Travaux dirigés de Gravimétrie L2STE 2011

Travaux dirigés de Gravimétrie
L2STE 2011
On prendra G = 6, 673.10−11 m3/kg/ s−2 pour valeur de la constante de gravitation, R0 = 6371 km pour le rayon de la Terre et g0 = 9, 81 ms−2 pour la pesanteur de la Terre moyenne.
1 Petits calculs historiques
L’objectif de ces exercices est de faire des révisions de géométrie et de mécanique à
l’aide d’expériences historiques effectuées par Eratosthène, Kepler et Galilée ayant
permis d’évaluer la longueur du rayon terrestre, la masse de la Terre et l’accélération de
la pesanteur à la surface de la Terre.
1.1 Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène
Eratosthène estima la longueur du rayon terrestre à partir d’observations dans les
villes de Syène (aujourd’hui appelée Assouan) et Alexandrie (située plus au Nord) en
Egypte, à l’heure de midi, le jour du solstice d’été. Il observa que le soleil ne formait
aucune ombre au fond d’un puits à Syène (rayons du soleil à la verticale) tandis qu’une
obélisque à Alexandrie formait une ombre (voir figure 2). Eratosthène supposa d’une part
que Syène et Alexandrie appartiennent au même méridien et d’autre part que le soleil
est suffisamment éloigné pour que les rayons solaires atteignant Syène et Alexandrie
soient parallèles. A l’aide de la longueur de l’ombre formée par l’obélisque, il estima que
l’inclinaison α des rayons solaires avec la verticale à Alexandrie est égale à 1/50e de tour.
Il évalua par ailleurs la distance entre Alexandrie et Syène (AS), sachant que celle-ci était
parcourue par une caravane de chameaux en 50 jours qui parcourait environ 100
longueurs de stade par jour.
Retrouvez son estimation du rayon terrestre en vous aidant de la figure 1 et
sachant que la longueur d’un stade est d’environ 157.5 m.
Fig.1.
1.2 Loi de Kepler et masse de la Terre
a. On considère un satellite de masse m orbitant autour d’une planète de masse M
avec, pour simplifier, une orbite circulaire de rayon r. Comment s’écrit la force de
gravitation F exercée par la planète sur le satellite ? On fera schéma.
b. Kepler observa que le carré de la période de rotation T d’un satellite autour
d’une planète est proportionnel au cube du rayon de l’orbite. Montrer que la constante de
proportionnalité est 4π2/(GM) (avec G la constante de gravitation universelle G = 6.67 1011
Nm2kg-2). Pour cela, on appliquera le principe fondamental de la dynamique au satellite.
Rappel : l’accélération d’un point en mouvement circulaire uniforme à la vitesse angulaire
ω et avec un rayon r est centripète (orientée vers le centre) et égale à rω2.
c. On observe que la Lune tourne autour de la Terre en 28 jours et que la distance
Terre- Lune est de 385 000 km. A partir de ces observations, en déduire la masse de la
Terre.
d. A quelle altitude orbite un satellite géostationnaire, c’est à dire un satellite qui
reste à la verticale du même point à la surface de la Terre (en rotation sur ell
1.3 Chute libre et mesure de la gravité par Galilée
Un objet effectue une chute libre sur une hauteur h. Exprimez le temps de chute
en fonction de la gravité g.
2 Champ de gravité de la Terre sphérique
On suppose tout d’abord que la Terre est parfaitement sphérique de rayon RT avec
une masse MT uniformément distribuée en volume (Terre homogène) et une masse
volumique (en kg/m3).
2.1. Quelle est la direction du champ de gravité g en un point M situé à une
distance r du centre de la Terre ? De quelle(s) variable(s) dépend le champ g lorsqu’on
choisit un système de coordonnées sphériques ?
2.2. Calculer l’expression du champ de gravité g à l’extérieur et à l’intérieur de la
Terre en utilisant le théorème de Gauss. Il sera utile d’exprimer g à l’extérieur de la Terre
en fonction de la masse totale de la Terre. Représenter qualitativement la fonction g en
fonction du rayon r.
Théoreme de Gauss: le flux du champ de gravité à travers une surface fermée S est
égale à la sommes des masses intérieures à S (ou à l'intégrale des masses interieures)
multipliée par -4πG:
2.3. Connaissant le rayon de la Terre, R = 6371 km, à quelle altitude faut-il
s’élever pour que g soit inférieure de 1% à l’accélération mesurée à la surface terrestre ?
