Les fleurs de foudre

Membres du groupe :
TaleS1
Balthazar Charles,
Léo Gayral,
Marc Madern,
Baptiste Paris,
Roman Regnauld.
Olympiades de physique des lycées :
Les fleurs de foudre
Quelle est la dimension fractale d’une figure de Lichtenberg ?
Professeurs encadrants :
M. Sorba, professeur de physique-chimie
Mme Salvat, professeure de physique-chimie.
2012-2013
Lycée Jean Lurçat, Perpignan, Académie de Montpellier
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Présentation du projet :
Le but de notre travail était de réaliser des figures de Lichtenberg ; ces figures possèdent
des propriétés fractales. Pour cela, nous avons principalement utilisé des machines de
Wimshurst auxquelles étaient reliés différents matériaux isolants. Nous avons constaté
des résultats différents selon les matériaux, la tension électrique appliquée ou la polarité
du courant. À la fin de nos expériences, nous avons sélectionné nos figures les plus
satisfaisantes afin de les comparer à des modèles de fractales et à des algorithmes
permettant d'obtenir ces mêmes figures de manière informatique. Nous avons ainsi
mesuré à la main sur des photographies de nos figures et sur celles générées par des
modèles informatiques la dimension fractale de ces objets grâce à la méthode de
Minkowski. Nous avons maintenant une meilleure compréhension du comportement de
l'électricité statique dans un matériau isolant.
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Sommaire :
Introduction………………………………………………………………………………p. 4
I. Manipulations…………………………………………………………………………p. 5
1) Principe………………………………………………………………………...p. 5
2) Facteurs……………………………………………………………………….. p. 6
a. La tension : polarité, quantité………………………………... p. 6
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur ……….. p. 6
3) Résultats……………………………………………………………………..... p. 7
a. La tension : polarité, quantité............................................... p. 7
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur .…….....p. 8
Conclusion partielle ………………………………………………………....p. 10
II. Explications théoriques des figures de Lichtenberg...…………… p. 10
1) Charge électrique …………………………….…………………………. p. 10
a. La machine de Wimshurst………...……….………………....…p.10
b. La poudre.....……………………………………………………..…… p.11
2) Figure ……………………………………………………...............................p.11
a. Électricité statique et persistance du motif…………...….. p.11
b. Forme de la figure …………………………………..………………p.12
c. Modélisation DFT du PVC et sa réponse suite à un
enlèvement d’électrons…………………………….………………..p.13
III. Mesure de la dimension de Minkowski……………...……………........p.15
1) Principe…………………………………………………………………..…...p.15
a. Introduction aux dimensions fractales…………………..p.15
b. Calcul de la dimension de Minkowski………………...….p.17
2) Résultats…………………………………………………………………….... p.17
3) Simulations……………………………………………………………….…. p.19
Conclusion…………………………………………………………………..……………. p.20
Sources et Bibliographie………………………………..………………………..… p.21
Annexe 1 ………………………..…………………………………………………………..p.22
Journal de Bord……………………………………………………………………...…. p.23
Code Processing……………………………………………………………………...… p.25
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Introduction :
Bien souvent, les plus grands émerveillements que procure la science viennent de
l’apparition inattendue d’un phénomène engendré par un autre, et bien souvent, ce qui
fait la beauté de ces situations est l’émergence d’un phénomène très simple issu d’un
chaos d’événements indescriptible, quand des manifestations physiques complexes —
parfois hors de portée de l’imagination ou de la raison — se conjuguent et donnent
naissance { une chose toute simple. C’est { ce genre d’événements que nous allons nous
intéresser : une monstruosité aussi inconcevable que la foudre en terme d'énergie, de
puissance et de conséquences en tous genres (farfadets, tonnerre, antimatière semble-til) produit — entre autres — quand elle frappe un matériau isolant, des fleurs de foudre,
ou figures de Lichtenberg, du nom de celui qui les a, le premier, étudiées.
Ces figures sont remarquables parce qu’elles sont fractales, c’est-à-dire que sous
une apparente complexité, elles cachent une grande simplicité de construction, de
modélisation. Il s’agira, dans notre étude, de déterminer une caractéristique importante
que l’on peut attribuer { chaque fractale et plus généralement { chaque objet
mathématique : sa dimension fractale, que l’on peut exprimer comme étant la
complexité de la courbe. Il s’agit l{ d’un problème mathématique, mais il est simple à
résoudre, il suffit, une fois la courbe modélisée, d’appliquer une méthode prédéfinie.
L’intérêt du problème est physique, car il s’agit en fait de reproduire le processus en
laboratoire. Il faudra créer une décharge semblable à la foudre, la faire frapper un
matériau isolant et fixer les figures qui en découlent.
De nombreuses questions d’ordre physique se posent donc : comment produire
une puissante décharge, un puissant champ électrostatique ? Qu’est-ce qui explique la
conformation de ces figures ? Cette conformation varie-t-elle en fonction de la tension,
de l’intensité, de la puissance ? Obtient-on la même chose selon si le courant est
alternatif ou continu, selon s’il s’agit d’une décharge brusque ou dans la durée ? Quelle
est l’importance de la façon dont on apporte le courant, l’importance du matériau isolant
de son épaisseur ? Quelles lois entrent en jeu ?
Pour apporter les éléments de réponse à ces questions, nous allons présenter nos
expériences et leurs résultats avant de les expliquer. Nous présenterons ensuite ce
qu’est la dimension fractale dite « de Minkowski » avant de calculer celle de notre figure.
Remarque préalable :
Dans le monde réel, il existe deux types de figures de Lichtenberg. D’une part, les
figures tridimensionnelles qui sont observables suite à une décharge électrique très
puissante dans un bloc d’isolant. D’autre part, les figures bidimensionnelles que l’on
peut obtenir avec des puissances bien inférieures et donc plus faciles { étudier. C’est
donc sur elles que portera notre étude, même si l’on peut mentionner les figures
tridimensionnelles qui restent identiques dans leur principe.
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I. Manipulations :
Le premier problème auquel on se heurte quand on s’intéresse à ce sujet consiste
à produire des figures de Lichtenberg à partir desquelles on puisse tirer des données
significatives. Il faut principalement qu’elles aient une bonne taille afin que l’on puisse
étudier les différences potentielles induites par les différents facteurs que l’on fait varier,
afin de déterminer quelle configuration produit les figures les plus intéressantes, c'est-àdire les plus claires et les plus simples à observer.
1) Principe
Figure 1 :Photographie du montage expérimental
Pour créer nos propres figures de Lichtenberg, nous avons relié à un pôle de
notre machine de Wimshurst une pointe métallique posée sur le matériau isolant, le tout
sur une plaque métallique reliée { la terre, de même dimension que l’isolant (environ
10cm de diamètre).
Sur le matériau isolant, nous avons saupoudré de manière homogène différentes
poudres afin de rendre, après l’expérience, la figure (la répartition des charges
électrostatiques sur le matériau isolant) visible. Pour des raisons évidentes de praticité,
les liquides ont été placés dans des boîtes de Pétri, isolantes et d’environ même
épaisseur que les autres matériaux isolants utilisés. La pointe reliée à un pôle du
générateur électrostatique était alors plongée dans le liquide ou quelques millimètres
au-dessus.
En actionnant la machine, on crée une décharge de ses condensateurs entre la
pointe et la plaque métallique. Ce sont les conséquences de cette décharge que nous
étudions.
Figure 2 : Montage expérimental, schéma de principe.
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Nous avons choisi comme critères d’observation des figures produite
au cours des différentes expériences :
- Le diamètre de la figure produite, ce critère est important pour
nous, car il nous faut des figures facilement observables, même si
les petites figures sont semblables aux grandes.
- Le nombre de branches (de « traits ») qui partent du centre de la
figure, car cela à une incidence directe sur la grandeur que nous
voulons mesurer.
2) Facteurs
a. La tension : polarité, quantité.
Le premier facteur essentiel auquel nous avons pensé est le courant. Nous avons
par conséquent testé les paramètres suivants :
- Des tensions plus ou moins fortes, en utilisant une ou deux machines de Wimshurst
de tensions différentes séparément et/ou en même temps, voire assistées par des
condensateurs,
- Du courant alternatif ou continu,
- Du courant positif ou négatif, en changeant le pôle de la machine de Wimshurst relié
au stylet métallique
- Des décharges uniques en chargeant la machine directement branchée sur la plaque,
ou multiples en déchargeant la machine dans la plaque après avoir chargé la
machine.
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur.
Les figures de Lichtenberg bidimensionnelles naissent de la diffusion d’une
décharge d’électricité { la surface d’un matériau isolant (ou diélectrique). Il semble donc
évident de tester l’influence que peut avoir l’épaisseur et la matière de la plaque
d’isolant. Nous avons ainsi testé différents matériaux de différentes épaisseurs (épais,
moyen, fin, très fin). Nous avons testé chacun des isolants en en découpant un cercle de
10 cm de diamètre sur lequel nous avons mis de la poudre de lycopode avant de
l’exposer aux mêmes décharges électriques que ses homologues.
Étant donné que l’air est également un isolant et qu’il a donc une incidence sur
l’expérience, on fait également varier la distance entre la pointe conductrice et la surface
de l’isolant. Nous avons également expérimenté sous vide, toujours à cause du rôle que
peut jouer l’air.
D’autre part, pour révéler ces figures, on utilise différentes poudres que l’on
répand sur la plaque avant de l’électriser : toner, lycope, soufre, talc… On compare ces
révélateurs en soumettant une plaque à une décharge de 150 000volts et en comparant
les résultats. Nous avons également tenté de visualiser les figures en observant les lignes
dessinées dans un liquide isolant : la vaseline. Pour voir quels sont les résultats, il a suffi
de regarder les ombres et lumières formées par la déformation de la surface du liquide.
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3) Résultats
a. La tension : polarité, quantité.
Nous avons voulu voir l’influence du voltage sur les figures de Lichtenberg (leur
diamètre et leur nombre de branches), nous avons donc fabriqué des figures dans de la
poudre de lycopode disposée sur une plaque de PVC de 2 mm. Nous avons utilisé deux
machines de Wimshurst de voltages 80 000 V et 150 000 V séparément puis en série
pour obtenir une tension de 230 000 V.
Voltage :
80k
150k
230k
Diamètre :
1,8
3,5
6,3
Nombre de ramifications à partir du
centre :
15
36
55
Figure 3 : Effets des variations du voltage sur les figures de Lichtenberg
Comme on le constate, un voltage plus élevé augmente la taille de la figure et le
nombre de branches d’une figure. En effet, une tension plus élevée implique que les
particules chargées, les électrons, disposent de plus d’énergie pour se déplacer sur la
plaque, ils sont moins limité par la résistance de l’isolant, et peuvent donc emprunter un
plus grand nombre de chemins, et parcourir sur ce chemin une plus longue distance
avant que son énergie ne se soit dissipée jusqu’{ devenir insuffisante pour le déplacer
encore. Une plus haute tension entraîne donc des branches plus longues et plus touffues.
Nous comptions également utiliser des bouteilles de Leyde, ancêtres des condensateurs
actuels, mais elles se sont avérées inutilisables, car sans effet d'aucune sorte, sûrement
parce que vieillissantes.
Nous nous sommes ensuite intéressés { l’importance de l’éloignement de la
pointe par rapport au support. Nous avons donc créé nos figures sur les mêmes plaques
que précédemment avec la machine de Wimshurst à 150kV.
Distance de la pointe :
0 cm (contact)
0,5 cm
1,0 cm
Diamètre :
3.5
4
0
Nombre de branches à partir du centre :
36
40
0
Figure 4 : Effet de la distance pointe conductrice — isolant sur les figures de Lichtenberg
Comme on peut le voir, si la pointe est trop loin (1cm), la tension se neutralise
dans la machine, aucune figure n’est créée. En revanche, si la pointe est trop proche, les
figures semblent légèrement inférieures, bien que cela puisse être dû à la nature
aléatoire.
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En faisant varier la polarité
du courant, nous avons obtenu
deux types de figures différents :
les figures positive(1) et les
figures négative(2). Les figures
positives semblant plus étalées,
nous avons fixé ce paramètre afin
de pouvoir exploiter au mieux les
photographies.
(1)
(2)
Figure 5 : Les deux types de figures de Lichtenberg
En envoyant plusieurs décharges de même polarité sur le support, plusieurs
figures différentes se superposaient et donc aucun résultat n’était exploitable. Nous
avons également essayé d’obtenir des figures en utilisant un générateur de courant
alternatif, mais avec ce paramètre, plusieurs figures des deux types différents
s’ajoutaient et les résultats étaient encore moins exploitables.
Quand deux machines de Wimshurst sont branchées en parallèle, pour (en
théorie) augmenter la capacité, elles ne se déchargent pas en même temps, étant donné
que la capacité de leurs condensateurs est différente. Cela produit alors des figures
semblables aux autres après que la première machine se décharge ; puis, le résultat
devient inexploitable à partir de la décharge de la deuxième machine à cause de la
superposition des figures. Cependant, ce problème est résolu en branchant les
condensateurs des deux machines en série, car alors la tension accumulée devient
effectivement la somme des deux ; la seule différence est que l’usage simultané des deux
machines permet d’atteindre la charge maximale plus vite que si l’on chargeait tous les
condensateurs avec les deux machines.
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur.
