Machine à courant continu

Dans ce problème nous allons étudier différents dispositifs entrant dans la
réalisation d’un bus électrique à conduite partiellement automatisée.
Les quatre parties du problème sont indépendantes, elles s’intéressent
respectivement :
• au système de propulsion et de direction du bus
• aux transferts énergétiques
• à la conduite automatisée
• au dispositif radar de surveillance de la chaussée
La réalisation d’un tel système est en bonne voie, même si, les solutions retenues
ne sont pas entièrement celles proposées dans la suite de ce problème.
Les candidats sont vivement encouragés à définir et à utiliser des paramètres non
donnés explicitement dans l’énoncé mais qui permettent d’alléger et de simplifier les
calculs.
I) Groupe moteur
Dans cette partie, Les moteurs à courant continu sont supposés identiques avec un
même courant circulant dans chaque inducteur, il en résulte que le paramètre de
proportionnalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l’induit I est le
même pour tous les moteurs. On notera Φ ce paramètre.
Page 1
Figure 1
I
R
L
J
U0
MCC
E
Ω
1
Machine à courant continu
Il convient d’étudier et de modéliser les machines à courant continu qui serviront à
faire avancer le véhicule. Le modèle retenu est celui d’une force contre
électromotrice e, sans pertes, en série avec une résistance R et une inductance L,
et, pour la partie mécanique, un moment d’inertie global J (voir la figure 1). On
négligera les frottements.
Les variables décrivant le système sont Ω et I
A
A l’instant initial, le système étant au repos et le circuit électrique ouvert, on ferme
en branchant une source de tension constante U0.
1.1
Ecrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du
système.
1.2
Montrer que ces équations admettent une solution indépendante du temps :
(Ω0 ,I0).
1.3
On donne :
LJ
R J
= 3 S.I. et
= 5 S.I.
2Φ L
Φ
Préciser les unités de ces constantes
1.4
Résoudre ces équations afin d’obtenir la vitesse de rotation Ω(t) de la
machine.
1.5
On observe expérimentalement qu’un régime permanent est effectivement
atteint avec un courant dans la machine IP .Est-ce compatible avec le modèle
précédent ? Proposer une correction si nécessaire. On négligera ce courant
dans les calculs ultérieurs.
B
Une fois le régime permanent atteint on impose un couple constant C0 sur l’arbre du
moteur.
Page 2
1.6
Déterminer le nouveau régime permanent.
1.7
Déterminer la vitesse de rotation Ω(t) et l’intensité du courant I(t) après
l’application de C0. On choisira une nouvelle origine pour le temps.
2
Hacheur
Figure 2
K
U(t)
U0
I0
K’
On considère une source de tension continue idéale U0>0 reliée par un dispositif de
conversion de puissance composée de deux interrupteurs K et K’ à une source de
courant continu I0>0 (voir la figure 2).
A
L’interrupteur K est fermé pendant la durée αT, puis ouvert pendant (1-α)T.
2.1
Déterminer le cycle de fonctionnement de l’interrupteur K’
2.2
Calculer la valeur moyenne de la tension U(t) délivré par le dispositif
2.3
Calculer la puissance moyenne transmise à la source de courant.
2.4
Quelle est la nature des interrupteurs K et K’, les plus simples,
convenant pour réaliser ce dispositif ?
B
La source de courant est maintenant remplacée par une inductance L en série avec
une résistance R et une source de tension continue E<U0.
2.5
Calculer en fonction du temps, en régime périodique permanent, le courant
dans l’inductance pour E=0V. On utilisera, après les avoir déterminées, les
valeurs maximum et minimum de l’intensité de ce courant
2.6
Quel type de comportement peut-on observer si α devient trop petit ?
2.7
Comment doit-on modifier les interrupteurs K et K’ par rapport au 2.4 pour
Que la puissance puisse être reçue par la source U0 ?
3
Association machine-hacheur
Sur la source de tension et les deux interrupteurs précédents est maintenant