Combien vaut cette accélération à une profondeur de 10 km ?
A.N. : masse volumique moyenne de la Terre ρ = 5500 kg/m3
2.4. On suppose que la Terre est en équilibre hydrostatique à l’échelle des temps
géologiques. C’est-à-dire que la pression est la même que si la Terre était un fluide. La
pression P varie avec la
distance r au centre de la Terre telle que :
dP = - ρ(r) g(r) dr
Exprimer la pression P(r) en fonction de la distance r au centre de la Terre en intégrant
l’équation ci-dessus pour une Terre homogène. Déduisez-en une estimation de la pression
au centre de la Terre.
3. La forme de la Terre (équipotentielles)
3.1. Montrer que le gradient d’un champ scalaire T est perpendiculaire aux
surfaces isovaleurs de T. Rappel : ces surfaces sont appelées surfaces équipotentielles
dans le cas où T est un potentiel.
3.2. Donner l’expression du potentiel gravitationnel V créé par une masse m.
Dessiner quelques surfaces équipotentielles pour la planète sphérique sur la figure 2.
Justifier votre dessin.
3.3. Exprimer l’accélération de la gravité g en fonction du potentiel V. Représenter
g au point E sur la figure2. Comment g est-il orienté par rapport aux surfaces
équipotentielles.
Fig.2
3.4.Soient maintenant deux planètes P1 et P2 de masses respectives M1 et M2. La
figure 3 représente les lignes équipotentielles (intersections des surfaces équipotentielles
avec le plan de votre feuille) du potentiel gravitationnel dû à P1 et P2. Chaque ligne
correspond à une valeur donnée du potentiel (unité arbitraire). La variation du potentiel
est constante en passant d’une ligne à l’autre, dans les trois cas a, b et c. Le seul
paramètre variant entre ces trois cas est la masse M2 de la planète P2. Quel cas
correspond à M2 > M1 ? A M1 > M2 ? Justifier vos réponses.
Fig.3
4. Effets de l’altitude et de la topographie
On considère un plateau horizontal d’altitude h, de densité uniforme ρ, et une falaise
verticale (voir figure 4). Calculer par rapport à une station de référence (g0 = 0) située en
plaine, loin de la falaise, les variations de gravité :
- ∆g1 sur la plaine, loin de la falaise, au sommet d’une tour légère de hauteur h.
- ∆g2 sur le plateau, loin de la falaise.
- ∆g3 sur le plateau, loin de la falaise, mais au fond d’un puits de profondeur h.
- ∆g4 au pied de la falaise (calculer pour cela l’anomalie créée par un demiplateau).
- ∆g5 au sommet de la falaise.
A.N. : h = 40 m, ρ = 2.7.
Fig.4
5. Isostasie
5.1 Rappeler la relation entre topographie et épaisseur de racine dans le cas de
l’équilibre isostatique.
5.2. La lithosphère continentale est constituée d’une croûte continentale
d’épaisseur 30 km et de masse volumique moyenne ρc=2.8 g/cm3, et d’un manteau
supérieur de masse volumique ρm=3.2g/cm3. Au cours d’un épisode tectonique relatif a
une collision continentale, cette lithosphère est chargée par une nappe de masse
volumique ρe = 2.85 g/cm3 et dont la forme est assimilée à un plateau infini d’épaisseur
10 km. L’équilibre isostatique étant atteint (théorie d’Airy), de combien s’enfonce la
lithosphère continentale et quel relief he a-t-on crée ?
5.3. On suppose que la valeur de la pesanteur que l’on aurait mesurée sur la
lithosphère initiale est proche de la pesanteur normale. Ayant réalisé des mesures de g
sur le plateau une fois l’équilibre ainsi obtenu, qu’a-t-on crée comme anomalie à l’air
libre, comme anomalie de Bouguer (la correction de relief est réalisée en supposant
connue la hauteur du plateau par rapport au géoïde et sa masse volumique), et comme
anomalie isostatique (hypothèse Airy 30 km, masse volumique du relief 2.85 g/cm3 , de
la croute 2.80 g/cm3 , du manteau 3.2 g/cm3 ).
5.4. Il y a 250 Ma la chaîne hercynienne était comparable à l’Himalaya (h = 8000
m). En supposant que la croûte est en équilibre isotatique, à l’actuel comme à
l’hercynien, que pouvez-vous dire sur les roches que l’on trouve actuellement dans le
Massif Central à une altitude de 1000 m?
