NYB XXI - Chapitre 5.2

Chapitre 5.2 – La loi de Faraday
Le flux magnétique
Le flux magnétique Φ m est un scalaire correspondant au module du champ magnétique
perpendiculaire B⊥ évalué
sur une surface multiplié par l’aire Av de la surface. Puisque le
v
champ magnétique B est vectoriel, il faut définir la surface A vectoriellement à l’aide
d’une normale à la surface
v afin d’effectuerv un produit scalaire transformant ainsi le produit
du champ magnétique B avec la surface A en scalaire :
Flux magnétique
Φ m lorsque le champ
v
magnétique B est constant
sur la surface
v
A
v v
Φ m = B ⋅ A = ± B⊥ A
θ
Flux magnétique
Φ m lorsque le champ
v
magnétique B est arbitrairevsur la surface
infinitésimale dA
v v
Φ m = ∫∫ dΦ m = ∫∫ B ⋅ dA
v
B
v
A
A
v
dA
B⊥
où
v
B
Φ m : Le flux magnétique en weber ( 1 Wb = 1 T ⋅ m 2 )
dΦ m : Flux magnétique infinitésimal évalué sur une surface infinitésimal ( Wb )
v
v
v
B : Champ magnétique évalué sur la surface A ou dA (T)
v
B⊥ : Module du champ magnétique perpendiculaire à la surface A (T)
( B⊥ = B cos(θ ) )
v
A : Surface sur laquelle le flux magnétique est évalué (m2)
A : Aire de la surface sur laquelle le flux magnétique est évalué (m2)
v
dA : Élément de surface infinitésimal sur laquelle on évalue le flux magnétique (m2)
v
v
θ : Angle entre le champ magnétique B et le vecteur surface A
Conventions :
Flux magnétique positif
v v
Φ m = B ⋅ A > 0 ⇒ θ < 90°
θ
v
B
v
A
Flux magnétique négatif
v v
Φ m = B ⋅ A < 0 ⇒ θ > 90°
v
B
Φm > 0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
θ
v
A
Φm < 0
Flux magnétique nul
v v
Φ m = B ⋅ A = 0 ⇒ θ = 90°
v
B
θ
v
A
Φm = 0
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La loi de Faraday
En 1831, le physicien et chimiste anglais Michael Faraday découvre
expérimentalement le phénomène de l’induction électromagnétique. Il réalise
qu’une variation du flux magnétique Φ m dans le temps évaluez sur une surface
A induit une électromotance ε ind . Lorsque la surface fermée est délimité par
un circuit électrique fermé, l’électromotance induite affect l’électromance totale
du circuit ce qui modifie la circulation des courants électriques. C’est la loi de
Lenz (1843) qui déterminera le sens de l’électromotance induite :
ε ind = −
dΦ m
dt
Michael Faraday
(1791-1867)
ε ind : Électromotance induite (V)
où
Φ m : Flux magnétique sur la surface délimité par le circuit fermé (Wb)
t : Temps (s)
Signe négatif : Le signe négatif dans la loi de Faraday est justifié par la loi de Lenz. Elle
stipule que si l’électromomance induite ε ind produit un courant qui génère
un champ magnétique et par le fait même un flux magnétique, celui-ci doit
s’opposer à la variation qui le génère.
Justification : (générateur linéaire)
Analysons la production d’une électromotance induite ε ind
par un générateur linéaire à partir de la notion de flux
magnétique. Regardons comment varie le flux inclus dans
la surface représenté par le circuit électrique. Calculons en
premier le flux magnétique initial :
v v
Φm = B ⋅ A ⇒
Φ m = B (Lx ) cos(0°)
⇒
Φm = B L x
Le barreau se déplace dans le temps ce qui fait augmenter le flux dans le temps. Évaluons
l’expression de la variation du flux magnétique dans le temps sachant que c’est
uniquement la position du barreau qui varie dans le temps. Par la suite, introduisons
l’expression de l’électromotance induite ε ind généré par un générateur linéaire :
dΦ m
d
=
B Lx
dt
dt
(
)
⇒
dΦ m
dx
= BL
dt
dt
(Factoriser constantes)
⇒
dΦ m
= B L vx
dt
(Définition de la vitesse : v x = dx / dt
⇒
ε ind =
dΦ m
dt
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Électrotance induite : ε ind = B L v x )
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Situation 2 : L’électromotance induite dans un anneau. Un solénoïde de 8 cm de
longueur et de 2 cm de rayon comporte 24 tours de fil : sa résistance est de 5 Ω. Un anneau
conducteur dont le rayon est de 5 cm et dont la résistance est de 0,01 Ω entoure le
solénoïde : l’anneau et le solénoïde partagent le même axe. On fait varier l’électromotance
de la pile qui alimente le solénoïde à un rythme constant : en 0,5 s, elle passe de 10 V à 15
V. On désire déterminer le courant induit dans l’anneau pendant qu’on fait varier
l’électromotance de la pile.
Pour simplifier, on considère que le module du champ magnétique partout à l’intérieur du
solénoïde est donné par l’équation B = µ 0 nI et que le champ magnétique à l’extérieur du
solénoïde est nul (approximation du solénoïde infini). On néglige également le phénomène
d’auto-induction du solénoïde (voir chapitre 5.6).
Évaluons l’expression du champ magnétique constant B à l’intérieur du solénoïde avec
l’approximation du solénoïde infini :
B = µ 0 nI
⇒
N
B = µ0  I S
L
⇒
B=
⇒
Bint =
(Remplacer n = N / L )
µ0 N  ε 
 
