Géométrie des transformations

Géométrie des transformations
Propriétés et Invariants
Paul Patenaude
Conseiller Pédagogique en Mathématique
Commission Scolaire de Châteauguay
1.
Objectifs
Ce document se veut à la fois un point
de
référence
sur
les
notions
d'invariant et de propriété dans le
domaine de la géométrie des transformations au secondaire et un point de
départ pour d'autres activités
de
perfectionnement destinées à préciser
ces notions avec les enseignants.
Le niveau de traitement utilisé ici
n'est donc pas celui qu'il faudra
utiliser avec les élèves car pour
préciser certains concepts, il nous
faudra ici
adopter un
niveau de
langage plus théorique.
Mais nous
essaierons de garder constamment en
toile de fond les objectifs d'apprentissage proposés dans les programmes
d'études.
Ces programmes introduisent à divers
moments des expressions comme: caractéristique, propriété, invariant,
dans des contextes où il peut être
difficile de distinguer les concepts
sous-jacents.
Certaines propriétés
ont l'air de caractéristiques; des
propriétés parlent d'invariants; et
des
invariants
concernant
les
caractéristiques des figures...!
Par
exemple, lorsqu'on énonce:
«les translations conservent
les longueurs des segments»
on peut se
caractéristique des translations, ou
d'une propriété des translations ou
encore si cela ne pourrait pas signitr
fier que les translations laissent les
longueurs invariantes...
Ce document veut donc jeter un peu de
lumière sur ces différents concepts en_
faisant "craquer" les mots peut-êtré'
mais en gardant à l'esprit un certai-n"réalisme" pédagogique.
2.
Propriétés et invariants dans la
géométrie des transformations
Lorsqu'on examine la trame générale du»
programme de géométrie au secondaire
premier et second cycle -, on constate'
que tous les objectifs semblent converger
vers la
recherche et ~ la
définition de caractéristiques puis de
propriétés.
Vocabulaire:
Les caractéristiques d'un objet mathématique sont les éléments ou les
énoncés qui permettent de définir cet
objet mathématique:
un quadrilatère est un
à quati'e côtés;
un
triangle
triangle qui
congrus ;
polygone
isocèle
est un
a
deux
côtés
demander s'il s'agit d'une
70 - 13
les trapèzes
sont
des
quadrilatères qui ont au moins une
paire de côtés parallèles, ...
des
droites
perpendiculaires
forment entre elles un angle de
90 degrés (angle droit);
un
quadrilatère
gonales;
a
deux
dia-
Les propriétés d'un objet mathématique
(figure, relation, transformation,...)
sont des propositions que l'on énonce
à propos de cet objet mathématique, de
ses relations avec d'autres objets ou
de ses caractéristiques;
les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu;
les translations conservent le
parallélisme des droites du plan;
des angles opposés
sont congïTis;
par le sommet
la somme des angles intérieurs
d'un triangle est égale à 180
degrés;
Dans nos programmes d'études,
les
objectifs qui concernent ces aspects
sont les suivants:
Terminal 2.2
RÉSOUDRE des problèmes issus de situations de la vie courante appliquant la
notion d'isométrie.
Terminal 2.3
RÉSOUDRE des problèmes issus de situations de la vie courante appliquant la
notion de similitude.
2.3
Option II
Terminal 3.1
ïlÉSOUDRE des problèmes issus de situations de la vie courante appliquant la
notion d'isométrie
Terminal 3.2
t
ElÉSOUDRE des -problèmes issus de situations de la vie courante appliquant la
notion de similitude.
Nos programmes introduisent en outre
un autre concept relié aux caractéristiques et axix propriétés des objets
mathématiques:
c'est
le
concept
d'invariance.
Vocabulaire
2.1
Au premier cycle
Terminal 5.4
IDENTIFIER les diverses caractéristiques se rapportant aux triangles et
aux quadrilatères.
Un objet mathématique (élément, ensemble, propriété) est dit invariant
ou fixe sous une relation R
si et seulement si
R conserve cet objet.
2.2
Au second cycle
Terminal 2.1
Applications:
RÉSOUDRE des problèmes impliquant des
transformations du plan: translation,
rotation, réflexion ou homothétie
L'élément x est invariant ou fixe sous
la relation R si R(x) = x.
70 - 14
L'ensemble A est invariant
relation R si R(A) = A.
sous
la
La propriété P d'un objet mathématique
X est invariante sous la relation R
(opération, transformation,
si
l'action de la relation R sur l'objet
X conserve la propriété P.
Exemples;
Le centre d'une rotation r
riant par cette rotation.