6) Prospection gravimétrique: épave au fond d'un ocean
On veut tester l’efficacité de la prospection gravimétrique pour repérer certaines
épaves qui reposent au fond des mers. Pour cela on dispose d’un gravimètre embarqué à
bord d’un navire dont la précision est de 5 microgals (1 microgal = 10-8 m/s²). Pour
simplifier les calculs, on suppose que l’épave recherchée est de forme cylindrique très
allongée de longueur L, de rayon R (L/R >> 1 ) et de masse volumique ρ1=1420 kg/m3.
Elle repose sur le fond de la mer à la profondeur de h=125 m. La masse volumique de
l’eau est de ρ0= 1020 kg/m3. La Figure 5 représente une vue de côté simplifiée du
problème.
Fig.5
L’objet de l’exercice est de calculer dans un premier temps l’anomalie de gravité δγ
générée par l’épave au niveau de la surface terrestre, puis de calculer l‘influence de
l’anomalie sur la gravité verticale locale g.
6.1. En considérant une épave dont la longueur L est très grande (devant R ),
montrer à l’aide d’arguments de symétries pourquoi l’anomalie de gravité δγ n’a qu’une
seule composante dans le plan perpendiculaire à l’axe du cylindre, comme indiqué sur la
Figure 5.
6.2. Appliquer alors le théorème de Gauss pour calculer l’anomalie gravimétrique
en surface au point M , avec X la distance entre la projection à la surface de l’océan du
centre de l’épave et le point de mesure en surface.
On note que le théorème de Gauss s’écrit dans notre cas : Φ = ∫∫δγ .dS = −4πG∆Mint ,
où ∆Mint est l’anomalie de masse liée à la présence de l’épave, dans notre cas cela
correspond au surplus de masse puisque ρ1 > ρ0.
En déduire la valeur minimale de R pouvant être détectée avec le gravimètre embarqué à
bord du navire.
6.3. Calculer la composante radiale du champ de gravité induit par l’épave à la
distance X, en fonction de son contraste de densité.
6.4. En déduire l’expression de la composante verticale δg de l’anomalie de
gravité liée à la présence de l’épave en fonction de G, R, h, ρ et X. Tracer qualitativement
l’allure de δg quand on se déplace à la surface de la Terre (en faisant varier X). Comment
varie qualitativement la courbe si on fait varier h ou R ?
7. Profondeur du plancher oceanique
On va déterminer la structure thermique de la lithosphère et quelques conséquences. En
application numérique, on prendra : χ= 1 mm2/s (diffusivité thermique), k=3 W/m/K
(conductivité thermique), α = 3.10-5 /K (expansivité thermique), ρA= 3200 kg/m3 (densité
de l’asthénosphère), TA= 1600 K (température de l’asthénosphère), T0 = 300 K
(température au fond de l’océan). Ces quantités seront supposées constantes, les trois
premières dans la Terre, les deux suivantes dans l’asthénosphère.
7.1. Indiquer en quelques lignes comment on peut montrer que la température
T(t,z) de la lithosphère océanique d’âge t à la profondeur z est donnée par :
Donner l’expression de T en fonction de z, de la distance x à la dorsale et de la vitesse u
de la plaque océanique. Quel est l’ordre de grandeur de cette vitesse ?
7.2. Quelle est la forme des isothermes dans la lithosphère océanique ?
On va admettre que l’isotherme TL telle que (TL − TA ) / (TA − T0) = 0,9 définit la frontière
entre l’asthénosphère de température uniforme et la lithosphère.
7.3. Que représente la lithosphère pour un système en convection ? Décrire
comment on estime la température dans la Terre et représenter schématiquement ce
profil de température.
7.4. Donner l’épaisseur zL de la lithosphère en fonction de son âge en MA (million
d’années). Quelle est l’épaisseur d’une lithosphère d’âge 100 MA ?
7.5. Comment varie le flux de chaleur en surface de la lithosphère ?
7.6. En supposant l’équilibre isostatique, quel est l’enfoncement w(x) du fond
océanique, par rapport au sommet de la dorsale ? Quel est l’enfoncement d’une
lithosphère de 100 MA ? On supposera que la densité varie en ρ = ρA (1 − α (T − TA )).
Lithosphère
Isotherme
Asthenosphère
z
x