Chapitre 6 Le théorème du moment ciné

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Chapitre6
Lethéorèmedu momentciné-
tique
6.1.Momentd’uneforce
6.1.1.Rappels surleproduit vectoriel
Rappelse¤ectué enclasse
6.1.2.Rappels surlesanglesorientés
Rappelse¤ectué enclasse
6.1.3.Momentd’uneforcepar rapportà un pointO
SoitMun pointdemassem,soumisàuneforce ¡! F.
SoitOun point…xe choisi.
Dé…nition
Lemomentd’uneforce enOest:
¡!
¦O=¡¡! OM^¡! F
Lemomentd’uneforce estun vecteur.
Remarque6.1Lemomentd’uneforce dépend dupointOquel’onachoisi ; généralement
¡!
¦O6=¡! ¦O0siO6=O0.
6.1.4.Momentd’uneforcepar rapportà un axe ¢
6.1.4.1.Dé…nition
SoitMun pointdemassem,soumisàuneforce ¡! F.
Soit¢un axe…xe etOun point…xeappartenantà¢.
Dé…nition
Lemomentd’uneforce par rapportàl’axe¢estleprojetéde¡! ¦Osurcetaxe:
¦¢=¡! ¦O:¡! u¢=³¡¡! OM^¡! F´:¡! u¢
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans10 janvier2004

56 Chapitre6Lethéorèmedu momentcinétique
Lemomentd’uneforce par rapportàun axe estun scalaire.
Remarque6.2Lemomentd’uneforce,pourunaxe¢donné,nedépend pasdupointO
quel’onachoisisurcetaxe(explicationdonnée enclasse).
6.1.4.2.Casd’uneforcecolinéaireà¢
¦¢=¡! ¦O:¡! u¢=³¡¡! OM^¡! F´:¡! u¢=0
car³¡¡! OM^¡! F´estorthogonalà¡! u¢puisque¡! Festsuivant¡! u¢.
6.1.4.3.Notionsdebrasdelevier
Traité enclasse
6.2.Lemomentcinétique
6.2.1.Momentcinétiquepar rapportà un pointO
SoitMun pointdemassem,etsoitOun point…xe choisi.
Dé…nition
LemomentcinétiquedeMenOdansleréférentielRestpardé…nition:
¡!
¾O(M)=R=¡¡! OM^¡m¡! v(M)=R¢:
Lemomentcinétiquepar rapportàun pointestun vecteur.
Remarque6.3Ilestimportant,pourdé…nirlemomentcinétique,de bienpréciserleréfé-
rentielRdanslequelils’applique etaussilepointOauquelestappliquélemomentcinétique.
-Exemple1: lemouvementrectilignepassantparO(traité enclasse)
-Exemple2: lemouvementrectilignenepassantpasparO(traité enclasse).
6.2.2.Momentcinétiquepar rapportà un axe ¢
SoitMun pointdemassem;soit¢un axe…xe etOun point…xeappartenantà¢.
Dé…nition
LemomentcinétiquedeMpar rapportà¢dansleréférentielRestleprojetéde¡! ¾O(M)=R
surcetaxe:
¾¢(M)=R=¡¡! ¾O(M)=R¢:¡! u¢=³¡¡! OM^¡m¡! v(M)=R¢´:¡! u¢:
Lemomentcinétiquepar rapportàun axe estun scalaire.
10 janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section6.3Théorèmedu momentcinétique enréférentielGaliléen57
6.3.Théorèmedu momentcinétique en
référentielGaliléen
6.3.1.Le théorèmedu momentcinétiquepar rapportà un point
O
Lethéorèmedu momentcinétique estune conséquence deprincipefondamentaldela
dynamiqueàpartirduquelilsedémontre. Ona:
¡!
¾O(M)=R=m¡¡! OM^¡! v(M)=R
donc
d¡! ¾O(M)=R
dt=mÃd¡¡!
OM
dt!=R
^¡! v(M)=R+m¡¡! OM^µd¡!
v(M)
dt¶=R
=m¡! v(M)=R^¡! v(M)=R+¡¡! OM^µd(m¡!
v(M))
dt¶=R
=¡¡! OM^¡! F(M)
soit
d¡! ¾O(M)=R
dt=¡!
¦O:
quiestlethéorèmedu momentcinétique.
6.3.2.Le théorèmedu momentcinétiqueprojeté surun axe ¢
Lethéorèmedu momentcinétiqueprojetésurun axe¢donne:
µd¡!
¾O(M)=R
dt=¡!
¦O¶:¡! u¢
soit
d¾¢(M)=R
dt=¦¢:
6.4.Applications
6.4.1.Lesmouvementsàforcecentrale
Dé…nition
Uneforce centrale estuneforce dontlesupportpassetoujoursparunmêmepoint…xeO.
Exemples:
-laforce degravitationagissantsurun satelliteautourdelaTerre: lepointOestalors
le centredelaTerre;
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans10 janvier2004

58 Chapitre6Lethéorèmedu momentcinétique
-laforce deCoulombagissantsurune chargemobiledelapartd’une charge…xe: laforce
s’appliquantsurlachargemobile est toujoursdirigée versO(charge…xe).
SCHEMA A FAIRE
Ona:
¡!
¦O=¡¡! OM^¡! F=¡! 0
carlaforce estcentrale,donctoujoursdirigée suivant¡¡! OM. Onenconclue:
d¡! ¾O(M)=R
dt=¡!
0
donc
¡!
¾O(M)=R=¡! cte:
Lemomentcinétiqued’un mouvementàforcecentraleresteconstant.
Cela a plusieursconséquences.
Lemouvementestplan
¡!
¾O(M)=R=m¡¡! OM^¡! v(M)=R=¡! cte=cte:¡! uz:
donc¡¡! OMrestetoujoursorthogonalauvecteurconstant¡! ¾O: latrajectoire estplane etsitué
dansun plan perpendiculaireà¡! ¾OetcontenantO.
Laconstantedesaires
Calculons¡! ¾Odanslesystèmede coordonnéescylindriquesde centreOavec ¡! uzvecteur
unitairesuivant¡! ¾O.
¡!
¾O(M)=R=m¡¡! OM^¡! v(M)=R
=m(rur)^µ¢
r¡!
ur+r
¢
µ¡! uµ¶
=mr2¢ µ¡! uz=¡! cte
donc
r2¢ µ=constante,
quiestappelée constantedesaires.
Si l’on prend l’exempledelatrajectoired’une comèteautourdu soleil, quand cette comète
s’approche(doncrdiminue)alors
¢
µaugmente: lavitesseangulairedevientplusimportante.
6.4.2.Exempledu pendulesimple
Traité enTD
10 janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans