RAN2 - Fonctions - Cours

Fonctions numériques
Remise à Niveau Mathématiques
Deuxième partie : Fonctions
Cours
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Fonctions numériques
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Fonctions numériques
1
Définitions ______________________________________________________________________5
1.1
Fonction numérique __________________________________________________________5
1.1.1 Notion de fonction __________________________________________________________5
1.1.2 Courbe représentative ________________________________________________________6
1.1.3 Recherche de domaine de définition_____________________________________________6
1.1.4 Injection et surjection ________________________________________________________7
1.2
Composition de fonctions ______________________________________________________8
1.2.1 Généralité _________________________________________________________________8
1.2.2 Fonctions réciproques ________________________________________________________8
2
Propriétés ______________________________________________________________________10
2.1
Parité _____________________________________________________________________10
2.2
Sens de variation (ou croissance/décroissance) d’une fonction ______________________11
2.2.1 Définitions _______________________________________________________________11
2.2.2 Extremums d’une fonction ___________________________________________________14
2.2.3 Tableau de variations d’une fonction ___________________________________________14
2.2.4 Sens de variation de deux fonctions réciproques __________________________________15
2.3
Périodicité _________________________________________________________________16
2.4
Limites d’une fonction _______________________________________________________16
2.4.1 Limites infinies en l’infini ___________________________________________________16
2.4.2 Limites finies en l’infini _____________________________________________________18
2.4.3 Limite finie en un réel a _____________________________________________________19
2.4.4 Limite infinie en un réel a ___________________________________________________19
2.4.5 Absence de limite __________________________________________________________20
2.4.6 Règles : __________________________________________________________________20
2.4.7 Formes indéterminées : ______________________________________________________20
2.5
Asymptotes ________________________________________________________________21
2.5.1 Asymptote horizontale ______________________________________________________21
2.5.2 Asymptote verticale ________________________________________________________21
2.5.3 Asymptote oblique _________________________________________________________22
2.5.4 Courbe asymptote : « branche infinie » _________________________________________23
2.6
Continuité _________________________________________________________________25
2.6.1 Approche graphique : _______________________________________________________25
2.6.2 Propriétés des fonctions continues : ____________________________________________26
3
Dérivation ______________________________________________________________________27
3.1
Dérivées et différentielles : notions _____________________________________________27
3.2
Dérivée d’une fonction : ______________________________________________________29
3.2.1 La définition du Petit Larousse. _______________________________________________29
3.2.2 La définition mathématique. __________________________________________________29
3.2.3 Interprétation graphique de la dérivée __________________________________________30
3.2.4 Liens entre dérivée et variations d’une fonction___________________________________32
3.3
Expressions de dérivées de quelques fonctions ___________________________________33
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Fonctions numériques
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
3.3.7
3.3.8
4
Dérivée d’une constante _____________________________________________________33
Dérivée de la fonction identité ________________________________________________33
Opérations usuelles sur les dérivées ____________________________________________33
Dérivée des fonctions carrée et puissance _______________________________________34
Dérivée des fonctions puissance inverse ________________________________________35
Dérivées des puissances fractionnaires __________________________________________35
Dérivée d’une fonction composée : ____________________________________________36
Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction _________________________________36
Etude de fonctions spécifiques _____________________________________________________38
4.1
Fonctions constantes _________________________________________________________38
4.2
Fonctions en escaliers ________________________________________________________38
4.3
Fonctions affines ____________________________________________________________39
4.4
Fonctions puissance mième de x : _______________________________________________40
4.5
Fonction inverse : ___________________________________________________________42
4.6
Fonctions racine mième de x : __________________________________________________42
4.7
Fonctions homographiques ___________________________________________________43
4.8
Fonction logarithme népérien _________________________________________________45
4.8.1 Définition ________________________________________________________________45
4.8.2 Propriétés algébriques _______________________________________________________45
4.8.3 Propriétés analytiques _______________________________________________________45
4.8.4 Représentation graphique ____________________________________________________46
4.9
Fonction exponentielle _______________________________________________________47
4.10
Fonctions circulaires ou trigonométriques _______________________________________48
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Fonctions numériques
1 Définitions
1.1 Fonction numérique
1.1.1
Notion de fonction
Une fonction numérique f , d’un ensemble
correspondre à tout élément x de
Df
Cette fonction est représentée par :
de
ℝ
un élément y de
vers un ensemble
f (D f )
f ( D f ) de ℝ
fait
et un seul, noté f (x).
f
x →
f (x)
x
→ y = f (x)
f:
ou encore :
Df
f
x
y = f(x)
Df
f (D f )
ensemble de définition de f
ensemble image de f
Exemples de fonctions :
x
→ ax
x
→ ax + b
Les fonctions linéaires :
Les fonctions affines :
Les fonctions polynomiales du second degré :
x
→ ax 2 + bx + c
où
a∈ℝ
( a, b ) ∈ ℝ 2
où
( a, b, c) ∈ ℝ 3 , a non nul
où
x
→ sin x
W
t →
RI 2t
La fonction sinus :
La fonction :
est la fonction qui définit la consommation
d’une lampe en énergie électrique, W. Elle dépend de la durée t d’éclairage et se traduit par cette
fonction linéaire de la variable t.
L’intensité I d’un courant alternatif est une fonction sinusoïdale du temps :
t
→ I = I 0 sin ωt
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Fonctions numériques
1.1.2
Courbe représentative
Le plan étant rapporté à un repère cartésien, on appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble
(Cf) des points du plan M de coordonnées
( x, y = f ( x ) ) .
1.1.3 Recherche de domaine de définition
Déterminer le domaine de définition est la première étape de l’étude d’une fonction.
Celui-ci est généralement un intervalle ou une réunion d’intervalles de ℝ .
Il s’agit de déterminer quels réels x ont une image par f, c’est à dire pour quelles valeurs de x le nombre
f(x) existe.
•
Les fonctions de la forme :
h( x) < 0
•
Les fonctions de la forme :
•
h( x) = 0
Les fonctions de la forme : ln( h( x )) où h(x ) est une expression de x , ne sont pas définies pour
h( x) ≤ 0
h(x) , où h(x ) est une expression de x , ne sont pas définies pour
1
, où h(x ) est une expression de x , ne sont pas définies pour
h( x)
Les valeurs de x pour lesquelles une fonction n’est pas définie sont nommées : « valeurs interdites ».
Exemple :
f
x 
→ sin ( x )
f
x →
4 − x2
sin(x) existe ∀x ∈ ℝ :
Df = ℝ
l’expression est valide pour (4 − x 2 ) ≥ 0
⇔
4 ≥ x2
⇔
|x| ≤ 2
Le domaine de définition est donc l’intervalle fermé
D f = [− 2;2]
f
x →
1
x2 − 4
La fonction
n’est définie que pour des nombres positifs ou nuls et la fonction inverse n’est
définie que pour des nombres strictement différents de 0.
La fonction f est donc définie pour :
(x² - 4) > 0
⇔
x² > 4
⇔
|x| > 2
⇔
x > 2 ou x < −2
D
=
]
−
∞
;
−
2
[
∪
]
2 ; + ∞[
donc le domaine de définition est f
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Fonctions numériques
f
x →
− x 2 − 1 fonction définie pour -x² - 1 positif
⇔
donc le domaine de définition est vide : D f = φ
f
x →
− x 2 ≥ 1 impossible
1
x−2 x+2
n’est définie que pour des nombres positifs ou nuls et la fonction inverse n’est
La fonction
définie que pour des nombres strictement différents de 0.
La fonction f est donc définie pour :
x − 2 > 0
x > 2
⇔


x + 2 > 0
 x > −2
donc le domaine de définition est D f = ]2 ; + ∞[
1.1.4
Injection et surjection
On dit que f est injective,, ou est une injection, de
Df
dans E si, pour tout élément y de l’ensemble E, il
existe au plus (au maximum) un élément x dans l’ensemble de définition
Autrement dit, la relation
f (x) = f (x′)
implique la relation
On dit que f est surjective,, ou est une surjection, de
Df
Df
f (D f )
f ( x) = y .
x = x′ .
dans E si tout élément y de l’ensemble E est
image d’au moins (au minimum) un élément x de l’ensemble de définition
Autrement dit, si
tel que :
Df
.
est égal à E tout entier.
Dire qu’une fonction est une bijection , c’est dire qu’elle est à la fois une injection et une surjection : à
tout x correspond une unique valeur y et réciproquement.
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Fonctions numériques
Exemple concret :
Prenons le cas d’un séminaire d’entreprise où un groupe de collègues doit être logé dans un hôtel. Chaque
façon de répartir les collègues dans les chambres de l’hôtel peut être représentée par une application (ou
fonction) de l’ensemble des collègues, D f , vers l’ensemble des chambres E (à chaque collègue est
associée une chambre).
• Les collègues souhaitent que l’application soit injective, c’est-à-dire que chacun d’entre eux ait
une chambre individuelle. (Cela n’est possible que si le nombre de collègues ne dépasse pas le
nombre de chambres)
• L’hôtelier souhaite que l’application soit surjective, c’est-à-dire que chaque chambre soit
occupée. (Cela n’est possible que s’il y a au moins autant de collègues que de chambres).
• Ces souhaits ne sont compatibles que si le nombre de collègues est égal au nombre de chambres.
Dans ce cas, il est possible de répartir les collègues de telle sorte qu’il y en ait un seul par
chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l’application sera alors à la fois injective et
surjective ; on dira qu’elle est bijective.
1.2 Composition de fonctions
1.2.1
Généralité
Procédé qui consiste, à partir de deux ou plusieurs fonctions, d’en construire une nouvelle, par
« emboîtements ». Pour cela, on utilise les images par x de la première fonction comme arguments pour la
seconde. On parle alors de fonction composée.
f
g
x
→
f ( x) 
→
g ( f ( x))
On note :
g f « g rond f » pour la fonction , ( g f )( x ) « g rond f de x » pour une valeur.
Il faut que l’ensemble d’arrivée de la fonction f soit inclus dans l’ensemble de définition de la fonction g.
Bien vérifier la compatibilité des domaines de définition.
1.2.2
Fonctions réciproques
Deux fonctions f et g sont dites réciproques si, et seulement si, pour tout x, g(f(x)) = x.
Cela implique que l’ensemble d’arrivée de f soit le domaine d’étude de g et que le domaine de valeurs de
x soit l’ensemble d’arrivée de g.
Cela implique également g(f(x)) = f(g(x)) = x.
On note alors g
= f -1
(ou bien indistinctement f = g -1).
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Fonctions numériques
Représentation graphique :
Dans le plan muni d’un repère cartésien, à tout point M(x, f(x)) de la courbe représentative de la fonction f
correspond le point M’(f(x), x) de la courbe représentative de la fonction f -1.
C f −1
y
M’
x0
Cf
M
f ( x0 )
0
f ( x0 )
x0
x
Les deux courbes sont alors symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice des axes.
Exemples : * La fonction carrée, sur le domaine [0 ; +∞[ et la fonction racine carrée, sur son domaine
de définition, sont réciproques : pour tout réel x positif, √(x²) = (√x)² = x.
* les fonctions ln et exp, sur leurs domaines entiers, sont réciproques.
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Fonctions numériques
2 Propriétés
2.1 Parité
Soit f une fonction définie sur un ensemble E.
f est paire ssi :
∀x ∈ E
− x∈E
et
f (− x) = f ( x)
(E est symétrique par rapport à l’origine)
Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie et
pour étudier f, il suffit de l’étudier sur E ∩ [0;+∞[ .
f est impaire ssi :
∀x ∈ E
− x∈E
et
f (− x) = − f ( x)
(E est symétrique pas rapport à l’origine)
Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf) admet l’origine comme centre de symétrie et pour étudier f, il
suffit de l’étudier sur E ∩ [0;+∞[ .
y
y
f(x0)
− x0
f ( x0 )
− f ( x0 )
Fonction impaire : la fonction
inverse f(x)=1/x
x0
x
-x0
x0
x
Fonction paire : la
fonction carrée f(x)=x2
Vérifier si une fonction est paire ou impaire permet de diviser en 2 le domaine d’étude.
L’ensemble d’étude E d’une fonction paire est forcément symétrique par rapport à 0.
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Fonctions numériques
2.2 Sens de variation (ou croissance/décroissance) d’une fonction
2.2.1
Définitions
Toutes les fonctions considérées ici sont à valeurs réelles et définies sur des intervalles de
à un point.
Soient un intervalle I de
On dit que f est :
ℝ
et une fonction f : I
ℝ non réduits

