Logique Résumé 1er cours 1 L’objet de la logique Objet de la logique = les raisonnements ; et plus précisément ce qu’on appelle les schémas argumentatifs ou formes de raisonnement ou encore schémas d’inférences. Exemple : (1) Tous les hommes sont mortels Socrate est un homme Socrate est mortel Notation 1 (Schéma argumentatif) Un schéma argumentatif se notera de la manière suivante, où p1 , p2 , . . . , pn sont, ou représentent, des phrases déclaratives : p1 p2 .. . pn−1 pn A plat, on écrira: p1 , p2 , . . . , pn−1 /pn . Les phrases p1 , p2 , . . . , pn−1 s’appellent les prémisses du schéma argumentatif, et pn sa conclusion. Autres exemples : (2) S’il pleut, je reste chez moi Il pleut Je reste chez moi (4) (3) Aucun rossignol ne sait jouer de la guitare Serge sait jouer de la guitare Serge n’est pas un rossignol Le coupable est soit un chameau, soit un dromadaire Le coupable n’est pas un dromadaire Le coupable est un chameau Remarques: En logique standard, l’ordre des prémisses entre elles n’a aucune importance. De plus, le nombre de prémisses dans un schéma argumentatif est tout à fait quelconque : on peut avoir une seule prémisse, comme en (5), et même aucune, comme en (6). (5) Je pense (6) En ce moment, soit il pleut, soit il ne pleut pas Je suis 2 Validité vs. vérité Les raisonnements suivants (7–9) sont logiquement « incorrects », car il manque une relation de conséquence logique entre les prémisses et la conclusion. On dira qu’ils sont non valides. (8) S’il y a de la glace en dessert, j’en prends (7) Tous les hommes sont mortels Il y a de la glace en dessert Rantanplan est mortel Rantanplan est un homme Je n’en prends pas 1 (9) Il y a (= il existe) des pharmaciens Il y a des pharmaciens chauves Tous les pharmaciens sont chauves Le but de la logique est de faire le tri entre les raisonnments valides et ceux qui ne le sont pas. En d’autres termes, la logique porte des jugements d’acceptabilité sur les formes de raisonnement. Définition 1 (Validité) Un schéma argumentatif valide est tel que lorsque ses prémisses sont vraies, alors sa conclusion doit toujours être vraie aussi. Important : il ne suffit pas que les prémisses et la conclusion se trouvent être vraies ensembles pour qu’un raisonnement soit valide. (10) La pintade est un galinacé L’eau bout à 100˚C Elizabeth II est la Reine d’Angleterre Il faut que la conclusion soit vraie dans tous les cas de figures où les prémisses sont vraies pour qu’un raisonnement soit valide. La vérité factuelle des prémisses et de la conclusion n’a pas d’importance ; seule compte la vérité relative de la conclusion par rapport aux prémisses. Ainsi (11) est valide, même si les phrases qui le composent sont fausses dans notre réalité : (11) Les girafes sont imbattables aux échecs Lady Gaga est une girafe Lady Gaga est imbattable aux échecs En revanche (12) n’est pas valide, bien que ses prémisses et sa conclusion soient vraies par rapport à la réalité zoologique. Mais la conclusion n’est pas une conséquence des prémisses. (12) 3 Tous les bovins sont des ruminants Le cheval n’est pas un bovin Le cheval n’est pas un ruminant Logique formelle et symbolique On a même pas besoin de comprendre tout le sens des phrases qui composent un raisonnement pour juger s’il est valide ou non : (13) Si un borogove bournifle sur l’alloinde, il galomphe Les verchons sont des borogoves qui bourniflent sur l’alloinde Les verchons galomphent Seule compte la compréhension de la structure syntaxique/sémantique des phrases, c’est-à-dire le sens de mots comme si, un, le(s), tous, etc. Ces éléments fondent la configuration structurelle des phrases, ce que l’on appellera ici la forme des phrases. C’est pourquoi on parle de logique formelle. C’est parce que (13) est de la forme (14) que l’on sait qu’il est valide. (14) Si un A B, (alors) il C Les D sont des A qui B Les D C où A et D représentent des noms et B et C des groupes verbaux. De même, (1) est valide, car il est de la forme : (15) Tous les A sont B C est un A C est B 2 Voici quelques autres schémas d’inférence généraux et valides. Modus ponens: Si A, (alors) B A B Remplacez A et B par n’importe quelles phrases déclaratives, vous obtiendrez un raisonnement valide (cf. (2). Modus tollens: Si A, (alors) B Non B Non A Ici, Non B et Non A représente les tournures négatives des phrases B et A. Le schéma (16) est un exemple de modus tollens. (16) Si Pinocchio ment, son nez s’allonge Le nez de Pinocchio ne s’allonge pas Pinocchio ne ment pas Mais attention ! la forme de raisonnement suivante, elle, n’est absolument pas valide : (17) Si A, (alors) B Non A Non B Par exemple, (18) n’est pas valide : (18) Si les taux d’intérêt augmentent, la bourse baisse Les taux d’intérêt n’augmentent pas La bourse ne baisse pas En revanche le schéma suivant, que l’on appelle le dilemme bivallent, est valide (exemple en (20)) : (19) Si A, (alors) B Si non A, (alors) B B (20) Si je tue le Comte, je perds l’amour de Chimène Si je ne tue pas le Comte, je perds l’amour de Chimène Je perds l’amour de Chimène Voici encore un autre schéma d’inférence valide (cf. (4)) : (21) A ou B Non A B Récapitulatif C’est la forme des énoncés composant les raisonnements qui compte ; il est donc dans notre intérêt de travailler directement sur des formulations générales et plutôt abstraites comme si A, (alors) B, non A, A ou B, etc... Cela nous permet en effet de capter des réguralités sur les propriétés logiques des raisonnements, sans avoir à examiner des multitudes d’instances particulières formulées en langage naturel. Ces notations générales sont déjà symboliques, car elles utilisent des variables (donc des symboles qui n’appartiennent pas à la langue française) A, B, C... qui valent pour n’importe quelle phrase déclarative. Mais on va aller encore plus loin dans ce sens. En plus d’être formelle, la logique que nous étudions est symbolique. Cela signifie que les raisonnements sur lesquels nous allons travailler vont être entièrement traduits dans un langage artificiel 3 (on dit aussi parfois formel), abstrait, de type mathématique, c’est-à-dire symbolique. Cela aura aussi pour intérêt de nous débarrasser de toute l’ambiguïté inhérente aux langues naturelles. En logique les formulations sont précises et non polysémiques. 4