvre expérimentale.
1. L’interféromètre théorique de Michelson : réduction à une lame d’air
1.1. Description
L’interféromètre théorique de Michelson est représenté sur la gure 1 ci-dessous :
Y
Figure 1
(M2)
I2
O2
A
(M'1)
I'1
J2
(M1)
J1
ENTRÉE
(e2)
I1
K2
/4
O1
O
X
S2
K1
S1
Source de lumière (S)
(SP)
SORTIE
(e1)
• Miroirs
Un interféromètre de Michelson est constitué de deux surfaces planes parfaitement ré!échissantes (M1 ) et (M2 ) grossièrement perpendiculaires ; l’angle dièdre qu’elles forment vaut /2 + avec de l’ordre de quelques minutes d’angle. On
les baptisera miroirs (M1 ) et (M2 ).
Dans un trièdre OXY Z : (M1 ) coupe l’axe des X en O1 , du côté des X positifs.
(M2 ) coupe celui des Y en O2 , du côté des Y positifs.
On note OO1 = X1 0 et OO2 = Y2 0.
OO1 et OO2 sont usuellement appelés les bras de l’interféromètre.
La di*érence e12 = X1 Y2 est donc positive, négative ou nulle : elle est algébrique.
(M1 ) est grossièrement perpendiculaire à OX en O1 (à quelques minutes d’angle près).
De même (M2 ) est grossièrement perpendiculaire à OY en O2 (à quelques minutes d’angle près).
• Séparatrice
Une surface plane d’équation X = Y joue un rôle ré!échissant (selon les lois de Descartes) et transparent.
On l’appelle surface semi-transparente ou semi-ré!échissante : un faisceau lumineux peut donc s’y ré!échir et la
traverser, se coupant en deux. Pour cette raison on la dénomme aussi surface séparatrice (sous-entendu des faisceaux
lumineux). On la note (SP ) sur les schémas.
Le tout baigne dans l’air d’indice de réfraction pris égal à 1.
La région X < 0 est appelée entrée de l’interféromètre et la région Y < 0 la sortie.
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1.2. Visite guidée de l’appareil réel
Voir annexe pour la photographie.
Le gure 2 ci-dessous fournit une vue de dessus de l’appareil.
Y
(4)
Figure 2
(5)
Miroir "fixe"
(6)
(M2)
(1)
Compensatrice
(C)
ENTRÉE
O
(7)
(2)
Séparatrice
(SP)
X
(3)
Miroir "chariotable"
(M1)
Verre anticalorique
(VA)
SORTIE
On distingue principalement dans un Michelson réel :
• Trois lames de verre : le verre anticalorique (V A), la séparatrice (SP ) et la compensatrice (C).
• Deux miroirs (M1 ) et (M2 ).
• Les di*érentes vis de réglage de l’interféromètre, numérotées de (1) à (7).
Deux directions sont référencées :
• Une direction de droite, celle de translation rectiligne du miroir (M1 ), dite direction de chariotage, notée OX.
• Une direction de plan, celle de la séparatrice, d’équation X = Y , inclinée à 45 sur la direction de chariotage.
Détail des di*érentes vis de réglage :
• Les vis de rotation rapide (1) et (2).
• Les vis de rotation lente (4) et (5), les languettes correspondantes.
• La vis (3), de chariotage de (M1 ) en translation rectiligne le long de la direction de référence OX.
• Les vis de réglage en rotation de la compensatrice (6) et (7).
1.3. Rôle de la compensatrice
La lame séparatrice est un verre, à faces parallèles, dont une des deux faces est traitée pour être semi ré!échissante.
Un rayon qui suit la voie 1, donc qui se ré!échit sur le miroir M1 traverse trois fois la séparatrice.
Un rayon qui suit la voie 2, donc qui se ré!échit sur le miroir M2 ne traverse qu’une fois la séparatrice.
Cette dissymétrie entre deux voies compliquerait les calculs, et introduirait des di4cultés d’ordre expérimental.
En plaçant une lame du même verre, de même épaisseur, parallèlement à la séparatrice, on compense cette dissymétrie :
cette lame s’appelle la compensatrice.
Sur chaque voie, les faisceaux traversent maintenant quatre fois l’épaisseur e du même verre, d’où une compensation des
di*érences de marche supplémentaires dans le verre sur les deux trajets. En général, cette compensation n’est pas parfaite
puisque les épaisseurs traversées dépendent de l’incidence des rayons, mais elle s’avère su4sante expérimentalement. La
compensation n’est parfaite que si l’interféromètre est réglé en lame d’air à faces parallèles et si les interférences sont observées
à l’in ni.
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1.4. Fabrication
Pour approcher le modèle de l’interféromètre idéal, il faut satisfaire des conditions optiques draconiennes :
• Les miroirs, la séparatrice et la compensatrice ne doivent pas déformer les surfaces d’ondes. Cela impose une planéité
et un polissage très précis, avec une tolérance qui est de l’ordre de 10 nm.