→ℝ .
croissante sur I ssi :
∀( x1 , x2 ) ∈ I × I
tels que
x1 ≤ x2 on a f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
f a toujours le même effet sur la relation d’ordre : l’ordre qui existe entre 2 réels se retrouve dans l’ordre
de leurs images. C’est-à-dire que la variable et la fonction varient dans le même sens (Figure 1).
décroissante sur I ssi :
∀( x1 , x2 ) ∈ I × I
tels que
x1 ≤ x2 on a f ( x1 ) ≥ f ( x2 )
Dans ce cas, la variable et la fonction varient en sens contraires (Figure 2).
y
y
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
x1
x2
x
x1
Figure 2
Figure 1
O
strictement croissante sur I ssi :
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x2
x
Fonctions numériques
∀( x1 , x2 ) ∈ I × I
tels que
x1 < x2 on a f ( x1 ) < f ( x2 )
Autrement dit, f est croissante et x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) (Figure 3)
y
x
O
Figure 3
strictement décroissante sur I ssi :
∀( x1 , x2 ) ∈ I × I
tels que
x1 < x2 on a f ( x1 ) > f ( x2 )
Autrement dit, f est décroissante et x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 )
Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle y est croissante ou alors décroissante.
La représentation graphique d’une fonction monotone sur I est une courbe qui « monte »
constamment ou « descend » constamment.
Une fonction strictement monotone est une bijection.
Exemple 1 :
La fonction f :
∀x ∈ℝ on note E(x) la partie entière de x, unique entier k ∈ ℤ
ℝ 
→ℝ
x
→ E (x) est croissante sur ℝ .
tel que k ≤ x < k + 1 .
[
[
Mais elle n’est pas strictement croissante car elle est constante sur chaque intervalle k ; k + 1 .
Exemple 2 : Une fonction linéaire
x
→ ax + b ,
x
→ ax ,
ou plus généralement une fonction affine
est monotone sur ℝ .
Elle est constante si a = 0
Elle est strictement croissante si a > 0
Elle est strictement décroissante si a < 0
En effet :
x < x′ ⇒ ax < ax′
⇔ ax + b < ax ′ + b
si a > 0
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Fonctions numériques
⇔ f ( x) < f ( x ′)
x < x′ ⇒ ax > ax′
⇔ ax + b > ax′ + b
⇔ f ( x) > f ( x′)
Et
Exemple 3 : Soit la fonction :
Si
∀( x, x ' ) ∈ ℝ 2+
si a < 0
f
x →
x2
0< a < a’
et
0< b < b’,
alors
ab < a’b’
tels que x < x’, on a xx < x’x’, c’est à dire x² < x’²
*
Donc la fonction f est strictement croissante sur ℝ + .
Or cette fonction est paire, c’est-à-dire que :
f ( − x) = f ( x )
*
D’où : la fonction est décroissante sur ℝ − .
y
f(x)=x2
x
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Fonctions numériques
2.2.2
Extremums d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de
On dit que f admet :
ℝ.
•
un maximum M si l’ensemble f(I) admet un plus grand élément M :
Il existe x0 dans I tel que ∀ x ∈ I f ( x) ≤ f ( x0 ) , noté M .
•
un minimum m si l’ensemble f(I) admet un plus petit élément m :
Il existe x0 dans I tel que ∀ x ∈ I f ( x) ≥ f ( x0 ) , noté m .
Exemple :
Sur l’intervalle I = [-1 ; 4], la fonction f d’expression f ( x ) =
3x
admet :
1+ x2
un maximum : f (1) =
3
2
un minimum : f ( −1) = −
3
2
2.2.3 Tableau de variations d’une fonction
Le tableau de variations est un résumé des renseignements que nous avons sur la croissance d’une fonction.
Dans tout tableau de variations :
On repère sur la première ligne la variable x variant sur son ensemble de définition.
On découpe
Df
en autant d’intervalles sur lesquels la fonction est monotone
On signale d’une flèche :
- Montante la croissance de la fonction, descendante la décroissance de la fonction
- Horizontale la constance d’une fonction
Si elles existent, on peut noter les valeurs du maximum ou du minimum de la fonction f sans oublier les
valeurs de x en lesquels ils sont atteints.
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Fonctions numériques
Voici par exemple la courbe et le tableau de variations d’une fonction f :
x
-1
0
-1
1
2
3
f(x)
-6
-2
On décrit les variations de cette fonction sur [-1 ; 2] :
La fonction f est strictement croissante sur [-1 ; 0[,
strictement décroissante sur ]0 ; 1[, strictement croissante
sur ]1 ; 2].
Son maximum est 3, atteint lorsque x = 2
Son minimum est -6, atteint lorsque x = -1
-1 est maximum local en x = 0
-2 est minimum local en x = 1
2.2.4
Sens de variation de deux fonctions réciproques
Si f est une fonction monotone alors f -1 est aussi monotone.
C’est-à-dire que :
si f est strictement croissante alors f -1 est strictement croissante
si f est strictement décroissante alors f -1 est strictement décroissante
Montrons-le :
Soit f strictement croissante,
soit a < b où a et b sont deux réels appartenant au domaine de f –1.
Comparons f -1(a) et f -1(b) :
f(f -1(a)) = a et f(f -1(b)) = b donc f(f -1(a)) < f(f -1(b))
et comme f est strictement croissante,
f -1(a) < f -1(b), ce qui montre à son tour que la fonction f –1 est strictement croissante.
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2.3 Périodicité
→ f (x) ,définie sur ℝ , est périodique ,
Dire que la fonction x 
c’est dire qu’il existe un nombre T ∈ ℝ tel que :
f
∀x ∈ ℝ,
f ( x + T ) = f ( x) .
Si T est un tel nombre, alors ∀k ∈ ℤ , kT possède la même propriété.
Le plus petit nombre « T » positif possédant cette propriété est appelé : période de la fonction f.
Exemples :
f
x
→
f ( x) = cos x est une fonction périodique de période 2π
(de plus c’est une fonction paire).
x
→ f ( x) = sin 3x est une fonction périodique de période 2 π
f
3
(de plus c’est une fonction impaire).
f
x →
f ( x) = sin(ax + b) est une fonction périodique de période
2π
a
2.4 Limites d’une fonction
Lorsque l’on étudie une fonction, il peut-être intéressant, par exemple, de connaître son comportement
« pour des grandes valeurs de x ».
Ainsi, si cette fonction représente la variation de la population d’un pays, il peut-être intéressant de
connaître l’évolution à long terme : stabilisation, croissance infinie, etc.…
Nous allons ainsi, à partir de notions intuitives, définir la limite d’une fonction.
2.4.1
Limites infinies en l’infini
Exemple d’introduction :
Si on considère la fonction « carré » définie sur ℝ par f(x) = x², alors on constate que :
f(10) = 10² = 100 ; f(1000) = 1000² = 1000000 ; etc.….
Lorsque x augmente, les valeurs f(x) sont de plus en plus grandes, et même aussi grandes qu’on veut :
il suffit pour cela de prendre x « suffisamment grand ».
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Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; +∞[.
Dire que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers +∞ , c’est dire que pour tout réel A,
x > x0 ⇒ f ( x) > A
il existe x0 ∈ ]a ; +∞[ tel que :
On notera
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
(prononcer « la limite de f de x, lorsque x tend vers + l’infini, vaut + l’infini »).
Interprétation graphique :
Graphiquement, regardons la courbe ci-contre
et imaginons qu’elle se prolonge infiniment à
droite, suivant la tendance de croissance
imprimée.
Si on fixe une ordonnée A, aussi grande soitelle, alors on peut toujours trouver une
abscisse x0 au-delà de laquelle les ordonnées
de tous les points de la courbe dépassent A.
On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x
tend vers +∞.
On peut définir de la même façon ces trois autres limites infinies :
lim f ( x ) = −∞ ;
x →+∞
lim f ( x ) = +∞ ;
x →−∞
lim f ( x ) = −∞.
x →−∞
Exemples :
lim x 2 = +∞ et lim x 2 = +∞
x→+∞
x→−∞
lim x 3 = +∞ et lim x 3 = −∞
x→+∞
x→−∞
lim ln x = +∞ et lim e x = +∞
x→ +∞
x →+∞
lim x = +∞
x→−∞
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2.4.2 Limites finies en l’infini
On peut envisager le cas où les valeurs d’une fonction tendent à se « stabiliser », tendent vers une valeur
donnée, lorsque la variable prend de grandes valeurs et même « tend vers l’infini ».
Exemple d’introduction :
Si on considère la fonction « inverse » définie si x ≠ 0 par f ( x ) =
1
, alors on constate que :
x
f(10) = 1/10 = 0,1 ; f(1000) = 1/1000 = 0,001 ; etc.….
Les valeurs de f sont de plus en plus proches de 0 à mesure que x augmente.
On pourra dire que l’on peut rendre les valeurs de la fonction inverse aussi proches que l’on veut de
zéro , pourvu qu’on choisisse x « suffisamment grand ».
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; +∞[.
Dire que f admet pour limite λ lorsque x tend vers +∞ , c’est dire que pour tout réel ε,
il existe x0 ∈ ]a ; +∞[ tel que :
On notera :
x > x0 ⇒ λ − ε < f ( x) < λ + ε .
lim f ( x ) = λ
x →+∞
Si lim f ( x ) = λ , alors les ordonnées
Interprétation graphique :
x →+∞
des points de la courbe (qui sont les
nombres f(x)) sont toutes dans un intervalle
- de notre choix - de valeurs entourant et
très proches de λ, pour tout x supérieur à
un nombre bien choisi en fonction de cet
intervalle.
Pour la fonction représentée ci-contre,
lim f ( x ) = 3 .
x →+∞
Exemples :
1 

