1 Signaux périodiques - Physique-Chimie LN-SPE-2 2016-2017

Lycée Naval, Sup 2.
Signaux Physiques. 08. Filtrage linéaire.
le spectre de ce signal créneau de moyenne non nulle a donc l’allure suivante :
1.4
1.2
Filtrage linéaire
1.0
Signaux périodiques
1.1
spectre (V)
1
Décomposition en série de Fourier
0.8
0.6
0.4
Exemple du signal créneau
0.2
Considérons les sommes partielles de la forme :
N
X
t
1 + (−1)n+1
sin n × 2π
eN (t) = 1 +
2
nπ
T
0.0
f
3f
5f
7f
9f
11f
13f
eN (t) (V)
eN (t) (V)
n=1
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5−T
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5−T
N =1
0
T
N =15
0
T
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5−T
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5−T
Généralisation
2π
, il est
T
possible de décomposer v(t) en une somme de termes sinusoïdaux de pulsation
multiple de ω0 dite série de Fourier :
∞
X
v(t) = V0 +
Vk cos (kω0 t + ϕk )
Soit v(t) un signal T -périodique tel que v(t+T ) = v(t) ; en posant ω0 =
N =5
k=1
0
T
— V0 représente la valeur moyenne du signal ;
— le fondamental est associé au terme de rang k = 1 ;
— les termes suivants constituent les harmoniques de rang k.
1.2
Valeur moyenne, valeur efficace
Définitions
N =41
0
Soit v un signal T -périodique, on définit :
T
→ sa valeur moyenne :
Le premier terme de la somme représente la valeur moyenne du signal. En sommant
des sinus dont la fréquence est multiple de la fréquence fondamentale f = 1/T ,
avec des coefficients bien choisis, on constate qu’avec suffisamment de termes on
finit par reproduire un signal créneau de moyenne 1 V, d’amplitude 1 V et de
même période que le fondamental.
hvi =
1
T
Z
t0 +T
v(t)dt avec t0 quelconque
t0
→ sa valeur efficace notée Veff :
Z
2
1 t0 +T2
2
Veff = v =
v (t)dt avec t0 quelconque
T t0
Seuls les harmoniques impairs sont non nuls et leur amplitude décroît comme 1/n,
1
2
Exemple 1 : signal sinusoïdal
Considérons un signal sinusoïdal de la forme e(t) = E cos (ωt) avec ω = 2πf =
→ valeur moyenne : hei =
1
T
Z
2π
T
Fonction de transfert. Diagramme de Bode
2.1
T
Notion de filtre, fonction de transfert
Un filtre est un quadripôle linéaire qui permet de sélectionner certaines fréquences.
E cos (ωt)dt = 0
0
→ valeur efficace :
Z
Z
Z
E2 T
E 2 T 1 + cos (2ωt)
E2 T 1
E2
2
2
cos (ωt)dt =
dt =
dt =
Eeff =
T 0
T 0
2
T 0 2
2
√
Un signal sinusoïdal e(t) = E cos (ωt) a √
pour valeur efficace Eeff = E/ 2, ainsi :
e(t) = Eeff 2 cos (ωt)
us
ue
On définit la fonction de transfert du filtre selon H (jω) =
us
U
= s
ue
Ue
Us
, le gain du filtre,
Ue
→ ϕ = arg (H(jω)), la phase.
→ G = |H(jω)| =
Cette valeur efficace est fondamentale. C’est cette valeur qu’affichent les multimètres numériques en mode alternatif. On verra l’an prochain qu’elle est reliée à
la puissance électrique.
Les « 220 V » du réseau de distribution d’électricité correspondent à la valeur
efficace de la tension.
2.2
Exemple 2 : signal créneau centré
G
Considérons v, un signal créneau centré (valeur moyenne nulle) d’amplitude E et
de période T ; déterminons sa valeur efficace :
!
Z T
Z T /2
Z T
1
1
T
1
2 =
Eeff
v 2 (t)dt =
E 2 dt +
(−E)2 dt = × E 2 × 2 ×
T 0
T
T
2
0
T /2
Principaux types de filtre
passe−bas
0
ω
fréquences
éliminées
2.3
Eeff = E
√
Cette valeur n’est pas à retenir, elle est là pour montrer que le facteur « 2 » ne
s’applique qu’au cas du signal sinusoïdal.
