ChpG3 Triangles

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Chapitre G3 Triangles

Objectifs :

- Construire des triangles connaissant des longueurs et/ou des angles

- Utiliser l'inégalité triangulaire

- Connaître et utiliser les médiatrices et hauteurs d'un triangle

- Utiliser la propriété sur la somme des angles d'un triangle

I. Construire un triangle

On peut construire un triangle dans les trois cas suivants :

Cas n°1 : on connaît la longueur des trois côtés.

Exemple : Construire un triangle ABC tel que

AB = 4,5 cm ; BC = 3 cm et AC = 4 cm.

Cas n°2 : on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l'angle délimités par ces côtés.

Exemple : Construire un triangle EFG tel que

EF = 4 cm ; EG = 3 cm et

FEG=50 °

Cas n°3 : on connaît la longueur d'un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté.

Exemple : Construire un triangle HIJ tel que

IJ = 5 cm ;

HIJ =30 °

HJI =80°

Cas d'égalité de triangles :

Définition :

Deux triangles sont isométriques si leurs côtés ont la même longueur deux à deux.

Exemple :

Propriétés :

- Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure

alors ils sont isométriques.

- Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur

alors ils sont isométriques.

II. Propriétés dans un triangle

1) Inégalité triangulaire

Propriété :

Quels que soient les points A, B et C : AC £ AB + BC

Conséquence :

Il est possible de construire un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés lorsque la plus

grande longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs.

Exemples :

Peut-on construire un triangle de dimensions 8 cm ; 10 cm et 6 cm ?

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Peut-on construire un triangle de dimensions 2 cm ; 6 cm et 3 cm ?

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Propriétés :

- Si A Î[BC] alors BC = BA + AC

- Si A, B et C sont trois points tels que BC = BA + AC alors A Î[BC] (les points A, B et C sont

alignés ; A n'est pas nécessairement le milieu de [BC])

Exemple : Place trois points A, B et C tels que AB = 6 cm ; BC = 8 cm et AC = 2 cm.

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2) Somme des angles d'un triangle

Propriété :

Dans un triangle, la somme de la mesure des trois angles est égale à 180°.

En effet,

….............................................................................................................................................................

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Conséquences :

- Dans un triangle équilatéral, chacun des angles mesure 60°.

- Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

- Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.

- Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles ont la même mesure.

3) Droites remarquables d'un triangle

a) Médiatrices d'un triangle

Propriété et définition :

- Dans un triangle, les médiatrices des côtés du triangle se coupent en un même point, on dit

qu'elles sont concourantes.

- Ce point commun est le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. On dit

que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.

Exemple :

Construire un triangle ABC tel que AB = 9 cm ; AC = 7 cm et BC = 5 cm.

Construire le cercle circonscrit au triangle ABC.

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b) Hauteurs d'un triangle

Définition :

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est

perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemple : Trace les trois hauteurs de ce triangle.

Propriété et définition :

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H appelé l'orthocentre du triangle.

Calcul de l'aire d'un triangle :

L'aire d'un triangle quelconque est donnée par la formule :

base×hauteur

Exemples : en utilisant le triangle précédent.

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Remarque :

Si deux triangles sont isométriques alors leurs aires sont égales.

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