Pourcentages

Pourcentages Première ES / L
1 Pourcentage d’une quantité
Définition :
Soit Q
1
et Q
2
deux quantités de même nature (exprimées dans la même unité).
« Q
2
est égale à t% de Q
1
» signifie que Q
2
=
t
100
×Q
1
, ou encore que t=
Q
2
Q
1
×100.
Remarques : • Dans la phrase « t pour-cent de Q
1
», le mot « pour » se traduit par une division (t divisé par 100)
et le mot « de » par une multiplication (…×Q
1
).
• « t % » tout seul ne signifie rien. Pour qu’un pourcentage ait un sens, il faut un ensemble de référence.
• Pour ne pas se tromper dans les calculs, on peut utiliser un tableau de proportionnalité avec la règle
des « produits en croix ».
Q
2
(quantité partielle)
t
Q
1
(quantité totale) 100
2 Pourcentage d’évolution – Variation en pourcentage
Définition :
Une quantité évolue d’une valeur initiale à une valeur finale.
• Le taux d’évolution de la quantité est égal à
ValeurEfinale−ValeurEinitiale
ValeurEinitiale
.
• Le pourcentage d’évolution de la quantité est égal à
ValeurEfinale−ValeurEinitiale
ValeurEinitiale
×100.
• Le taux d’évolution réciproque est égal à
ValeurEinitiale−ValeurEfinale
ValeurEfinale
.
• Le pourcentage d’évolution réciproque est égal à
ValeurEinitiale−ValeurEfinale
ValeurEfinale
×100.
Propriétés :
• Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1+
t
100
.
• Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1− t
100 .
Justification : t=
V
finale
−V
initiale
V
initiale
×100, donc V
finale
=V
initiale
×
t
100
+V
initiale
=V
initiale
×(1+
t
100
).
Propriété :
Deux évolutions réciproques ont des coefficients multiplicateurs inverses l’un de l’autre.
Théorème : Evolutions successives
Soit t
1
et t
2
deux nombres positifs ou négatifs.
Faire évoluer une quantité de t
1
% puis de t
2
% revient à
multiplier sa valeur initiale par 1+
t
1
100
× 1+
t
2
100
.
Remarques : • On peut généraliser avec k coefficients multiplicateurs CM
1
×CM
2
×CM
3
×…×CM
k
.
• Dans une succession d’évolutions, les taux ne s’ajoutent pas.
3 Indices
L’indice à la date t
k
avec pour base 100 à la date t
0
est I
k/0
=
Q
t
k
Q
t
0
×100,
où Q
t
k
et Q
t
0
sont les quantités aux dates t
k
et t
0
.
date t
0
t
k
quantité Q
t
0
Q
t
k
indice 100 I
k/0
Propriété :
Le taux d’évolution d’une quantité entre deux dates est le taux d’évolution de l’indice quelque soit la base choisie.
V
1
V
2
×CM
×
1
CM
×CM
1
CM=CM
1
×CM
2
V
1
V
2
V
2
×CM
2
V
3