Pourcentages 1 Première ES / L Pourcentage d’une quantité Définition : Soit Q1 et Q2 deux quantités de même nature (exprimées dans la même unité). Q t « Q2 est égale à t% de Q1 » signifie que Q2 = × Q1 , ou encore que t= 2 ×100. 100 Q1 Remarques : • Dans la phrase « t pour-cent de Q1 », le mot « pour » se traduit par une division ( t d iv i sé p ar 1 0 0) et le mot « de » par une multiplication (…× Q1 ). • « t % » tout seul ne signifie rien. Pour qu’un pourcentage ait un sens, il faut un ensemble de référence. • Pour ne pas se tromper dans les calculs, on peut utiliser un tableau de proportionnalité avec la règle des « produits en croix ». Q2 (quantité partielle) t Q1 (quantité totale) 100 2 Pourcentage d’évolution – Variation en pourcentage Définition : Une quantité évolue d’une valeur initiale à une valeur finale. ValeurEfinale−ValeurEinitiale • Le taux d’évolution de la quantité est égal à . ValeurEinitiale ValeurEfinale−ValeurEinitiale • Le pourcentage d’évolution de la quantité est égal à ×100. ValeurEinitiale ValeurEinitiale−ValeurEfinale • Le taux d’évolution réciproque est égal à . ValeurEfinale ValeurEinitiale−ValeurEfinale • Le pourcentage d’évolution réciproque est égal à ×100. ValeurEfinale Propriétés : t . 100 t • Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1− 100 . • Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1+ Justification : t= Vfinale −Vinitiale t t ×100, donc Vfinale = Vinitiale × + Vinitiale =Vinitiale ×( 1+ ). Vinitiale 100 100 ×CM Propriété : Deux évolutions réciproques ont des coefficients multiplicateurs inverses l’un de l’autre. multiplier sa valeur initiale par 1+ V1 V2 V2 × ×CM2 ×CM1 Théorème : Evolutions successives Soit t1 et t2 deux nombres positifs ou négatifs. Faire évoluer une quantité de t1 % puis de t2 % revient à V1 1 CM V3 t1 t × 1+ 2 . 100 100 CM=CM1×CM2 Remarques : • On peut généraliser avec k coefficients multiplicateurs CM1×CM2×CM3×…×CMk . • Dans une succession d’évolutions, les taux ne s’ajoutent pas. 3 Indices L’indice à la date tk avec pour base 100 à la date t0 est Ik/0= Qt ×100, Qt k 0 où Qt et Qt sont les quantités aux dates tk et t0. k 0 date quantité indice t0 Qt 100 0 tk Qt Ik/0 k Propriété : Le taux d’évolution d’une quantité entre deux dates est le taux d’évolution de l’indice quelque soit la base choisie.