Les fleurs de foudre

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Membres du groupe : TaleS1
Balthazar Charles,
Léo Gayral,
Marc Madern,
Baptiste Paris,
Roman Regnauld.
Olympiades de physique des lycées :
Les fleurs de foudre
Quelle est la dimension fractale d’une figure de Lichtenberg ?
Professeurs encadrants :
M. Sorba, professeur de physique-chimie
Mme Salvat, professeure de physique-chimie.
2012-2013
Lycée Jean Lurçat, Perpignan, Académie de Montpellier

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Présentation du projet :
Le but de notre travail était de réaliser des figures de Lichtenberg ; ces figures possèdent
des propriétés fractales. Pour cela, nous avons principalement utilisé des machines de
Wimshurst auxquelles étaient reliés différents matériaux isolants. Nous avons constaté
des résultats différents selon les matériaux, la tension électrique appliquée ou la polarité
du courant. À la fin de nos expériences, nous avons sélectionné nos figures les plus
satisfaisantes afin de les comparer à des modèles de fractales et à des algorithmes
permettant d'obtenir ces mêmes figures de manière informatique. Nous avons ainsi
mesuré à la main sur des photographies de nos figures et sur celles générées par des
modèles informatiques la dimension fractale de ces objets grâce à la méthode de
Minkowski. Nous avons maintenant une meilleure compréhension du comportement de
l'électricité statique dans un matériau isolant.

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Sommaire :
Introduction………………………………………………………………………………p. 4
I. Manipulations…………………………………………………………………………p. 5
1) Principe………………………………………………………………………...p. 5
2) Facteurs……………………………………………………………………….. p. 6
a. La tension : polarité, quantité………………………………... p. 6
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur ……….. p. 6
3) Résultats……………………………………………………………………..... p. 7
a. La tension : polarité, quantité............................................... p. 7
b. L’isolant (épaisseur, matière) et le révélateur .…….....p. 8
Conclusion partielle ………………………………………………………....p. 10
II. Explications théoriques des figures de Lichtenberg...…………… p. 10
1) Charge électrique …………………………….…………………………. p. 10
a. La machine de Wimshurst………...……….………………....…p.10
b. La poudre.....……………………………………………………..…… p.11
2) Figure ……………………………………………………...............................p.11
a. Électricité statique et persistance du motif…………...….. p.11
b. Forme de la figure …………………………………..………………p.12
c. Modélisation DFT du PVC et sa réponse suite à un
enlèvement d’électrons…………………………….………………..p.13
III. Mesure de la dimension de Minkowski……………...……………........p.15
1) Principe…………………………………………………………………..…...p.15
a. Introduction aux dimensions fractales…………………..p.15
b. Calcul de la dimension de Minkowski………………...….p.17
2) Résultats…………………………………………………………………….... p.17
3) Simulations……………………………………………………………….…. p.19
Conclusion…………………………………………………………………..……………. p.20
Sources et Bibliographie………………………………..………………………..… p.21
Annexe 1 ………………………..…………………………………………………………..p.22
Journal de Bord……………………………………………………………………...…. p.23
Code Processing……………………………………………………………………...… p.25

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Introduction :
Bien souvent, les plus grands émerveillements que procure la science viennent de
l’apparition inattendue d’un phénomène engendré par un autre, et bien souvent, ce qui
fait la beauté de ces situations est l’émergence d’un phénomène très simple issu d’un
chaos d’événements indescriptible, quand des manifestations physiques complexes —
parfois hors de portée de l’imagination ou de la raison — se conjuguent et donnent
naissance { une chose toute simple. C’est { ce genre d’événements que nous allons nous
intéresser : une monstruosité aussi inconcevable que la foudre en terme d'énergie, de
puissance et de conséquences en tous genres (farfadets, tonnerre, antimatière semble-t-
il) produit — entre autres — quand elle frappe un matériau isolant, des fleurs de foudre,
ou figures de Lichtenberg, du nom de celui qui les a, le premier, étudiées.
Ces figures sont remarquables parce qu’elles sont fractales, c’est-à-dire que sous
une apparente complexité, elles cachent une grande simplicité de construction, de
modélisation. Il s’agira, dans notre étude, de déterminer une caractéristique importante
que l’on peut attribuer { chaque fractale et plus généralement { chaque objet
mathématique : sa dimension fractale, que l’on peut exprimer comme étant la
complexité de la courbe. Il s’agit l{ d’un problème mathématique, mais il est simple à
résoudre, il suffit, une fois la courbe modélisée, d’appliquer une méthode prédéfinie.
L’intérêt du problème est physique, car il s’agit en fait de reproduire le processus en
laboratoire. Il faudra créer une décharge semblable à la foudre, la faire frapper un
matériau isolant et fixer les figures qui en découlent.
De nombreuses questions d’ordre physique se posent donc : comment produire
une puissante décharge, un puissant champ électrostatique ? Qu’est-ce qui explique la
conformation de ces figures ? Cette conformation varie-t-elle en fonction de la tension,
de l’intensité, de la puissance ? Obtient-on la même chose selon si le courant est
alternatif ou continu, selon s’il s’agit d’une décharge brusque ou dans la durée ? Quelle
est l’importance de la façon dont on apporte le courant, l’importance du matériau isolant
de son épaisseur ? Quelles lois entrent en jeu ?
Pour apporter les éléments de réponse à ces questions, nous allons présenter nos
expériences et leurs résultats avant de les expliquer. Nous présenterons ensuite ce
qu’est la dimension fractale dite « de Minkowski » avant de calculer celle de notre figure.
Remarque préalable :
Dans le monde réel, il existe deux types de figures de Lichtenberg. D’une part, les
figures tridimensionnelles qui sont observables suite à une décharge électrique très
puissante dans un bloc d’isolant. D’autre part, les figures bidimensionnelles que l’on
peut obtenir avec des puissances bien inférieures et donc plus faciles { étudier. C’est
donc sur elles que portera notre étude, même si l’on peut mentionner les figures
tridimensionnelles qui restent identiques dans leur principe.

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I. Manipulations :
Le premier problème auquel on se heurte quand on s’intéresse à ce sujet consiste
à produire des figures de Lichtenberg à partir desquelles on puisse tirer des données
significatives. Il faut principalement qu’elles aient une bonne taille afin que l’on puisse
étudier les différences potentielles induites par les différents facteurs que l’on fait varier,
afin de déterminer quelle configuration produit les figures les plus intéressantes, c'est-à-
dire les plus claires et les plus simples à observer.
1) Principe
Figure 1 :Photographie du montage expérimental
Pour créer nos propres figures de Lichtenberg, nous avons relié à un pôle de
notre machine de Wimshurst une pointe métallique posée sur le matériau isolant, le tout
sur une plaque métallique reliée { la terre, de même dimension que l’isolant (environ
10cm de diamètre).
Sur le matériau isolant, nous avons saupoudré de manière homogène différentes
poudres afin de rendre, après l’expérience, la figure (la répartition des charges
électrostatiques sur le matériau isolant) visible. Pour des raisons évidentes de praticité,
les liquides ont été placés dans des boîtes de Pétri, isolantes et d’environ même
épaisseur que les autres matériaux isolants utilisés. La pointe reliée à un pôle du
générateur électrostatique était alors plongée dans le liquide ou quelques millimètres
au-dessus.
En actionnant la machine, on crée une décharge de ses condensateurs entre la
pointe et la plaque métallique. Ce sont les conséquences de cette décharge que nous
étudions.
Figure 2 : Montage expérimental, schéma de principe.