Nous avons voulu savoir si l’épaisseur ainsi que le matériau de la plaque ont une
influence sur la figure, nous les avons donc fait varier, toujours grâce à la même méthode
de mesure que l’on a donnée plus tôt.
Épaisseur :
4 mm
(PVC)
2 mm
(PVC)
1 mm
polystyrène
0,2 mm
(pochette)
2 mm (PVC)
sous vide
Diamètre :
3
5
2,5
4
10,4
Figure 6 : Effets de l’isolant sur les figures de Lichtenberg
On remarque que la taille de la figure augmente quand l’épaisseur du PVC
diminue, mais les autres matériaux ainsi que leur épaisseur au vu des résultats obtenus
ne nous permettent pas de conclure à ce sujet. Il semblerait en effet que se soit plus le
matériau lui-même que leur épaisseur qui influe sur les caractéristiques de la figure
obtenue. On note également qu’une figure réalisée sous vide est bien plus grande : ceci
pourrait s’expliquer entre autres par l’humidité ambiante servant partiellement de
décharge électronique ; sachant que la cloche sous vide est dépourvue de presque la
totalité de cet air, les électrons passant par la plaque d’isolant sont alors plus nombreux.
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Figure 7 : Montage sous vide
Figure 8 : Comparaison des diamètres selon la méthode de génération
(De gauche à droite : Toner, Soufre, Talc, Lycopode normal et sous vide)
Sur la plaque de PVC de 2 mm, nous avons
appliqué une couche de différents matériaux :
— Avec le Toner, les figures obtenues étaient
trop petites et souvent illisibles à cause de la
trop grande cohésion du matériau, ce qui ne
permettait pas de le répandre convenablement
et qui empêchait les amas de se disperser sous
l’effet de l’électricité statique produite.
Figure 9 : Figure obtenue dans de la
vaseline
— Avec le Talc et le Soufre, les figures obtenues étaient plus grandes, mais
restaient illisibles pour les mêmes raisons que le Toner.
— La poudre de lycopode a permis d’obtenir les meilleures figures sur le PVC :
elles sont à la fois grandes et précisément dessinées.
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— La vaseline seule, par le biais de la vidéo, nous laisse voir de grandes et belles
figures, mais ceci pendant un très court laps de temps. Malheureusement, notre
caméra n’était pas assez performante pour nous permettre de capturer une figure
pleinement exploitable.
Conclusion partielle
Pour les figures dont nous allons mesurer la dimension fractale, nous utiliserons
les paramètres dont nous avons découverts qu’ils sont les plus efficaces pour produire
des figures intéressantes : un support de PVC de 2mm d’épaisseur, avec de la poudre de
lycopode, sous vide, avec une pointe à 0,5 cm de la plaque, en courant continu, et avec
des décharges uniques. Quant à la tension, étant donné qu’elle semble avoir une
incidence sur la grandeur que nous souhaitons mesurer, nous réaliserons des mesures
de dimension fractale pour chacune d’entre elles.
II. Explications théoriques des figures de Lichtenberg :
1) Charge électrique
a. La machine de Wimshurst
La machine de Wimshurst est une machine électrostatique inventée en 1882 par
l'anglais James Wimshurst. Elle a une structure et un fonctionnement caractéristiques :
deux plateaux isolants fixés autour d’un même axe sont recouverts de pastilles
métalliques électriquement neutres (les secteurs) sur les faces extérieures ; on trouve en
face de chaque plateau plusieurs balais métalliques. Lorsqu’on actionne la manivelle, les
disques entrent en rotation et les balais frottent les secteurs ; ce faisant, ils acquièrent
ou perdent des charges sous l’influence des champs électriques créés par la rotation
entre les deux plateaux, avant de l’emmagasiner dans des bouteilles de Leyde (on peut
ajouter d’autres condensateurs afin d’augmenter la tension maximale) ; les balais de
chaque face chargent un des condensateurs qui sont chacun reliés à une sphère. Lorsque
les deux boules sont suffisamment proches et la tension électrique assez élevée, on peut
obtenir une étincelle, un arc électrique allant de l’électrode négative { l’électrode
positive (on appelle ce dispositif l’éclateur). Si les électrodes sont trop éloignées, lorsque
la tension dépasse les capacités des condensateurs, les étincelles se forment en d’autres
points de l’appareil. Après cela, le système revient { un niveau neutre et tout
recommence. Cette machine est généralement sans danger, car si la tension peut
s’avérer très élevée, l’intensité du courant reste très faible.
Figure 10 : Machine de Wimshurst, allure et fonctionnement.
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b. La poudre
Afin de réaliser nos figures de Lichtenberg, comme nous l’avons vu, nous avons
utilisé diverses poudres déposées sur les supports (de gauche { droite sur l’image cidessous) : du toner, du talc, du soufre et de la poudre de lycopode. Comme nous l’avons
constaté, la poudre de lycopode s’est avérée être la plus probante, nous allons
comprendre pourquoi.
Figure 11 : Différentes poudres testées.
De gauche à droite : Toner, Talc, Soufre, Poudre de lycopode.
Les lycopodes sont des plantes vertes dont les spores
(généralement de couleur jaune soufre) sont toutes semblables ; ce
sont ces spores qui constituent la poudre de lycopode, connue des
magiciens pour produire des flammes impressionnantes. Dans le cadre
de nos expériences, les avantages de la poudre sont qu’elle ne
s’agglomère pas en paquets (contrairement au toner par exemple),
qu’elle est légère et donc très mobile (les spores sont facilement
emportées sans retomber trop près de leur point de départ), et qu’elle
est relativement sensible aux champs électriques : bien qu’elle ne soit
pas intrinsèquement sensible aux champs électromagnétiques, elle peut, par frottement,
acquérir une faible charge qui suffit, vu son faible poids, { l’orienter suivants les lignes
de champ.
En effet, lorsqu’on envoie une décharge électrique sur le support, la poudre
légèrement chargée va se placer en fonction de sa charge sur les lignes du champ
électrostatique afin de revenir { un niveau électriquement neutre. Lorsqu’une grande
quantité de poudre est étudiée, les chemins les plus probables sont clairement plus ou
moins marqués selon la polarité du courant entrant, ce qui aboutit aux figures de
Lichtenberg.
2) La figure
a. Électricité statique et persistance du motif
L’électricité consiste en un mouvement de particules chargées dans un milieu
conducteur. Comment peut-elle alors être statique ? Nous savons qu’il existe des
particules de charge négative (électrons) et positive (protons) ; la charge des protons
étant opposée { celle des électrons, on considère que l’atome dans son ensemble est
électriquement neutre lorsqu’ils sont présents en quantités égales. L’électricité statique
ne peut apparaître que lorsqu’il n’y a pas circulation des charges électriques ; elle
consiste donc en un nombre d’électrons plus ou moins important que celui de protons
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dans un milieu isolant, sans que la neutralité puisse être rétablie. C’est le principe de la
foudre par exemple qui s'abat (ou s’envole !) lorsqu’il y a une opposition de charges
entre le sol et les nuages trop importante. Les charges portées par les électrons ne se
neutralisent pas d’elles-mêmes, mais se neutralisent en s’associant { d’autres charges
positives.