• La compensation doit être de bonne qualité, ce qui dépend du parallélisme de la compensatrice et de la séparatrice. Il
faudra donc régler ce parallélisme très précisément.
Les interférences mettent en évidence des déplacements inférieurs à la longueur d’onde, d’où des impératifs mécaniques :
• Il faut éviter toute vibration intempestive qui risquerait de détruire les interférences.
• Les réglages d’orientation des miroirs doivent être à la fois très sensibles et très stables.
• La translation du miroir M1 doit être très progressive, en gardant une orientation rigoureusement constante.
Le respect d’un tel cahier des charges fait qu’un interféromètre de Michelson, association d’une mécanique et d’une optique
de haute précision, est un objet lourd et coûteux. Il nécessite des manipulations soigneuses et déliées. Il faut parfois des
”doigts de fée” pour peau ner un réglage.
1.5. Équivalence Michelson théorique - lame d’air :
Intéressons nous à la marche de deux rayons lumineux entrant dans l’interféromètre (issus d’un point de l’entrée) et émergeant
(par la sortie) après avoir subi une seule ré!exion sur (M1 ) ou (M2 ).
La gure 1 signale la marche du rayon incident primitif issu de S1 , ré!échi sur M1 (avec les points d’impact en transmission
ou ré!exion sur les miroirs et la séparatrice K1 , I1 , J1 ) ainsi que celle du rayon incident issu de S2 , ré!échi sur M2 (avec les
points d’impact K2 , I2 , J2 ).
Les rayons émergents correspondant sont notés (e1 ) et (e2 ).
Du point de vue de la marche optique (n’oublions pas que l’on va s’intéresser à des phénomènes d’interférence et donc à des
di*érences de marche optique entre les émergents (e1 ) et (e2 )), la gure 1 est inchangée si l’on replie la portion K1 I1 J1 + (M1 )
vers le haut autour de (SP ).
Le pliage autour d’une droite
simule la symétrie par rapport à cette droite : qui n’a pas dans son enfance taché d’encre
une feuille de papier et ne l’a plié en deux pour obtenir de superbes papillons parfaitement symétriques !
On constate que (M1 ) se replie en (M1 ) symétrique de M1 par rapport à (SP ), que I1 se replie en I1 intersection de (M1 ) et
du symétrique de K1 I1 par rapport à la séparatrice (SP ). On notera que pour des raisons de symétrie liées à la ré!exion de
Descartes sur la séparatrice (SP ), I1 J1 se replie sur I1 J1 dans le prolongement amont de (e1 ). On peut aussi replier S1 K1
et S2 K2 (dans le prolongement de K1 I1 et de K2 I2 ) sans changer les marches optiques.
La gure 3 ci-dessous est donc équivalente à la gure 1 pour ce qui concerne les marches optiques des rayons émergents (e1 )
et (e2 ).
Y
Figure 3
(M2)
I2
A
I'1
(M'1)
(e2)
X
(e1)
S1
S2
Source de lumière (S)
On constate alors sur la gure 3 que le Michelson théorique est équivalent à ce qu’on appelle une lame d’air constituée
des deux plans théoriques (M1 ) et (M2 ) se coupant éventuellement à distance nie suivant la droite ou arête (A) en formant
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l’angle dièdre .
La séparatrice a disparu de la construction équivalente.
Par la suite nous raisonnerons toujours sur ce schéma équivalent.
1.6. Di+érents modes de fonctionnement
On distingue trois cas di*érents :
• Coin d’air :
L’angle dièdre et e12 sont ”faibles”.
On parle de Michelson théorique monté en coin d’air d’arête (A).
• Lame d’air à faces parallèles :
L’angle dièdre est nul et e12 est di*érent de 0, quoique ”faible”.
On parle de Michelson monté en lame d’air à faces parallèles. L’épaisseur de la lame d’air correspondante est notée e.
Rigoureusement, e est légèrement di*érent de e12 , sauf si (M1 ) et (M2 ) sont tous deux perpendiculaires à OY .
• Contact optique :
Si (M1 ) et (M2 ) coïncident, on dit qu’il y a contact optique entre les deux miroirs du Michelson. Dans ces conditions
= 0 et e12 = e = 0.
2. L’interféromètre théorique de Michelson : interférence à deux ondes
2.1. Éclairage par une source ponctuelle
On éclaire la lame équivalente au Michelson théorique par une source de lumière quasi ponctuelle S (voir gure 4).
Y
Figure 4
S2
S'1
(M2)
I2
I'1
A
(M'1)
(e2)
(e1)
S
Source ponctuelle de lumière (S)
X
M
Point du champ d'interférence
SORTIE
Un point M à la sortie de l’interféromètre peut être atteint par deux émergents de type (e1 ) et (e2 ) dé nis plus haut,
issus de S.
Celui ré!échi sur (M1 ) venant de S émerge de (M1 ) en passant nécessairement par S1 image de S à travers (M1 ).
Celui ré!échi sur (M2 ) venant de S émerge de (M2 ) en passant nécessairement par S2 image de S à travers (M2 ).