branché une machine à courant continue comme celle étudier au 1.1.
On supposera ici l’inductance L nulle et on assimilera la tension délivrée par le
dispositif U(t) à sa valeur moyenne sur une période de fonctionnement T : <U(t)>.
A
Page 3
3.1
Ce moteur servant à mettre en mouvement un véhicule, l’inertie globale J est
en grande partie due à la masse de ce véhicule. Justifier cette affirmation.
3.2
Si au démarrage du moteur on laisse l’interrupteur K continuellement fermé,
donner la valeur maximum du courant circulant dans le moteur IM en fonction
de R et de U0.
B
On souhaite limiter le courant à IM/2 tout en gardant α le plus grand possible
3.3
Déterminer <U(t)> et l’évolution de α(t)
3.4
Déterminer Ω(t) si la vitesse finale est la plus élevée possible.
3.5
Donner l’allure sommaire des courbes Ω(t), I(t) et <U(t)> en précisant le type
d’alimentation.
3.6
Expliquer ce qui aurait été changé si on avait pris en compte
- l’inductance
- U(t).
4
Pont différentiel électrique
Nous allons d’abord étudier un mode de traction électrique utilisé dans certains
chariots de manutention dont la roue arrière est directrice et les deux roues avant
motrices. On associe, en série, dans le même circuit électrique, deux moteurs à
courant continu entraînant les deux roues avant. Les moteurs sont supposés
identiques et les roues directrice et motrices ont même diamètre D. Le chariot se
déplace sur un plan horizontal.
4.1
Déterminer en fonction de Φ, D et la tension d’alimentation de l’ensemble U0
la vitesse v0 du chariot en ligne droite en régime permanent.
4.2
Le chariot a maintenant une trajectoire circulaire décrite à vitesse constante
(voir la figure 3), calculer les vitesses de rotation Ωd (droit) et Ωg (gauche) des
moteurs et les comparer à celle calculée précédemment.
Figure 3
Rayon R+L
Centre de la trajectoire
circulaire
Rayon R
Page 4
5
Pont différentiel électronique
Le bus est réalisé à l’aide de plusieurs remorques articulées et les impératifs de la
circulation urbaine exigent que ces remorques suivent une trajectoire inscrite sur
une chaussée réservée assez étroite. Plutôt que de réaliser un véhicule classique
avec un essieu moteur, chaque roue est entraînée par un moteur électrique,
disposant de sa propre alimentation et de sa propre commande, de manière à forcer
une trajectoire bien précise pour les remorques, celle-ci ressemblant plus à celle
empruntée par un train sur ses rails. On donne des courbes représentant la vitesse
de rotation des machines et leur courant d’induit en fonction du temps.
5.1
Comment peut-on mesurer la vitesse de rotation des moteurs ?
5.2
On veut mesurer un courant continu. Peut-on utiliser un transformateur ?
Justifier votre réponse.
5.3
A partir de la mesure du courant, de la donnée du paramètre α et de la vitesse
de rotation, comment déterminer la puissance mécanique fournie par le
moteur et la puissance électrique consommée ?
– Quels paramètres faut-il connaître ?
– Comparer ces puissances
5.4
Quelles modifications doit-on apporter au système étudié dans la partie 3 pour
permettre au moteur de fournir de l’énergie à la source pendant les phases de
freinages
5.5
Pour le démarrage, on alimente les moteurs un petit peu avant de relâcher les
freins, ce qui se fait quand les portes sont complètement fermées, pourquoi ?
5.6
Commenter les vitesses de rotation et intensité des courants en fonction du
temps, obtenus à partir de simulations, pour les courbes N° 1 à 4 donnée en
annexe.
On s’attachera à décrire le comportement du bus, le fonctionnement des
systèmes moteurs-hacheurs en faisant des bilans de puissance, sommaires et
qualitatifs, pour chaque étape et en précisant les modes d’alimentation ou de
régulation.
Note : les tracés sont effectués en coordonnées réduites (les grandeurs sont
divisées par une de leurs valeurs caractéristiques pour obtenir un résultat