Ainsi, dans le cas des figures de Lichtenberg, c’est la trop grande quantité de
courant accumulée par rapport à la résistivité du matériau neutre dit « isolant » qui lui
permet de le parcourir, laissant sur son sillage une « traînée » d’électricité statique. C’est
également ce qui permet une persistance de la figure tant qu’on n’apporte pas d’autres
modifications au milieu ; il faut donc éviter de toucher la figure, car une décharge rapide
de l’électricité statique a pour effet de superposer une seconde figure à la première, les
rendant toutes deux inexploitables.
b. Forme de la figure
Le mouvement brownien est une représentation mathématique du mouvement
aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à
aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » particules dudit fluide.
Comme l’a constaté Robert Brown en 1827, il en résulte un mouvement très irrégulier
de la grosse particule. On peut comparer le tracé des branches des figures à un
mouvement brownien. Le chemin qu’empruntent ces particules forme une figure
particulière appelée « arbre brownien », ou bien Figure de Lichtenberg. Pourquoi, dans
le cas d’un courant électrique traversant un isolant les charges se répartissent selon un
arbre brownien sans auto-intersections ?
Nous avons cherché à comprendre ce qui expliquait le fait que nos charges ne
se diffusent pas dans l’air ou au sein de plaque, mais à sa surface, ainsi que ce qui
justifiait le plus grand diamètre des figures de Lichtenberg générées sous vide. Voici nos
conclusions, basées sur les thèses référencées dans la bibliographie :
En mettant deux phases quelconques en contact, elles développent une
différence de potentiel { l’interface, en particulier lorsqu’il s’agit de deux surfaces
hétérogènes (dans notre cas solide — gaz). Ainsi, la surface du solide acquiert une
charge électrique d’un signe, celle du fluide acquiert une charge de signe opposé en
vertu du principe de l’électroneutralité. Cela explique que la décharge se déplace
préférentiellement en surface, car dans les deux isolants (l’air et le PVC) les charges ne
sont pas aussi localement favorables à un déplacement électrique, car elles sont plus ou
moins équiréparties.
Dans notre expérience, nous produisons un fort champ électrique que nous
déplaçons jusqu’au stylet. L{, il est bloqué par une couche d’air et évidemment par notre
couche d’isolant. Il se produit alors en phénomène qualifié « d’effet couronne » : l’air
autour de la pointe est fortement ionisé, transformé en un plasma d’ions et d’électrons.
Les électrons présents dans le champ produisent des « avalanches électroniques », c’està-dire qu’en frappant des atomes présents dans le milieu ils libèrent d’autres électrons,
etc. Aux tensions auxquelles nous travaillons ce phénomène s’auto-entretient. Quand le
champ est positif, les électrons sont « aspirés » vers la pointe tandis que les cations
dérivent vers la plaque (car l’interface air/plaque est le lieu le plus susceptible de les
accueillir) où ils se répandent comme nous le préciserons plus tard. Dans le cas où le
champ est négatif, les électrons issus de la pointe produisent des avalanches de la même
façon, et, tandis que la pointe se neutralise grâce aux cations créés, les électrons
s’éloignent de la pointe, le champ électrique se fait moins fort, ils ont moins d’énergie, et
finissent par former des anions qui dérivent vers la plaque où ils répandent
différemment des cations, mais en suivant sensiblement les mêmes lois.
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On peut donner au moins deux explications possibles au diamètre plus
important des figures sous vide : d’abord, la poudre de lycodope, sans les frottements de
l’air et la masse d’une atmosphère pesant sur ces spores, est déplaçable avec bien moins
d’énergie ; ainsi, les charges mises en jeu perdent moins d’énergie { déplacer le
révélateur et en dépensent plus à se propager au sein de la plaque. D’autres par, le vide
est un meilleur isolant que l’air. Pour franchir cette barrière isolant, il aura donc fallu
une plus grande énergie, qui est ensuite « dépensée » dans le tracé des figures.
Quant à la forme des figures elle-même, on peut l’expliquer ainsi : les charges
qui se déplacent { la surface de la plaque sont donc sous forme d’un plasma d’ions
positifs ou négatifs. Bien que cette interface soit le milieu le plus favorable à leur
déplacement, il s’agit tout de même d’un isolant (c'est-à-dire que les charges ne s’y
diffusent pas librement), et le déplacement de particules chargées se fait donc selon des
modalités particulières : des filaments de plasma se répandent à la surface, en suivant se
que l’on appelle des streamers, c’est-à-dire des chemins faciles à suivre : parce qu’ils ont
une faible résistance par rapport aux autres chemins possibles, mais surtout, car le
chemin à déjà été ouvert par une particule « germe » (c’est par ce même phénomène que
se forment les étincelles dans notre machine et à plus grande échelle la foudre). Cela
explique donc la formation de branches plutôt qu’un déplacement diffus comme c’est le
cas dans un conducteur. Maintenant, replaçons-nous dans le contexte où se forment ces
filaments de plasma : autour de la pointe règne un très fort champ électrique du signe de
la pointe. Par l’effet couronne qu’on a exposé plus tôt, des charges de même signe que la
pointe dérivent jusqu’{ la plaque d’isolant où ils se répandent en filament comme décrit
précédemment. Cela provoque localement une baisse de la différence de potentiel entre
les points de la plaque recouverts de plasma et la pointe, ce qui explique que les
mouvements de charges se fassent moindres sur les endroits déjà recouverts et donc
que d’autres branches se forment. Enfin, notons que si ces branches ne se croisent pas
ces, car elles sont de même signe et qu’elles ont donc tendance { s’éloigner les unes des
autres.
c. Modélisation DFT du PVC et sa réponse suite à un enlèvement
d’électrons:
La Modélisation permet de comprendre simplement les interactions qui s’effectuent au
cours de ce phénomène physique. Ce dernier agit jusqu’aux molécules et que la
modélisation permet de visualiser. Grâce au logiciel Gaussian, nous pouvons observer
comment les atomes interagissent avec leurs environnements. Pour cette étude, nous
allons prendre le PVC comme substrat type. Au cours de cette perturbation électrique,
les couches électroniques des atomes se voient modifiées et par conséquent la structure
de la molécule du PVC change. Un retour à la structure de base de la molécule (état
fondamental) peut s'effectuer, mais il se peut également que la modification due au
courant électrique bouleverse partiellement ou irrémédiablement celle-ci; créant ainsi
un isomère de la molécule de départ. Ce changement de structure fait également appel
au puits de potentiel. Au passage d'un courant électrique, les électrons extérieurs d'une
molécule stable chimiquement étant à un niveau d'énergie vont être arrachés lors des
collisions entre particules, ce qui forme le plasma.