L'axe d'une réflexion
sous cette réflexion.
subit pas de modification suite suite
à une ou plusieurs transformations
géométriques. Une observation attentive de ceux-ci permet de les classer
selon divers types;
-
les invariants
les invariants
les invariants
les invariants
etc.
de
de
de
de
.
grandeur
propriété
forme
figure
;
•
est inva3.1
s est invariant
Les isométries du plan laissent
distances invariantes.
les
Les isométries du plan laissent
mesures d'angles invariantes.
les
Les invariants de grandeur en
géométrie des transformations
Les isométries (translation, rotation,
réflexion, ...) conservent Les grandeurs des segments et des angles; ces
invariant^ permettent de définir la
congruence des figures.
3.2
Les invariants de propriété en
géométrie des transformations
Remarque;
Lorsque nous considérons les cas d'un
axe de symétrie (Invariant point par
point sous la réflexion) et des traces,
d'une translation (globalémënt invariantes sous la translation), nous
sommes, tentés d'introduire quelques
distinctions entre ces cas.' Mais de
telles distinctions ne sont pas pertitinentes au niveau secondaire, dans le
cadre de l'étude que nous menons.
Il
suffit ici d'indiquer que, dans les
deux cas, les ensembles considérés
sont invariants (ou fixés) sous là
transformation qui leur est appliquée.
Les homothéties et les
isométries
(homothéties de rapport 1) conservent
certaines propriétés telles que l'ordre sur les , droites,, le parallélisme,
la perpendicularité, le rapport de
similitude; ces invariants permettant
de définir la congruence ou la similitude de figures. .
Exemple;
Les isométries
conservent le
parallélisme entre les côtés des
figures du plan;
Les
isométries
conservent
l'ordre sur les droites du plan
3.
Invariants
s
Remarque ;
Guide
Pédagogique,
Secondaire,
MATHÉMATIQUE, Second Cycle
Fascicule B, La GÉOMÉTRIE,
16-3302-02, page 195
Est
dit
invariant,
tout ce
document
qui
ne
Les réflexions inversent l'ordre dans
le plan, mais conservent l'ordre sur
les
droites du plan, i.e. l'ordre
a < b < c, où le point a est entre les
points b et c, n'est pas bouleversé
par une réflexion.
Cependant il faut
70 - 15
faire observer qu'un ordre entre les
points du plan étant une relation
(ensemble de couples), celui-ci n'est
pas invariant sous une
réflexion,
puisque, dans un repère bï-dimensionnel, les éléments des couples seraient
tous inversés.)
3.3
Les invariants de forme en géométrie des transformations
Les isométries, les similitudes et les
composées de celles-ci conservent la
forme des figures du plan.
3.4
Les
invariants de
figure
géométrie des transformations
a)
Les propriétés sont des propositions,
des
énoncés
qui
concernent les objets
géométriques.
Les propriétés sont des "postulat",
des "théorèmes", des "corollaires",
des "conjectures" formulés à ' propois
d'un objet géométrique (figure, relation, transformation,
caractéristique, ... ).
Les propriétés d'un objet géométrique
décrivent ou particularisent un comportement de cet objet ou une relation particulière entre les éléments
de cet objet.
en
b)
Certaines figures du plan sont
transformées en elles-mêmes par
certaines transformations planes.
Ainsi:
un cercle est• invariant sous uii
réflexion dont 1'axe .passe par
son diamètre;
un cercle est invariant sous-un
rotation dont le centre est le
centre du cercle;
un triangle isocèle est invariant
sous une réflexion dont l'axe est
la bissectrice de l'angle compris
entre les côtés congrus;
L'invariance est une propriété
des objets géométriques soumis à
certaines conditions.
Un invariant d'un objet mathématique
est une caractéristique de cet objet
mathématique qui n'a pas changé sous
l'effet d'une action donnée (fonction, transformation, ..,).
Ainsi, selon le contexte de l'étude en
cours, on pourra dire:
Une des propriétés des isométries du
plan est qu'elles conservent les mesures des segments et des surfaces des
figures.
ou
Les longueurs et les aires sont invariantes sous les isométries du plan.
4.
Invariance
et propriétés
objets géométriques
Des éléments qui
retenir ceci:
70 - 16
précèdent, il
des
faut
A N N E X E
c)
PROPRIÉTÉS DES OBJETS GÉOMÉTRIQUES
Invariants de forme
Un triangle est parfaitement déterminé
lorsqu'on connaît:
La liste qui suit n'est évideiranent pas
exhaustive.
Elle n'a pour but que
d'illustrer les différents domaines de
définitions explorés dans le dociunent.
l'un de ses angles et la longueur de chacun des segments qui
forment cet angle (Cas C-A-C);
deux de ses angles et la mesure
du côté commun à ces angles
(Cas A-C-A);
1.
Relation de congruence
La relation de congruence est une
relation
réflexive, symétrique
et
transitive.
C'est donc une relation
d'équivalence.
Cette relation d'équivalence induit
dans l'ensemble des figures du plan
des classes de figures dites «congrues».
2.
Figures congrues
a)
Invariants de grandeur
la longueur de ses
(Cas C-C-C).