G
passe−haut
0
G
ω
fréquences
éliminées
passe−bande
0
G
ω
fréquences
éliminées
coupe−bande
0
ω
fréquences
éliminées
Gain en décibel et diagramme de Bode
→ On définit GdB le gain en décibel : GdB = 20 log G
→ Le diagramme de Bode consiste à représenter :
1.3
Égalité de Parseval
GdB en fonction de log (ω), et ϕ en fonction de log (ω)
→ On définit enfin ωc , la pulsation de coupure à −3dB, telle que :
Le carré de la valeur efficace d’un signal v est la somme des carrés des valeurs
efficaces de sa valeur moyenne et de ses harmoniques :
∞
∞
X
X
Vk2
2
2
2 =
Veff
Vk,ef
=
V
+
0
f
2
k=0
Gmax
G(ωc ) = √
2
k=1
Justification :
√
Gmax
20 log G(ωc ) = 20 log √ = 20 log Gmax − 20 log 2 = Gmax
dB − 3dB
2
Cette égalité traduit le fait que la puissance délivrée par le signal est identique à
la somme des puissances des harmoniques.
2
2.4
Exemple : filtre passe-bas du premier ordre
On en déduit ωc = ω0 .
R
ue (t)
Diagramme de Bode
C
→ Gain en décibel :
us (t)
On exprime le gain en décibel : GdB = 20 log G = −10 log 1 + (ω/ω0 )2
Comportement asymptotique
Plus que la fonction elle-même, il faut savoir déterminer et tracer les asymptotes
à haute et basse fréquences :
→ Basse fréquence : ω → 0, |Z c | → +∞, donc us ' ue et G ' 1.
Basse fréquence : pour ω ω0 , GdB ' −10 log 1 = 0 (asymptote horizontale)
→ Haute fréquence : ω → +∞, |Z c | → 0, donc us ' 0 et G ' 0.
Haute fréquence : pour ω ω0 , GdB ' −10 log (ω/ω0 )2 ' −20 log (ω/ω0 )
R
R
ue
us
équivalent basse−fréquence
ue
L’asymptote haute fréquence possède une pente de −20 dB/décade, à chaque fois
que la pulsation est multipliée par un facteur 10, on observe une baisse de 20 dB
pour le gain en décibel et donc une division par 10 du gain réel.
us
0
équivalent haute−fréquence
GdB
Le filtre ne laisse passer que les « basses » fréquences, il s’agit d’un filtre passe-bas.
Fonction de transfert
On détermine la fonction de transfert en utilisant un diviseur de tension :
1/jCω
u
1
1
1
=
=
avec ω0 =
H(jω) = s =
ω
ue
R + 1/jCω
1 + jRCω
RC
1+j
ω0
ω0 est la pulsation propre du filtre.
−20
−40 -2
10
-20 dB/decade
10-1
100
101
102
100
101
102
ω/ω0
→ Déphasage :
À l’aide de la fonction de transfert, on peut retrouver les cas limites :
0
ϕ (rad)
→ Basse fréquence : ω ω0 , H(jω) ' 1.
→ Haute fréquence : ω ω0 , H(jω) ' 0.
Connaissant la fonction de transfert, on en déduit le gain et le déphasage :
1
ω
ω
G = |H(jω)| = q
et ϕ = −arg 1 + j
= −arctan
ω0
ω0
1 + (ω/ω0 )2
−π/4
−π/2
10-2
Le gain est maximal à fréquence nulle et vaut Gmax = 1.
1
Gmax
1
= √ =√
La pulsation de coupure vérifie : G(ωc ) = q
2
2
1 + (ωc /ω0 )2
10-1
ω/ω0
On détermine aisément les asymptotes à basse et haute fréquence pour le déphasage en considérant les équivalents de la fonction de transfert dans ces deux
3
limites :
— Basse fréquence : H(ω) ∼0 1
⇒ ϕ'0
jω0
⇒ ϕ ' −π/2
— Haute fréquence : H(ω) ∼+∞ −
ω
1
— À la fréquence de coupure ωc = ω0 : H(ω0 ) =
⇒
1+j
Le signal de sortie a pour expression :
2
cos (ωt + ϕ(ω))
s(t) = 3 + p
1 + (ω/ω0 )2
Pour ω = ω0 /10, le signal de sortie est quasiment identique au signal d’entrée.