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Cette énergie accumulée peut être expulsée sous forme de chaleur et/ou de lumière d'où
l'éclair que l'on peut observer lors de la création dans le PVC de cette figure. L'énergie
peut retourner directement à son niveau minimal
(cuvette de potentiel) ou passer par des niveaux
excités ou discrets pour enfin retourner à son état
fondamental. Il s'avère que le courant a une
incidence sur les spins. Un spin est la rotation
d’une particule autour d’un axe « Nord-Sud »
caractérisant une particule au même titre que sa
masse ou sa charge électrique. En effet, le spin Figure 12 : Représentation d’un
d’un électron est de ½, c’est-à-dire qu’il peut se spin +½ et -½ ainsi que son champ
trouver soit en position haute + ½ (rotation dans magnétique correspondant
le sens antihoraire) soit en position basse - ½ (rotation dans le sens horaire).
Dans la figure de Lichtenberg, les molécules ayant eu leurs spins et leurs couches
électroniques modifiées sont réparties le long des branches apparentes. La molécule de
Polychlorure de vinyle, plus communément nommé PVC (“Polyvinyl of Chlorure”)
possède cette représentation spatiale.
Figure 13 : Polymérisation du monomère Chlorure de Vinyle répété 10 fois
Le logiciel Gaussian nous permet de calculer la densité de
probabilité des électrons dans les différentes orbitales : le
calcul DFT (Density Functional Theory). Il résout lui-même
les équations de Schrödinger qui représentent la fonction de
l’orbitale analysée. Rentrent en compte les coordonnées
cartésiennes de chaque atome constituant la molécule, les
distances entre deux atomes en angström (
mètres), la nature des liaisons (simple, double ou triple).
Une simple liaison carbone-carbone est définie par une
distance de 1,54 angström, une double liaison carboneFigure 14 : Etats des
carbone par 1,34 angström et une triple liaison carbonecarbone par 1,20 angström. Une liaison est la mise en spins du PVC { l’état
fondamental
commun d’un doublet d’électrons entre deux atomes. Dans
cette liaison, chacun des deux électrons a un spin inverse de l’autre d’après les cases
quantiques de Pauli.
Après analyse des différentes orbitales du PVC, il s’avère que ce sont surtout les orbitales
des électrons πx, πy et πz qui se voient modifiés lors du maximum énergétique pour
revenir { l’état initial de la molécule plutôt que les électrons σ. Les orbitales des
molécules redevenues stables vont elles aussi retrouver la même structure que les
orbitales de molécules qui n'auront pas été traversées par le courant. On aura donc mis
en évidence une modification partielle de l'environnement électronique des molécules
de PVC lors de la traversée d'une décharge électrique.
On observe qu’il en est de même pour le lycopode, le toner ou le talc (voir Annexe 1).
On en conclut que l’orbitale la plus haute occupée étant plus éloigné du noyau, il est plus
facile d’arracher les électrons aux noyaux. Ainsi on obtient de meilleurs résultats avec le
lycopode car le PVC { notre disposition n’était pas sous forme de poudre. Cela rendant
plus difficile la création des figures de Lichtenberg.
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L’apparition de charges partielles sur une molécule s’explique par la somme des
moments dipolaires due à la géométrie de celle-ci. L'électronégativité du chlore est la
tendance d'un élément à attirer le doublet d'une liaison covalente dans laquelle il est
engagé. Le chlore a tendance à gagner des électrons donc il est très électronégatif. Le
PVC est constitué d'un atome de carbone lié à un atome de chlore par une liaison
covalente. On dit que la liaison C-Cl est polarisée. Cette polarisation fait apparaître un
excédent de charge négative (-q) sur l'atome de chlore et un excédent de charge positive
(+q) sur le carbone. La molécule constitue un dipôle électrique.
Figure 15 : charges de Mulliken du PVC (charges partielles)
Les liaisons C-Cl n’apparaissent pas mais celles-ci existent car la distance entre ces deux atomes
est de 1,894 angströms.
Le Lycopode (où nous avons eu les meilleurs résultats)
est un dipôle instantané. Les électrons n'ont pas de
position définie. Ils ont une probabilité de présence dans
le nuage électronique qui entoure les noyaux. Les
électrons s'y déplacent à grande vitesse. A un instant
donné, il se peut que les électrons soient plus proches
d'un des noyaux. Il apparaît alors un dipôle électrique
instantané au sein de la molécule. Ce dipôle instantané
engendre la création d'autres dipôles instantanés et ceci
de proche en proche.
Figure 16 : charges de Muliken
du Lycopode
III. Mesure de la dimension de Minkowski :
1) Principe
a. Introduction aux dimensions fractales
La dimension topologique d’un objet exprime tout simplement quelle est la
dimension minimale nécessaire pour en avoir une représentation exacte : un point est
de dimension 0, un carré est de dimension 2, un 4-tesseract — aussi appelé hypercube
— est de dimension quatre. Certains de ces objets nous sont très familiers : tout le
monde connaît le segment, le carré, le cube, mais peu de gens arrivent à imaginer un
cube de dimension 5, et cette difficulté ne s’arrange pas quand on sait qu’il existe une
infinité de dimensions entières possible (de 0, le point, { l’infini, où les objets deviennent
tout { fait inimaginables). Ainsi donc, malgré la surprise qu’auront certains en apprenant
qu’il existe des objets de 57e dimension, on pourrait se rassurer en se disant :« au moins,
dans nos “petites” dimensions, les choses restent intelligibles ». Il semble en effet facile
de dire si un objet est une ligne, un plan, un volume. Cependant, sans que nous nous en
rendions compte, il existe une infinité d’objets qui sont de dimension non entière : les
fractales.
15/27
Prenons un exemple : un segment recouvre très bien, totalement, une portion de
droite : il est donc de dimension 1. En revanche, des points distants d’une longueur
quelconque ne recouvriront jamais une portion même infinitésimale d’une droite. Plus
étonnant déjà, le cercle est de dimension 1, car on peut le déformer continûment pour
faire correspondre chacun de ses points avec ceux d’une ligne droite. En revanche,
considérons la courbe de Peano ci après.
Figure 17 : Courbe de Peano, 4 premières
itérations
Cette courbe, bien qu’elle soit { une étape finie localement unidimensionnelle,
recouvre entièrement la portion de plan qui la contient au bout d’un nombre infini
d’étapes et tend donc vers la dimension deux (ce résultat est aisément démontrable :
tout nombre admet un développement en base 3, c'est-à-dire qu’il peut être écrit avec
, or la courbe passe par tous les points qui s’écrivent avec ces chiffres, elle passe
donc par tous les points).