sans dimension).
On utilisera, pour répondre à la question, les courbes en annexe sur
lesquelles on reportera lisiblement des légendes . Les courbe N°1, courbe
N°2, courbe N°3, courbe N°4 sont à rendre avec la copie
II) Alimentation en énergie
6
Moteur thermique
Pour de raison de coût et de mobilité, le bus doit être autonome. L’alimentation
générale du bus ne peut être exclusivement d’origine électrique, l’autonomie des
batteries est insuffisante, et le temps de recharge prohibitif. On adopte un système
hybride, un moteur thermique produira l’énergie électrique nécessaire à un
fonctionnement normal du bus et des batteries pourront compléter les besoins en
fournissant un complément lors des accélérations et en absorbant l’énergie restituée
lors des freinages.
Le moteur thermique fonctionnant en continu son rendement est optimal et la
pollution engendrée est inférieur à un fonctionnement irrégulier, on peut même
imaginer de couper le moteur thermique dans les zones sensibles. De manière à ne
Page 5
pas sur dimensionner les batteries, on peut aussi, pour les montées à forte pente,
prévoir une alimentation extérieur par caténaires.
6.1
Faire un schéma de tous les systèmes de transfert et de conversion de
puissance nécessaires au bon fonctionnement du bus, on précisera le sens et
le type de puissance transférée : puissance thermique Pth , puissance
mécanique Pm , puissance électrique Pe ,( =continue ou ~ alternative).
6.2
Pour le moteur thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur, peut-on
raisonnablement envisager un rendement de 95% ?
7
Dégagement de chaleur des moteurs électriques
De manière à déterminer si les moteurs électriques doivent disposer d’un système
de refroidissement, il faut calculer la température de fonctionnement en fonction des
pertes dans le moteur. On désigne par Ψ les pertes moyenne par unité de temps.
Chaque moteur est entouré d’une enveloppe. Dans cette première modélisation,
assez grossière, on considère cette enveloppe comme sphérique de rayon intérieur
R1 et de rayon extérieur R2 .
7.1
Exprimer la température en régime permanent sur la face intérieure en
fonction des paramètres géométriques, de la conductivité Κ du matériau de
l’enveloppe et de la température extérieur T0.
III) Asservissement de direction du bus
Pour assurer le positionnement du bus le long des quais de débarquement ainsi
qu’à l’intérieur des voies étroites pour la circulation urbaine, il est nécessaire de
confier la conduite à un dispositif automatique. La contrainte la plus sévère à
réaliser étant l’approche des stations où la position du bus doit être contrôlée à
mieux que 3 centimètres.
On se placera dans le cas où la voie est presque rectiligne et horizontale. On notera
v0=50km/h la vitesse du bus qui sera prise constante.
8
C
Capteur CCD ou DTC (dispositifs à transfert de charge)
C
D
Figure 4
K2
sortie
q
Barrette CCD
C
e1
e
K1
U
e1
C
La solution adoptée pour repérer l’emplacement du bus sur la chaussée, est la
visualisation par une caméra à capteur CCD d’une bande blanche située au milieu
de la voie réservée.
Cette caméra est composée de barrettes CCD. Ce sont des capteurs
optoélectroniques dans lesquels va se créer une quantité de charge q dépendant de
l’éclairement, cette charge pourra être ensuite transférée vers la sortie de la
barrette.
Les interrupteurs de la figure 4 fonctionnent de la manière suivante :
K1 est fermé et K2 ouvert puis, on ouvre K1 et la barrette transmet la quantité de
Page 6
charges accumulées, ensuite K2 est fermé, et on retourne au point de départ en
ouvrant K2 puis en fermant K1.
8.1
Expliquer le fonctionnement du dispositif.
8.2
Comment s’appelle l’élément final de la chaîne, dont la caractéristique est
donnée à la figure 5 ? Quel est son rôle ?
Figure 5
Caractéristique du dernier quadripôle
U
UM
UM
e
e
9