lim  5 + 4  = 5
x →+∞
x 

 3 
lim 
=0
x →+∞ x − 4


1
lim cos   = 1
x →+∞
x
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2.4.3 Limite finie en un réel a
Dans les deux premières parties, nous avons étudié les cas où la variable x tendait vers plus ou moins
l’infini. On envisage maintenant de faire tendre la variable vers un réel a.
Rechercher la limite d’une fonction en un réel a, c’est déterminer si ses valeurs convergent vers une
valeur particulière lorsque l’on donne à x des valeurs de plus en plus proches de a.
a
Exemple d’introduction :
Si on considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 3x + 1, sa limite lorsque x tend vers 2 (une
valeur où elle est définie) se calcule directement : 2² - 3.2 + 1 = -1.
Définition :
Soit une fonction f définie en x = a.. Dire que f a pour limite λ quand x tend vers a,
a c’est dire que tout
intervalle ouvert contenant λ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche et autour de a.
lim f ( x ) = λ
On note :
x→a
Exemples :
Pour a ≥ 0, lim x = a ,
x →a
Si
P est un polynôme
me quelconque, et a ∈ ℝ alors lim P ( x) = P ( a )
x→a
La limite de
quand x tend vers 3 est égale à 9. (dans ce cas la fonction est définie et continue
en ce point, et la valeur de la fonction est égale à la limite)
2.4.4 Limite infinie en un réel a
Exemple d’introduction :
Si on considère la fonction inverse; alors on constate que :
f(0,1) = 10 ; f(0,001)
(0,001) = 1000 ; etc.….
Les valeurs de f sont de plus en plus grandes à mesure que x est plus proche de 0.
Définition :
Soit une fonction f et un réel a sur la frontière de Df. Dire que f a pour limite +∞ (resp. -∞) quand x tend
vers a, c’est dire que f(x)) est supérieur (resp. inférieur) à n’importe quelle valeur fixée pour tout x
« suffisamment proche de a ».
On note :
lim f ( x ) = +∞ , resp. lim f ( x ) = −∞
x→a
x→ a
Exemple : l’inverse de x tend vers l’infini lorsque x tend vers 0.
Limite à droite, limite à gauche :
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Fonctions numériques
Attention à la manière dont x tend vers a : en lui étant supérieur ou inférieur. On dira « x tend vers a+ »
ou « x tend vers a- ». Dans cet ordre, on déterminera une limite « à droite » ou une limite « à gauche » de
f(x).
Exemple : Les limites à droite et à gauche de la fonction inverse quand x tend vers 0 ne sont pas égales :
lim+
x →0
1
= +∞
x
et
lim−
x →0
1
= −∞
x
2.4.5 Absence de limite
Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite, par exemple en l'infini. La fonction sinus en est un
cas d’école :
Dans le même esprit, la fonction qui, à x, associe sin(1/x) n’a pas de limite en zéro.
2.4.6 Règles :
La limite en l’infini d’une fonction polynomiale est celle de son monôme de plus haut degré.
La limite en l’infini d’une fraction rationnelle est celle du rapport des monômes de plus haut degré du
numérateur et du dénominateur.
2.4.7 Formes indéterminées :
Les formes indéterminées dans un calcul de limites sont :
0
;
0
±∞
±∞
; + ∞ − ∞ ; 0 × ( ±∞ ) ; 0∞
; ∞0
Pour « lever » (résoudre) des formes indéterminées, on pourra avoir recours à plusieurs techniques :
développement, factorisation, utilisation du conjugué, utilisation d’un ln ou d’une exponentielle,
formules de comparaison (exponentielle vs puissance, ln vs puissance), rapprochement de la limite à
calculer avec le nombre dérivé d’une fonction en particulier, etc.
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Fonctions numériques
2.5 Asymptotes
du grec a, privatif, et sumptôtos, rencontre.
Il s’agit de droites ou de courbes dont la courbe d’une fonction se rapproche indéfiniment, sans les
croiser, lorsque x tend vers un réel ou vers l’infini.
Il existe trois types de droites asymptotes (voir les trois points suivants) :
2.5.1
Asymptote horizontale
Si lim f ( x ) = l , alors la droite d’équation y = l est asymptote
x →±∞
horizontale à la courbe Cf au voisinage de + ou – l’infini.
Exemple :
Soit la fonction d’expression f ( x ) =
1
+ 2.
x
Son domaine de définition est
]− ∞;0[ ∪ ]0;+∞[ .
La droite d’équation y = 2 est asymptote
horizontale à la courbe Cf au voisinage de
+∞ et de -∞.
2.5.2
Asymptote verticale
Si lim f ( x ) = ±∞ , alors la droite d’équation x = a est asymptote
x→a
verticale à la courbe Cf en l'abscisse a.
Exemple :
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1
+ 2 . Son domaine de définition est ]− ∞;1[ ∪ ]1;+∞[ .
x
La droite d’équation x = 1, parallèle à (Oy), est asymptote verticale à la courbe Cf en x = 1.
Soit la fonction f ( x ) =
2.5.3
Asymptote oblique
Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f et (D) une droite d'équation y = ax + b.
Le point M de Cf d'abscisse x a pour ordonnée f(x).
Le point P de (D) d'abscisse x a pour ordonnée ax + b.
f(x) – (ax + b) est la différence des ordonnées de ces deux points.
Définition :
Si lim
x →±∞
( f ( x) − ( ax + b ) ) = 0 , on dit que la courbe C
f
a pour asymptote oblique la droite (D) au
voisinage de l’infini.
Remarque : On peut aussi bien
ien donner comme définition :
On dit que la courbe Cf a pour asymptote oblique la droite (D) d’équation y = ax + b au voisinage de
l’infini si l'expression de f est de la forme : f ( x ) = ax + b + ε ( x ) avec lim
x → +∞
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ε ( x) = 0
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2.5.4 Courbe asymptote : « branche infinie »
Prenons ici l’exemple d’une fonction rationnelle.
Le quotient, issu de la division polynomiale suivant les puissances décroissantes, est un polynôme qui
permet d’établir la branche infinie de cette fonction (asymptote lorsque x tend vers l’infini), qui sera
alors la courbe d’une fonction polynomiale d’un certain degré (si ce quotient est de degré 0 : on retrouve
une asymptote horizontale, s’il est de degré 1 : une asymptote oblique, de degré 2 : une asymptote
parabolique ; et ainsi de suite).
Exemple :
4 x3 + 2 x2 − 1
Soit l’expression f ( x ) =
; la division polynomiale de son numérateur par son
x −1
dénominateur selon les puissances décroissantes (cf. cours Remise à Niveau n°1 sur les Calculs de
polynômes) donne :
x −1
4x3 + 2x 2 + 0x − 1
2
3
2
− (4 x − 4 x
) 4x + 6x + 6
+ 6x2 + 0x −1
− (6 x 2 − 6 x )
6x −1
− ( 6 x − 6)
5
2
donc f ( x) = 4x + 6x + 6 +
5
x −1
 5 
lim 
=0
x →+∞ x − 1