Il s’agit cependant encore d’un cas simple : la dimension est entière. Prenons
maintenant une autre courbe simple : le flocon de Von Koch :
Figure 18 : Courbe de Von Koch, 4 premières itérations
16/27
La courbe de Von Koch elle-même est celle obtenue à limite, quand le nombre de
répétitions tend vers l’infini. On voit tout de suite qu’{ l’infini la longueur de la courbe
tend vers l’infini, car { chaque étape, on rajoute un tiers de la longueur du segment de
départ. En revanche l’aire est strictement limitée : si l’on pose que l’aire du triangle de
départ vaut 1, on augmente l’aire de
donc de :
{ l’étape 2, puis de
, etc. Son aire est
. Par définition, la dimension fractale mesure à quel point
une courbe recouvre l’espace { toutes les échelles. On la mesure donc en général comme
étant la solution d de
où N est le nombre de n-boules (disque si la fractale est
contenue dans le plan, boule si elle est contenue dans l’espace, etc.) de rayon r
nécessaires pour recouvrir la courbe. Cela vient du fait que l’on étudie la façon dont
évolue la mesure quand la précision de celle-ci augmente. En l’occurrence, la solution de
cette équation est
.
b. Calcul de la dimension de Minkowski
Il existe plusieurs méthodes de définition de la dimension fractale d’un objet. La
plus connue et rigoureuse est la « Dimension de Hausdorff » qui se définit simplement
comme on l’a dit ci-dessus : est d, solution de
avec les paramètres que l’on a déj{
définis. C’est celle que nous avons voulu calculer en premier lieu. Cependant, sa difficulté
de mise en œuvre et de mesure nous a empêchés d’aboutir { un résultat. Heureusement,
cette définition n’est pas la seule et il en existe une autre relativement semblable : la
dimension de Minkowski-Bouligand. Son calcul nécessite en premier lieu la mise en
place d’un « box-counting ». Cette méthode est plus couramment utilisée, car plus facile
à mettre en œuvre puisqu’il ne s’agit plus de mesures à effectuer, mais de cases à
compter : dans le cas d’une fractale bidimensionnelle, il faut intégrer la figure dans un
carré, puis diviser ce carré en carrés plus petits et compter le nombre de cases
comprenant une partie de la figure, puis de réitérer l’opération avec une grille plus
petite (en trois dimensions, les carrés deviennent des cubes et ainsi de suite...). La
dimension de Minkowski est supérieure ou égale à celle de Hausdorff.
Pour faciliter le comptage, une idée nous est d’ailleurs venue : plutôt que de
partir d’un carré originel et de le diviser, nous avons exploité une figure numérisée, en
partant de sa plus grande définition et en comptant les pixels, jusqu’{ arriver par
réductions successives à une image de 1 pixel de côté. Cela nous a permis de compter
des carrés bien plus petits que ce que l’œil est capable de percevoir.
2) Résultats
L’image d’origine est celle-ci :
17/27
Nous avons choisi d’étudier des images de 1, 2, 4, 5, 8, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100,
125, 250, 400, 500, 1000 et 2000 pixels de côté, car tous ces nombres sont des diviseurs
de notre image originale de 2000 pixels de côté, évitant ainsi que les pixels fassent des
fusions trop approximatives. Dans ce tableau,
représente l’augmentation de la
précision de mesure par rapport au cas où on considère l’image en entier, représente
la précision de la mesure en pixels (la mesure est réalisée avec un quadrillage de carrés
de y pixels de côté), et
représentant le nombre de carrés comptés pour une valeur de
donnée.
2
1000
3
1,585
4
500
10
1,661
5
400
13
1,5937
8
250
29
1,6193
10
200
45
1,6532
16
125
107
1,6854
20
100
155
1,6835
25
80
233
1,6935
40
50
522
1,6964
50
40
768
1,6983
80
25
1668
1,6931
100
20
2415
1,6915
125
16
3616
1,6969
250
8
10 906
1,6838
400
5
22 315
1,6712
500
1000
2000
4
2
1
32 963 147 624 376 688
1,674 1,7231 1,6892
En tenant compte de l’imprécision relative, on constate qu’{ partir d’un certain rang, la
figure semble se stabiliser aux alentours de 1,69. Or, les figures de Lichtenberg suivent le
modèle d’agrégats par diffusion. En effet, dans le cas d’une diffusion d’agrégats il s’agit
de groupes d’atomes plus ou moins grands (allant de un seul { plusieurs centaines) qui
se déplacent, se « diffusent » au sein d’un ensemble d’agrégats sous l’influence de
facteurs extérieurs. Dans notre cas, bien qu’il ne s’agisse pas de groupes d’atomes, mais
d’ions, le principe est très similaire et les caractéristiques identiques d’un point de vue
fractal. Les figures de Lichtenberg, donc, suivant ce modèle de diffusion, ont une
dimension de Hausdorff comprise entre 1,8 et 1,7 selon la tension plus ou moins élevée,
dans le cas d’une diffusion bidimensionnelle. Notre résultat, bien qu’il soit
théoriquement censé être supérieur à 1,7, est satisfaisant, car nous ne pensions pas
avoir une marge d’erreur si faible.
Le comptage est certes une étape importante, mais il est inutile si l’on ne sait
exploiter la donnée obtenue. Pour calculer la dimension de Minkowski, il faut à chaque
étape calculer
, représentant l’augmentation de la précision de mesure
par rapport au cas où on considère l’image en entier, représentant la précision de la
mesureen pixels (la mesure est réalisée avec un quadrillage de carrés de y pixels de
côté), et
représentant le nombre de carrés comptés pour une valeur de donnée. Si les
premiers résultats sont généralement très imprécis, on peut après un grand nombre
d’itérations constater une tendance globale.
Finalement,
la
dimension
de
Minkowski
d’une
figure
fractale
est
.On peut supposer que vu la tendance de la suite, dans ce cas
.
D’autre part, l’image que nous utilisons ici n’est évidemment pas une de nos productions,
le nombre fractal des notre, trouvé en suivant la même méthode est proche de 1,78. Cela
s’explique facilement : celles que nous avons réalisées semblent plus « recouvrantes »,
car les branches ne peuvent pas être aussi fines : leur finesse est limitée par le diamètre
de la poudre (0,15 mm).
18/27
3) Simulations
Nous avons voulu, dans le cas où nous ne réussirions pas à générer aucune figure
de Lichtenberg exploitable, avoir des simulations, des « figures types » facilement
mesurables et exploitables. Nous avons ainsi tenté d’en générer de deux sortes : sur
papier et de façon informatique.
