Correction PDF

BAC 2004 POLYNÉSIE Calculatrice autorisée
PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN BAC A DÉCANTATION A FLUX HORIZONTAL
(5,5 points)
1. Étude de la chute d’une particule dans un liquide visqueux :
1.1. F = f´v
V
F
f= [ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
1
1
2-
-
-
´=
´
´´
=
´
== TM
TL
TLM
V
am
V
F
f
([F]=[m´a] d’après la deuxième loi de Newton)
f s’exprime bien en kg .s
–1
1.2.
F
r
: force de frottement
P
r
: poids d’une particule
P
r
: poussée d'Archimède
1.3. Considérons comme système une particule de masse m, soumise aux trois forces précédentes, dans un
référentiel terrestre supposégaliléen. En appliquant la deuxième loi de Newton, il vient :
amFP
r
r
r
r
´=P++
En projetant sur l’axe Oz vertical, on obtient : P –F–P= m´a =
dt
dv
m´
Soit m´g–f´v–
gR
l
´´´ rp
3
3
4
=
dt
dv
m´
Ou -´-= v
m
f
g
dt
dv
gR
m
l
´´´
´
rp
3
3
4
=
l
R
m
gv
m
f
rp ´´
´
-´+´
-
3
3
4
1(
)
La masse volumique d'une particule est r
S
=
S
V
m
avec V
S
=
3
3
4R´
p
Soit
)1(
l
S
m
V
gv
m
f
dt
dv
r ´-´+´-=
On remplace m par r
S
´V
S
)1(
l
SS
S
V
V
gv
m
f
dt
dv
r
r
´
´
-´+´-=
)()1(
S
lS
S
l
gv
m
f
gv
m
f
dt
dv
r
r
r
r
r
-
´+´-=-´+´-=
Soit finalement:
)(
S
lS
gv
m
f
dt
dv
r
r
r
-
´=´+
1.4. Quand la vitesse limite est atteinte,
0=
dt
dv
on obtient :
)(
S
lS
l
gv
m
f
r
r
r
-
´=´
O
zP
F
P

On retrouve l'expression proposée pour la vitesse limite: g
f
m
v
S
lS
l
.)( ´
-
=
r
r
r
Calculons sa valeur:
12
12
14
3
33
.10.3,5
10.1,3 10.0,5 10.5,1 )10.0,110.5,1(
8,9
--
-
-
=´
-
´= smv
l
1.5. )1()( t
m
f
levtv
-
-´=
v(t
1
) = 0,99´v
l
soit )1(99,0
1
t
m
f
ll evv
-
-´=´
d’où
1
199,0
t
m
f
e
-
-=
01,099,01
1
=-=
-t
m
f
e
)01,0ln(
1=- t
m
f
)01,0ln(
10.1,3 10.0,5
)01,0ln(
12
14
1-
-
-=-= f
m
t
= 7,4.10
–2
s = 74 ms
1.6.a.
Le temps caractéristique est égal àl'abscisse du point d’intersection de la tangente àla courbe àla date t =
0 s avec l’asymptote horizontale, on obtient (compte tenu de la qualitédu document) un temps
caractéristique : t
1
= 20 ms.
1.6.b. Sur le graphique on observe une première phase (t < t
1
)oùla vitesse de la particule augmente
rapidement au début, puis de plus en plus lentement. C’est le régime initial (ou transitoire).
Sur la seconde partie(t
³
5t
1
)de la courbe, la vitesse reste constante et égale àla vitesse limite (v
l
). C’est
le régime asymptotique (ou permanent). La particule est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
Tangente àt = 0
Asymptote horizontale
t
1

2. Application : modélisation simple d’un bac àdécantation àflux horizontal :
2.1. Si la particule reste àla surface de l’eau, elle va se déplacer àla vitesse v
h
sur une distance L
2
t
L
v
h
= soit
10,0 0,1
2
==
h
v
L
t
=10 s
2.2. Pour la chute parfaitement verticale, la vitesse limite est atteinte au bout de 5t
1
, soit environ 0,10 s.
Ce qui représente 1% de la durée nécessaire (t
2
) pour parcourir la distance L.
A peine dans l'eau la bille possède une vitesse verticale v
Z
= v
l
.
De plus avec le courant d'eau, elle possède une vitesse horizontale v
h
.
Le vecteur vitesse de la bille est donc
hl
vvv
r
r
r
+
=
2.3. Projection selon Ox Projection selon Oz
Accélération a
x
(t) = 0 a
z
(t) = 0
vitesse v
x
(t) = v
h
v
z
(t) = v
l
Position x(t) = v
h
´t z(t) = v
l
´t
)(tv
dt
dx
x
= Soit en intégrant : x(t) = v
h
´t + Cte =v
h
´t (car àt = 0 s, x
0
= 0)
)(tv
dt
dz
z
= Soit en intégrant : z(t) = v
l
´t + Cte = v
l
´t (car àt = 0 s, z
0
= 0)
2.4. z(t) = v
l
´t et t =
h
v
tx )(
d’oùz(t) = )(tx
v
v
h
l
´
La trajectoire de la particule est bien une droite (z(t) est une fonction linéaire) de coefficient directeur :
h
l
v
v
= a
or d’après la question
g
f
m
v
S
lS
l
´´
-
=)(
r
r
r
Soit
hS
lS
vf
m
g´ ´
-
´= )(
r
r
r
a
2.5. Pour x = L et z = H
0
on a
L
vf
m
gH
h
c
S
lS
´
´
´
-
´= )(
0
r
r
r
Soit
lS
hS
C
vf
gL
H
m
rr
r
-
´
´
´
´
=
0
33
123
10.0,110.5,1 10,010.1,310.5,1
8,90,1 54,0
-
´´
´
´
=
-
C
m
= 5,1.10
–14
kg
2.6. On souhaite connaître z(t) pour x = L.
Si z(t) < H
0
la bille passera au dessus du bac de récupération.
Si z(t) = H
0
la bille atterrit dans le bac au dernier moment.
Si z(t) > H
0
la bille tombe bien dans le bac.
On peut, pour raisonner, écrire z(t) = k´m´L
Si m < m
C
alors z(t) < H
0
La particule va tomber après le bac de récupération.
Si m > m
C
la particule va tomber dans le bac de récupération.