Or
(la limite en -∞ est également 0)
(
)
Par conséquent, l'expression de f est de la forme : f ( x ) = 4 x + 6 x + 6 + ε ( x )
avec lim
x → +∞
2
ε ( x) = 0 .
Dans ce cas, l’asymptote n’est pas une droite mais la courbe d’un polynôme de degré 2, parabole se
rapprochant indéfiniment de la courbe de f en l’infini (+/-).
Voir représentation graphique en page suivante.
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4x3 + 2x 2 − 1
y=
x −1
y = 4xx2 + 6x + 6
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2.6 Continuité
2.6.1 Approche graphique :
une fonction réelle définie sur un intervalle est continue si sa courbe peut se tracer « sans lever le
crayon ».
Exemple d’une fonction continue
Fonction non continue en 2
f n'est pas continue à gauche en 2, f est continue à droite en 2.
f est continue en a ssi
lim f ( x ) = f ( a ) , x tendant vers a d’un côté et de l’autre.
x→ a
Exemples : continuité de fonctions usuelles sur leur domaine de définition ou sur ℝ :
Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ , ainsi que les fonctions sin, cos, exponentielle,
racine cubique, valeur absolue...
La fonction ln est continue sur l’ensemble des réels strictement positifs, ainsi que la fonction
inverse, …
La fonction racine carrée est continue sur l’ensemble des réels positifs.
La fonction partie entière est discontinue sur ℝ : on « lève le crayon » en arrivant à chaque
entier. La fonction inverse est également
égale
discontinue sur ℝ , ainsi que les fonctions rationnelles
dont le dénominateur admet au moins une racine (qui ne soit pas une racine du numérateur…).
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2.6.2 Propriétés des fonctions continues :
Soient deux fonctions f et g continues toutes les deux sur l’intervalle I (contenant g(I))
et un réel x0 à l’intérieur de g(I). On a les propriétés suivantes :
f +g
x 
→ f ( x ) + g ( x ) y est une fonction continue et lim  f ( x) + g ( x)  = lim f ( x) + lim g ( x)
x→x0
x→x0
x→x0
f ×g
x 
→ f ( x ) × g ( x ) y est une fonction continue et lim  f ( x) × g ( x)  = lim f ( x) × lim g ( x)
x→x0
x→x0
x→x0
kg
x 
→ k × g ( x ) , k ∈ ℝ y est une fonction continue et lim kg ( x)  = k × lim g ( x)
x→x0
x→x0
f g
x 

→ f g ( x ) = f ( g ( x ) ) y est une fonction continue et lim f g ( x) = lim f ( y)
x→x
y→g( x )
0
1
f
x 
→
0
1
1
1
=
est une fonction continue ∀ x tel que f ( x ) ≠ 0 et xlim
→x0 f ( x)
lim f ( x)
f ( x)
x→x0
NOTA : il faut faire attention aux domaines de définition !
Exemples :
f
g
x ∈ [3 , + ∞[ 
→ f ( x ) = x − 3 et x ∈ [ −3 , + ∞[ 
→ g ( x) = x + 3
sont deux fonctions continues.
f +g
x ∈ [3, +∞[ 
→ ( f + g )( x ) = x − 3 + x + 3 est donc continue.
f ×g
x ∈ [3, +∞[ 
→ ( f × g )( x ) = x − 3 × x + 3 est donc continue.
f g
x ∈ [ 6 , + ∞[ 