Dans le cas de la simulation sur papier, on part d’une branche de 28 cm. Sur celleci on place une branche fille de la moitié de sa longueur (soit 14 cm { l’étape 1) sur
chaque moitié (supérieure et inférieure) qu’on oriente de façon aléatoire { un angle
d’environ 45° ou de -45° par rapport à la branche mère. On réitère ensuite ce procédé le
plus de fois possible (4 itérations semblent être suffisantes pour obtenir une figure
réaliste).
Dans le cas de la simulation par programme informatique, nous nous sommes
servis d’un script (écrit dans un simili-C) pour le logiciel Processing
(http://processing.org/) permettant de construire un flocon de Von Koch. En le
modifiant, nous avons pu obtenir une figure semblable à celle construite sur papier, avec
quelques itérations en plus, avec l’avantage supplémentaire d’être directement
numérisée.
Bien que la mesure ait pu être réalisée sur des figures réelles cela a l’avantage de
montrer qu’une méthode de génération simple peut donner une figure assez semblable
(même si elles ne sont évidemment pas aussi autosimilaires dans la réalité) : finalement
ce que nous disions se confirme bien : malgré leur apparente complexité, elles sont en
fait relativement simples.
Figure 19 : Simulation informatique d’une branche d’une figure de Lichtenberg
19/27
Conclusion :
Finalement, bien que cette question nous ait opposé nombre de résistances, nous
avons réussi à les lever les unes après les autres : dans nos expérimentations, nous
avons trouvé le moyen le plus efficace de fabriquer des figures de Lichtenberg en
utilisant le matériel dont nous disposions. Une fois ces figures créées, nous avons
également réussi à les mesurer, les reproduire mathématiquement – dans une certaine
mesure – et finalement comprendre les phénomènes mis en jeu. Pour finir, nous avons
réussi à montrer que, comme nous le disions initialement, dans leur apparente
complexité ces figures suivent en réalité des structures fort simples et répétitives.
De plus, nous avons atteint l’objectif que nous nous étions initialement fixé, c’està-dire parvenir à calculer la dimension fractale des figures de Lichtenberg ;et, sans avoir
apporté une réelle contribution à la science puisque ces questions ont déjà été étudiées,
nous sommes fiers d'avoir pu montrer comment une beauté simple se cache derrière
une énormité comme la foudre, ainsi que, et cela n'apparaît pas ici,d'avoir réussi à
intéresser d'autres élèves, nos camarades, à la physique et aux mathématiques en leur
présentant notre travail.
Nous tenons à remercier notre camarade Jonathan, élève de 2 nde passionné qui
nous a assistés pour nos expériences,nos professeurs de physique-chimie, Mme Salvat et
M. Sorba, pour nous avoir permis de tenter cette expérience fort enrichissante et notre
professeure de mathématiques, Mme Vergnac, pour ses conseils avisés.
Nous remercions également Jean-François Colonna, professeur au CMAP qui nous
a conseillés sur nos problèmes mathématiques et algorithmiques, Claude Giraud,
professeur de physique du lycée Pablo Picasso, qui s’est aimablement déplacé pour nous
conseiller en personne.
Nous tenons également à remercier Pr Ilaria Ciofini et Pr Carlo Adamo, Directeurs
de Recherche CNRS en poste à LECIME, Laboratoire d’Électrochimie, Chimie des
Interfaces et Modélisation pour l’Énergie. Grâce à eux nous avons pu modéliser
simplement ce phénomène physique en nous permettant d’utiliser Gaussian®.
Nous voulons également exprimer notre reconnaissance à tous nos camarades
qui, par leur curiosité et leurs questions, ont su éveiller la nôtre et nous ont permis
d’aller plus en avant. Et, finalement, nous vous remercions d’avoir lu ce dossier !
20/27
Sources et Bibliographie :
Entretiens sur la physique, Volume 5 de Georg Friedrich Parro.
Caractérisation des décharges glissantes se propageant aux interfaces liquides/solides sous
différentes formes de tension – Relation entre propriétés des matériaux et dimension
fractale, de Lazzhar Kebbabi.
Étude de la dégradation d’un solide isolant soumis aux décharges électriques de surfaces,
de El Hadi Belhiteche.
Décharge à Barrière diélectrique de surface : physique et procédé, de Katia Allégraud.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_de_Minkowski
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_de_Hausdorff
http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_fractales_par_dimension_de_Hausdorff
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Physics/DLA/DBM/DBM2.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Lichtenberg_figure
http://205.243.100.155/frames/lichtenbergs.html
http://www.popsci.com/diy/article/2008-02/trap-lightning-block
http://www.tdee.ulg.ac.be/userfiles/file/documenta.pdf
http://chemistry.about.com/od/demonstrationsexperiments/a/lichtenberg.htm
Image utilisée :
http://akiroom.com/redbook/collection2/tnk2120b.jpg
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Annexe n°1
Le Lycopode possède cette structure spatiale:
En réalité il est composé de différentes molécules. Mais pour faciliter les calculs, nous
avons pris la molécule la plus abondante dans cette poudre. Au cours de la décharge
électrique la répartition de cœur ne change pas, mais celle de valence se trouve
grandement modifiée.
Spins { l’état fondamental
Il en est de même pour le Toner, mais pour des orbitales différentes:
Spins { l’état fondamental
Le Talc vérifie également le même phénomène:
Spins { l’état fondamental
22/27
Journal de bord :
Séance une
Nous avons réparti les tâches entre les différents membres du groupe : Balthazar,
Baptiste et Roman ont donc mis en place les expériences pratiquées le mercredi aprèsmidi tandis que Léo et Marc, ne pouvant être là les mercredis, ont eu comme tâches
respectives de commencer { rédiger le dossier et d’essayer de modéliser une fractale de
Lichtenberg au cas où nous n’arrivions pas { en créer une physiquement.
Séance deux
Lors de ce premier mercredi, nous avons mis en place les premiers montages
avec la machine de Wimshurst. Nous l’avons branché selon le schéma consultable en I-1.
Nous avons ensuite essayé ce montage avec du Toner et du talc en poudre. Les
tamis étant dans les laboratoires de SVT, nous n’avons pu en récupérer cette fois-ci, et
nous n’avons donc pas pu obtenir des surfaces lisses et homogènes. Nos premiers
résultats ont donc été peu probants.
Séance trois
Lors de ce second mercredi où nous étions tous présents, nous nous sommes
procuré un tamis, nous avons ainsi pu créer des plaques de poudre un peu plus
homogènes. Nous avons réalisé plusieurs figures : celle avec le talc était plus réussie que
les autres, mais qu’importe la poudre ou le matériau, toutes nos figures étaient trop
petites.
