Enoncé

2016–2017 MPSI
Devoir Maison No10 à rendre pour le 03-01-2017.
Remarque pour l’élève naïf : Si vous tapez « Dérivation dans un anneau » ou l’intitulé d’une
question de ce problème sur votre ennemi Google, vous tomberez nécessairement sur l’énoncé et son
corrigé. Sachez que le correcteur en a conscience et est capable de déceler n’importe quel élève reco-
piant (ou paraphrasant) une correction trouvée sur le net. Ne jouez pas à cela avec lui !
Remarque pour l’élève studieux : Si vous séchez sur des questions, demandez-moi des indi-
cations par mail.
Problème : Dérivation dans un anneau
Soit (A, +,·)un anneau. On note 1le neutre multiplicatif et 0le neutre additif.
On note 0Al’application nulle de A, c’est-à-dire l’application qui à tous éléments de Aassocie 0.
Une application δ:A→Aest appelée une dérivation si
∀a, b ∈A, δ(a+b) = δ(a) + δ(b),(H1)
et si
∀a, b ∈A, δ(ab) = δ(a)b+aδ(b).(H2)
Partie No1
Soit δune dérivation.
1. Montrer que δ(0) = δ(1) = 0.
2. Montrer que pour tout a∈A,δ(−a) = −δ(a).
3. Montrer que
∀a∈A, ∀n∈N, δ(na) = nδ(a).
4. Montrer que si a∈A?alors δ(a−1) = −a−1δ(a)a−1.
5. Posons Dδ={a∈A / δ(a)=0}.
(a) Montrer que Dδest un sous-anneau de (A, +,·).
(b) Montrer que si (A, +,·)est un corps alors Dδest un sous-corps de (A, +,·).
6. Soient n>2et a1,· · · , an∈A. Calculer δ(a1· · · an)en fonction des δ(ak)et des akpour
16k6n.
7. En déduire, pour n>2et a∈A,δ(an)en fonction de n,aet δ(a).
Que devient cette formule si Aest commutatif ?
8. On pose δ0= IdAet δ1=δet, pour n>1,δn=δ◦δn−1.
Montrer que
∀n∈N,∀a, b ∈A, δn(ab) =
n
X
k=0 n
kδk(a)δn−k(b).
Partie No2
Dans cette partie, δ1,δ2et δ3désignent des dérivations quelconques de A.
1. δ1+δ2et δ1◦δ2sont-elles des dérivations de A?
1

2. On note [δ1, δ2] = δ1◦δ2−δ2◦δ1.
Montrer que [δ1, δ2]est une dérivation de A.
3. Montrer que
[δ1,[δ2, δ3]] + [δ2,[δ3, δ1]] + [δ3,[δ1, δ2]] = 0A
Partie No3
Pour tout a∈A, on définit
da:A→A
x7→ ax −xa
1. Montrer que daest une dérivation de A.
2. Montrer que
∀n∈N,∀a, x ∈A, dn
a(x) =
n
X
k=0
(−1)kn
kan−kxak.
3. En déduire que si aest nilpotent alors il existe un entier mtel que dm
a= 0A.
4. Montrer que, pour tout dérivation δde A,
[δ, da] = dδ(a).
5. Soient a, b ∈A. On pose [a, b] = ab −ba. Montrer que
[da, db] = d[a,b].
* * * FIN DU SUJET * * *
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