Pour ω = 10 × ω0 , la composante sinusoïdale est très atténuée en sortie du filtre,
le signal de sortie se limite quasiment à sa composante continue.
ϕ = −π/4
→ Signal créneau de moyenne non nulle
Action du filtre sur un signal électrique
On attaque maintenant le filtre par le signal créneau suivant :
On considère le filtre RC précédemment étudié avec ω0 = 100 rad.s−1 .
→ Signal sinusoïdal de moyenne non nulle
4
2
s(t) (V)
0
0.0
6
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
4
2
0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
t (s)
e(t) (V)
6
4
2
0
s(t) (V)
0.000
0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012
6
4
2
0
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012
t (s)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3.00
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
20
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
3.0 0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
200
spectre
0
20
200
40
60
40
60
400
600
ω (rad/s)
400
600
ω (rad/s)
80
80
100
T
1.4
spectre
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
2T
0 ω 3ω 5ω 7ω 9ω 11ω 13ω 15ω
Pour des pulsations fondamentales du signal créneau respectivement égales à ω1 =
10 rad.s−1 , ω2 = 100 rad.s−1 et ω3 = 1000 rad.s−1 , on observe l’allure du signal
de sortie et le contenu de son spectre en fréquence
100
s(t) (V)
e(t) (V)
6
e(t) (V)
On impose en entrée du filtre le signal : e(t) = 3 + 2 cos (ωt) et on observe le signal
en sortie, avec ω successivement égale à 10 rad.s−1 et 1, 0 × 103 rad.s−1 .
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
t (s)
1.4
spectre
1.2
1.0
ω = ω0 /10
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 ω
0
3ω 5ω 7ω 9ω 11ω 13ω 15ω
800 1000
Pour une pulsation fondamentale ω1 ω0 , le signal de sortie est peu différent du
signal d’entrée, seules les harmoniques de pulsation élevées sont atténuées ce qui
se ressent sur les variations brutales du signal.
2π
1
En terme temporel, ω1 ω0 ⇔
donne T1 2πRC. Cela signifie
T1
RC
que la période du créneau est grande devant la constante de temps du circuit RC,
le condensateur a le temps de se charger et de se décharger complètement à chaque
800 1000
4
s(t) (V)
demi-période.
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
t (s)
En effet, sur chaque demi-période du créneau, le signal d’entrée est une constante,
alternativement positive et négative, on obtient donc en sortie, par intégration,
des portions affines de pente alternativement positive et négative.
1.4
spectre
1.2
1.0
ω = ω0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 ω
0
3ω 5ω 7ω 9ω 11ω 13ω 15ω
3
s(t) (V)
3.1
Filtre passe-bas d’ordre 1 (Cf. paragraphe précédent)
3.2
Filtre passe-haut d’ordre 1
Exemples de montage
Pour ω = ω2 = ω0 , seules la valeur moyenne et la fréquence fondamentale sont
préservées.
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012
t (s)
Modèles simples de filtres passifs
C
1.4
spectre
1.2
1.0
ω =10ω0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 ω
0
3ω 5ω 7ω 9ω 11ω 13ω 15ω
R
ou
ue
R
us
ue
L
us
Fonction de transfert
À l’aide de la formule du diviseur de tension, on obtient :
H(jω) =
jω/ω0
1 + jω/ω0
1
pour le premier montage et ω0 = R/L pour le second.
RC
Pour un signal de pulsation ω ω0 , la fonction de transfert se simplifie selon :
1
u
ω
H(jω) = s ' j
⇒ us =
jωue
ue
ω0
ω0
avec ω0 =
Pour ω = ω3 = 10ω0 , seule la valeur moyenne reste intacte.
Un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure est très inférieure à la fréquence
fondamentale du signal se comporte en filtre moyenneur.
Dans le dernier cas de figure étudié, les pulsations du fondamental et des harmoniques sont toutes très grandes vis à vis de la pulsation ω0 , en conséquence :
1
u
1
H(jω) = s =
'
⇒ jωus = ω0 ue
ue
1 + jω/ω0
jω/ω0
Z
dus
C’est à dire en notation temporelle :
= ω0 ue ⇒ us (t) = ω0 ue (t)dt
dt
Un filtre passe-bas du premier ordre se comporte en intégrateur pour tout
signal de pulsation très supérieure à la pulsation de coupure du filtre.
