Mécanique du solide

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  Fiche jamais corrig´
ee...  
Torseur cin´ ematique
•Torseur cin´ ematique Soit Σun solide (de rep`ere d’origine O′∈Σ) et Aun point quelconque de ce solide, alors −→ vA/Σ=−→ 0. Par
la loi de composition des vitesses, −→ vA/R=−→ 0 + −→ ve=−→ v e. Or −→ v=−→ ve=−→ vO′/R+−→ ΩΣ/R∧−−→ O′A, avec −→ ΩΣ/Rvecteur instantan´ e
de rotation du rep` ere d´ efini par Σpar rapport ` aRest ´egalement appel´e vecteur instantan´ e de rotation du solide Σpar rapport ` aR.
Ainsi on a −→ vA/R=−→ vO′/R+−→ ΩΣ/R∧−−→ O′A, qui est la relation fondamentale des torseurs. On d´efinit le torseur cin´ ematique du solide
Σ, not´e [V(Σ)], de r´esultante −→ ΩΣ/Ret de moment en A−→ vA/R:[V(Σ)]A= [−→ ΩΣ/R,−→ vA/R]
NB : 1. Ici, Adoit ˆetre un point du solide pour que −→ vA/Rsoit d´efinie, mais on peut toujours consid´erer que l’on ´etend fictivement Σ
dans toutes les directions `a tous les points fixes du rep`ere qui lui est associ´e. En g´en´eral, on ne consid´erera dans le calcul du torseur
cin´ematique que des points appartenant effectivement au solide (sauf exception notable pour Gsi le centre d’inertie n’est pas un point
du syst`eme).
2. La relation fondamentale des torseurs permet bien de d´efinir un unique torseur, comme c’est fait ci-dessus avec le torseur cin´ematique.
En effet, on montre qu’un champ −→ Lest antisym´etrique (´equivaut `a : −→ Lest un torseur) si et seulement s’il existe un point Aet un vecteur
−→
Rtels que −→ L(P) = −→ L(A) + −→ R∧−−→ AB pour tout P.
3. Si Sest un syst`eme d´eformable, on montre que son champ des vitesses n’est pas un torseur! De mˆeme, la notion de torseur
cin´ematique ne peut s’´etendre `a un syst`eme constitu´e d’un ensemble de solides (cf. cin´ematique des contacts et des liaisons entre
solides).
•´ Equiprojectivit´ e du champ des vitesses d’un solide L’´equiprojectivit´e des vitesses du solide, qui est une propri´et´e fondamentale
des torseurs, peut aussi ˆetre simplement vue comme la cons´equence de la propri´et´e fondamentale des solides : pour tout (A, B)de Σ,
dAB2
dt= 0, soit 2−−→
AB. d−−→
AB
dt=−→
0, d’o`u −→ vB/R.−−→ AB −−→ vA/R.−−→ AB =−→ 0.
Le fait qu’on d´emontre le caract`ere ´equiprojectif du champ des vitesses ind´ependamment permet aussi de partir de ce fait pour d´efinir le
torseur cin´ematique. En effet, on sait que les champs ´equiprojectifs co¨ıncident avec les champs antisym´etriques, et un torseur est d´efini
comme un tel champ.
•Axe instantan´ e de rotation, cas particulier o`u la vitesse s’annule en un point Supposons qu’`a l’instant t, il existe un point Idu
solide de vitesse nulle : −→ vI(t) = −→ 0. Alors tous les points de la droite (I, −→ Ω ) ont une vitesse nulle en vertu de la relation fondamentale
du torseur cin´ematique : J∈(I, −→ Ω ) ⇒−→ vJ(t) = −→ vI(t) + −→ Ω∧−→ IJ =−→ 0.
La droite (I, −→ Ω ) o`u −→ vI(t) = −→ 0`a l’instant test appel´ee axe instantan´ e de rotation de Σ`a l’instant t.
