Devoir - Playmaths

T ES Devoir Mercredi 3 octobre 2012
Nom, Prénom : ……………………………………………….
Exercice 1 : ( 5 points)
Pour chaque question, il y a une seule réponse correcte. Le candidat doit
entourer sur sa copie, la réponse qu’il juge correcte. Aucune justification
n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5
point. Une absence de réponse n’enlève ni ne rapporte de point.
Partie A :
On note (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison
2
1
.
1) Pour tout entier naturel n, un+1 est égal à :
a)
2
1
un
b)
n
u
2
1
c)
2
1
n)u(
2) Pour tout nombre entier naturel n, un est égal à :
a)
n
2
1
2
b)
n1
2
c)
1n
2
3) Pour tout nombre entier naturel n, on note Sn = u0 + u1 + … + un. La
limite de la suite (Sn) est :
a) + ∞ b) 0 c) 4
Partie B :
On suppose que depuis 1990 le prix d’un bien immobilier augmente chaque
année de 5 %. En 2010, ce bien valait 150 000 €.
1) En 1990, l’arrondi à l’euro de ce bien était :
a) 56 533 € b) 53 773 € c) 60 000 €
2) En supposant que l’évolution se poursuive ainsi, ce bien vaudra plus de
200 000 € en :
a) 2015 b) 2014 c) 2016
Exercice 2 : ( 15 points )
Lors d’un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : « Le premier
jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons
5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien
de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? ».
Nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette
question.
1) Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en
euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u1 = 100.
a) Calculer u2.
b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul,
un+1 = 1,05 un + 20.
2) Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = un + 400.
a) Calculer v1.
b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique et préciser
sa raison.
c) Exprimer vn en fonction de n puis en déduire que
un = 500 × 1,05n-1 – 400.
d) Déterminer en fonction de n, la somme sn = v1 + v2 + … + vn, puis la
somme Sn = u1 + u2 + … + un.
Calculer S10. A quoi correspond cette somme ?
3) Quelle réponse Marc doit-il donner ? Justifier.
4) On donne l’algorithme suivant :
Entrées : N un entier ; U un réel
Traitement : Pour K allant de 1 à N – 1
Affecter à U la valeur U×1,05
Fin du pour
Afficher : U
a) Faire fonctionner cet algorithme pour N = 4 et U = 100. (Donner
dans un tableau ; les résultats obtenus au fur et à mesure pour U,
suivant les valeurs de K.)
Que permet d’obtenir cet algorithme ?
b) Transformer l’algorithme proposé pour qu’il affiche en sortie
finale la valeur u6, pour U = 100 et N = 6.