Construction du signal de position
Dans la caméra, les barrettes sont placées dans le sens de la marche, et on désire
obtenir une tension E(t) quasiment proportionnelle à l’écart y(t) entre la position
centrale sur la caméra Y(t) et la bande blanche Y0(t). Le système est composé de
2N+1 barrettes et la bande blanche à une largeur de 2P+1 barrettes (N>P). On
utilise pour ce faire le montage de la figure 6
Figure 6
U2N+1
GN
G
G1
_
UN+2
UN
+
G1
E
GN
G
U1
Page 7
9.1
Exprimer la tension E(t) en fonction des tensions U1(t)…U2N+1(t) ,obtenues en
sortie de l’étage étudié au 8.1 et reproduit pour chacune des barrettes CCD, et
des conductances G, G1…GN
9.2
Déterminer les relations à imposer entre les conductances G, G1…GN
représentées sur la figure 6. On supposera dans la suite le rapport entre E(t)
et y(t) constant et égal à A
10 Fonction de transfert de la direction électrique
Figure 7
Direction prise par le bus
Ligne blanche
Y0(t)
α(t)
Bus
Y(t)
La tension obtenue précédemment va servir à commander la direction prise par le
bus b(t)=sin(α(t)) (voir la figure 7). Pour obtenir une commande parfaitement
adaptée, on réalise une série d’expériences permettant de tracer le diagramme de
Bode de la fonction de transfert H(p), reliant la grandeur d’entrée E(p) et la
grandeur de sortie B(p) (voir la courbe N°5)
courbe N°5
module réduit
1
0.1
0.01
0.01
0.1
1
10
fréquence réduite
Page 8
100
3
1 10
10.1 Donner un exemple de fonction de transfert pouvant convenir en justifiant
votre choix.
Le module réduit représente le module de H(p) divisé par une constante H0 et
la fréquence réduite représente la fréquence multipliée par 2π et divisée par
une constante ω0 .
11 Asservissement de la direction
On relie désormais le système caméra à la commande de direction.
11.1 Montrer que l’on peut relier Y(t), la position du centre de la caméra, à b(t) et v
par une équation différentielle.
11.2 Faire le schéma de l’asservissement de position du bus.
11.3 Expliquer l’utilité de cet asservissement
11.4 Calculer la fonction de transfert G(p) reliant Y(p) à Y0(p) et la mettre sous la
forme : (1+2λp/ω1+(p/ω1)2)-1 .
12 Réglage de l’asservissement
La fonction de transfert H(p) est déjà le résultat d’un asservissement et on peut faire
varier la valeur de H0.
12.1 A, H0 et ω0 sont reliés par la relation suivante A H0 ω0 =6.3 (ms)-1 ; commenter
cette relation.
12.2 Déterminer ω0 pour que λ=0.7 et justifier le réglage.
13 Vérification du réglage
On relève lors d’un essai les courbes Y(t) et Y0(t) (courbe N°6, le temps réduit vaut
ω1t).
courbe N°6
1.5
position du bus
1.2
0.9
0.6
0.3
0
0
0.2
0.4
0.6
temps réduit
Y(t)
Yo(t)
Page 9
0.8
1
1.2
13.1 La différence vient de la position observée par la caméra qui n’est pas tout à
fait au niveau des roues avant, calculer le décalage du capteur aux roues.
13.2 Quel effet cela a-t-il sur la fonction de transfert G(p) ?
13.3 Quel effet cela a-t-il sur Y(t) pour les courbes données ?
IV) Radar à balayage électronique
Pour plus de sécurité, on place à l’avant du bus un radar, afin de surveiller la route.
En circulation urbaine, il est inévitable que d’autres véhicules traverse la trajectoire,
le radar devra donc détecter les obstacles, puis analyser leurs futures trajectoires
avant de déclencher un signal au chauffeur ou un freinage d’urgence.
Le radar va émettre un rayonnement électromagnétique dans une direction, puis
attendre un éventuel retour qui sera interprété.
14 Dipôle oscillant
Pour étudier le rayonnement électromagnétique émis par une antenne, on utilise le
modèle du dipôle oscillant.
On cherche le champ électromagnétique créé par un moment dipolaire colinéaire à
l’axe Oz et placé en O. La représentation complexe de sa projection sur cet axe est
P=P0 e iωt
A
Les solutions trouvées sont en coordonnées sphériques, en projection sur la base
sphérique :
1
cos( θ) i( ωt −kr )