•Rotation autour d’un axe fixe Si −→ Ωn’est pas nul mais garde une direction fixe, et s’il existe un point Odu solide qui est fixe, alors
pour tout point Ade Σ,−→ vA=−→ Ω∧−→ OA : on reconnaˆıt une rotation autour d’un axe fixe. Cet axe est l’axe instantan´e de rotation, il est
´egal `a (O, −→ Ω ).
•Mouvement plan sur plan. Centre instantan´ e de rotation On parle de mouvement plan dans le plan Πlorsque les vitesses de tous
les points du solide sont coplanaires en permanence, incluses dans un plan Π. Dans ce cas, la la relation fondamentale de la cin´ematique
(ou : du torseur cin´ematique) −→ vA=−→ vB+−→ Ω∧−−→ BA impose que −→ Ωest perpendiculaire `a Π.
Si l’axe instantan´e de rotation existe, son intersection avec Πest appel´ee centre instantan´ e de rotation (CIR). La vitesse de ce centre est
nulle puisque `a la fois contenue dans Π(mouvement plan sur plan) et colin´eaire `a −→ Ω(puisque Iest sur l’axe de rotation).
L’ensemble des positions successives du CIR est une courbe dans Rappel´ee base du mouvement. L’ensemble des points de Σjouant
successivement le rˆole de CIR est une courbe dans Rappel´ee roulante du mouvement.
NB : Dans un mouvement plan sur plan avec roulement sans glissement, le point de contact Ia une vitesse nulle : −→ vI/R=−→ 0, c’est
donc [????] le CIR.
•Lien entre le vecteur rotation et l’´ evolution des vecteurs du rep` ere de ΣSoit (−→ e1,−→ e2,−→ e3)la base de Σconsid´er´ee. En utilisant
la formule de d´erivation d’un vecteur entre deux rep`eres, on obtient : d−→
ei
dtR
=−→ Ω∧−→ ei,i= 1,2,3
En sommant les trois vecteurs d´eriv´es obtenus, on obtient l’expression de −→ Ωsuivante :
−→
Ω = 1
2−→
e1∧d−→
e1
dtR
+−→ e2∧d−→
e2
dtR
+−→ e3∧d−→
e3
dtR
Ici, les vecteurs −→
eid´ependent du temps quand ils sont exprim´es par rapport `a R.
•Champ des acc´ el´ erations d’un solide : ce n’est pas un torseur En d´erivant la relation fondamentale de la cin´ematique, on montre
que le champ des acc´el´erations d’un solide n’est pas un torseur (il ne v´erifie pas la relation des torseurs).

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•Champ des d´ eplacements d’un solide : ce n’est pas un torseur en g´ en´ eral Le vecteur d´eplacement entre deux instants d’un point
Pdu solide Σpar rapport `a un rep`ere Rforme un champ de vecteurs qui n’est pas un torseur en g´en´eral. Cependant, pour des petits
d´ eplacements, le champ de d´eplacements d’un solide est un torseur.
•Invariants scalaire et vectoriel du torseur cin´ ematique La th´eorie des torseurs nous apprend que l’on peut attacher `a tout torseur
deux invariants :
– l’invariant scalaire :J=−→ Ω.−→ vP/Ro`u Pest un point quelconque du solide.
– L’invariant vectoriel :−→ I=J
k−→ Ωk2
−→
Ω
•Axe instantan´ e h´ elico¨ıdal
1ercas : aucun des ´el´ements du torseur n’est nul. L’axe instantan´ e h´ elico¨ ıdal est alors l’axe central du torseur cin´ematique, i.e. l’en-
semble des points dont le vecteur vitesse est colin´eaire au vecteur rotation. On montre qu’il s’agit d’une droite dirig´ee par −→ Ω.
2`emecas : −→ Ω = −→ 0et/ou −→ v P/R=−→ 0(Ppoint du solide). a. Si le torseur est le torseur nul, tous les points sont sur un axe instantan´e. b.
