AP3 Suites arithmético -géométrique avec algorithme Exercice1
AP3 Suites arithmético -géométrique avec algorithme
Exercice1 : Marc reçoit de l’argent de poche de ses parents .
La première semaine il a 20 euros , puis chaque semaine, Marc recevra 5% de plus que la semaine précédente et une somme fixe
de 4 euros .
1/ Pour tout entier naturel non nul n , on note
n
u
le montant total en euros versé à Marc la n-ième semaine .
a) Déterminer
1
u
puis calculer
2
u
.
b) Justifier que pour tout entier naturel non nul n ,
4051
1
nn u,u
.
2/ Pour tout entier naturel non nul n , on pose :
80 nn uv
. a) Calculer
1
v
.
b) Démontrer que la suite
n
v
est une suite géométrique de raison q à préciser.
c) Exprimer
n
v
en fonction de n, puis en déduire que :
80051100 1 n
n,u
, pour tout n N*.
3/ On considère l’algorithme ci-contre ,déterminer le rôle de l’algorithme
4/ a) Déterminer en fonction de n , la somme S '
n
vvvv
321
.
b) En déduire l’expression en fonction de n la somme : S
n
uuuu
321
.
c) A l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de semaines ,
Marc aura reçu en tout plus de 500 euros
Exercice2
Anastase, jardinier amateur avait une magnifique pelouse de gazon autour de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans,
20 % du gazon est détruit par du chiendent. Chaque année, à l’automne, il arrache 50 m² de chiendent et le remplace par du gazon.
Dans tout l’exercice, les aires seront exprimées en m².
1)La surface initiale de la pelouse a pour aire u 0 et la surface de gazon sans chiendent restant au bout de n années a pour aire un.
Montrer que pour tout entier n, on a : u n + 1 = 0,8 u n + 50
2) Sachant que u 2 = 1 370, déterminer la surface initiale de la pelouse.
3) On considère la suite (v n) définie sur ℕ par v n = u n – 250 Montrer que (v n) est une suite géométrique.
4) Exprimer v n puis u n en fonction de n.
5) Déterminer le nombre d’années pendant lesquelles Anastase garde plus du quart de sa pelouse . Pour cela on pourra écrire un
programme .
AP3 Suites arithmético -géométrique avec algorithme
Exercice1 : Marc reçoit de l’argent de poche de ses parents .
La première semaine il a 20 euros , puis chaque semaine, Marc recevra 5% de plus que la semaine précédente et une somme fixe
de 4 euros .
1/ Pour tout entier naturel non nul n , on note
n
u
le montant total en euros versé à Marc la n-ième semaine .
a) Déterminer
1
u
puis calculer
2
u
.
b) Justifier que pour tout entier naturel non nul n ,
4051
1
nn u,u
.
2/ Pour tout entier naturel non nul n , on pose :
80 nn uv
. a) Calculer
1
v
.
b) Démontrer que la suite
n
v
est une suite géométrique de raison q à préciser.
c) Exprimer
n
v
en fonction de n, puis en déduire que :
80051100 1 n
n,u
, pour tout n N*.
3/ On considère l’algorithme ci-contre ,déterminer le rôle de l’algorithme
4/ a) Déterminer en fonction de n , la somme S '
n
vvvv
321
.
b) En déduire l’expression en fonction de n la somme : S
n
uuuu
321
.
c) A l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de semaines ,
Marc aura reçu en tout plus de 500 euros
Exercice2
Anastase, jardinier amateur avait une magnifique pelouse de gazon autour de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans,
20 % du gazon est détruit par du chiendent. Chaque année, à l’automne, il arrache 50 m² de chiendent et le remplace par du gazon.
Dans tout l’exercice, les aires seront exprimées en m².
1)La surface initiale de la pelouse a pour aire u 0 et la surface de gazon sans chiendent restant au bout de n années a pour aire un.
Montrer que pour tout entier n, on a : u n + 1 = 0,8 u n + 50
2) Sachant que u 2 = 1 370, déterminer la surface initiale de la pelouse.
3) On considère la suite (v n) définie sur ℕ par v n = u n – 250 Montrer que (v n) est une suite géométrique.
4) Exprimer v n puis u n en fonction de n.
5) Déterminer le nombre d’années pendant lesquelles Anastase garde plus du quart de sa pelouse . Pour cela on pourra écrire un
programme .
Corrigé
Exercice 1
La première semaine Marc a 20 euros donc
= 25 somme perçue la 2ième semaine
le montant total en euros versé à Marc la n-ième semaine
le montant total en euros versé à Marc la n+1-ième
semaine
Marc recevra 5% de plus que la semaine précédente et une
somme fixe de 4 euros .
donc et
2)
= 1,05 u n +4 +80
= 1,05 u n +84 = 1,05 (u n +
)= 1,05( )=1 ,05
(v n) est donc une suite géométrique de raison q = 1,05 et de
premier terme v 1 = 100
On a donc v n = v 1 q n-1 = 100 1,05 n-1
v n = u n +80 donc u n = v n = 100 1,05 n-1
3)l’algorithme sert à donner à partir de quelle semaine Marc
aura une somme supérieure à 500 euros
4)S '
n
vvvv
321
=100
S
n
uuuu
321
=+……+=
n
vvvv
321
+n =
avec la calculatrice S10= 457,78 S11=540,67
en notant ds menu recurrence type F1
an =
ou avec le programme
valeur du premier terme " ? U exe
1 N exe
20 exe
while S <500 exe
1.05*U+4 U exe
N+1 N exe
S + U S exe
whileend exe
"la somme totale dépasse 500 euros au bout de "
N
"semaines" exe
on obtient N=11
Exercice 2
est la surface de gazon au bout de n années
est la surface de gazon au bout de n+1 années
chaque année , il reste 80% de l’aire de gazon de l’année
précédente , soit ici 80 % de u n, auquel on ajoute 50 m ² de
gazon. on a donc : u n + 1 = 0,8 u n + 50
2) u 2 = 0,8 u 1 + 50 Donc 1370 = 0,8 u 1 + 50
u 1 =
1370−50
0,8
= 1650
u 1 = 0,8 u 0 + 50 Donc 1650 = 0,8 u 1 + 50
u 0 =
1650−50
0,8
= 2000
3) = 0,8 u n + 50 – 250
= 0,8 u n – 200 = 0,8 (u n –
200
0,8
)= 0,8 ( )=0,8
(v n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,8 et de
premier terme v 0 = 2000 -250 = 1750
On a donc v n = v 0 q n = 1750 0,8 n
v n = u n – 250 donc u n = v n + 250 = 1750 0,8 n + 250
5)A la calculatrice, u 8 = 1750 0,8 8 + 250 543,6 500
u 9 = 1750 0,8 9 + 250 484,88 < 500
Anastase gardera plus du quart de sa pelouse pendant 8
ans.
algorithme
Algorithme avec algobox
Algorithme avec la calculatrice
"valeur du premier terme " ? U exe
0 N exe
while U >500 exe
0,8*U+50 U exe
N+1 N exe
whileend exe
"Anastase a + du ¼ de sa pelouse pendant" exe
N-1 exe
1
/
3
100%