→ f g ( x ) = f ( g ( x )) =
1
f
x ∈ ]3, +∞[ 
→
1
=
f ( x)
1
x −3
x + 3 − 3 est donc continue.
est donc continue.
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3 Dérivation
3.1 Dérivées et différentielles : notions
Le mathématicien et physicien anglais Newton et le mathématicien et philosophe allemand Leibniz
(auquel on doit le nom de fonction), au tournant des XVIIème et XVIIIème siècles, ont étudié les
caractéristiques des variations des fonctions ainsi que les propriétés des tangentes aux courbes. C’est
ainsi qu’est apparue la « dérivation ».
Une grandeur « y », exprimée en fonction d’une (ou plusieurs) autre « x » qu’on appellera « variable »,
n’évolue pas forcément à vitesse constante lorsque sa variable le fait. C’est la recherche de cette vitesse
de variation qui a donné mathématiquement la notion de dérivée de la fonction.
On définit la vitesse de variation de y entre deux points A et B d’une courbe comme étant le rapport de
la variation de y par celle de x.
∆y
V=
∆x
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Fonctions numériques
Cela porte aussi le nom de taux de variation pour la fonction considérée, et de pente pour le segment
[AB] (ce qui définit également la tangente de l’angle i, AB ).
(
)
Lorsque deux points A et B sont choisis, cette vitesse V, ainsi définie, est la vitesse moyenne de
variation de y lorsque sa variable évolue de x jusqu’à x+∆x.
On peut se demander quelle est la vitesse instantanée de variation de y, pour une valeur x fixée, c’est à
dire quelle est la limite de V (si elle existe) lorsque ∆x tend vers 0.
Le nombre dérivé de notre fonction en x est cette vitesse instantanée au point A, et il dépend de x.
Une dérivée nulle pourra donc signaler un sommet de la courbe, c’est à dire un maximum ou un
minimum pour y.
Le calcul des dérivées trouve de nombreuses applications :
•
•
•
•
•
•
Recherche d’optimums.
Approximation locale d’une fonction d’expression ardue par une fonction dont l’étude est
connue et rapide (par exemple : remplacement d’une courbe par sa tangente) : « développements
limités », qui sont utilisés par nos calculatrices pour calculer un sinus par exemple.
Études des mouvements mécaniques : vitesses, accélérations…
Études économiques : coût marginal, élasticité, etc.
∆q
qui est la dérivée de la quantité
Intensité instantanée de courant électrique : i = lim
∆t → 0 ∆t
d’électricité transportée en fonction du temps.
∆Φ
Force Électromotrice Induite ( E = lim
dérivée du flux / temps)
∆ t → 0 ∆t
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3.2 Dérivée d’une fonction :
3.2.1 La définition du Petit Larousse.
Dérivée : Limite, si elle existe, du rapport de l’accroissement d’une fonction à l’accroissement
correspondant de la variable, lorsque ce dernier tend vers 0.
3.2.2
La définition mathématique.
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un segment ou un intervalle I de
a le rapport :
ℝ . Soit en
f ( x) − f ( a )
x−a
On dit que f est dérivable en a de I si le rapport admet une limite finie lorsque x tend vers a sur I en
lui étant inférieur et en lui étant supérieur, et si ces deux limites sont égales.
Cette limite est alors appelée nombre dérivé de la fonction f en a,
que l’on note f ’(a)
f ′(a ) = lim
x →a
f ( x) − f (a )
x−a
L’expression précédente donne la valeur de la dérivée, quel que soit a. Cette dérivée prend donc le statut
de fonction d’un réel x : la fonction dérivée f ’ de la fonction f est donnée par l’expression suivante :
f ′( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x)
h
Nous avons ici changé de notation pour passer d’une définition ponctuelle sur un réel a à une définition
générale quel que soit le réel x (voir ci-dessous les deux schémas qui illustrent les deux définitions cidessus).
Dans le cas d’une fonction dérivable en x, notons que lorsque ∆x, donc h, tend vers 0, il devient une
dimension infinitésimale et on peut le noter dx : différentielle de x. De même, la variation infinitésimale
associée de y est la différentielle de y : dy.
dy
Ainsi, on admettra cette notation que la physique a adoptée : f ' ( x ) =
.
dx
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3.2.3
Interprétation graphique de la dérivée
Les deux notations de la définition :
Dérivée et tangente :
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Fonctions numériques
Dérivée à droite, dérivée à gauche :
Dans cet exemple, en x = 0, la limite à gauche de ∆y/∆x
vaut –1 et la limite à droite vaut 1. On peut donc tracer
deux demi-tangentes en O(0,0), mais cette fonction n’est
pas dérivable en 0.
L’exemple graphique ci-dessus est celui de la fonction d’expression f ( x) = x 3 + x 2 .
Elle est définie sur [− 1 , + ∞[ . Pour l’étudier au voisinage de x = 0, nous l’écrivons sous la forme
f ( x) = x
x + 1 . On a .
f ( x) − f (0) f ( x)
f ( x)
=
= 1 + x ⇒ lim
= +1
x→ + 0
x−0
x
x
f ( x) − f (0) f ( x)
f ( x)
=
= − 1 + x ⇒ lim
= −1
• Sur [− 1 , 0[ ,
x→ − 0
x−0
x
x
•
Sur ]0 , + ∞[ ,
Cette fonction admet en a = 0 une dérivée à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à − 1 mais
elle n’est pas dérivable en a = 0 .
Autre question : est-elle dérivable à droite en –1 ?
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Fonctions numériques
3.2.4
Liens entre dérivée et variations d’une fonction
De l’interprétation graphique de la dérivée, on déduira aisément les propriétés suivantes : (I représente
un intervalle de
•
•
•
•
ℝ)
Pour tout x ∈ I, f ’(x) > 0 ⇔ f est strictement croissante sur I.
Pour tout x ∈ I, f ’(x) < 0 ⇔ f est strictement décroissante sur I.
Pour tout x ∈ I, f ’(x) = 0 ⇔ f est constante sur I.
Pour un unique a ∈ I, f ’(a) = 0 ⇔ La courbe de f admet un sommet (f(a) est un minimum ou
un maximum) ou un point d’inflexion. Voir ci-dessous :
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3.3 Expressions de dérivées de quelques fonctions
3.3.1 Dérivée d’une constante
f ( x) = k ⇒ ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = k − k = 0 et ce ∀x0 et ∆x = x − x0 . Donc, pour tout x0 nous
avons :
∆y
=0
lim
x → x0 ∆x
La dérivée d’un terme constant est nulle
3.3.2
Dérivée de la fonction identité
f ( x) = x
f ( x) = x ⇒ ∆y = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) = x 0 + ∆x − x 0 = ∆x et ce ∀x0 et ∆x = x − x0 . Donc, pour tout x0
nous avons :
∆y
=1
La fonction identité admet en tout point une dérivée égale à 1
lim
x → x0 ∆x
3.3.3
Opérations usuelles sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables dont les dérivées respectives sont u’ et v’.
A titre d’exercice d’entraînement vous pourrez démontrer, en appliquant la définition de la dérivée
d’une fonction, les relations suivantes qu’il convient de bien connaître pour calculer les dérivées des
fonctions diverses que vous rencontrerez en mathématiques mais aussi en sciences et en techniques de
l’ingénieur.
•
Dérivée d’une fonction multipliée par une constante :
( λ u )′ = λ.u ′
•
Dérivée de la somme de deux fonctions :
( u + v )′ =
•
Dérivée du produit de deux fonctions :
( u.v )′ =
Dérivée d’une puissance d’une fonction :
( u )′ = n.u ′.u
•
n
•
Dérivée de l’inverse d’une fonction :
•
Dérivée du quotient de deux fonctions :
•
Dérivée de la composée de deux fonctions
u′ + v′
u ′.v + u.v ′
n −1
'
v′
1
=
−
 
v2
v
'
u ′v − uv′
u
=
 
v2
v
( f g )' = g '× ( f ' g )
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3.3.4
Dérivée des fonctions carrée et puissance
f ( x ) = x 2 , f ( x ) = x n , n est un entier naturel.
Ce paragraphe est aussi l’occasion de revoir la notion de raisonnement par récurrence.
f ( x ) = x 2 = xx . Appliquons l’opération de dérivation d’un produit de deux fonctions :
(u v) ′ = u ′ v + u v ′ avec u ( x) = x et v( x) = x et nous savons que u ' ( x) = 1 et v' ( x) = 1
donc : f '( x ) = 1× x + x × 1 = 2 x
f ( x ) = x 3 = x 2 x Appliquons l’opération de dérivation d’un produit de deux fonctions avec
u ( x ) = x 2 et v( x) = x et nous savons que u ' ( x) = 2 x et v' ( x) = 1 donc :
f '( x ) = 2 x × x + x 2 × 1 = 3 x 2
De ces deux premières étapes nous pouvons imaginer qu’elles se généralisent au rang n de la façon
suivante :
f ( x ) = x n ⇒ f ' ( x ) = nx n−1 . La démonstration par récurrence consiste à démontrer que
si elle est vraie au rang n, alors elle l’est au rang n+1 .
f ( x ) = x n+1 = x n x Appliquons l’opération de dérivation d’un produit de deux
n
fonctions (u v) ′ = u ′ v + u v ′ avec u ( x ) = x et v( x) = x . Nous supposons que
u ' ( x ) = nx n−1
= 1 , nous obtenons ainsi :
f ' ( x ) = nx n −1 × x + x n × 1 = ( n + 1) x n ,
et nous savons que v' ( x )
ce qui démontre par récurrence la formule de dérivation suivante pour tout n ∈
ℕ :
f ( x ) = x n ⇒ f ' ( x ) = nx n −1
On retiendra aussi le principe de la démonstration par récurrence :
•
L’observation des premiers rangs nous permet d’énoncer la généralisation potentielle d’une propriété
au rang n.
•
Pour démontrer cette propriété par récurrence, il suffit de montrer que l’hypothèse de véracité au
rang n entraîne la véracité au rang n+1.
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3.3.5
Dérivée des fonctions puissance inverse
f ( x) =
1
xn
,n∈
ℕ
Munis du résultat de la partie précédente, il nous suffit d’utiliser la formule de calcul de la dérivée de
v′
 1 ′
l’inverse d’une fonction :   = − 2 . Ainsi nous avons :
v
v
nx n−1
n
n
n −1
v ( x ) = x ⇒ v ' ( x ) = nx donc : f ' ( x ) = − 2 n = − n +1 .
x
x
f ( x) =
1
n
⇒
f
'
(
x
)
=
−
xn
x n +1
Ces fonctions peuvent aussi s’écrire sous la forme suivante :
f ( x ) = x − n ⇒ f ' ( x ) = − nx − n −1
n
On trouve ainsi la généralisation de la formule dérivation de f ( x ) = x pour les exposants entiers
négatifs !
3.3.6
Dérivées des puissances fractionnaires
f ( x) =
q
x
p
=x
p
q
Vous démontrerez (après avoir étudié la page suivante) que la formule s’applique aussi dans le cas des
exposants fractionnaires ; ainsi on retiendra :
p
q
p
p −1
f ( x) = x ⇒ f ' ( x) = x q
q
Il en découle la dérivée de la racine carrée avec
p 1
= :
q 2
f ( x) = x ⇒ f ' ( x) =
1
2 x
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Fonctions numériques
3.3.7
Dérivée d’une fonction composée :
Considérons le schéma suivant : I et E sont des intervalles contenant respectivement les points
x0 et u0 = f ( x0 ) . On définit une fonction composée comme f s’appliquant à x puis g s’appliquant à
f(x) :
f
g
x∈I 