Si pour un point P, alors l’axe instantan´e est la droite (P, −→ Ω ). On retrouve le cas particulier ´evoqu´e plus haut. c. Si −→ Ω = −→ 0, il n’y a pas
d’axe instantan´e (translation).
•Mouvement ` a invariant scalaire nul : translation ou rotation Soit Pun point du solide Σ,J=−→ Ω.−→ vP/Rl’invariant scalaire de
son torseur cin´ematique. On distingue 4 cas si J= 0 :
1ercas : −→ Ω = −→ 0et −→ vP/R=−→ 0(le torseur cin´ematique est le torseur nul). Le syst`eme est en ´equilibre.
2`emecas : −→ Ω6=−→ 0et −→ vP/R=−→ 0(le torseur cin´ematique est un glisseur). Le syst`eme est en rotation autour de l’axe (P, −→ Ω ).
3`emecas : −→ Ωet −→ vP/Rsont nuls mais orthogonaux (le torseur cin´ematique est glisseur). Le syst`eme est en rotation autour de l’axe
(Q, −→ Ω ) o`u Qest tel que −−→ P Q =
−→
Ω∧−→ vP/R
k−→ Ωk2.
4`
emecas : −→
Ω = −→ 0et −→ vP/R6=−→ 0(le torseur cin´ematique est un couple). Le syst`eme est en translation de vitesse −→ vP/R.
NB : 1. Σest en translation si et seulement si −→ Ω = −→ 0`a chaque instant (i.e. ssi le torseur cin´ematique est un couple `a chaque instant).
2. Σest en rotation autour d’un axe fixe (O, z)si et seulement si le torseur cin´ematique est un glisseur d’axe (O, z)`a chaque instant.
•Mouvement ` a invariant scalaire non nul : mouvement h´ elico¨ıdal Si J6= 0, alors pour tout point Mde Σ, sa vitesse se d´ecompose
en une composante parall` ele ` a−→ Ω: c’est l’invariant vectoriel −→ Idu torseur cin´ematique, et une composante orthogonale. −→ Iest appel´e
pour cette raison vitesse de glissement (`a l’instant t).
Le torseur cin´ematique se d´ecompose en somme de deux torseurs d’invariant scalaire nul dont l’un repr´esente un mouvement de rotation
(c’est un glisseur) et l’autre un mouvement de translation (c’est un couple).
Le champ des vitesses d’un solide est ainsi la superposition d’un champ de translation et d’un champ de rotation de mˆeme axe. On parle
du mouvement h´ elico¨ ıdal d’axe (Q, −→ Ω ) o`u Qest d´efini par la formule −−→ P Q =
−→
Ω∧−→ vP/R
k−→ Ωk2(avec Ppoint quelconque du solide).
NB : Σest en mouvement h´elico¨ıdal non d´eg´en´er´e d’axe fixe (O, z)si et seulement si `a tout instant, le torseur cin´ematique a pour axe
(O, z)et si −→ I(t) = k−→ Ω (t)avec kconstante non nulle.
•Vitesse dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe Si Σa un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (O, −→ uz)a la vitesse
angulaire ˙ θ, alors quel que soit Pde Σ, on a −→ vP=−→ Ω∧−−→ OP =˙ θ−→ uz∧−−→ OP (−→ Ω = ˙ θ−→ uz).
Centre et moments d’inertie
•Centre d’inertie Pour un syst`eme discret rigide ou non : m−−→ OG(t) = X
i
mi
−−→
OP i(t).
Pour un syst`eme continu rigide ou non : m−−→ OG(t) = ZM∈Σ
−−→
OM dm=ZM∈Σ
−−→
OM (t)ρ(M, t) dV
•Moment d’inertie par rapport ` a un point Pour un point mat´eriel P, le moment d’inertie par rapport ` a un point Aquelconque vaut
IA=mr2o`u r=AP .
Pour un syst`eme de points mat´eriels rigide ou non, le moment d’inertie par rapport au point Aquelconque vaut IA=X
i
mir2
i.