C’est à dire, en notation temporelle : us (t) =
1 due
ω0 dt
Un filtre passe-haut du premier ordre se comporte en dérivateur pour tout
signal de pulsation très inférieure à la pulsation caractéristique du filtre.
Diagramme de Bode
Ainsi dans le cas du signal créneau, on observe en sortie un signal triangulaire
autour de la valeur moyenne.
GdB = 20 log
5
ω/ω0
p
1 + (ω/ω0 )2
!
et ϕ = π/2 − arctan(ω/ω0 )
+20 dB/decade
0
10-1
101
100
ω/ω0
102
10-1
10-2
100
ω/ω0
101
102
La pente à +20 dB/décade est caractéristique d’un comportement dérivateur,
le diagramme de la phase se déduit du diagramme de phase du filtre passe-bas
d’ordre 1 par une translation de +π/2.
3.3
Q =0,5
Q =2
Q =10
0
−3
GdB
GdB
GdB = −10 log 1 + Q2 [ω/ω0 − ω0 /ω]2
et ϕ = −arctan(Q [ω/ω0 − ω0 /ω])
π/4
−20
−40 -2
10
Diagramme de Bode
ϕ (rad)
π/2
0
−20
−40 -2
10
Filtre passe-bande d’ordre 2
ade
-20
d
+20
ec
B/d
10-1
100
ω/ω0
101
dB/
dec
ade
102
Exemple de montage
C
ue
On retrouve, à basse fréquence le caractère dérivateur (pente à +20 dB/décade),
et à haute fréquence le caractère intégrateur (pente à −20 dB/décade).
L
R
Le gain maximal est indépendant du facteur de qualité et vaut Gmax
dB = 0 pour
ω = ω0 .
us
Le filtre sélectionne les pulsations voisines de ω0 , le pic est d’autant plus prononcé
que le facteur de qualité a une valeur élevée.
Fonction de transfert
À l’aide de la formule du diviseur de tension, on obtient :
jω/(Qω0 )
=
H(jω) =
1 + jω/(Qω0 ) + (jω/ω0 )2
On appelle bande
√ passante, notée ∆ω, le domaine des pulsations pour lesquelles
G(ω) ≥ Gmax / 2, on montre que :
ω0
Q=
∆ω
1
ω
ω0
1 + jQ
−
ω0
ω
π/2
H(jω) '
jω
Qω0
⇒
ϕ (rad)
√
Lω0
avec, pour le montage proposé, ω0 = 1/ LC et Q =
.
R
Pour un signal de pulsation ω ω0 , la fonction de transfert se simplifie selon :
Q =0,5
Q =2
Q =10
0
caractère dérivateur
−π/2
Pour un signal de pulsation ω ω0 , la fonction de transfert se simplifie selon :
ω0
H(jω) '
⇒ caractère intégrateur
jQω
10-2
6
10-1
100
ω/ω0
101
102
Application : tripleur de fréquence
Fonction de transfert
On considère en entrée du filtre le signal triangulaire suivant, de pulsation fondamentale ω = 1, 67 × 103 rad.s−1 .
La fonction de transfert se met sous la forme canonique :
1
H(jω) =
1 − x2 + jx/Q
1
avec x = ω/ω0 et, pour le montage de droite ω0 =
et Q = 1/3.
RC
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 ω
0
ve (V)
5
0
5
10
0
4
8
12
t (ms)
spectre
3ω
7ω
5ω
9ω
Diagramme de Bode
2
GdB = −10 log 1 − x2 + x2 /Q2 ,
x
x
; ∀x > 1 ϕ(x) = −π − arctan
∀x < 1 ϕ(x) = −arctan
Q(1 − x2 )
Q(1 − x2 )
11ω
Le filtre est le filtre passe-bande précédemment étudié avec ω0 = 5, 0×103 rad.s−1
et Q = 10.
0.8
−40
0.4
5
0.2
10
0.0
4
8
0 ω
12
t (ms)
−60 -2
10
3ω
5ω
7ω
9ω
11ω
L
R
ou
ue
C
us
ue
C
C
100
ω/ω0
101
102
−π
10-2
10-1
100
ω/ω0
101
102
Le montage proposé correspond à la mise en cascade de deux filtres RC du premier
ordre, cependant la fonction de transfert de l’ensemble n’est pas le produit des
fonctions de transfert de chacun des filtres pris séparément.