→ u = f (x) ∈ E 

→ y = g(u) ∈ F
f
x ∈ I g

→ y = g( f (x)) ∈ F
La dérivée de cette fonction est calculée comme suit :
( g f )′ ( x ) =
f ′ ( x ) × g ′ ( f ( x ))
Ceci peut se montrer facilement en utilisant la notation différentielle :
dy dy du
=
= g ' (u ) f ' ( x) = g ' ( f ( x)) f ' ( x)
dx du dx
Note : il est très important de bien retenir ce principe de dérivation car la majorité des fonctions
rencontrées en science et en technique de l’ingénieur sont des fonctions composées.
3.3.8
Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction
Soit une fonction d’expression y =
notation différentielle nous avons :
f ' ( x) =
f (x) , sa fonction réciproque donne x = f
−1
( y ) . En utilisant la
dx
1
1
dy
=
=
et pour la réciproque f −1 ' ( y ) =
on retiendra :
dy
dy
f ' ( x)
dx
dx
f −1 ' ( y ) =
1
f ' ( x)
1
Exemple : exposant fractionnaire, y = n x = x n la réciproque est x = y n ainsi nous avons :
dy
1
= n −1 =
en inversant le rapport :
dx ny
1
nx
1
( n −1)
n
=
1
nx
1
n
n −1
n
=
1
1
1−
nx
1
n
1 −1
= xn
n
1
1 −1
y = x = x ⇒ y' = x n
n
n
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dx
= ny n −1 et
dy
Fonctions numériques
Travail personnel : En utilisant les éléments de calcul des dérivées que nous venons de voir vous serez
en mesure de démontrer les dérivées des fonctions usuelles et de constituer votre formulaire
« Dérivées ». Nous vous proposons de conduire les démonstrations suivantes :
f(x)
q
xp = x
Commentaires
f ’(x)
p
p
q
x
u
puissance
2 x
u'
Fonctions composées
2 u
1
x
u'
u
ln(x )
ln u
αx α −1
sin x
cos x
cos x
- sin x
tan x
1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
−
arccotan x
Quotient de fonctions
Fonction réciproque
1
arctan x
α est un nombre réel. Passez par la
fonction ln et utiliser les fonctions
composées.
Vous pouvez utiliser l’expression
complexe de sin( x ) . Revoir le
chapitre sur les complexes.
Même commentaire que
précédemment
1
= − cot an 2 x − 1 Quotient de fonctions
sin 2 x
arcsin x
arccos x
les fonctions composées
Utilisez l’exponentielle e x , réciproque
de ln(x ) , dont la dérivée est e x .
Fonctions composées
xα
cotan x
p et q sont des entiers relatifs. Utilisez
p q −1
x
q
1
1− x
−
2
1
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
Fonction réciproque
Fonction réciproque
Fonction réciproque
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Fonctions numériques
4 Etude de fonctions spécifiques
4.1 Fonctions constantes
f ( x) = k
Une fonction constante est définie sur ℝ et l’image de tout réel x est le même nombre, k.
Dérivée :
f ’(x) = 0
lim f ( x) = lim f ( x) = k
Limites :
x → +∞
x → −∞
Tableau de variations :
x
f ’(x)
Représentation graphique :
droite horizontale d’équation y = k
−∞
+∞
0
f(x)
4.2 Fonctions en escaliers
Exemple : f ( x) = ent ( x)
C’est la fonction qui a x associe la partie naturelle de x
ent(1) = 1 ; ent(1,23) = 1 ; ent(1,6) = 1 ; ent(2) = 2 ; ent(2,45) = 2 ; ent(-0,7) = 0 ; ent(-2,3)
ent(
=2
C’est fonction n’est pas continue.
Représentation graphique :
Fonction dite « en escalier », dont la
courbe est constituée de segments
horizontaux
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Fonctions numériques
4.3 Fonctions affines
f ( x) = ax + b avec (a, b) ∈ ℝ 2
Dérivée :
Limites :
f ‘(x) = a
limite infinie en l’infini, dépendant du signe de a
Tableau de variations :
f
est strictement croissante si
x
f ’(x)
a>0
−∞
f
est strictement décroissante si
+∞
+
x
f ’(x)
+∞
−∞
+∞
-
+∞
f(x)
f(x)
−∞
−∞
lim f ( x ) = +∞ et lim f ( x ) = −∞
x → −∞
x → +∞
a<0
lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = +∞
x → −∞
x → +∞
Représentation graphique :
Droite d’équation : y = ax + b
a est appelé coefficient directeur de la
droite ou encore sa pente.
Il mesure l’accroissement (éventuellement
négatif) de la valeur f(x) correspondant à
un accroissement de la valeur x égal à 1
+3
+1
La droite coupe l’axe des ordonnées en
y = b (ordonnée à l’origine)
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Fonctions numériques
Fonction identité :
f ( x) = x
lim f ( x ) = +∞ et lim f ( x ) = −∞
x → −∞
x → +∞
Fonction opposée :
lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = +∞
x → +∞
x → +∞
f ′( x) = 1
Fonction Valeur absolue :
f ( x) = − x
f ′( x) = −1
f ( x) = x
C’est une fonction affine par morceaux
lim f ( x ) = +∞ et lim f ( x ) = +∞
x → −∞
x → +∞
4.4 Fonctions puissance mième de x :
m
Ces fonctions sont définies sur ℝ par l’expression f(x) = x
où m ∈ ℕ .
Elles sont continues.
Si m est pair, elles sont paires ; si m est impair, elles sont impaires
Si m est pair, ce sont des fonctions strictement décroissantes quand x < 0 et strictement croissantes
quand x > 0.
Si m est impair, ce sont des fonctions strictement croissantes.
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Fonctions numériques
Fonction carré : f(x) = x²
Fonction cube : f(x) = x³:
f ’(x) = 2x
f ’(x) = 3x²
Fonction du second degré : f(x) = ax² + bx + c
f ’(x) = 2ax + b
La courbe représentative de cette fonction est une parabole de sommet
 b
b2 
b
 et admet un axe de symétrie d’équation. x = −
S  −
;c −
.
2
a
4
a
2
a


