Chapitre III : Cinématique

Chapitre III : Cinématique - Changement de repère
Composition du mouvement
Pr. Fatima BOUYAHIA
1ère Année
Cycle Préparatoire
III.1 Introduction
III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R’
III.2.1 Position du problème
III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation
III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesses
III.4 Loi de composition des vecteurs-accélérations
III.5 A retenir
Mécanique du point matériel
Chapitre 3 : Changement de repère
III.1 Introduction
Nous nous proposons d’établir le lien entre les mouvements
d’un même point matériel dans deux repères distincts R et
R’, eux même en mouvement relatif l’un par rapport à
l’autre.
C’est Galilée qui avait entretenu dans un premier temps la
relation entre les vitesses d’une même particule dans R et
R’,. Les relations précises et générales sur les vecteursvitesses et les vecteurs-accélérations ont été déduites par
Coriolis en 1836.
Galilée
Galileo Galilei
Physicien et
Astronome italien
1564-1642
Gustave-Gaspard
de Coriolis
Mathématicien
Français
1792-1843
III.2 Mouvement relatif de deux repères R et R’
III .2.1 Position du problème
Soient deux repères R et R’ auxquels on associe
respectivement les référentiels R (O, x, y, z) et
R’(O’, x’, y’, z’). Pour déterminer le mouvement de R’
par rapport à R, il va falloir déterminer à tout instant
la position dans R de tout lié à R’.
R
R’
Dans R’ :
o' M '  x' e' x  y ' e' y  z ' e' z
On suppose dans cette démarche que les composantes x' , y ' et z ' sont constantes.
III.2.2 Vecteur-vitesse instantané de rotation
Trouvons la vitesse :
d OM
dt

R
d OO'
dt
 x'
R
d e' x
dt
 y'
R
d e' y
dt
 z'
R
d e' z
dt
R
?? =
e' x , e' y et e' z sont unitaires et orthogonaux entre eux.
Nous allons exploiter ces deux caractéristiques.
Fatima BOUYAHIA
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Mécanique du point matériel
Chapitre 3 : Changement de repère
e' x , e' y et e' z sont unitaires 
e' x 
d e' x
dt
R
,
e' y 
En supposant que :
d e' y
dt
et e' z 
R
d e' z
dt
R
d e' x
 ' x  e ' x
dt
' xx
Avec ' x un nouveau vecteur de composantes ' x ' xy .
' xz
On déduit que :
d e' x
 ' xz e' y  ' xy e' z
dt
Et par analogie :
d e' y
 ' yx e' z  ' yz e' y
dt
d e' z
 ' zz e' x  ' zy e' y
dt
Remarque :
les composantes ' xx , ' yy et ' zz
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e' x , e' y et e' z sont orthogonaux entre eux 
d
(e' x . e' y )  ...................................................................................
dt
d
(e' x . e' y )  ...................................................................................
dt
d
(e' x . e' y )  ...................................................................................
dt
' x  ' zx  ' yx
On pose : ' y  ' xy   ' zy
Par analogie
' z   ' yz  ' xz
Etant donnée l’indétermination des composantes ' xx , ' yy et ' zz elles peuvent prendre des
valeurs quelconques. On écrit :
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Mécanique du point matériel
Chapitre 3 : Changement de repère
' x  ' x e' x  ' y e' y  ' z e' z


' y  ' x e' x  ' y e' y  ' z e' z

' z  ' x e' x  ' y e' y  ' z e' z
Il est donc possible de trouver un seul vecteur  R' tel que :
R
d e' x
  R '  e' x
R
dt
d e' y
dt
  R '  e' y
R
d e' z
  R '  e' z
R
dt
Ce vecteur caractérise la vitesse de rotation des axes de R’ dans R. Il est appelé vecteur-vitesse
instantané de rotation de R’ par rapport à R.
Application :
On considère le repère relatif R’ de coordonnées cylindriques. Déterminons  R'
R
; R étant le
repère cartésien.
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Mécanique du point matériel
Chapitre 3 : Changement de repère
III.3 Loi de composition des vecteurs-vitesse
La vitesse dans R est donnée par :
d O' M '
dt

R
d OO '
dt
'
R
d O' M
dt
R
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…………………………………………………………………………………………………..
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=
Va
 V (O ' )
R
Vr
R'
R   R  O' M 
R'
=
Soit la loi de composition des vecteurs-vitesses donnée par :
Va
Ve
Vr
R 
R 
R'
La vitesse d’entraînement V e représenta la vitesse de M dans R en considérant que M est fixe
dans R’. Il se compose d’une translation et d’une rotation.
III.4 Loi de composition des vecteurs-accélération
L’accélération dans R est donnée par :
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Mécanique du point matériel
dV a
dt

R
d Vr
dt

R
d Ve
dt
Chapitre 3 : Changement de repère
R
Donc :
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Soit la loi de composition des vecteurs - accélérations donnée par :
a
r
e
c
R 
R 
R' 
R'
III.5 A retenir
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Fatima BOUYAHIA
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