3.
Propriétés
congruence
a)
Triangles rectangles
trois côtés
qui découlent
de la
Deux triangles rectangles qui ont un
angle aigu congru et un côté congru
sont congrus.
b)
Triangles isocèles
Dans des triangles isocèles congrus,
Dans des figures congrues, les
gueurs des segments sont égales.
lonles hauteurs sont congrues;
Des figures congrues ont même aire.
les bases sont congrues;
Dans des figures congrues, des angles
correspondants ont même mesure.
les périmètres sont égaux;
les aires sont égales.
b)
Invariants de propriétés
Dans des figures congrues, les rapports des longueurs de côtés correspondants est égal à 1.
Dans des figures congrues, des segments parallèles ont pour correspondants des segments parallèles.
Dans des figures congrues, des segments
perpendiculaires
ont
pour
correspondants des segments perpendiculaires.
c)
Triangles équilatéraux
Deux triangles équilatéraux qui ont un
côté congru sont congrus.
d)
Cercle et cordes
Dans des cercles de même rayon, des
cordes congrues sous-tehdent des arcs
congrus.
70 - 17
4.
b)
Propriétés
des angles
engendrés par des droites parallèles et des sécantes
a)
L'axe
d'une
réflexion
est
médiatrice du segment qui joint
un point d'une figure à son
image par cette réflexion.
Lorsqu'une sécante coupe . des
droites parallèles:
les angles alternes-internes
sont congrus; .
Les réflexions
admettent une
infinité de points fixes: les
points
situés sur
1'axe de
symétrie (qui est ainsi
une
droite fixe).
les angles alternes-externes
sont congrus;
Toutes
les
composées
de
réflexions sont des isométries:
translation,
réflexion
ou
rotation.
les angles correspondants sont
congrus.
b)
c)
5.
Des droites perpendiculaires à
une. , même
_ droite
sont
pàràïlèlés en^re elles.
c)
Des droites parallèles à des
droites parallèles sont ellesmêmes parallèles entre elles.
Les rotations admettent un seul
point
fixe:
le • centre
de
rotation.
(... découlant des définitions
ces transformations).
de
d)
Les homothéties
Toutes les traces • d'une homothétie concpurrent en un point.
Les translations
transforment une
droite du plan en une droite parallèle.
Une homothétie admet un seul
point fixe: le centre de 1'homothétie.
Les traces des translations sont des
droites parallèles.
Les composées de
des translations.
rotations de
rotation de
Toute homothétle transforme une
droite du plan en une droite parallèle.
Les translations
Les translations n'admettent
point fixe.
Les rotations
Toute composée de
centre c. est une
centre c.
Propriétés des transformations
planes
a)
Les réflexions
aucun
Toute composée de deux homothéties de centre p est une homothétie de centre p..
translations sont
6.
Relation de similitude
Le relation ,de similitude est une
relation
réflexive, symétrique, et
70 - 18
transitive.
C'est donc
d'équivalence.
une relation
8.
Propriétés
similitude
Cette relation d'équivalence induit
dans les figures du plan des classes
de figures dites «semblables».
a)
Triangles rectangles
7.
Figures semblables
a)
Invariants de grandeur
Des figures semblables ont des aires
proportionnelles au carré du rapport
de leurs côtés.
Dans
des figures
semblables, des
angles correspondants ont même mesure.
b)
Triangles isocèles
Tous les triangles
semblables.
équilatéraux sont
Tous les triangles rectangles isocèles
sont semblables.
9.
Invariants de propriétés
a)
sous les isométries
Les isométries conservent,
figures du plan:
dans
les
Invariants de propriétés
Dans des
figures
semblables,
le
rapport des longueurs entre les côtés
correspondants est constant.
Dans
des figures
semblables, des
segments parallèles ont pour
correspondants des segments parallèles.
Dans
des figures
semblables, des
segments perpendiculaires
ont pour
correspondants des segments perpendiculaires.
c)
de la
Deux triangles rectangles qui ont un
angle aigu congru sont semblables.
b)
Dans
des figures
semblables, les
longueurs des segments sont proportionnelles.
qui découlent
Invariants de forme
Une classe de triangles semblables est
parfaitement déterminé lorsqu'on connaît:
- l'un de ses angles et le rapport des
longueurs des segments qui forment
cet angle (Cas C-A-C);
le parallélisme des droites
la perpendicularité des droites
la mesure des angles
les dimensions
l'aire
la forme
l'ordre sur les droites
: la convexité
b). . sous les similitudes
Les similitudes conservent,
figures du plan:
dans les
le parallélisme des droites
la perpendicularité des droites
la mesure des angles
les rapports entre les dimensions
la forme
l'ordre sur les droites,
la convexité,
- deux de ses angles (Cas A-A-A);
- le rapport des longueurs
trois côtés (Cas C-C-C)..
de
ses
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