 (ikr + 1) 4πε 2P0 r 3 e
0

G 
1
sin(θ) i( ωt −kr )
E = (1 + ikr − (kr ) 2 )
P0
e

4πε 0
r3


0



0


G 
et B = 
0



ω
sin(θ) i( ωt −kr )
(1 + ikr )P0
e
iµ 0
4π
r2

14.1 Donner les équations de maxwell dans le vide.
14.2 Préciser l’expression de la constante k
14.3 Commenter les solutions trouvées
B
On se place dans la zone de rayonnement r>>λ (longueur d’onde)
14.4 Définir λ
14.5 Déterminer les expressions du champ dans la zone de rayonnement
14.6 Justifier l’affirmation suivante : le champ électromagnétique a localement la
structure d’une onde plane
15 Association de deux antennes
On considère maintenant de petites antennes émettant un rayonnement
électromagnétique que l’on admettra sinusoïdal de fréquence f=6GHz, et dont les
caractéristiques seront assimilées à celui d’un dipôle rayonnant d’axe vertical.
Page 10
L’étude du champ électromagnétique se fera dans le plan horizontal contenant les
antennes.
A
15.1 On dispose côte à côte deux antennes identiques (A1 et A2), distantes de a, et
définies par deux moments dipolaires P1 et P2 identiques.
Etudier le champ électrique dans le plan horizontal contenant les antennes sur
la médiatrice de A1A2.
Quel phénomène cela évoque-t-il pour vous ?
Préciser, qualitativement, l’évolution des caractéristiques de ce phénomène
quand on s’éloigne de cet axe.
15.2 Peut-on envisager de reproduire ce résultat avec des fréquences de 1014 à
1015 Hz ?
15.3 On désire focaliser l’énergie électromagnétique émise dans une direction
particulière, situé vers l’avant du bus, que l’on nommera direction
d’observation. La réflexion du rayonnement se produira suffisamment loin des
antennes pour que l’on puisse considérer, par la suite, que les rayons issus
des antennes sont parallèles. Déterminer la valeur moyenne du vecteur de
Poynting en fonction de la direction d’observation et de la distance
B
L’antenne A2 est maintenant alimentée à travers une ligne à retard de façon à ce
que P2 subisse un déphasage de φ par rapport à P1 .
15.4 On désire pouvoir observer de chaque coté de la direction du bus avec un
écart angulaire maximum de 60°, déterminer les valeurs de a convenables.
On choisit a=2cm pour la suite.
15.5 La fréquence du rayonnement des deux antennes diffère de 1MHz, qu’obtienton ?
16 Association d’un ensemble d’antennes
On dispose maintenant de 20 petites antennes identiques aux antennes
précédentes.
16.1 Quand le déphasage φ entre les antennes est nul, déterminer la puissance
rayonnée dans une direction par l’ensemble des antennes.
16.2 Comment régler les déphasages pour concentrer le rayonnement en direction
d’un objet situé 60 mètre devant le bus, 5 mètre sur la gauche de sa
direction ?.
16.3 Peut-on espérer distinguer un autre objet situé à 3 mètre de celui-ci ?
17 Effet Doppler
Le radar précédent permet de déterminer la direction d’un objet, mais aussi sa
distance. La fréquence de l’onde réfléchie subie aussi une modification
proportionnelle à la projection de la vitesse relative de l’objet par rapport au bus sur
la direction reliant l’objet au bus.
17.1 Proposer une méthode permettant de mesurer cette vitesse à partir de
tensions images des ondes émises et réfléchies.
Page 11