TP_PGCD : étude comparative des algorithmes d`Euclide et des
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TP sur tableur : L’algorithme le plus performant. I- Objectifs. Mathématiques : -) Comparer sur des exemples lequel de l’algorithme d’Euclide et de l’algorithme des soustractions mène par le moins de calculs au PGCD de deux nombres. -) Réinvestir les manipulations successives vues en classe lors de l’utilisation d’un algorithme menant au PGCD de deux nombres. Informatique : Utilisation d’un tableur pour effectuer simultanément un grand nombre de calculs. II- Énoncé. Ouvrir OpenOffice Calc. Reproduire le tableau ci-dessus (sans écrire les nombres). Pour fusionner des cellules : sélectionner les cellules et cocher Format/Fusionner les cellules. Dans les cellules C2 et C4, entrer respectivement les nombres 462 et 339 dont on cherche le PGCD. On retrouve ces nombres dans les cellules E5 et F5 et dans les cellules I5 et J5. Saisir : dans les cellules E5 et I5, saisir =C2 et dans les cellules F5 et J5, saisir =C4 . 1ère partie : Programmation de l’algorithme d’Euclide L’objectif est dans cette partie de créer un tableau donnant le PGCD de deux nombres à l’aide de l’algorithme d’Euclide. 1) Dans la cellule G5, entrer la formule =MOD(E5;F5) affichant le reste de la division du nombre inscrit dans la cellule E5 par celui inscrit dans la cellule F5. 2) a) Dans la cellule E6, entrer la formule suivante =F5 b) Dans la cellule F6, entrer =G5 c) La cellule G6 doit afficher le reste de la division du nombre inscrit dans la cellule E6 par le nombre inscrit dans la cellule F6. Entrer la formule dans la cellule G6. 3) Copier rapidement ces formules vers le bas jusqu’à l’obtention du PGCD de A et B. (Sélectionner les cellules E6, F6 et G6 puis tirer la poignée de recopie vers le bas) Questions : a) Dans quelle cellule s’affiche-t-il ? …………………………………………………………….. b) Comment le reconnaît-on ?......................................................................................................... c) Quel est alors le PGCD de A et B ?.............................................................................................. 2ème partie : Programmation de l’algorithme des soustractions et comparaison. L’objectif est, dans cette partie, de créer un tableau donnant le PGCD de deux nombres à l’aide de l’algorithme des soustractions. Le tableau présentera les différences successives effectuées dans cet algorithme. 1) Dans la cellule K5, entrer une formule affichant la différence du nombre inscrit dans la cellule I5 par celui inscrit dans la cellule J5. 2) a) Dans la cellule I6, entrer la formule =MAX(J5;K5) affichant le plus grand des deux nombres inscrits dans les cellules J5 et K5. b) Dans la cellule J6, entrer une formule affichant le plus petit des deux nombres inscrits dans les cellules J5 et K5. c) La cellule K6 doit afficher la différence du nombre inscrit dans la cellule I6 par le nombre inscrit dans la cellule J6. Entrer la formule dans la cellule K6. 3) Copier rapidement ces formules dans les autres cellules des colonnes I, J et K jusqu’à l’obtention du PGCD de A et B. (Sélectionner les cellules I6, J6 et K6 puis tirer la poignée de recopie vers le bas) Questions : a) Dans ce cas précis, quel algorithme affiche le PGCD de A et B en effectuant le moins d’opérations ? ……………………………………………………………………………………… b) Quel semble être l’algorithme le plus performant ?....................................................................... 3ème partie : Utilisation des tableaux. Compléter le tableau ci-dessous : Nombre A Nombre B 54 620 11124 1 554 620 11 484 113 112 3397 2458 987654321 123456789 (Pour les deux dernières lignes, vous choisirez les nombres A et B) PGCD(A ; B) Réponses : 1ère partie : a) Dans quelle cellule s’affiche-t-il ? ……G8……... b) Comment le reconnaît-on ?..C’est le dernier reste non nul. c) Quel est alors le PGCD de a et b ?...... PGCD(462 ;339)=3. 2ème partie : a) Dans ce cas précis, quel algorithme affiche le PGCD de a et b en effectuant le moins d’opérations ? L’algorithme d’Euclide. b) Quel semble être l’algorithme le plus performant ? L’algorithme le plus performant est l’algorithme d’Euclide. 3ème partie : Utilisation des tableaux. Compléter le tableau ci-dessous : Nombre A Nombre B PGCD(A ;B) 54 620 11124 4 1 554 620 11 484 4 113 112 1 3397 2458 1 987654321 123456789 9