Pour un syst`eme continu rigide ou non, le moment d’inertie par rapport au point Aquelconque vaut IA=ZΣ r2dm=ZΣ r2ρ(M) dV

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•Moment d’inertie par rapport ` a un axe Pour un point mat´eriel P, le moment d’inertie par rapport ` a un axe ∆vaut I∆=md2o`u
d= d(P, ∆). Si ∆ = (A, −→ u), alors d2=k−→ u∧−→ AP k2, d’o`u I∆=mk−→ u∧−→ AP k2.
Pour un syst`eme de points mat´eriels rigide ou non, le moment d’inertie par rapport `a l’axe ∆vaut I∆=X
i
mid2
i=X
i
mik−→ u∧−−→ APik2.
Pour un syst`eme continu rigide ou non, le moment d’inertie par rapport `a l’axe ∆vaut
I∆=ZM∈Σ d2dm=ZM∈Σ d2ρ(M) dVavec d= d(M, ∆) On peut aussi l’exprimer comme dans le cas discret en utilisant
d2= d(M, ∆) = k−→ u∧−−→ AMk2:I∆=ZM∈Σ k−→ u∧−−→ AMk2dm.
•Moment d’inertie par rapport ` a un plan Pour un point mat´eriel P, le moment d’inertie par rapport ` a un plan πvaut Iπ=md2
o`u d= d(P, π). Si πest d´efini par un point Aet un vecteur normal vn, alors d2= (−→ AP .−→ n)2, d’o`u Iπ=m(−→ AP .−→ n)2.
Pour un syst`eme de points mat´eriels rigide ou non, le moment d’inertie par rapport au plan πvaut Iπ=X
i
mid2
i=X
i
mi(−−→ APi.−→ n)2.
Pour un syst`eme continu rigide ou non, le moment d’inertie par rapport `a πvaut
Iπ=ZM∈Σ d2dm=ZM∈Σ d2ρ(M) dVavec d= d(M, π)On peut aussi l’exprimer comme dans le cas discret en utilisant
d2= d(M, π) = (−−→ AM.−→ n)2:Iπ=ZM∈Σ (−−→ AM.−→ n)2dm.
•Th´ eor` eme d’Huyghens Soit ∆un axe quelconque et ∆Gla droite parall`ele `a ∆passant par G. Alors quel que soit le syst`eme
mat´eriel (point, syst`eme de points, syst`eme continu), on a I∆=I∆G+ma2(avec a= d(∆,∆G))
NB : 1. (Moyen mn´emotechnique pour retenir la formule) Pour deux axes parall`eles, le plus faible moment d’inertie est obtenu pour l’axe
qui est le plus proche de G. En particulier, le plus faible moment d’inertie pour l’ensemble de tous les axes parall`eles d’une direction
donn´ee est obtenu pour l’axe passant par G.
2. Le th´eor`eme d’Huyghens est un cas particulier du th´eor`eme de Koenig pour l’op´erateur d’inertie (voir ci-dessous).
•Matrice d’inertie On consid`ere un syst`eme Σ,rigide ou non. Soit ∆ = (A, −→ u)un axe (Apoint quelconque). On a :
I∆=t [−→ u][IA][−→ u]o`u [IA]est la matrice d’inertie de Σau point A. Celle-ci est sym´etrique, donc est diagonalisable dans une base
orthonorm´ee dans une base dite base principale d’inertie. Un rep`ere construit `a partir de cette base principale d’inertie est un rep` ere
principal d’inertie. Un axe port´e par un vecteur propre est un axe principal d’inertie. Une valeur propre est appel´ee un moment principal
d’inertie.
•´ El´ ements principaux d’inertie On consid`ere un syst`eme Σ,rigide ou non.
– Si deux moments principaux d’inertie sont ´egaux, la matrice est dite de r´ evolution : tout axe issu de Aet contenu dans le plan des deux
axes principaux d’inertie des moments d’inertie ´egaux est encore un axe principal d’inertie et les moments d’inertie par rapport `a tous
ces axes sont ´egaux.
