ABC α ? β - Université de Cergy

Universit´e de Cergy-Pontoise
L1 S1 MIPI 2014/2015
Panorama sur la Physique
S´erie no1: G´eom´etrie, analyse dimensionnelle, rep´erage
Ex 1. Somme des angles dans un triangle
On consid`ere le triangle (ABC) et on appelle α,βet γses trois angles internes. On trace la parall`elle
`a la droite (AB) passant par C.
αβγ
?
?
A C
B
a) D´eterminer les deux angles not´es ”?” sur la figure.
b) En d´eduire la valeur de la somme des trois angles internes
d’un triangle.
Ex 2. Triangle inscrit dans un cercle
On consid`ere Cun point quelconque sur le cercle de centre Oet de diam`etre [AB]. On appelle α
l’angle interne en Aau triangle (ABC), et βcelui en B.
AB
C
α?β
?
O
a) D´eterminer les deux angles not´es ”?” sur la figure.
b) En d´eduire la valeur de l’angle interne en Cau triangle (ABC).
c) Trouver les valeurs des deux derniers angles des triangles (AOC) et (OBC).
Ex 3. Th´eor`eme de Pythagore
Soit un triangle rectangle dont l’hypot´enuse est de longueur 1
(dans l’unit´e de mesure choisie).
On appelle aet bles longueurs de ses deux autres cˆot´es (apour le plus petit).
a
b
1
h
a
b
1
α
β
a) On dilate ce triangle d’un facteur h. On a ainsi obtenu un triangle semblable au pr´ec´edent.
Rappeler ce que cela signifie, qu’ont en commun les deux triangles ? Quelles sont les longueurs
des trois cˆot´es du triangle dilat´e (`a exprimer en terme de h,aet b) ?
b) On trace la hauteur de l’angle droit vers l’hypot´enuse.
Montrer que les deux petits triangles int´erieurs sont semblables au
triangle initial.
En d´eduire les longueurs de tous les cˆot´es de ces deux petits triangles.
(`a exprimer en terme de h,aet b)
c) En d´eduire le th´eor`eme de Pythagore.
d) On appelle αet βles angles du premier triangle rectangle consid´er´e.
Quel lien existe-t-il entre les angles αet β?
Exprimer les longueurs aet ben fonction de α, puis de β.
Quelle formule de trigonom´etrie peut-on d´eduire directement de la
question c) ?
On suppose que l’angle αdevient tr`es petit, vers quoi tendent l’angle βet les longueurs aet b?

Ex 4. formules d’addition des cosinus et sinus
α
α1
2
1
On consid`ere un triangle rectangle dont l’hypot´enuse est de longueur 1,
”pos´e” sur un autre triangle rectangle comme sur la figure.
a) Calculer les longueurs de tous les cˆot´es de ces deux triangles
en terme des angles α1et α2.
b) Calculer les deux longueurs indiqu´ees par des fl`eches pointill´ees
en terme des angles α1et α2.
c) En d´eduire les formules d’addition des cosinus et sinus (cos(α1+α2) et sin(α1+α2)).
Ex 5. Soit (A1A2A3) un triangle ´equilat´eral de centre Oet de cˆot´e a. Calculer dla distance du centre `a
l’un des sommets. Calculer αl’angle interne du triangle en l’un des sommets.
Ex 6. Trouver `a l’aide d’une analyse dimensionnelle, la formule donnant la pouss´ee d’Archim`ede, sachant
que cette force est fonction du volume du corps immerg´e V, de la masse volumique ρdu fluide et de
l’acc´el´eration de la pesanteur g.
Aide : on cherchera les valeurs des exposants α,βet γsatisfaisant l’´equation PA=C V αρβgγ,C
´etant une constante num´erique sans dimension.
Ex 7. Un pendule simple est un fil sans masse de longueur lau bout duquel est attach´ee une masse m. A
priori, la p´eriode des oscillations d’un tel pendule (not´ee T) peut d´ependre de g, l, m et θmax, l’angle
de d´eviation maximale par rapport `a la verticale. Montrer par analyse dimensionnelle que Tne peut
pas d´ependre de met trouver sa d´ependance en fonction de let g. Pourquoi ne vous demande-t-on
pas la d´ependance en fonction de θmax ?
Remarque:Galil´ee est le premier `a s’ˆetre rendu compte exp´erimentalement que la p´eriode ne d´epend
que tr`es faiblement de θmax quand cet angle est petit.
Ex 8. On lˆache sans vitesse initiale un objet de masse md’une hauteur hau-dessus du sol. On veut trouver
par une analyse dimensionnelle une expression de sa vitesse finale vfen n´egligeant tout frottement.
Quelles sont les grandeurs pertinentes du probl`eme? En d´eduire une expression pour la vitesse vf`a
l’aide d’une analyse dimensionnelle.
Ex 9. Une bille de masse mest lanc´ee au bas d’une piste cylindrique de rayon Ravec une vitesse initiale
v0. Si v0est faible la bille oscillera autour de sa position initiale (tout en bas de la piste). Pour v0
tr`es grande la bille fera une rotation compl`ete. Enfin pour une valeur interm´ediare de la vitesse, elle
d´ecollera de la piste.
Trouver `a l’aide d’une analyse dimensionnelle `a quelle grandeur doit ˆetre compar´ee v0pour parler de
”faible” ou ”grande” vitesse (l’acc´el´eration de la pesanteur gest bien sur connue).
Ex 10. Aet Bsont deux points du plan.
a) On donne les coordonn´ees cart´esiennes des points A= (1,3) et B= (3,2). Trouver leurs coor-
donn´ees polaires. Donner l’´equation de la droite passant par ces points en coordonn´ees cart´esiennes.
Ecrire cette ´equation en coordonn´ees polaires.
b) On donne les coordonn´ees polaires des points rA= 4, θA= 120oet rB= 10, θB= 330otrou-
ver leurs coordonn´ees cart´esiennes. Trouver une courbe d’´equation r=a θ +ben coordonn´ees
polaires passant par ces points (aet bsont deux nombres `a d´eterminer). Tracer cette courbe.