1
1
1
6=
×
1 − x2 + jQ/x
1 + jx
1 + jx
Exemples de montage
R
10-1
Montages en cascade
Filtre passe-bas du deuxième ordre
R
−π/2
Dans le cas d’un filtre passe-bas du deuxième ordre, on obtient pour les hautes
fréquences une pente à −40 dB/décade, chaque fois que la fréquence est multipliée par un facteur 10, le gain réel est divisé par 100. Un filtre passe-bas du
deuxième ordre est alors deux fois plus efficace qu’un filtre du premier ordre.
Comme ω0 = 3ω, le filtre passe-bande sélectionne l’harmonique de rang 3, la
valeur importante du facteur de qualité Q = 10, soit ∆ω = ω0 /Q = 500 rad.s−1
assure que toutes les autres harmoniques sont éliminées.
On obtient donc en sortie l’harmonique de rang 3, c’est à dire un signal sinusoïdal
de pulsation 3ω.
3.4
ϕ (rad)
ade
0.6
0
0
spectre
−20
dec
dB/
5
GdB
1.0
vs (V)
-40
10
0
0
us
En effet, lors de la mise en cascade des deux filtres, le second prélève un courant
et la fonction de transfert du premier s’en trouve modifiée.
7
R
ue
C
i=0
R
C
R
us
ue
C
i=0
u s1
Comprendre l’intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade,
de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et forte impédance
d’entrée.
R
u s1
C us
Approche documentaire : expliquer la nature du filtrage introduit par un dispositif
mécanique (sismomètre, amortisseur, accéléromètre. . .).
Étudier le filtrage linéaire d’un signal non sinusoïdal à partir d’une analyse spectrale.
Détecter le caractère non linéaire d’un système par l’apparition de nouvelles fréquences.
Sur le schéma de droite, on a interposé entre les deux filtres un dispositif possédant :
→ une très grande résistance d’entrée : il ne prélève pas de courant en amont,
→ une très faible résistance de sortie : la tension qu’il délivre est indépendante du montage en aval.
La fonction de transfert du montage est alors le produit des fonctions de transferts :
u
u
u
H = s = s × s1 = H 1 × H 2
ue
us1
ue
***************************************
Capacités exigibles
→ Signaux périodiques.
Savoir que l’on peut décomposer un signal périodique en une somme de fonctions
sinusoïdales.
Définir la valeur moyenne et la valeur efficace.
Savoir que le carré de la valeur efficace d’un signal périodique est la somme des
carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
→ Fonction de transfert harmonique. Diagramme de Bode.
Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 et ses représentations graphiques pour conduire l’étude de la réponse d’un système linéaire à une excitation
sinusoïdale, à une somme finie d’excitations sinusoïdales, à un signal périodique.
Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant l’utilité des fonctions de transfert pour un système linéaire à un ou plusieurs étages.
Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode d’après l’expression de la fonction de transfert.
→ Notion de gabarit.
Établir le gabarit d’un filtre en fonction du cahier des charges.
→ Modèles simples de filtres passifs.
passe-bas et passe-haut d’ordre 1, passe-bas et passe-bande d’ordre 2
Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre afin de l’utiliser comme moyenneur, intégrateur, ou dérivateur.
8
Applications directes :
Proposer un filtre permettant de passer du signal parasité au signal corrigé.
On précisera les valeurs des composants utilisés.
AD 1. Filtre RL
On considère le filtre suivant :
R
ue
L
us
1. Déterminer, sans calcul, la nature du filtre.
2. Exprimer la fonction de transfert sous la forme :
jx
H(jx) =
1 + jx
avec x = ω/ω0 et ω0 à exprimer en fonction de R et L.
3. Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour le gain.
4. On donne L = 0, 10 H et R = 1, 0 kΩ et on considère en entrée un signal de
la forme e(t) = E0 cos (2π × 10 × t) avec E0 = 10 V.
Déterminer, sans calcul excessif, les caractéristiques du signal de sortie (amplitude et déphasage par rapport au signal d’entrée).
AD 2. Signal parasité
On présente ci-dessous un signal parasité et le signal corrigé.
4
3
2
1
0
1
2
3
4
0.00
3
2
1
0
1
2
3
0.00
signal bruite
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
signal corrige
0.02
0.04
0.06
0.08
t (s)
0.10
0.12
0.14
9