– Si tous les moments principaux d’inertie sont ´egaux, la matrice est dite sph´ erique : tout axe issu de Aest axe principal d’inertie et les
moments d’inertie par rapport `a tous ces axes sont ´egaux.
D´emonstration : Deux valeurs propres ´egales entraˆıne que le sous-espace propre associ´e est au moins de dimension 2 : toute combinaison lin´eaire des vecteurs de base
de ce sous-espace est aussi vecteur propre associ´e `a la mˆeme valeur propre. Mˆeme raisonnement pour trois valeurs propres.
•Op´ erateur d’inertie On consid`ere un syst`eme Σ,rigide ou non. Soit Aun point quelconque, on appelle op´ erateur d’inertie du
syst` eme en Al’application lin´eaire JAde l’espace qui `a −→ uassocie JA(−→ u) = ZM∈Σ
−−→
AM ∧(−→ u∧AM ) dm. On montre (apr`es beaucoup
de calculs) que la matrice de JAest exactement la matrice d’inertie du syst`eme en A.
Dans le cas g´en´eral des syst`emes quelconques (au sens : d´eformables), l’op´erateur d’inertie n’est pas d’une ´etude ais´ee. Par contre pour
un solide, les choses se simplifient grandement.

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•Op´ erateur d’inertie pour un solide (ind´ eformable) Dans le cas d’un solide (ind´eformable), la matrice d’inertie est relativement
facile `a calculer de fac¸on explicite. Les calculs sont valables `a tout instant puisque les ´el´ements d’inertie sont invariants au cours du
temps (en particulier, ils ne d´ependent pas du mouvement du solide, ce qui n’est pas vrai a priori pour un syst`eme d´eformable...).
Soit Aun point de Σ:
[JA] = 
Z(y−yA)2+ (z−zA)2dm−Z(x−xA)(y−yA) dm−Z(x−xA)(z−zA) dm
−Z(x−xA)(y−yA) dmZ(x−xA)2+ (z−zA)2dm−Z(y−yA)(z−zA) dm
−Z(x−xA)(z−zA) dm−Z(y−yA)(z−zA) dmZ(x−xA)2+ (y−yA)2dm
NB : Toutes les int´egrales sont calcul´ees sur le syst`eme.
Si l’on prend l’origine du rep`ere li´e `a Σen A, on obtient :
[JA] = 
Zy2+z2dm−Zxy dm−Zxz dm
−Zxy dmZx2+z2dm−Zyz dm
−Zxz dm−Zyz dmZx2+y2dm
[JA]est not´ee symboliquement : 
A−F−E
−F B −D
−E−D C 
•Th´ eor` eme de Koenigs pour l’op´ erateur d’inertie L’op´erateur d’inertie pour un solide en un point Aest ´egal `a la somme de
l’op´erateur d’inertie en Adu centre d’inertie Gaffect´e de la masse totale et de l’op´erateur d’inertie en Gdu solide.
Avec des notations ´evidentes, on peut r´esumer le th´eor`eme par l’´egalit´e : JA(Σ) = JA({G, M}) + JG(Σ).
•Calcul des ´ el´ ements d’inertie : utilisation d’´ el´ ements g´ eom´ etriques orthogonaux On consid`ere un point Aquelconque, et des
´el´ements g´eom´etriques (axes, plans) qui seront toujours suppos´es orthogonaux entre eux : (Axyz)d´esigne un rep`ere orthogonal li´e au
solide.
– La somme des moments d’inertie par rapport `a trois axes issus d’un point Aest le double du moment d’inertie par rapport `a ce point :
IAx +IAy +IAz = 2IA.
– La somme des moments d’inertie par rapport `a deux plans est ´egale au moment d’inertie par rapport `a leur intersection : IAxz +IAyz =
IAz.