Il n’y a donc que deux émergents de type (e1 ) et (e2 ) issus de S aboutissant en M .
Dans ces conditions il s’agit bien d’interférence à deux ondes réglée par la valeur de la di*érence de marche 2/1 (M ) en M ,
par raison de symétrie (voir gure 4).
2/1 (M )
= SI2 M
SI1 M = S2 M
S1 M
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On retrouve alors le phénomène d’interférence à deux ondes classique, rappelons les résultats essentiels :
Le système des franges d’interférences n’est pas localisé. Il est constitué d’une famille d’hyperboloïdes de révolution
autour de l’axe S1 S2 :
S2
S’1
• Sur un écran perpendiculaire à l’axe des sources secondaires S1 S2 , on observe un ensemble ni dénombrable d’anneaux
concentriques axés sur S1 S2 dont le contraste variera très peu quand on déplacera l’écran perpendiculairement à l’axe
de révolution S1 S2 .
• Sur un écran parallèle à l’axe des sources secondaires S1 S2 et distant de D on observe les franges ”rectilignes”
d’interfrange i = 0 D/a: avec a = S1 S2 .
2.2. Éclairage par une source monochromatique étendue spatialement
L’utilisation d’une source ponctuelle permet l’observation d’un système de franges d’interférence non localisées. Mais cette
non localisation se paie au prix d’une luminosité faible (un seul quasi point source !).
On a ici encore un exemple du fameux compromis entre luminosité et contraste.
L’idée prévaut alors d’étendre spatialement la source de lumière, pour augmenter l’éclairement.
Sm
2
Figure 5
Sv
2
S'm
1
I2
(M2)
J2
S'v
1
J'1
A
(f2)
(M'1)
I'1
Sv
(e2)
(e1)
Point voisin de S m
(f1)
Sm
Point moyen de la source de lumière
M
Point du champ d'interférence
SORTIE
Raisonnons donc sur une source étendue spatialement à l’ordre 1 autour d’un point moyen Sm (on entend par cette
phrase un peu vague mais qui évite de longues circonlocutions mathématiques que les paramètres géométriques qui traduisent
l’éloignement du point courant de la source au point moyen sont considérés comme in niment petits équivalents d’ordre 1).
Considérons donc deux points de la source étendue, Sm le point moyen et Sv un point voisin à l’ordre 1 (voir gure 5).
On note (e1 ) et (e2 ) les rayons interférant en M issus de Sm et (f1 ) et (f2 ) ceux interférant en M issus de Sv .
Les di*érences de marche correspondantes sont :
(Sm , e2 /e1 , M ) = Sm I2 M
Sm I1 M ; (Sv , f2 /f1 , M) = Sv J2 M
Sv J1 M
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Sm et Sv étant incohérents entre eux, les éclairements lumineux correspondant en M s’ajoutent.
Pour ne pas perdre de contraste, il faudrait que cette addition corresponde à une coïncidence. Il faudrait en d’autres termes
que (Sm , e2 /e1 , M) = (Sv , f2 /f1 , M ) modulo (la longueur d’onde de la source).
Ceci peut être singulièrement vrai pour des voisins Sv particuliers, mais ne l’est pas généralement pour tout Sv voisin à
l’ordre 1 de Sm .
Le théorème de localisation va préciser les conditions de bonne conservation du contraste.
2.3. Théorème de localisation
2.3.1. Position du problème
Le théorème de localisation répond à l’interrogation suivante : comment faire chuter le moins possible le contraste d’un
système de franges d’interférence lorsqu’on augmente sa luminosité en étendant la source de lumière de façon spatiale, sur
une surface autour d’un point moyen Sm ?
2.3.2. Démonstration (hors programme)
Calculons
qui représente la variation de chemin optique (SM) quand le point S se déplace de Sm en Sv :
= (Sv , f2 /f1 , M )
(Sm , e2 /e1 , M ) = (Sv I2 M
Sv I1 M )
(Sm I2 M
Sm I1 M )
En vertu des lois de Descartes relative à la ré!exion et donc par symétrie :
= Sv2 M
Sv1 M
(Sm2 M
Sm1 M) = Sv2 M
Sm2 M
(Sv1 M
Sm1 M)
Or de façon très générale, à l’ordre 1 :
d(AB) = d(AB.uAB ) = d(AB).uAB + AB.d(uAB ) = dB
dA .uAB + ABuAB .d(uAB )
Mais (uAB )2 = 1 de sorte que par di*érentiation uAB .d(uAB ) = 0 et nalement :
d(AB) = dB
dA .uAB = dB
dA .
AB
AB
Dans le cas qui nous occupe le point Sm se déplaçant élémentairement en Sv (les symétriques par rapport à M1 et M2 sont
également voisins à l’ordre 1) et :
Sm2 M
S M
= Sm2 Sv2 .
