RAN2 - Fonctions - Cours

Fonctions numériques
page 1 sur 48
RAN2 - Fonctions - Cours - Rev 2011.docx
Remise à Niveau Mathématiques
Deuxième partie : Fonctions
Cours

Fonctions numériques
page 2 sur 48
RAN2 - Fonctions - Cours - Rev 2011.docx

Fonctions numériques
page 3 sur 48
RAN2 - Fonctions - Cours - Rev 2011.docx
1 Définitions ______________________________________________________________________ 5
1.1 Fonction numérique __________________________________________________________ 5
1.1.1 Notion de fonction __________________________________________________________ 5
1.1.2 Courbe représentative ________________________________________________________ 6
1.1.3 Recherche de domaine de définition _____________________________________________ 6
1.1.4 Injection et surjection ________________________________________________________ 7
1.2 Composition de fonctions ______________________________________________________ 8
1.2.1 Généralité _________________________________________________________________ 8
1.2.2 Fonctions réciproques ________________________________________________________ 8
2 Propriétés ______________________________________________________________________ 10
2.1 Parité _____________________________________________________________________ 10
2.2 Sens de variation (ou croissance/décroissance) d’une fonction ______________________ 11
2.2.1 Définitions _______________________________________________________________ 11
2.2.2 Extremums d’une fonction ___________________________________________________ 14
2.2.3 Tableau de variations d’une fonction ___________________________________________ 14
2.2.4 Sens de variation de deux fonctions réciproques __________________________________ 15
2.3 Périodicité _________________________________________________________________ 16
2.4 Limites d’une fonction _______________________________________________________ 16
2.4.1 Limites infinies en l’infini ___________________________________________________ 16
2.4.2 Limites finies en l’infini _____________________________________________________ 18
2.4.3 Limite finie en un réel a _____________________________________________________ 19
2.4.4 Limite infinie en un réel a ___________________________________________________ 19
2.4.5 Absence de limite __________________________________________________________ 20
2.4.6 Règles : __________________________________________________________________ 20
2.4.7 Formes indéterminées : ______________________________________________________ 20
2.5 Asymptotes ________________________________________________________________ 21
2.5.1 Asymptote horizontale ______________________________________________________ 21
2.5.2 Asymptote verticale ________________________________________________________ 21
2.5.3 Asymptote oblique _________________________________________________________ 22
2.5.4 Courbe asymptote : « branche infinie » _________________________________________ 23
2.6 Continuité _________________________________________________________________ 25
2.6.1 Approche graphique : _______________________________________________________ 25
2.6.2 Propriétés des fonctions continues : ____________________________________________ 26
3 Dérivation ______________________________________________________________________ 27
3.1 Dérivées et différentielles : notions _____________________________________________ 27
3.2 Dérivée d’une fonction : ______________________________________________________ 29
3.2.1 La définition du Petit Larousse. _______________________________________________ 29
3.2.2 La définition mathématique. __________________________________________________ 29
3.2.3 Interprétation graphique de la dérivée __________________________________________ 30
3.2.4 Liens entre dérivée et variations d’une fonction ___________________________________ 32
3.3 Expressions de dérivées de quelques fonctions ___________________________________ 33

Fonctions numériques
page 4 sur 48
RAN2 - Fonctions - Cours - Rev 2011.docx
3.3.1 Dérivée d’une constante _____________________________________________________ 33
3.3.2 Dérivée de la fonction identité ________________________________________________ 33
3.3.3 Opérations usuelles sur les dérivées ____________________________________________ 33
3.3.4 Dérivée des fonctions carrée et puissance _______________________________________ 34
3.3.5 Dérivée des fonctions puissance inverse ________________________________________ 35
3.3.6 Dérivées des puissances fractionnaires __________________________________________ 35
3.3.7 Dérivée d’une fonction composée : ____________________________________________ 36
3.3.8 Dérivée de la fonction réciproque d’une fonction _________________________________ 36
4 Etude de fonctions spécifiques _____________________________________________________ 38
4.1 Fonctions constantes _________________________________________________________ 38
4.2 Fonctions en escaliers ________________________________________________________ 38
4.3 Fonctions affines ____________________________________________________________ 39
4.4 Fonctions puissance m
ième
de x : _______________________________________________ 40
4.5 Fonction inverse : ___________________________________________________________ 42
4.6 Fonctions racine m
ième
de x : __________________________________________________ 42
4.7 Fonctions homographiques ___________________________________________________ 43
4.8 Fonction logarithme népérien _________________________________________________ 45
4.8.1 Définition ________________________________________________________________ 45
4.8.2 Propriétés algébriques _______________________________________________________ 45
4.8.3 Propriétés analytiques _______________________________________________________ 45
4.8.4 Représentation graphique ____________________________________________________ 46
4.9 Fonction exponentielle _______________________________________________________ 47
4.10 Fonctions circulaires ou trigonométriques _______________________________________ 48

Fonctions numériques
page 5 sur 48
RAN2 - Fonctions - Cours - Rev 2011.docx
x
f
y = f(x)
1 Définitions
1.1 Fonction numérique
1.1.1 Notion de fonction
Une fonction numérique f , d’un ensemble
f
D
de
ℝ
vers un ensemble
)(
f
Df
de
ℝ
fait
correspondre à tout élément x de
f
D
un élément y de
)(
f
Df
et un seul, noté f (x) .
Cette fonction est représentée par :
)(xfx
f
→
ou encore : f :
)(xfyx =→
ensemble de définition de f ensemble image de f
Exemples de fonctions :
 Les fonctions linéaires :
axx →
où
a
∈
ℝ
 Les fonctions affines :
baxx +→
où
2
( , )a b ∈
ℝ
 Les fonctions polynomiales du second degré :
cbxaxx ++→
2
où
3
( , , )a b c ∈
ℝ
, a non nul
 La fonction sinus :
xx sin→
 La fonction :
tRIt
W2
→
est la fonction qui définit la consommation
d’une lampe en énergie électrique, W. Elle dépend de la durée t d’éclairage et se traduit par cette
fonction linéaire de la variable t.
 L’intensité
I
d’un courant alternatif est une fonction sinusoïdale du temps :
tIIt ω sin
0
=→
f
D
( )
f
f D