– La somme des moments d’inertie par rapport `a deux axes issus d’un point Aest ´egal au moment d’inertie par rapport au point A:
IAx +IAy =IA.
•Calcul des ´ el´ ements d’inertie : utilisation des sym´ etrie du syst` eme Si Σposs`ede un plan de sym´etrie, les produits d’inertie com-
portant une normale `a ce plan sont nuls. Par exemple, si le plan (Axy)est un plan de sym´etrie de Σ, la matrice d’inertie est de la forme :
[JA] = 
A−F0
−F B 0
0 0 C
.
Si Σposs`ede deux plans de sym´etrie, tous les produits d’inertie sont nuls. La matrice d’inertie est de la forme : [JA] = 
A0 0
0B0
0 0 C
.
Si Σposs`ede un axe de r´evolution, tous les produits d’inertie sont nuls (car Σadmet alors au moins deux plans de sym´etrie), et deux des
moments d’inertie sont ´egaux. Par exemple, si le syst`eme est de r´evolution autour de l’axe (Az), la matrice d’inertie est de la forme :
[JA] = 
A0 0
0A0
0 0 C
.
Si Σest un solide d’´epaisseur n´egligeable contenu dans un plan, tous les produits d’inertie comportant une normale `a ce plan sont nuls,
et le moment d’inertie par rapport `a l’axe normal au plan du solide est la somme des deux autres moments d’inertie. Par exemple, si le
syst`eme est plan et contenu dans (Axy), la matrice d’inertie est de la forme : [JA] = 
A−F0
−F B 0
0 0 A+B
.
•´ El´ ements principaux d’inertie et sym´ etries Si Σadmet un plan de sym´etrie, alors c’est un plan principal d’inertie de Σen chacun
de ses points. Si Σadmet une droite de sym´etrie, alors c’est une droite principale d’inertie en chacun de ses points.

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Torseur cin´ etique
•Quantit´ e de mouvement et moment cin´ etique en un point On consid`ere successivement un syst`eme Scompos´e d’un point
mat´eriel, d’un ensemble de points mat´eriels (rigide ou non) et d’un syst`eme continu (rigide ou non) dans un rep`ere R. Soit Aun
point quelconque de R. On d´efinit la quantit´ e de mouvement du syst` eme Spar rapport ` aR, not´ee −→ p, et le moment cin´ etique du syst` eme
Spar rapport ` aRau point A, not´e −→ LApar (on notera −→ p(M)ou −→ LA(M)si n´ecessaire...) :
–−→ p=m−→ vM/Ret −→ LA=−−→ AM ∧m−→ vM/Rsi Sest compos´e d’un unique point mat´eriel de masse m;
–−→ p=X
i
mi−→ vMi/R=X
i
−→
p(Mi)et −→ LA=X
i
−−→
AMi∧mi−→ vMi/R=X
i
−→
LA(Mi)si S= (Mi, mi)i=1,..,n est un syst`eme de
points mat´eriels de centre de masse Get masse totale m;
–−→ p=ZM∈V(t)
−→
vM/Rdmet −→ LA=ZM∈V(t)
−−→
AM ∧−→ vM/Rdmsi Sest un syst`eme continu (rigide ou non) de centre de masse G,
masse totale m, fonction de r´epartition de masse ρ(= masse volumique) et qui occupe `a l’instant tle volume V(t).
NB : On montre que dans le cas o`u Sest un syst`eme discret (calcul simple) ou continu (calcul compliqu´e dans le cas g´en´eral o`u Speut
ˆetre d´eformable), on a −→ p=m−→ vG/R
•Torseur cin´ etique Le champ des moments cin´etiques du syst`eme Spar rapport `a Rest un torseur appel´e torseur cin´ etique de
Spar rapport ` aRet not´e [L(Σ)]. Sa r´esultante est la quantit´e de mouvement du syst`eme Spar rapport `a R. On a la formule
−→
LB=−→ LA+−→ p∧−−→ AB
D´emonstration : Simple calcul en d´ecomposant −−→ AM =
−→
AB +
−−→
BM .
