Le parallélogramme

Vers le PARALLÉLOGRAMME
Ces quadrilatères ont des propriétés particulières.
Après avoir effectué les mesures nécessaires, trouve ces particularités après avoir effectué les mesures
nécessaires et indique les sur chaque dessin en utilisant des couleurs.
Segments parallèles dans une même couleur ; longueurs égales ; droites perpendiculaires ; angles égaux
autres que les angles opposés par un sommet.
Certains de ces quadrilatères ont un nom particulier ; écris-le, si c’est le cas, dans le tableau ci-dessous :
ABCD
n° c d e f g h i j
Nom
Quels sont tous ceux qui sont des parallélogrammes ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

LE PARALLÉLOGRAMME
X - Définition
Un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme.
A
BC
D
ABCD est un parallélogramme si :
(AB) // (CD)
et
(AD) // (BC)
Y - Propriétés du parallélogramme
Le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme est le CENTRE DE SYMÉTRIE de ce
parallélogramme. (Propriété admise)
Par conséquent : (deux segments symétriques ayant la même longueur)
IA = IC I est le milieu de [AC]
A
BC
D
IIB = ID I est le milieu de [BD]
AB = CD Les côtés [AB] et [CD] ont la même longueur
AD = BC Les côtés [AD] et [BC] ont la même longueur
Autrement dit :
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu
Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur
Z - Autre définition du parallélogramme.
On dit aussi : « PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE du parallélogramme »
A
BC
D
I
Si I est le milieu de la diagonale [AC],
Si I est le milieu de la diagonale [BD],
Alors les droites (AD) et (BC) sont symétriques par rapport
au point I donc elles sont parallèles
De même, les droites (AB) et (CD) sont symétriques par
rapport à I donc elles sont parallèles.
Le quadrilatère ABCD a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; c’est donc un parallélogramme.
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Remarque :
Cette caractérisation du parallélogramme indique un procédé très simple pour construire un parallélogramme :
On trace deux segments qui ont le même milieu.

[ - Autre caractérisation du parallélogramme
a) Les différentes formes d’un quadrilatère :
U
Un quadrilatère concave ne peut pas avoir deux côtés opposés parallèles ;
U
n quadrilatère convexe ou un quadrilatère croisé peut avoir deux côtés opposés parallèles.
b) n quadrilatère NON CROISÉ qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un
i ABCD n’est pas croisé
)
lors ABCD est un parallélogramme.
- Angles du parallélogramme
A
B
C
D
DD
A
A
B
B
C
C
ABCD convexe ABCD concave ABCD croisé
parallélogramme. (Propriété admise)
S
Si AB = CD
Si (AB) // (CD
A
\
D
A
B
C
Deux angles symétriques ont la même mesure.
Les
D
angles
l
l
A et C sont symétriques par rapport à I, donc :
C
l
A=
l
Les angles
l
l
B et D sont symétriques par rapport à I, donc :
D
l
B=
l
Les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure.
Remarque :
A
B
C
l
m
A
B
C
D
122
(DC) et l
AD= car ils sont correspondants pour les droites parallèles
B) et (A a sécante (AD).
m
m
21
Det D sont adjacents supplémentaires :
m
m
21
D+D018
=
°
Donc :
l
m
+ 0DA18
=
°
1
De même :
l
l
A + B 180=°,
ll
B + C 180=°
l l
C + D 180
=
, °
Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires

^ - Propriété de deux parallélogrammes ayant un côté commun
C
D
E
F
AB
Si ABCD est un parallélogramme
Si CDFE est un parallélogramme
mme
(EF)
AB = CD = EF é.
qui ont un côté
commun déterminent un troisième
(Ils ont le côté commun [CD])
Alors ABEF est un parallélogra
Car :
(AB) // (CD) //
ABEF n’est pas crois
Deux parallélogrammes
parallélogramme.
_ - Parallélogrammes particuliers
amme dont les diagonales ont la même
ngueur est un rectangle
; un début de démonstration a été
roposé dans l’étude du triangle inscrit dans un cercle dont un
un rectangle on peut joindre les extrém
b)
gramme dont les diagonales sont perpendiculaires est
n losange
a médiatrice de [BD] donc : AB = AD
D = BC et AB = CD (Côtés opposés d’un parallélogramme)
B = BC = CD = AD
ont égaux ; ABCD est un losange.
c) e carré
logramme dont les diagonales ont la même longueur et sont
erpendiculaires est un carré.
n rectangle losange est un carré. :
a) Le rectangle
Un parallélogr
lo
Cette propriété est admise
p
diamètre est un côté du triangle.
Conséquence :
Pour construire
Le losange
ités de deux diamètres d’un même cercle.
A
B
C
D
I
D
Un parallélo
u
A appartient à l
A
Par conséquent :
A
Les quatre côtés s
L
A
B
C
I
A
D
B
C
Un parallé
p
U
l ll
l
ABCD90=== = ° (rectangle)
AB = BC = CD = AD (losange)

Exercices 1
LE PARALLÉLOGRAMME
X - Combien de parallélogrammes propres sont représentés ci-dessous ? Nomme-les tous.
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................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Y - Parmi les propriétés suivantes, indique celles qui sont des propriétés du parallélogramme et, dans la dernière
colonne, celles qui caractérisent un parallélogramme ou un autre quadrilatère dont tu indiqueras le nom.
Propriété du quadrilatère Propriété du
parallélogramme
?
Propriété
caractérisant un
quadrilatère
particulier ? Lequel ?
Il a deux côtés parallèles
Ses côtés sont parallèles deux à deux
Il a un angle droit
Il a deux angles droits
Il a trois angles droits
Il a deux côtés opposés de même longueur
Il a ses quatre côtés de même longueur
Ses diagonales ont la même longueur
Ses diagonales sont orthogonales
Ses diagonales se coupent en leur milieu
Ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur
Une de ses diagonales coupe l’autre en son milieu
Ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même
longueur
Ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu
Il a un centre de symétrie
Il a un axe de symétrie
Il a quatre axes de symétrie
Il a deux angles consécutifs supplémentaires
Il a deux angles opposés égaux