+ Sm1 Sv1 . m1
Sm2 M
Sm1 M
Le produit scalaire étant un scalaire invariant par symétrie, on en déduit :
=
Sm Sv .u2 + Sm Sv .u1 = (u1
u2 ) .Sm Sv
avec u1 et u2 vecteurs unitaires portés par les deux incidents primitifs issus du point moyen de la source.
On constate donc qu’il su4t que u1 = u2 pour que la chute de contraste mesurée en quelque sorte par la variation de di*érence
de marche
ne dépende qu’à l’ordre 2 de l’élargissement spatial de la source Sm Sv . Dans ces conditions le contraste ”chute
le moins possible” (par élargissement spatial de la source lumineuse). Mais de ce fait le point M de l’espace est soumis à la
condition suivante :
2.3.3. Enoncé du théorème de localisation
Avec une source étendue spatialement, les franges ne sont observables que sur une surface qu’on appelle la
surface de localisation des franges d’interférence.
Cette surface se trouve dé6nie comme étant l’ensemble des points M intersection de deux rayons ”émergents”
(après ré8exion sur M1 et M2 ) issus du même rayon ”incident” (Sm , u1 ) = (Sm , u2 ), provenant du point moyen
Sm de la source étendue.
Remarques :
1) Usuellement, avec le Michelson, c’est cette condition su4sante qui est utilisée, dite de division d’amplitude. Les deux
rayons interférant nalement en M ont une partie commune, (Sm , u1 ) = (Sm , u2 ), jusqu’en I1 = I2 ; ce n’est qu’au delà de
la séparatrice que l’amplitude du rayon incident primitif se divise.
2) Le Michelson est di*érent des dispositifs interférentiels du type miroirs de Fresnel, bilentilles de Billet, trous d’Young
etc.. qui opèrent par division du front d’onde (les deux trajets sont di*érents dès la source primitive).
imposer que
3) La condition vue plus haut u1 = u2 n’est que su4sante, non nécessaire. On peut aussi pour minimiser
u1 u2 soit perpendiculaire à Sm Sv : cette autre condition su4sante est mise en œuvre en pratique par utilisation de fente
source centrée sur Sm dont la direction est perpendiculaire au plan dé ni par u1 et u2 .
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2.4. Conditions d’éclairage et d’observation avec une source étendue spatialement
2.4.1. Michelson réglé en coin d’air
• Le point moyen de la source Sm est à l’in ni dans une direction perpendiculaire à l’un des miroirs, ici le miroir M1 , en
pratique au foyer objet d’une lentille convergente dont l’axe coïncide avec Ox.
Les franges sont alors localisées sur l’autre miroir, ici le miroir M2 , on dit usuellement qu’elles sont localisées sur le
coin. Elles sont rectilignes, d’égale épaisseur. Leur direction signale la direction de l’arête du coin diédrique.
Nous avons montré que localement, à la distance x de l’arête du coin d’air, la di*érence de marche géométrique sous
incidence normale vaut géo 2e = 2 x.
Ici les deux voix sont parfaitement symétriques, il n’y a pas, contrairement à un coin d’air enfermé entre deux lames
de verre, de di*érence de marche supplémentaire et donc la di*érence de marche optique s’identi e à la di*érence de
marche géométrique :
= géo = 2e = 2 x
L’intensité lumineuse est alors :
I = 2I0 [1 + cos ] = 2I0 1 + cos
4
x
0
Et l’interfrange en lumière monochromatique s’exprime en fonction de l’angle dièdre
i=
:
2
• Observation des franges
La localisation des franges sur le miroir M2 conduit :
— soit à une observation directe, l’œil devant accommoder sur le plan du miroir M2 ,
— soit à une projection sur un écran, il faut alors faire l’image du miroir M2 (l’image du coin) sur
l’écran avec une lentille convergente qui va conjuguer le plan du miroir M2 et le plan de l’écran.
• Contraste des franges
Les franges ne sont visibles avec un bon contraste que dans les zones où (M ) = 2e = 2 x n’excède pas la longueur des
trains d’onde émis par la source. On exige donc :
!c avec !c = c# c et # c $ = 1
Cela con6ne les franges au voisinage de l’arête du coin d’air.
Remarquons en n que si l’on veut voir les franges à l’œil nu, en lumière jaune = 0, 6 µm par exemple, il faut raisonnablement que l’interfrange soit supérieur à quelques dixièmes de millimètres ce qui limite l’angle à quelques minutes d’angle.
2.4.2. Michelson réglé en lame d’air à faces parallèles
• Le point moyen de la source Sm est à distance ni.
Les franges sont alors localisées dans le plan de l’in ni. Elles sont circulaires (anneaux), concentriques, d’égale inclinaison.
Nous avons montré que la di*érence de marche géométrique dans une lame à faces parallèles vaut géo = 2ne cos r.
