Mécanique Quantique II TD 2

M1 Physique
Mécanique Quantique II
Mécanique Quantique II TD 2
1 Hydrogène
Écrire et tracer la partie radiale de la fonction d'onde pour les deux premier niveaux
de l'atome d'hydrogène.
2 Modication de l'atome hydrogènoide
Montrer que l'addition d'un petit terme en r−2 au potentiel de Coulomb lève la dégénérescence accidentelle des états ayant diérentes valeurs de `. Montrer que les niveaux
d'énergie sont encore donnés par une formule de Balmer avec un n qui n'est plus entier
mais dépend de `, le défaut quantique.
3 Oscillateur harmonique 3D
Pour un oscillateur harmonique isotrope à 3 dimensions, V (r) = 21 mω 2 r2 , résoudre
l'équation de Schrödinger par séparation des variables en coordonnées cartésiennes et en
coordonnées sphériques. Dans ce dernier cas, admettre que les états propres ont la forme
mω r2 f (r)Ylm (θ, φ)
φ(r) = r` exp −
2~
et montrer que f (r) peut s'exprimer en termes de polynômes de Laguerre associés d'indices
demi-entiers.
Donner les énergies propres et établir la correspondance entre les deux ensembles de
nombres quantiques.
Pour les deux niveaux les plus bas, déterminer la relation entre les fonctions d'ondes
obtenues par chacune des deux méthodes.
Obtenir une formule donnant le degré de dégénérescence des niveaux d'énergie. Comparer la densité d'états de l'oscillateur en fonction de l'énergie avec celle d'une particule
dans une boite cubique.
4 Potentiel écranté
Par méthode variationnelle avec des fonctions de type exp(−βr/a), de paramètre β ,
trouver la meilleure approximation de l'état fondamental pour une particule soumise au
potentiel de Yukawa : V (r) = −V0 exp(−r/a)/(r/a), V0 et a positifs. Relier β à 2mV0 a2 /~2 .
Pour 2mV0 a2 /~2 = 2.7, calculer β et donner une borne supérieure à l'énergie fondamentale.
Y a-t-il des états excités liés ?
Montrer que, dans la limite de Coulomb (V0 → 0, a → ∞, aV0 ni), on retrouve l'état
fondamental de l'atome hydrogènoide, énergie et fonction d'onde.
5 Centre de masse et mouvement relatif
Considérons un système de deux particules, de masses m1 et m2 , interagissant par un
potentiel V conforme à la relativité galiléenne. Les états quantiques sont des fonctions
d'onde ψ(r1 , r2 ) continûment dérivables et de carré sommables sur R3 × R3 .
a) Écrire le hamiltonien du système. Est-ce que l'équation de Shrödinger stationnaire
est séparable ?
On dénit les observables
rG =
1
(m1 r1 + m2 r2 ),
M
pG = p1 + p2 ,
r = r1 − r2
1
p=
(m2 p1 − m1 p2 ) = µ
M
p2
p1
−
m1 m2
associées respectivement au centre de masse G et au mouvement relatif ;
M = m1 + m2 ,
1
m1 + m2
1
1
+
=
.
=
µ
m1 m2
m1 m2
M est la masse totale, µ la masse réduite.
b) Montrer que les coordonnées de ces opérateurs vectoriels satisfont les relations de
commutations canoniques, et que les observables relatives commutent avec celles du
centre de masse.
c) Exprimer le hamiltonien en termes de ces nouvelles observables. Montrer qu'il est
séparable. Discuter les solutions du problème de Schrödinger.
d) Montrer que le moment cinétique total J = L1 + L2 peut s'écrire J = LG + L où
chacun des moments cinétiques, à droite, est déni par les formules habituelles pour
les points (particules ctives) centre de masse et relatif.
e) Vérier que LG et L satisfont les relations de commutations caractéristiques des
moments cinétiques et qu'ils commutent l'un avec l'autre.