Cogèbre binomiale et calcul ombral des opérateurs différentiels

UNIVERSIT´ E DE LIMOGES
´
ECOLE DOCTORALE Science – Technologie – Sant´e
FACULT´ E des sciences et techniques
Laboratoire d’Arithm´etique, de Calcul formel et d’Optimisation
Th`ese
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSIT´ E DE LIMOGES
Discipline : Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue
par
M´eriem HERAOUA
le 15 juillet 2004
Cog`ebre binomiale et calcul ombral des
op´erateurs diff´erentiels
Th`ese dirig´ee par Alain SALINIER
Jury
Rapporteurs :
Daniel BARSKY Directeur de Recherche CNRS Paris 13
Bertin DIARRA Charg´e de Recherche CNRS Clermont-Ferrand
Examinateurs :
Moulay BARKATOU Professeur `a l’universit´e de Limoges
Gilles CHRISTOL Professeur `a l’universit´e Paris 6
Fran¸cois LAUBIE Professeur `a l’universit´e de Limoges
Abbas MOVAHHEDI Professeur `a l’universit´e de Limoges
Alain SALINIER Maˆıtre de conf´erences HDR `a l’universit´e de Limoges

Remerciements
Je tiens en premier lieu `a exprimer toute ma reconnaissance et toute ma
gratitude envers mon directeur de th`ese Alain Salinier pour avoir encadr´e ce
travail et pour la confiance qu’il m’a accord´ee. Ses conseils et ses encourage-
ments durant ces ann´ees m’ont beaucoup aid´ee `a progresser.
Je tiens ´egalement `a remercier Bertin Diarra pour tous ses conseils, ses
nombreuses suggestions et d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteur de cette th`ese.
Je suis honor´ee que Daniel Barsky ait bien voulu ˆetre rapporteur de cette
th`ese.
Je voudrais ´egalement remercier Gilles Christol qui me fait l’honneur de
participer `a ce jury.
Je remercie aussi Moulay Barkatou, Fran¸cois Laubie, et Abbas Movahhedi
d’avoir accept´e de prendre part `a ce jury.
Je voudrais associer `a ces remerciements Benali Benzaghou, Professeur `a
l’Universit´e d’Alger qui m’a initi´ee au calcul ombral en 1998.
Je remercie les membres du LACO et plus particuli`erement Sylvie Laval,
Patricia Vareille et Yolande Vieceli pour leur disponibilit´e et leur gentillesse.
Je remercie ´egalement Martine Guerletin et Nadine Tch´efranoff que j’ai pu
cˆotoyer au cours de ces ann´ees.
Je remercie ´egalement les doctorants, Laurent Dubreuil, Nicolas Le Roux,
Ayoub Otmani et Philippe Segalat pour leurs commentaires, leurs critiques,
leur disponibilit´e et pour la bonne ambiance qui a r´egn´e dans notre bureau
durant ces ann´ees. Je remercie Thomas Cluzeau et Rachid Bouchenna pour
leurs remarques constructives. Je remercie Anne Bellido et Abdelkader Necer
avec qui j’ai enseign´e pendant plusieurs ann´ees et dont je garde un tr`es bon
souvenir. Je remercie Matthieu Le Floc’h et Mika¨el Lescop pour leur gentillesse
et leurs encouragements.
Je remercie tous mes amis et plus particuli`erement Hayet et Nada qui m’ont
toujours encourag´ee.
Je remercie enfin mes parents que j’aime tant et toute ma famille.
Je ne pourrais terminer ces remerciements sans citer mon ´epoux Karim qui
partage ma vie depuis tr`es longtemps. Je voudrais le remercier pour son amour
et sa patience.
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Table des mati`eres
Remerciements 3
Avant-propos 9
I Calcul ombral des op´erateurs diff´erentiels 11
Introduction 13
1 Anneau des op´erateurs diff´erentiels formels 25
1.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Propri´et´e universelle de l’anneau D................ 27
1.3 Op´eration de Dsur R....................... 29
1.4 Une structure de D-module sur un carr´e tensoriel . . . . . . . . 30
1.5 Op´erateurs de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Adjonction.............................. 32
2 Op´erateurs 33
2.1 Notion d’op´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 La topologie de O.......................... 34
2.3 La transformation ∨......................... 34
2.4 Les d´eriv´ees de Pincherle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Les int´egrales de Pincherle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 La cog`ebre des op´erateurs diff´erentiels formels 43
3.1 L’augmentation........................... 43
3.2 L’application diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Op´erateurs de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 Exemples .......................... 45
3.4 L’alg`ebre des op´erateurs de composition . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Calcul de Pincherle des op´erateurs de composition . . . . . . . . 51
3.6 Une cod´erivation de la cog`ebre des o.d.f. . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 ´ Etude g´en´erale des cod´erivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Cod´erivations fortes et op´erateurs ombraux . . . . . . . . . . . . 57
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