Ici, il s’agit d’une lame d’air et les angles d’incidence et de réfraction dans la lame sont identiques. A nouveau, et
contrairement à une lame de verre placée dans l’air, il n’y a pas de di*érence de marche supplémentaire et donc la
di*érence de marche optique s’identi e à la di*érence de marche géométrique :
=
géo
= 2e cos i
L’intensité lumineuse dans la direction faisant l’angle i avec l’axe Oy est donc :
I = 2I0 [1 + cos ] = 2I0 1 + cos
4 e cos i
0
• Observation des franges
De nouveau, cette localisation des franges dicte les conditions d’observation :
— soit directement sur un écran lointain à quelques mètres, faisant o=ce de plan à l’in6ni,
— soit en ramenant le plan de l’in6ni à distance 6nie, dans le plan focal image d’une lentille convergente.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
8
• Description des anneaux dans le plan focal de la lentille de projection
(M2)
e
(M’1)
i
S
C
f
i
F
M
En se limitant à des angles i faibles, ce qui est licite si la lentille travaille dans les conditions de Gauss :
cos i
I
i2
et ) = f tan i
2
1
fi
4 ne
= 2I0 [1 + cos ] = 2I0 1 + cos
)2
2f 2
1
0
En introduisant l’ordre d’interférence p,
=
p=
2e
0
0
1
)2
2f 2
et en remarquant que 2e représente la di*érence de marche 0 > 0 dans la direction S1 S2 , donc au foyer image F de
la lentille de projection où se trouve le centre des anneaux, on peut écrire :
p=
=
0
0
0
1
)2
2f 2
= p0 1
)2
2f 2
>0
expression dans laquelle p0 > 0 désigne l’ordre d’interférence au centre de la gure d’interférence.
Le rayon )p de la frange d’ordre p vaut :
p0 p
)p = f 2
p0
Les franges lumineuses sont toujours obtenues quand le déphasage est un multiple entier de 2 , = p(2 ) c’est à dire
quand p = 0 N.
En supposant que le centre de la gure est lumineux, c’est à dire que p0 est entier, le K ème anneau lumineux à compter
du centre est d’ordre p tel que :
p = p0 K
Et donc le rayon de ce K ème anneau lumineux à compter du centre est donné par :
)p = f
2
p0
p0
p=f
2
K
p0
Les anneaux se resserrent donc à mesure que l’on s’éloigne du centre de la gure.
3. Applications
Michelson mit au point son interféromètre (1907) pour mettre en évidence de très faible variation de chemin optique, ce
qui permit d’établir expérimentalement l’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Actuellement, l’observatoire
Franco-Italien Virgo tente de détecter l’existence prévue par Einstein d’ondes gravitationnelles à l’aide d’un interféromètre
de type Michelson dont les bras ont une longueur de 3 km.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
9
3.1. En franges d’égale épaisseur : contrôle de surface
Un défaut local de planéité d’un des deux miroirs de h se traduit par une variation du chemin optique de 2h.
En supposant que h soit égal à un quart de longueur d’onde, la variation de chemin optique correspondante vaut donc /2
et remplace donc localement une frange lumineuse par une frange sombre.
En admettant que l’on puisse ainsi détecter un décalage d’un dixième de frange, des défauts de surface de /20 soit de
0, 02 µm peuvent être repérés.
3.2. En frange d’égale inclinaison : mesure d’un écart de longueur d’onde
3.2.1. Expérience
La lumière émise par les lampes à vapeur de sodium est essentiellement constituée d’une radiation jaune.
Si l’on réalise des anneaux localisés à l’in ni avec un interféromètre de Michelson éclairé par une lampe à sodium on constate
que lorsque l’on translate le miroir mobile, à partir de la di*érence de marche nulle, donc à partir de la teinte plate les
anneaux se resserrent comme prévu mais simultanément le contraste diminue jusqu’à une disparition des anneaux.
Si l’on poursuit le déplacement du miroir dans le même sens, les anneaux apparaissent à nouveau avec un bon contraste. Si
l’interféromètre est correctement réglé, on peut mettre ainsi en évidence plusieurs annulations successives du contraste.
Une cellule photoélectrique placée an centre du système d’anneaux permet de faire des mesures quantitatives.
L’interférogramme, c’est-à-dire l’enregistrement de I( ) a l’allure représenté ci-dessous. Pour des raisons de clarté, nous
avons réduit sur cette simulation le rapport entre la fréquence de la sinusoïde de faible période et celle de la modulation en
amplitude. On compte, en fait, un peu moins de 1000 franges entre deux disparitions des franges.
3.2.2. Interprétation
Supposons le Michelson éclairé par la lumière jaune d’une lampe à vapeur de sodium. Cette lumière est constituée de deux
radiations de longueurs d’onde très voisines et de même intensité.
/1 = /0 +
/
; /2 = / 0
2
/
2
Ces deux radiations étant incohérentes, l’intensité totale au point M où la di*érence de marche est
I( )
=
vaut :
I1 ( ) + I2 ( ) = 2I0 [1 + cos (2 /1 )] + 2I0 [1 + cos (2 /2 )]
I( ) = 2I0 [1 + cos ( / ) cos (2 /0 )]
L’interférogramme est donc identique à celui d’une radiation monochromatique de nombre d’onde / 0 :
I( ) = 4I0 [1 + V ( /) cos (2 / 0 )]
modulé par un contraste V ( /) à variation lente :
V ( /) = cos (
/ )
L’écart, compté en chemin optique, entre deux franges lumineuses est :
1
= 1// 0
Les franges sombres sont noires et le contraste est maximal lorsque V ( ) = 1.
L’éclairement est uniforme et le contraste est nul lorsque V ( ) = 0.
Entre deux annulations successives du contraste,
/ varie de et donc la di*érence de marche varie de 1/ /. L’écart,
compté en chemin optique, entre deux annulations successives du contraste est donc :
2
= 1/ /
Le nombre N de franges entre deux annulations du contraste vaut donc :
N=
Expérimentalement on compte N = 982. Si
1
2/
1
= /0/ /
= 589, 0 nm, on en déduit
2
=
2N+1
2N 1 1
= 589, 6 nm.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
10
1/
1/
I
0
On appelle battements, ce type de modulation créée par la somme de deux fonctions sinusoïdales de fréquences voisines.
Elles sont alternativement :
• en phase (les deux systèmes d’interférence sont en coïncidence) et l’intensité est maximale,
• en opposition de phase (les deux systèmes d’interférence sont en anticoïncidence) et l’intensité s’annule.
Le modèle du doublet fournit donc un interférogramme proche de celui qui est obtenu expérimentalement.
4. Exemple de mise en œuvre expérimentale
4.1. Reglage géomètrique de l’interféromètre de Michelson
On réalise le montage de la gure ci-dessous :
(4)
Y
(5)
Miroir "fixe"
Focale 10 cm
(6)
(M2)
ENTRÉE
Compensatrice
(C)
(7)
(L1 )
(1)
O
(2)
Séparatrice
(SP)
Miroir "chariotable"
Source Hg
X
(3)
(M1)
Verre anticalorique
(VA)
(L2 )
SORTIE
Focale 20 cm
Écran de projection dans le plan focal de L2
4.1.1. Éclairage
On utilise comme source une lampe à vapeur de mercure équipée d’un diaphragme circulaire de faible diamètre (T ) (quasiponctuel). Ce dernier sera mis au foyer objet d’une lentille (L1 ) de focale image f1 = 10 cm par autocollimation sur les
miroirs du Michelson.
Le Michelson est donc éclairé en lumière quasi-parallèle (source centrée sur un point à l’in ni dans une direction perpendiculaire à l’un des miroirs).
En interceptant le faisceau issu de la lentille à l’aide d’une feuille de papier, on s’assurera que le faisceau est bien parallèle et
éclaire la totalité de la surface des miroirs.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
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4.1.2. Projection
On reprend le faisceau sortant du Michelson par une lentille (L2 ) de focale image f2 = 20 cm pour former les images du trou
source (T ) à travers le Michelson sur l’écran (E), lequel doit donc coïncider avec le plan focal image de (L2).
Remarque : cette obsevation peut se faire également à l’œil à travers le Michelson.
4.1.3. Première observation
On voit alors sur (E) au moins quatre points image plus lumineux que d’autres, provenant des diverses transmissions et
ré!exions sur (C), (S), (M1 ), (M2 ).
On les baptise naturellement CM1 , CM2 , SM1 , SM2 du nom des lames ou miroirs sur lesquels la lumière se ré!échit.
4.1.4. Réglage de la compensatrice
Agir sur la vis 7 (rotation de (C) autour d’un axe horizontal) puis sur la vis 6 (rotation de (C) autour de l’axe des Z) de
façon a n’avoir plus que deux images SCM1 et SCM2 . Les compensatrice et séparatrice devenues parallèles fournissent les
mêmes directions de ré!exion. Il y a confusion à la ”4 2”.
On signale ici la nécessité de la compensatrice (émergents traversant les mêmes épaisseurs de lame, pour une ”bonne”
interférence).(égalisation des chemins optiques).
Remarque : sur certains interféromètres il est possible d’e*ectuer ce réglage en éclairant directement l’ensemble séparatrice
- compensatrice sans passer par les miroirs. Cette méthode évite les images parasites dues aux ré!exions sur (M1 ) et (M2 ).
4.1.5. Réglage de (M1 ) pour le rendre parallèle à (M2 )
Les vis de rotation lente (4) et (5) étant réglées à mi-course environ, (M2 ) à peu près perpendiculaire à (M1 ), agir sur les vis
de rotation (1) et (2) de manière à superposer les deux images précédentes pour n’obtenir nalement plus qu’une image bien
lumineuse. On peut procéder soit par projection sur un écran soit par observation directeà l’œil nu.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
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Du coup (M1 ) a une direction de plan symétrique de celle de (M2 ) par rapport à la direction maintenant commune de la
séparatrice et de la compensatrice.
Remarque : dans le cas du choix lampe Na, on peut a4ner ce réglage en jouant sur (1) et (2), jusqu’à ce que l’on observe
des franges dans l’image commune.
