Enoncé

2016–2017
MPSI
Devoir Maison No 10 à rendre pour le 03-01-2017.
Remarque pour l’élève naïf : Si vous tapez « Dérivation dans un anneau » ou l’intitulé d’une
question de ce problème sur votre ennemi Google, vous tomberez nécessairement sur l’énoncé et son
corrigé. Sachez que le correcteur en a conscience et est capable de déceler n’importe quel élève recopiant (ou paraphrasant) une correction trouvée sur le net. Ne jouez pas à cela avec lui !
Remarque pour l’élève studieux : Si vous séchez sur des questions, demandez-moi des indications par mail.
Problème : Dérivation dans un anneau
Soit (A, +, ·) un anneau. On note 1 le neutre multiplicatif et 0 le neutre additif.
On note 0A l’application nulle de A, c’est-à-dire l’application qui à tous éléments de A associe 0.
Une application δ : A → A est appelée une dérivation si
∀a, b ∈ A, δ(a + b) = δ(a) + δ(b),
(H1 )
∀a, b ∈ A, δ(ab) = δ(a)b + aδ(b).
(H2 )
et si
Partie No 1
Soit δ une dérivation.
1. Montrer que δ(0) = δ(1) = 0.
2. Montrer que pour tout a ∈ A, δ(−a) = −δ(a).
3. Montrer que
∀a ∈ A, ∀n ∈ N, δ(na) = nδ(a).
4. Montrer que si a ∈ A? alors δ(a−1 ) = −a−1 δ(a)a−1 .
5. Posons Dδ = {a ∈ A / δ(a) = 0}.
(a) Montrer que Dδ est un sous-anneau de (A, +, ·).
(b) Montrer que si (A, +, ·) est un corps alors Dδ est un sous-corps de (A, +, ·).
6. Soient n > 2 et a1 , · · · , an ∈ A. Calculer δ(a1 · · · an ) en fonction des δ(ak ) et des ak pour
1 6 k 6 n.
7. En déduire, pour n > 2 et a ∈ A, δ(an ) en fonction de n, a et δ(a).
Que devient cette formule si A est commutatif ?
8. On pose δ 0 = IdA et δ 1 = δ et, pour n > 1, δ n = δ ◦ δ n−1 .
Montrer que
n X
n k
n
∀n ∈ N, ∀a, b ∈ A, δ (ab) =
δ (a)δ n−k (b).
k
k=0
Partie No 2
Dans cette partie, δ1 , δ2 et δ3 désignent des dérivations quelconques de A.
1. δ1 + δ2 et δ1 ◦ δ2 sont-elles des dérivations de A ?
1
2. On note [δ1 , δ2 ] = δ1 ◦ δ2 − δ2 ◦ δ1 .
Montrer que [δ1 , δ2 ] est une dérivation de A.
3. Montrer que
[δ1 , [δ2 , δ3 ]] + [δ2 , [δ3 , δ1 ]] + [δ3 , [δ1 , δ2 ]] = 0A
Partie No 3
Pour tout a ∈ A, on définit
da : A → A
x 7→ ax − xa
1. Montrer que da est une dérivation de A.
2. Montrer que
∀n ∈ N, ∀a, x ∈ A,
dna (x)
=
n
X
k=0
n n−k k
a
xa .
(−1)
k
k
3. En déduire que si a est nilpotent alors il existe un entier m tel que dm
a = 0A .
4. Montrer que, pour tout dérivation δ de A,
[δ, da ] = dδ(a) .
5. Soient a, b ∈ A. On pose [a, b] = ab − ba. Montrer que
[da , db ] = d[a,b] .
* * * FIN DU SUJET * * *
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