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9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech 83
où δ est la longueur caractéristique de la rugosité des parois
du rotor et du stator.
L’équation d’état pour un gaz parfait est introduite pour
éliminer la température dans l’équation de l’énergie.
(9)
où γ est le rapport de chaleur spécifique.
Pour des petits mouvements du centre du rotor par
rapport à sa position d’équilibre, les équations de
conservation sont linéarisées en fonction de l’excentricité
relative
ε
[ε =2e/(Ce+Cs)<<
1, où e est l’excentricité du
rotor par rapport au stator]. Cette méthode de linéarisation
conduit à un système différentiel non linéaire en z
correspondant aux grandeurs moyennes (p0, ρ0, u0 et w0) de
l’écoulement et un système d’équations aux dérivées
partielles du premier ordre correspondant aux fluctuations
(p1, ρ1, u1 et w1) des mêmes grandeurs [4, 5]. Ces
fluctuations sont cherchées de la même forme harmonique
que celle de l’épaisseur locale du film. La résolution de ces
systèmes nécessite la satisfaction des conditions aux limites
qui découlent des équations de la pression d’arrêt pour un
écoulement isentropique à l’entrée du joint [6]. La vitesse de
pré rotation est une donnée indépendante. A la sortie, le joint
débouche dans l’atmosphère. Ensuite, Les forces de pression
exercées sur le rotor sont déterminées par intégration des
fluctuations de pression le long du joint et le long de la
circonférence.
Par ailleurs, la relation liant la force au déplacement, la
vitesse de déplacement et l’accélération est représentée par le
modèle dynamique linéaire [7] suivant :
(10)
où (K, k) et (C, c) sont, respectivement, les coefficients
direct et croisé de raideur et d’amortissement. M est le
coefficient direct de masse ajoutée.
(11)
(12)
Les coefficients dynamiques K, c et M peuvent être
obtenus par une régression du second ordre de la
composante radiale Fr(Ω) dans l’équation (11). Les
coefficients dynamiques C et k sont déterminés par une
régression linéaire de la composante tangentielle Ft(Ω)
dans l’équation (12).
Résultats et Discussions:
Comme dans la plupart des applications industrielles,
on suppose que le rotor décrit, dans le même sens de
rotation de l’arbre, une trajectoire circulaire autour de sa
position d’équilibre initiale.
Les conditions de
fonctionnement du joint sont regroupées dans le tableau 1.
Du point de vue stabilité dynamique, la force
tangentielle Ft est généralement considérée à l’origine du
mouvement orbital qui conduit à l’instabilité du rotor. Le
coefficient croisé de raideur k tend souvent à déstabiliser le
rotor et il peut être négatif ou positif suivant le signe de la
différence des vitesses tangentielles entre l’entrée et la
sortie du joint [8]. Le coefficient direct d’amortissement C
joue un rôle important sur la stabilité du rotor, il réduit
l’effet déstabilisant de la raideur croisée. La force radiale Fr
tend, généralement, à centrer le rotor et à réduire
l’excentricité dynamique. Cependant, elle a une faible
influence sur la stabilité du rotor. En conséquence, les
coefficients dynamiques qui contribuent à la force radiale
(raideur directe K, amortissement croisé c et masse ajoutée
M) ne jouent pas de rôle majeur sur la stabilité ou
l’instabilité du rotor. Pour résumer, la stabilité ou
l’instabilité du rotor dépend essentiellement des coefficients
croisé de raideur k et d’amortissement direct C. Par
conséquent, les résultats de ce travail portent,
principalement, sur l’effet de la vitesse de pré rotation sur
les coefficients de raideur croisée et d’amortissement direct.
La figure 4 représente l’effet du rapport win / Rω sur le
coefficient de raideur croisée k. Cette figure montre que la
raideur croisée croit presque proportionnellement avec
l’accroissement de la vitesse de pré-rotation. Ce résultat
concorde qualitativement avec les mesures expérimentales
Longueur totale du joint Lt
Longueur descendante Ld
Rayon du rotor R
Jeu radial à l’entrée Ce
Jeu radial à la sortie Cs
Pression amont Pe
Pression aval Ps
Viscosité dynamique µ
Facteur de perte ζ
Rugosité de la paroi δ
Vitesse de rotation angulaire ω
Vitesse de vibration du rotor Ω
Température T
Rapport. de chaleur spécifique γ
50.8 mm
40.64 mm
76.2 mm
0.381 mm
0.127 mm
3 bars
1 bar
18 10-6 Kg/m.s
0.1
0.813 10-6 m
10000 tr/min
10000 tr/min
300 °K
1.4
Figure 3: Diagramme des forces de pression et coefficients
dynamiques du joint pour une orbite elliptique
Tableau 1 : Géométrie et conditions opératoires du joint
T
v
c)1(
p-
γ
ρ
=
+
y
x
M0
0M
y
x
Cc-
cC
+
y
x
Kk-
kK
=
F
F
-y
x
2
MaΩcb--Ka=0)(t
x+==
Ω
F
r
F
Cb-ka=)(
y
0tFF
t