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M2
Dynamique
Devoir maison no 11
Exercice 1 Tir au panier
Le but de ce problème est d’étudier les tirs de basket-ball et à quelle(s) condition(s) ceux-ci atteignent le panier.
L’étude sera réalisée de manière simplifiée, en supposant que le joueur est face au panier, à une distance D de son centre et qu’aucun type
de frottements ne s’applique sur le ballon. Le centre du cercle du panier est situé à une hauteur H au-dessus du sol.
On suppose que le ballon peut être assimilé à un point matériel M de masse m.
−
→
L’étude est menée dans le référentiel lié au sol noté R, supposé galiléen,
vertical,
€ dans lequelŠ le champ de pesanteur g est
€ supposé
Š
−
→ −
→ −
→
−
→
descendant et uniforme. On associe à ce référentiel le repère d’espace O, e x , e y , ez cartésien pour lequel l’axe O, ez est vertical
ascendant.
À l’instant initial t = 0, le ballon quitte les mains du joueur tentant de€ marquer
hauteur h au dessus du sol, en imposant
Š le panier, à une
→
−
→
→
au ballon une vitesse initiale −
v0 faisant un angle α avec l’horizontale O, e x . On note v0 = −
v0 la norme du vecteur vitesse initiale.
On note x (t) et z (t) l’abscisse et l’ordonnée du ballon à un instant t quelconque après le lancé. On se réfèrera au schéma ci-dessous pour
l’explicitation des notations.
D
−
→
v0
M (t = 0)
α
−
→
g
H
h
−
→
ez
−
→
ex
O
Valeurs numériques:
• Hauteur du panier H = 3,05 m
• Hauteur initiale du ballon h = 2,31 m
• Distance de lancé pour un lancer-franc D = 4,60 m
• Distance pour un tir à trois points D = 7,23 m
• Masse d’un ballon de basket-ball m = 624 g
• Accélération de pesanteur g = 9,81 m · s−2
(1) (a) Donner les valeurs de l’abscisse initiale x (t = 0) et de l’ordonnée initiale z (t = 0) du ballon.
→
(b) Exprimer le vecteur vitesse initiale −
v dans la base cartésienne en fonction de v et α.
0
0
(2) (a) Réaliser un bilan des forces s’appliquant sur le ballon après le lancer.
(b) Établir les équations du mouvement.
(c) En déduire les équations horaires x (t) et z (t) du mouvement du ballon.
(d) Représenter sur votre copie l’allure de la trajectoire du ballon.
(3) (a) Montrer que l’instant t 1 au bout duquel le ballon atteint la distance du panier (mais pas forcément la bonne hauteur...) est:
t1 =
1
D
v0 cos α
Mécanique
DM11: Dynamique
(b) En déduire la hauteur z1 = z (t 1 ) du ballon à cet instant. On exprimera cette hauteur uniquement en fonction de g, D, h, v0 et
α.
(c) Donner alors l’équation vérifiée par l’angle α pour que le panier soit marqué. On mettra cette équation sous la forme d’une
équation du second degré en tan α. On rappelle que:
1
= 1 + tan2 α
cos2 α
(d) Montrer que cette solution n’admet de solution physiquement acceptables que si:
v04 − 2g (H − h) v02 − g 2 D2 ≥ 0
(e) On peut montrer que cette condition est vérifiée si la vitesse initiale est supérieure à une vitesse minimale v 0min telle que:
s q
v 0min =
g H −h+
(H − h)2 + D2
Déterminer numériquement cette vitesse minimale dans le cas d’un lancer-franc et dans le cas d’un tir à trois points.
On suppose dans la suite que la vitesse initiale v0 du ballon est supérieure à la vitesse minimale déterminée précédemment. On
prendra v0 = 10,0 m · s−1 pour les applications numériques.
(f) Résoudre alors l’équation du second degré trouvée en (3)(c) et déterminer numériquement les deux angles α1 et α2 permettant
de marquer un lancer franc.
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