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M2 Dynamique
Devoir maison no11
Exercice 1 Tir au panierExercice 1
Le but de ce problème est d’étudier les tirs de basket-ball et à quelle(s) condition(s) ceux-ci atteignent le panier.
L’étude sera réalisée de manière simplifiée, en supposant que le joueur est face au panier, à une distance Dde son centre et qu’aucun type
de frottements ne s’applique sur le ballon. Le centre du cercle du panier est situé à une hauteur Hau-dessus du sol.
On suppose que le ballon peut être assimilé à un point matériel M de masse m.
L’étude est menée dans le référentiel lié au sol noté R, supposé galiléen, dans lequel le champ de pesanteur −→ gest supposé vertical,
descendant et uniforme. On associe à ce référentiel le repère d’espace O,−→ ex,−→ ey,−→ ezcartésien pour lequel l’axe O,−→ ezest vertical
ascendant.
À l’instant initial t=0, le ballon quitte les mains du joueur tentant de marquer le panier, à une hauteur hau dessus du sol, en imposant
au ballon une vitesse initiale −→ v0faisant un angle αavec l’horizontale O,−→ ex. On note v0=
−→
v0
la norme du vecteur vitesse initiale.
On note x(t)et z(t)l’abscisse et l’ordonnée du ballon à un instant tquelconque après le lancé. On se réfèrera au schéma ci-dessous pour
l’explicitation des notations.
−→
ez
−→
ex
O
−→
v0
M(t=0)
H
D
h
α
−→
g
Valeurs numériques:
•Hauteur du panier H=3,05 m
•Hauteur initiale du ballon h=2,31m
•Distance de lancé pour un lancer-franc D=4,60m
•Distance pour un tir à trois points D=7,23m
•Masse d’un ballon de basket-ball m=624 g
•Accélération de pesanteur g=9,81 m ·s−2
(1) (a) Donner les valeurs de l’abscisse initiale x(t=0)et de l’ordonnée initiale z(t=0)du ballon.
(b) Exprimer le vecteur vitesse initiale −→ v0dans la base cartésienne en fonction de v0et α.
(2) (a) Réaliser un bilan des forces s’appliquant sur le ballon après le lancer.
(b) Établir les équations du mouvement.
(c) En déduire les équations horaires x(t)et z(t)du mouvement du ballon.
(d) Représenter sur votre copie l’allure de la trajectoire du ballon.
(3) (a) Montrer que l’instant t1au bout duquel le ballon atteint la distance du panier (mais pas forcément la bonne hauteur...) est:
t1=D
v0cosα
1

Mécanique DM11: Dynamique
(b) En déduire la hauteur z1=z(t1)du ballon à cet instant. On exprimera cette hauteur uniquement en fonction de g,D,h,v0et
α.
(c) Donner alors l’équation vérifiée par l’angle αpour que le panier soit marqué. On mettra cette équation sous la forme d’une
équation du second degré en tanα. On rappelle que:
1
cos2α
=1+tan2α
(d) Montrer que cette solution n’admet de solution physiquement acceptables que si:
v4
0−2g(H−h)v2 0−g2D2≥0
(e) On peut montrer que cette condition est vérifiée si la vitesse initiale est supérieure à une vitesse minimale v0min telle que:
v0min =sgH−h+q(H−h)2+D2
Déterminer numériquement cette vitesse minimale dans le cas d’un lancer-franc et dans le cas d’un tir à trois points.
On suppose dans la suite que la vitesse initiale v0du ballon est supérieure à la vitesse minimale déterminée précédemment. On
prendra v0=10,0m ·s−1pour les applications numériques.
(f) Résoudre alors l’équation du second degré trouvée en (3)(c) et déterminer numériquement les deux angles α1et α2permettant
de marquer un lancer franc.
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