XA XB XC XB XC XA XC XA XB

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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 9
EXGSP090 – EXGSP099
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Jacques Collot
Août 05

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EXGSP090 – Liège, juillet 2005
Soit ABC un triangle isocèle
CA CB
. On note H le pied de la hauteur
issue de A, M le milieu de [ A,B ] et N le pied de la bissectrice intérieure issue
de B. On suppose que les droites AH, CM et BN sont sécantes en un point D.
Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
C
A B
D
H
N
11
1
2
M
Le triangle est isocèle par hypothèse, donc qui est une médiane est aussi une
bissectrice de et une hauteur issue de .
Regardons alors les triangles rectangles et .
est situé sur la bi
ACB CM
CC
ADM CDH
D
11
ssectrice issue de , donc
De plus, = puisque que ce sont deux angles à côtés perpendiculaires
Par conséquent, les triangles et sont égaux et 1
Regardons maintenant les triangles
B DH DM
AC
ADM CDH AM CH
12
rectangles et .
Ils sont aussi égaux puisque et que est une hypotènuse commune.
Par conséquent, 2
En faisant, 1 2 , on obtient et en conclusion le triangle
est équilatéral.
BMD BHD
B B DB
BM BH
AB CB ABC
Le 5 août 2005

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EXGSP091 – Liège, juillet 2005
Soit ABC un triangle
a) Montrer qu’un point satisfait
. . .XA XB XC XB XC XA XC XA XB    
Si et seulement si X est l’orthocentre de ABC
b) Montrer que si les trois membres sont égaux à zéro, alors ABC est
rectangle.
C
C’
B’
A’
A
B
X

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??
?
a) Considérons que est l'orthocentre. Regardons si la relation est vérifiée
. . . . . .
..
X
XA XB XC XB XC XA XA XC XB XC XB XA XC XA
XB XC XB XA 1
Or ' est la projection orthogonale de et sur
. . ' et . . ' Ce qui vérifie la relation 1
On recommence mutatis mutandis pour les autres relati
B A C XB
XB XC XB XB XB XA XB XB  
ons.
Supposons maintenant que la relation est vérifiée et démontrons que est l'orthocentre.
. . . . . 0
.0
X
XA XB XC XB XC XA XB XC XB XA XB XC XA
XBCA Autrement dit est la hauteur issue de
On recommence mutatis mutandis pour les autres relations et on déduit que est
l'orthocentre de
b) On a donc : . 0 . .
XB B
X
ABC
XA XB XC XA XC XB    0
Or . . . .
En remplaçant, on a 2 . 0 .
Les hauteurs issues de et de étant perpendiculaires, le triangle est
r
XC
XB XC XA XC XA XB XC XA XC XB
XB XC XB XC
B C ABC
ectangle en .
Ou bien on pouvait en déduire que 2 . 0 , et le triangle est
alors rectangle en .
De même, on peut démontrer que le triangle peut être rectangle en
A
XA XC XA XC
B
C
Le 5 août 2005

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EXGSP092 – Compléments
Soit ABC un triangle quelconque. On pose a = BC , b = CA, c = CA. Soit r le
rayon du cercle inscrit au triangle ABC.
Démontrer que l’aire du triangle ABC est donnée par
. où 2
abc
A pr p 
Note : Ce théorème est utilisé à l’exercice EXGSE065
C A
B
rI
r
r
Le centre du cercle inscrit est définit par le point de rencontre des bissectrices
intérieures du triangle. De par la propriété des bissectrices, est équidistant des
côtés du triangle d'une distance
I
I
, rayon du cercle inscrit.
L'aire du triangle est la somme des aires de trois triangles :
. . . .
2 2 2 2
ABC AIB BIC CIA
r
ABC
c r a r b r a b c
A A A A r r p
Le 15 août 2005