4.1.6. Résumé du réglage géométrique à ce stade
Autant qu’on puisse apprécier à l’œil nu qu’on a une seule image après le réglage du § 4.1.5., on peut déclarer que (C) et
(SP ) sont quasi-parallèles et que (M1 ) et (M2 ) sont quasi parallèles.
Ils forment en fait (on ne peut s’en rendre compte à l’oeil nu ) entre eux des angles faibles (de l’ordre de la minute d’angle),
ce qui va être con rmé par les expériences ultérieures.
4.2. Obtention des franges du coin d’air avec la lampe à vapeur de mercure
4.2.1. Schéma général du montage (les angles sont exagérés)
Y
Miroir "fixe"
(L1 )
(M2)
Focale 10 cm
ENTRÉE
(FJ)
Compensatrice
(C)
O
X
Miroir "chariotable"
Séparatrice
(M1)
(SP)
Source Hg
Verre anticalorique
(VA)
(L2 )
SORTIE
Focale 20 cm
(FJ) Filtre Jaune
Écran de projection à 1,50 m environ de L
2
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
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4.2.2. Eclairage
On ne fait qu’élargir le diaphragme utilisé précédemment, sans toucher ni à la lampe à vapeur de mercure, ni à la lentille
(L1 ). On met le ltre jaune pour sélectionner une bande de longueur d’onde assez étroite et avoir ainsi une assez bonne
cohérence temporelle.
L’appareil est éclairé par une source cohérente, large à l’in ni, centrée sur un point moyen à l’in ni dans une direction
perpendiculaire à l’un des miroirs. On est dans les conditions d’éclairage du coin d’air.
4.2.3. Projection
Les franges ”d’égale épaisseur” sont localisées au voisinage des miroirs. La lentille (L2 ), permet de réaliser l’image du coin
sur l’écran (E) à environ 1, 50 m 2 m environ du Michelson. On a ainsi la projection de la surface de localisation des franges
d’égale épaisseur du coin d’air.
4.2.4. Première observation
Si on a un peu de chance ,on voit tout de suite apparaître des franges rectilignes, sinon on retouche à la vis de chariotage (3)
pour que les franges rentrent dans le champ de vision et soient bien contrastées. En e*et une translation de l’un des miroirs
ramène l’arête du coin d’air diédrique dans le champ de vision, car pour des raisons de cohérence temporelle, les franges du
coin d’air sont localisées au voisinage de l’arête, laquelle doit être dans le champ de vision.
4.2.5. Étude des franges et mesure de l’angle
du coin d’air
En jouant sur les vis de rotation rapide (1) et (2) ou lente (4) et (5) on fait varier pour qu’il y ait une dizaine de franges
bien contrastées, dans le champ. On peut alors mesurer l’interfrange (i ) du système de franges sur l’écran de projection. On
peut en déduire une estimation de l’angle du coin d’air.
4.2.6. Recherche de
= 0 pour approcher la lame d’air à faces parallèles
Après avoir enlevé le ltre jaune, on joue sur les vis de rotation rapide des miroirs pour élargir l’interfrange (on ne doit voir
qu’une ou deux franges irisées). On achève nement avec les vis de rotation lente pour n’avoir sur l’image qu’une teinte non
modulée spatialement de même couleur que la source, la teinte plate (autant que faire se peut).
4.3. Obtention des anneaux à l’in6ni de la lame d’air a faces paralleles avec la lampe à vapeur
de Hg
4.3.1. Schéma général du montage
(4)
Y
(5)
Miroir "fixe"
ENTRÉE
Focale 10 cm
(6)
(M2)
60 cm
(C)
(1)
O
(7)
(2)
(SP)
(L1 )
Miroir "chariotable"
Source Hg
X
(3)
(M1)
Verre anticalorique
(VA)
(L2 )
SORTIE
Focale 20 cm
Écran de projection dans le plan focal de L2
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
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4.3.2. Éclairage
On opère en lumière convergente (source large avec point moyen à distance nie) avec la lampe à vapeur de mercure non
diaphragmée, pour avoir des rayons incidents d’inclinaison variable.
Pour cela on recule la lampe à 60 cm (diaphragme enlevé) environ de la lentille (L1 ), cette dernière restant xe : le faisceau
converge vers (M1 ) à peu de chose près.
4.3.3. Projection
Les franges sont localisées à l’in ni, de sorte qu’on observe les anneaux soit directement à l’in ni (en fait sur un grand écran
à 2m sans lentille de projection) ou bien dans le plan focal image de (L2 ).
4.3.4. Première observation
On doit voir sur l’écran des anneaux colorés concentriques plus ou moins écartés les uns des autres.
Les anneaux sont plus serrés sur les bords qu’au centre.
4.3.5. Recherche d’un excellent parallélisme entre séparatrice (Sp) et compensatrice (C1 )
On diminue l’épaisseur e de la lame d’air à faces parallèles avec la vis de translation du miroir.
Retrouver l’expression de la di*érence de marche entre deux rayons qui interfèrent sur l’écran.