NB : 1. Le torseur cin´etique est le torseur associ´e au syst`eme de vecteurs li´es (M, m−→ vM/R) lorsque Mparcourt S.
2. Le calcul des ´el´ements de r´eduction du torseur cin´etique est difficile dans le cas g´en´eral o`u le syst`eme Sest d´eformable. Il requiert en
g´en´eral des ´el´ements de m´ecanique des milieux continus.
•Torseur cin´ etique : cas du solide Dans le cas o`u le syst`eme ´etudi´e est un solide Σ, on montre tout d’abord beaucoup plus facilement
la formule −→ p=m−→ vG/R, soit directement en intervertissant d´erivation et signe somme (du fait que le volume occup´e par Σ, not´e encore
Σ, ne varie pas au cours du temps), soit en utilisant le fait que le champ des vitesses du solide est un torseur.
NB : On montre que le torseur cin´etique d’un syst`eme de solides est ´egal `a la somme des torseurs cin´etiques de chaque solide.
•Expression du torseur cin´ etique d’un solide en l’un de ses points quelconques (´ eventuellement mobile) Soit Aun point de Σ.
On note −→ Ωle vecteur rotation de Σpar rapport `a Ret JAle moment d’inertie de Σen A.
Cas o`u −→ vA/Rquelconque (point mobile) : les ´el´ements de r´eduction du torseur cin´etique en Asont alors sa r´esultante −→ p=m−→ vG/Ret
son moment −→ LA=−→ AG ∧m−→ vA/R+JA
−→
Ω.
Cas o`u −→ vA/R=−→ 0(point fixe) : le moment du torseur devient dans ce cas (la r´esultante ne change pas) : −→ LA=JA
−→
Ω
NB : Dans le cas o`u Aest le point G, on a −→ LG=JG
−→
Ω(car A=Gdans la premi`ere formule) alors que Gpeut tr`es bien avoir un
mouvement dans Ret une vitesse −→ vG/Rnon nulle.
Torseur dynamique
NB : La structure de ce paragraphe est calqu´ee sur le paragraphe pr´ec´edent...
•Quantit´ e d’acc´ el´ eration et moment dynamique en un point On consid`ere successivement un syst`eme Scompos´e d’un point
mat´eriel, d’un ensemble de points mat´eriels (rigide ou non) et d’un syst`eme continu (rigide ou non) dans un rep`ere R. Soit Aun
point quelconque de R. On d´efinit la quantit´ e d’acc´ el´ eration du syst` eme Spar rapport ` aR, not´ee −→ D, et le moment dynamique du
syst` eme Spar rapport ` aRau point A, not´e −→ ∆Apar (on notera −→ D(M)ou −→ ∆A(M)si n´ecessaire...) :
–−→ D=m−→ aM/Ret −→ ∆A=−−→ AM ∧m−→ aM/Rsi Sest compos´e d’un unique point mat´eriel de masse m;
–−→ D=X
i
mi−→ aMi/R=X
i
−→
D(Mi)et −→ ∆A=X
i
−−→
AMi∧mi−→ aMi/R=X
i
−→
∆A(Mi)si S= (Mi, mi)i=1,..,n est un syst`eme de
points mat´eriels de centre de masse Get masse totale m;
–−→ D=ZM∈V(t)
−→
aM/Rdmet −→ ∆A=ZM∈V(t)
−−→
AM ∧−→ aM/Rdmsi Sest un syst`eme continu (rigide ou non) de centre de masse G,
masse totale m, fonction de r´epartition de masse ρ(= masse volumique) et qui occupe `a l’instant tle volume V(t).
NB : On montre que dans le cas o`u Sest un syst`eme discret (calcul simple) ou continu (calcul compliqu´e dans le cas g´en´eral o`u Speut
ˆetre d´eformable), on a −→ D=m−→ aG/R