Nom - Case des Maths

Nom: ........................
Prénom: ..................... Devoirno06
Avril 2016
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DM
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. Faites des phrases claires et précises.
L’utilisation de logiciels est autorisée.
Exercice 1
Nombre de Mersenne :
On considère les nombres de Mersenne Mn= 2n−1, pour nentier naturel non nul.
1a. En utilisant un tableur, émettre une conjecture sur npour que Mnsoit un multiple de 3.
b. Démontrer la conjecture à l’aide des congruences.
2a. Émettre une conjecture sur npour que Mnsoit un multiple de 5.
b. Démontrer la conjecture à l’aide des congruences.
3a. Émettre une conjecture sur npour que Mnsoit un nombre premier.
b. Le nombre M11 est-il premier ?
c. On suppose que n=pq avec pet qsupérieurs ou égaux à 2. Trouver une factorisation de Mn.
d. En déduire que si Mnest premier, alors nest premier. La réciproque est-elle vraie ?
4On considère les nombres Fd(x;y) = x2+dy2avec d,x et ydes entiers naturels.
a. En utilisant les congruences de Mnet F1(x;y) modulo 4, préciser s’il existe des nombres de Mersenne qui
sont la somme de deux carrés d’entiers naturels.
b. Déterminer un entier naturel net des entiers naturels xet ytels que Mn=F2(x;y).
Le nom de Mersenne est aussi attaché aux nombres pre-
miers. Mersenne cherchait une formule donnant tous
les nombres premiers. S’il échoua, il étudia plus par-
ticulièrement les nombres Mp= 2p?1 , où pest pre-
mier, nombres désormais appelés nombres de Mersenne.
Mersenne affirme en 1644 que Mpest premier pour
p= 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257, et composé (c’est-
à-dire non premier) pour les 44 autres valeurs de pinfé-
rieures à 257. Il commet en fait 5 erreurs (M61,M89,M107
sont premiers, M67,M257 ne le sont pas). Ces nombres
sont encore très étudiés de nos jours. Le plus grand
nombre premier que l’on connaisse est ainsi sans doute
un nombre de Mersenne (que l’on lise cette biographie
en 2003, 2023 ou 2103).
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