b
La fonction présente un extremum pour x = −
(minimum si a>0 et
2a
maximum si a<0).
Pour a > 0 :
x
f ’(x)
Pour a < 0 :
−∞
-
+∞
−
b
2a
0
+∞
x
+
f ’(x)
+∞
f(x)
lim f ( x ) = +∞ et lim f ( x ) = +∞
x → −∞
+
−
b
2a
0
+∞
-
maxi
f(x)
mini
x → +∞
−∞
−∞
lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = −∞
x → −∞
x → +∞
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−∞
Fonctions
numériques
4.5 Fonction inverse :
f ( x) =
1
*
, définie sur ℝ
x
Dérivée :
f ′( x ) = − x −2 = −
1
x2
Tableau de variation
x
−∞
-
f ’(x)
+∞
0
+∞
0
f(x)
-
−∞
lim f ( x ) = 0 et lim f ( x ) = 0
x → −∞
x → +∞
lim f ( x ) = −∞ et lim f ( x ) = +∞
x→0 +
x→0 −
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole qui admet une asymptote verticale
d’équation x = 0 et une asymptote horizontale d’équation y = 0.
4.6 Fonctions racine mième de x :
1
m
f ( x) = x = x où m ∈ ℕ*
m
Ce sont les fonctions réciproques des fonctions puissance mième.
Elles sont continues sur leur domaine.
Si m est pair, ces fonctions sont définies sur [0,+∞[ et sont strictement croissantes.
Si m est impair, elles sont définies sur ℝ , sont impaires et strictement croissantes.
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0
Fonctions numériques
→ f ( x ) =
Fonction racine carrée : x 
f
Dérivée :
1
2
x :
1
1 −
1
f ′( x) = ( x )′ = x 2 =
2
2 x
Tableau de variation
x
+∞
0
+
f ’(x)
+∞
f(x)
0
La fonction n’est pas définie pour x<0
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
4.7 Fonctions homographiques
f
x →
f ( x) =
Dérivée : f ' ( x ) =
ax + b
4
, (a, b, c, d ) ∈ ℝ , c et d étant non tous les deux nuls
cx + d
ad − bc
( cx + d )
2
Exemple pour ad – bc > 0 :
Tableau de variation
La fonction n’est pas définie en –d/c.
Elle est strictement croissante.
x
−∞
+∞
-d/c
+
f’(x)
+
+∞
a
x →+∞
x →−∞
c
et limd − f ( x ) = +∞ ; limd + f ( x ) = −∞
lim f ( x) = lim f ( x) =
a
c
x →−
f(x)
a
c
c
−∞
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x →−
c
Fonctions numériques
La courbe admet donc une asymptote horizontale d’équation y = a/c et une asymptote verticale
d’équation x = -d/c..
Exemple pour ad – bc < 0 :
Tableau de variation
x
−∞
-
f ’(x)
a
+∞
-d/c
+∞
c
-
f(x)
a
−∞
c
La fonction n’est pas définie en –d/c
d/c.
a
x → +∞
x →−∞
d
et limd − f ( x ) = +∞ ; limd + f ( x ) = −∞
lim f ( x) = lim f ( x) =
x →−
c
x →−
c
La courbe admet donc une asymptote
horizontale d’équation y = a/c et une asymptote
verticale d’équation x = -d/c.
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Fonctions numériques
4.8 Fonction logarithme népérien
C’est l’une des fonctions les plus importantes en mathématiques, fonction utilisée dans de nombreux
domaines physiques ou économiques.
4.8.1
Définition
La valeur logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse x →
1
, définie sur ]0;+∞[ et qui
x
prend la valeur 0 en x = 1.
1
ln’(x) = sur ]0;+∞[ et ln(1) = 0, soit : ln ( x ) =
x
x
∫
1
dt
t
(l’égalité avec l’intégrale sera démontrée dans un cas général dans le chapitre sur l’intégration).
4.8.2 Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b positifs :
ln( a × b) = ln ( a ) + ln ( b )
a
ln   = ln ( a ) − ln ( b )
b
∀r ∈ ℚ ln(a r ) = r ln ( a )
Cas particulier :
4.8.3
et
1
ln   = − ln ( b )
b
pour a>0
1
2
a = a donc ln
Propriétés analytiques
La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[ (voir sa dérivée).
Corollaire :
∀(a, b) ∈ ℝ 2+
lim ln ( x ) = +∞
x →+∞
Tableau de variation :
x
1
ln’(x)
1
+
ln(x)
et
, a < b ⇔ ln ( a ) < ln ( b )
lim ln ( x ) = −∞
x → 0+
+
+∞
−∞
0
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( a ) = 12 ln ( a )
Fonctions numériques
Limites particulières (théorèmes de comparaison) :
lim
ln x
=0
x → +∞ x
et
∀α ∈ ℝ*+
ln x
=0
x →+∞ xα
lim+ x ln x = 0
et
∀α ∈ ℝ*+
lim+ xα ln x = 0
x →0
lim
x→0
On retiendra qu’en présence d’une expression où se mêlent des polynômes et logarithmes, ce sont
toujours les expressions polynomiales (en tout cas leurs limites) « qui l’emportent ».
ln ( e ) = 1
Définition du nombre e :
e ≈ 2, 71828
4.8.4
Représentation graphique
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Fonctions numériques
4.9 Fonction exponentielle
La fonction logarithme népérien étant une bijection de ]0;+∞[ sur ]− ∞;+∞[ , elle admet une réciproque
appelée exponentielle et notée exp. Cette fonction peut aussi être définie comme étant l’unique fonction
égale à sa propre dérivée.
La fonction qui possède ces propriétés a pour expression : exp(x) = e x
où e est le nombre défini en page précédente et porte également le nom d’exponentielle.

 x = ln y
⇔
x ∈ ]− ∞;+∞[
 y ∈ ]0;+∞[
y = ex
Propriétés :
∀x ∈ ]0; +∞[
e
ln ( x )
=x
∀x ∈ ]−∞; +∞[ ln ( e x ) = x
∀x ∈ ]−∞; +∞[ e x > 0
e0 = 1
∀(a, b) ∈ ℝ 2
e a + b = e a eb
A la suite de cette dernière propriété, il est à noter que les formules sur les puissances sont bien entendu
applicables à la fonction exponentielle.
lim e x = +∞
x→+∞
et
lim e x = 0
x→−∞
Tableau de variation :
1
x
exp’
ex
+
+
e
+∞
0
D’après la définition de la fonction exponentielle, e0 = 1, car ln(1) = 0
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Fonctions numériques
Les représentations graphiques des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation
y = x (première bissectrice)
4.10 Fonctions circulaires ou trigonométriques
On se référera au document n°3 de Remise A Niveau qui traite de trigonométrie.
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