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2. Id´eal et anneau quotient
1Heuristique
2Id´eal et anneau quotient A/I
3Propri´et´e universelle du quotient (A/I, π)
4Factorisation des morphismes d’anneau
5A/I est-il int`egre ?
6A/I est-il un corps ?
7et ses quotients /n

1. Heuristique
Soit un anneau (A, +,0,∗, e).
Objectif : d´eterminer des CNS sur I⊂Apermettant de construire un
anneau quotient A/I tel que la projection canonique π:A→A/I soit un
morphisme d’anneau.
On sait d´ej`a :
La CNS pour avoir un groupe (A/I, +,0) et π:A→A/I morphisme de
groupe est Isous-groupe distingu´e de (A, +,0). Comme (A, +,0) est
ab´elien, on impose simplement Isous-groupe de (A, +,0). On dispose alors
du morphisme de groupe canonique :
A
π
A/I

Heuristique (2)
Probl`eme : est-ce que la multiplication ∗passe au quotient de fa¸con `a faire
de (A/I, +,0,∗, e)un anneau, et de πun morphisme d’anneau ?
Analyse :
•la multiplication sur A/I doit ˆetre
∗:A/I ×A/I −→ A/I
(u, u0)7−→ u∗u0? =π(x∗x0)
pour tous x, x0∈Atels que π(x) = uet π(x0) = u0.
•Cette d´efinition serait licite si ∗passe au quotient,i.e. :
(∀x, x0, y, y0∈A)π(x) = π(y)
et π(x0) = π(y0)?
=⇒π(x∗x0) = π(y∗y0)

Heuristique (3)
Autrement ´ecrit :
(∀x, x0, y, y0∈A)x−y∈I
et x0−y0∈I?
=⇒x∗x0−(y∗y0)∈I
Par un petit calcul dans l’anneau A, on remarque :
x∗x0−(y∗y0) = x∗(x0−y0)
| {z }
∈I
+ (x−y)
| {z }
∈I
∗y0

2. Id´eal et anneau quotient A/I
Soit un anneau (A, +,0,∗, e).
D´efinition (id´eal)
On dit que I⊂Aest un id´eal de As’il satisfait ces 2 conditions :
1Iest un sous-groupe de (A, +,0) ;
2(∀x∈A)xI ⊂Iet Ix ⊂I.
Exercices :
1Les id´eaux de sont ses sous-groupes npour n∈.
2Toute intersection d’id´eaux est un id´eal contenant {0}.
3Soit Iun id´eal de A.
Icontient un ´el´ement inversible ⇐⇒ I=A
En particulier : Acorps =⇒An’a que deux id´eaux : {0}et A.
(r´eciproque vraie si Aest commutatif)
4Soient f:A→A0un morphisme d’anneau et I0un id´eal de A0. Alors
f−1(I0)est un id´eal de A. En particulier Ker(f)est un id´eal de A.