L  RS 
µ0 N ε
RS L
(Loi d’Ohm : ∆V = RI et ∆V = ε )
et Bext = 0
( Bint = B , Bext = 0 car approximation)
Évaluons l’électromotance induite :
ε ind = −
dΦ m
dt
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
d (Φ ext + Φ int )
dt
v
v
v
v
d Bext ⋅ Aext + Bint ⋅ Aint
ε ind = −
dt
v
v
d Bint ⋅ Aint
ε ind = −
dt
d (Bint Aint )
ε ind =
dt
dB
ε ind = Aint int
dt
dBint
ε ind = π rS 2
dt
ε ind = −
(
(
)
(
)
ε ind = π rS
ε ind =
2
d  µ 0 Nε

dt  RS L
µ 0 Nπ rS 2 d ε
RS L
dt
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina



( Φ m = Φ ext + Φ int )
)
v v
(Remplacer Φ m = B ⋅ A )
v
( Bext = 0 par l’approximation)
v
v
(Évaluer ε ind et Bint // Aint )
(Factoriser constante)
2
(Remplacer Aint = π rS )
(Remplacer Bint =
µ0 N ε
RS L
(Factoriser constante)
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)
Développons l’expression de la dérivée en relaxant celle-ci :
ε ind =
⇒
ε ind =
⇒
ε ind =
µ 0 Nπ rS 2 d ε
(Équation précédente)
dt
RS L
µ 0 Nπ rS 2  ∆ε 
RS L


 ∆t 
RS L
∆t
(Dérivée relaxée :
µ 0 Nπ rS 2 (ε f − ε i )
(Remplacer ∆ε = ε f − ε i )
(4π × 10 )(24)π (2 × 10 ) (15) − (10)
=
(0,5)
(5)(8 × 10 )
−2 2
−7
⇒
ε ind
⇒
ε ind = 9,475 × 10 −7 V
dε
∆ε
)
→
dt
∆t
(Remplacer valeurs num.)
−2
(Évaluer ε ind )
Évaluons le courant qui circule dans l’anneau à partir de la loi d’Ohm :
∆V = RI
⇒
(ε ind ) = RA I A
⇒
(9,475 × 10 ) = (0,01)I
⇒
I A = 9,475 × 10 −5 A
(Remplacer ε int = ∆V )
−7
A
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer I A )
Exercices
Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 1
Le plan d’une spire circulaire de rayon de 6 cm fait un angle de 30o avec un champ
magnétique de 0,25 T. Quel est le flux magnétique au travers de la spire ?
Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 2
Une bobine circulaire plane comporte 80 spires de 20 cm de diamètre et de résistance
totale de 40 Ω. Le plan de la bobine est perpendiculaire à un champ magnétique
uniforme. Quel doit être le taux de variation du champ pour que la puissance dissipée par
la bobine soit égale à 2 W ?
Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 3
Un expérimentateur pousse un barreau conducteur sur deux rails métalliques distants de
2 m, à la vitesse de 1,5 m/s, dans un champ magnétique très intense de 3 T.
a) Calculez la force F que l’expérimentateur doit
exercer pour garder le barreau à vitesse
constante.
b) Comparez la puissance mécanique Pm
développée par l’expérimentateur, et la puissance
électrique Pr développée dans la résistance.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Solutions
Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 1
L’angle entre le plan de la spire et le champ magnétique est 30o. Alors, l’angle entre la
normale du plan de la spire et le champ magnétique est 60o
Ainsi :
v v
Φ= B⋅S
⇒
Φ = B S cos(θ )
⇒
Φ = (0,25)π (0,06 ) cos(60° )
⇒
Φ = 0,0014 Wb
⇒
Φ = 1,4 mWb
2
Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 2
Évaluons le potentiel électrique requis pour dissiper 2 W :
P = ∆V I
⇒
 ∆V 
P = ∆V 

 R 
⇒
P=
(Loi d’Ohm : ∆V = R I , I =
(∆V )2
∆V
)
R
(Simplifier)
R
⇒
∆V = PR
⇒
∆V =
⇒
∆V = 8,94 V
(Isoler ∆V )
(2 )(40)
(Remplacer)
(Évaluer ∆V )
Avec la definition de l’électromotance induite, évaluer la variation dans le temps du champ
magnétique :
ε=
dΦ
dt
(
)
dB S N
dB
=SN
dt
dt
⇒
ε=
⇒
dB
ε
∆V
=
=
dt SN
π r2 N
⇒
(
)
(8,94)
dB
=
2
dt
 0,2 
π
 (80 )
 2 
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
⇒
dB
= 3,56 T/s
dt
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Référence : Note Science Santé – Chapitre 8 – Question 3
a) ε =
dΦ
= v B L cos(0°) = (1,5)(3)(2 )
dt
Avec la loi d’Ohm :
⇒
∆V = R I
I=
ε =9 V
⇒
∆V ε (9 )
= =
=3 A
R
R (3)
Loi de Lenz :
Le flux diminue ⇒
⇒
⇒
Induction d’un courant qui va produire un champ magnétique qui va
augmenter le flux magnétique
Le courant circule dans ce sens dans le barreau : ↑
v
Le courant dans le barreau a la valeur suivante : l = + l j
Avec la force magnétique :
v
v
v v
v
v
v v
v
F = I l× B ⇒
F = I l j × − B k = − IlB j × k = − IlB i
v
v
v
⇒
F = −(3)(2 )(3) i = −18 i N
( ) (
)
(
)
v
v
La force mécanique qui doit être appliquée est Fmécanique = 18i N pour maintenir la tige à
vitesse constante.
b)
P=
v v
v
v
dW
= F ⋅ v = 18 i ⋅ 1,5 i = 27 W
dt
(
)(
)
et
P = ∆V I = (9 )(3) = 27 W
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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