Justi er que :
• les anneaux s’enfoncent dans le centre (le rayon diminue) et ils sont plus écartés les uns des autres quand l’épaisseur
de la lame d’air diminue.
• les anneaux se forment à partir du centre (le rayon augmente) et ils sont plus proches les uns des autres quand l’épaisseur
de la lame d’air augmente.
Devenant plus gros, les anneaux peuvent être déformés et avoir l’allure d’ellipses à grand axe oblique.
Avec les vis de rotation de la compensatrice on redresse le grand axe et on recti e l’excentricité des ellipses jusqu’à l’annuler.
4.3.6. Mesure d’une longueur d’onde
Le dé lement d’un anneau correspond à une translation de /2 du miroir (M1 ).
On peut faire dé ler un grand nombre d’anneaux sur l’écran en chariotant le miroir (M1 ) à l’aide du moteur d’entraînement
qui tourne très lentement : (sur certains modèles la vitesse est de 1 tour en 15 minutes, soit un déplacement de 0, 5 mm).
On peut déduire du comptage des anneaux la longueur d’onde de la lumière incidente.
Exercice n 01 : Compensation parfaite dans le cas d’une observation à l’in ni
Montrer que la compensatrice réalise une compensation parfaite, si l’interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air à faces
parallèles et si les interférences sont observées à l’in ni.
Exercice n 02 : Interféromètre de Michelson : anneaux d’égale inclinaison
Un interférmètre de Michelson est constitué :
· d’une source S placée au foyer d’un collimateur (L) ;
· de deux miroirs plans M1 et M2 dont les plans sont initialement orthogonaux, avec IO1 = IO2
· d’une lame séparatrice , inclinée à 45 du faisceau incident (les inconvénients dus à l’épaisseur de la séparatrice sont compensés
par une compensatrice C de même épaisseur ; on ne se préoccupera donc pas de l’épaisseur du système + C ) ;
· d’un objectif d’observation (L ) assimilé à une lentille convergente de distance focale f = 1 m.
Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson
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On déplace le miroir M1 parallèlement à lui-même de la quantité d, soit IO1 = IO2 + d ; on observe les franges sur l’écran (E)
disposé dans le plan focal image de L .
A) La source S est monochromatique de longueur d’onde = 508, 6 nm (raie verte du cadmium) ; on donne d = 7629 µm.
1) Exprimer l’ordre d’interférence p (x) au point M (OM = x) de l’écran (E) ; on n’oubliera pas le déphasage supplémentaire
introduit par la séparatrice.
2) Quelle est la forme des franges d’interférence ? Déterminer la loi I (x) de l’intensité (on désignera I0 la valeur maximale de
cette intensité).
3) Calculer l’ordre l’interférence p0 au centre O ainsi que le rayon des trois premiers anneaux noirs observés sur (E).
4) On insère sur le trajet IO1 de la lumière une très mince lame de mica L1 d’indice n = 1, 52 et d’épaisseur ! inconnue,
disposée parallèlement au miroir M1 . On observe le dé lement de 18 franges sur l’écran (E). Calculer !.
B) La source est une lampe à vapeur de sodium qui émet deux radiations monochromatiques de même intensité et de longueurs
d’onde voisines 1 = 588, 99 nm et 2 = 589, 59 nm. On posera = ( 1 + 2 ) /2 et
= 2
1.
5) Montrer que l’intensité vibratoire au centre O peut s’écrire
I = I0 1
V (d) . cos
4 d
On explicitera la fonction visibilité V (d).
6) On règle la position de M1 jusqu’à observer des anneaux parfaitement visibles ; de quelle quantité
translater M1 pour que ces anneaux disparaissent complètement ?
d minimale faut-il
Exercice n 03 : Interféromètre de Michelson : franges d’égale épaisseur (mêmes notations que l’exercice précédent)
Les miroirs M1 et M2 étant initialement orthogonaux et tels que IO1 = IO2 , on fait tourner M1 d’un petit angle 3 autour d’un
axe perpendiculaire au plan de la gure : on observe les franges sur un écran (E) placé dans le plan conjugué de M2 par rapport à L .
1) La source S est monochromatique ( = 508, 6 nm) :
a) On considère un point P du miroir M2 repéré par l’abscisse X = O2 P . Déterminer la forme des franges et exprimer
l’intensité vibratoire en P . Calculer l’interfrange X en fonction de et 3.
b) On observe sur l’écran : N = 12 franges noires, les extrémités de l’image du miroir correspondant à des maximes d’intensité.
Sachant que le diamètre des miroirs est D = 20 mm, calculer l’angle 3 (en secondes d’arc).
2) On remplace la radiation bleue = 508, 6 nm par la radiation rouge = 643, 8 nm. Combien de franges sombres et brillantes
observe-t-on ?
3) La source S est la lampe à vapeur de sodium (source bichromatique). En déplaçant M1 d’un mouvement de translation, les
franges nettes disparaissent puis réapparaissent périodiquement. Combien de franges dé lent en un point de l’écran entre une disparition
des franges et la disparition suivante ?