Le nouvel obstacle auquel nous avons fait face est qu’il est assez difficile d’obtenir
une seule et unique décharge avec une machine de Wimshurst, ne serait-ce que parce
qu’une fois lancées, les roues acquièrent une inertie notable et qu’arrêter cette inertie
endommage la courroie de la machine, ce qu’il est préférable d’éviter (surtout lorsque
cette dernière est assez abîmée). Il a donc fallu habilement manœuvrer pour éviter que
trop de charges se superposent et effacent totalement nos figures.
Séance quatre
Au cours de ce 3e mercredi, M. Sorba nous a proposé de remplacer le stylet par
une sphère pour faire passer le courant de la machine aux plaques. Les figures obtenues
grâce à ce procédé sont similaires aux autres, avec pour seule différence un cercle en
leur centre.
Séance cinq
Pour ce 4e mercredi, nous avons tenté de créer des figures dans une boîte de
pétri avec :
— de l'huile : une figure très claire s’y forme, mais en raison du milieu liquide, les figures
ont une persistance très courte.
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— de la vaseline seule : les résultats ont été probants (la vaseline s'est écartée de la
pointe) et en raison de la viscosité de la vaseline, les résultats ont persisté un peu plus
longtemps, avant de s’effacer.
— un mélange de vaseline et de poudre de lycopode : la poudre s'est fixée au fond de la
boîte et a eu le temps de former la figure avant d’être recouverte de vaseline, cette
dernière revenant assez lentement pour ne pas emporter la poudre sur son passage.
Nous avons alors cherché à fixer les figures liquides pour les rendre exploitables.
Nous avons rapidement pensé à utiliser une solution d'acétate de sodium qui, en
surfusion, se cristallise avec un dégagement de chaleur lors d’un apport d'énergie
extérieur (ainsi, on l’utilise couramment dans les chaufferettes portables ou pour faire
de la « neige chaude »).
Nous avons donc voulu d'envoyer une forte et unique décharge dans une boîte de
pétri remplie d’une solution d'acétate de sodium, ce qui figerait la figure dans la boîte.
Cependant, en raison d’une température ambiante trop faible, notre solution d’acétate se
solidifiait avant que nous ayons le temps de créer une figure à sa surface.
Séance six
À l’occasion de ce 5e mercredi après-midi, nous avons pu nous procurer une
caméra capable de filmer 300 images par seconde. Nous avons ainsi reproduit les figures
de Lichtenberg dans toutes les poudres et liquides que nous avions utiliséesauparavant
tout en les filmant, dans l’espoir d’observer la création d’une figure exploitable sur une
des images.
Séance sept
À l'occasion de ce 6e mercredi, nous avons refait toutes les manipulations afin de
recueillir des données précises pour compléter les tableaux de la première partie.
Unefois ces tableaux remplis et interprétés, nous avons essayé une méthode pour
calculer la dimension de Minkowski de nos figures, sans résultats probants.
Séance huit
Pour cette 7e et ultime séance du mercredi, nous avons avant tout pris quelques
clichés des figures et du groupe à la tâche. Nous avons profité du temps restant pour
soigner notre dossier.
Séances supplémentaires
Notre groupe s’est généralement retrouvé au complet les lundis soir afin de faire
le bilan du travail effectué dans la semaine et de présenter à Léo et Marc les résultats des
expériences du mercredi précédent.
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Code du modèle de figure de Lichtenberg :
LichFractal k;
void setup() {
size(1200, 800);
background(0);
frameRate(0.5); //afficher lentement
k = new LichFractal();
}
voiddraw() {
background(0); //dessine l’arbre fractal
k.render();//recommence
k.nextLevel(); //ne pas dépasser 5 itérations
if (k.getCount() > 5) {
k.restart();
}
}
//un class pour gérer la liste de points
classLichFractal {
Point start; //point de départ
Point end; //point de fin
ArrayListlines; //la liste des lignes
int count;
publicLichFractal()
{
start = new Point(0,height/2);
end = new Point(width,height/2);
lines = new ArrayList();
restart();
}
voidnextLevel()
{
//pour chaque ligne de la liste créer 5 nouvelles lignes dans la liste
lines = iterate(lines);
count++;
}
void restart()
{
count = 0; //compter à 0
lines.clear(); //vider la liste
lines.add(new LichLine(start,end)); //recharger la liste
}
intgetCount() {
return count;
}
//dessin des lignes :
voidrender()
{
for(int i = 0; i <lines.size(); i++) {
LichLine l = (LichLine)lines.get(i);
25/27
l.render();
}
}
//1 : créer une liste vide, 2 : pour chaque ligne de la liste calculer et créer 5 segments
d’après _l’algorithme de lichtenberg_, les ajouter à la liste, 3 : la nouvelle liste devient la
liste de base
ArrayListiterate(ArrayListbefore)
{
ArrayListnow = new ArrayList(); //créer une liste vide
for(int i = 0; i <before.size(); i++)
{
LichLine l = (LichLine)lines.get(i); //un segment dans la liste
//calculer les points d’extrémité des lignes
Point a = l.start();
Point b = l.Lichleft();
Point c = l.Lichexl();
Point d = l.Lichright();
Point e = l.Lichexr();
Point g = l.end();
//dessiner les lignes
now.add(new LichLine(a,b));
now.add(new LichLine(c,b));
now.add(new LichLine(b,d));
now.add(new LichLine(e,d));
now.add(new LichLine(d,g));
}
returnnow;
}
}
classLichLine
{
//a est le point _gauche_ et b le _droit_
Point a,b;
LichLine(Point a_, Point b_)
{
a = a_.copy();
b = b_.copy();
}
voidrender() {
stroke(255);
line(a.x,a.y,b.x,b.y);
}
Point start() {
returna.copy();
}
Point end() {
returnb.copy();
}
Point Lichleft()
{
float x = a.x + (b.x—a.x)/3;
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float y = a.y + (b.y—a.y)/3;
return new Point(x,y);
}
Point Lichexl()
{
float x = a.x + (1/3) * (b.x—a.x) + (sin(3*QUARTER_PI)*(b.y-a.y)/3) ;
float y = a.y + (1/3) * (b.y—a.y) — (sin(3*QUARTER_PI)*(b.x-a.x)/3) ;
return new Point(x,y);
}
Point Lichright()
{
float x = a.x + 2*(b.x—a.x)/3;
float y = a.y + 2*(b.y—a.y)/3;
return new Point(x,y);
}
Point Lichexr()
{
float x = a.x + (b.x—a.x)/3 — (sin(QUARTER_PI)*(b.y-a.y))/3;
float y = a.y + (b.y—a.y)/3 + (sin(QUARTER_PI)*(b.x-a.x))/3;
return new Point(x,y);
}
}
class Point {
floatx,y;
Point(float x_, float y_) {
x = x_;
y = y_;
}
Point copy() {
return new Point(x,y);
}
}
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