THESE Etude De La Machine Synchrone Autopilotée : Modélisation

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D'ORAN
Mohamed BOUDIAF
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
THESE
Pour l’obtention du Doctorat d’état
SPECIALITE : Electrotechnique
OPTION: Machine Electrique
Intitulé de THESE :
Etude De La Machine Synchrone Autopilotée :
Modélisation Et Simulation.
Mr
Présentée Par
HACHEMI KADDOUR
Le ……juillet 2012.
Devant le Jury Composé de :
Mr. M. BOURAHLA
Mr. B. MAZARI
Mr. A. MANSOURI
Mr. A. MERAOUFEL
Mr. H. SAYAH
PRESIDENT
RAPPORTEUR
EXAMINATEUR
EXAMINATEUR
EXAMINATEUR
Professeur, USTO
Professeur, USTO
Professeur, ENSET ORAN
Professeur, U. de Sidi Bel Abbès
Professeur, U. de Sidi Bel Abbès
Remerciements
Remerciements
Tout d’abord Je remercie mon directeur de thèse Monsieur Benyounes MAZARI,
Professeur à l’USTO d’ORAN, qui m’a fait l’honneur de me diriger pendant l’essentiel de ce
travail que je présente ici ; je le remercie particulièrement pour sa qualité de patience et de
disponibilité tout au long de ce travail. Son expérience et sa connaissance des machines
électriques et de leur environnement m’ont permis d’assimiler la complexité des phénomènes
mis en jeu tout au long de cette thèse.
Je suis très honoré par la présence de Monsieur M.BOURAHLA, Professeur à
l’Université de Sciences et Technologie Mohamed BOUDIAF d’ORAN qui a bien voulu
accepter d’assurer la responsabilité de Président de jury.
Ma reconnaissance et remerciements vont également à Mr A. MANSOURI, Professeur
à l’E.N.S.E.T.d’ORAN, et Mr. H. SAYAH et Mr. A. MERAOUFEL, tout deux Professeurs à
l’Université Jilalli LIABES de SIDI BEL ABBES, qui ont accepté la lourde tâche d’examiner
ce travail de thèse.
Je remercie tout mes collègues et amis à l’Université Docteur Tahar Moulay de
SAIDA qui m’ont longtemps conseillés et encouragés ainsi que l’apport de leur aide
précieuses.
Enfin, merci à ma famille « ma femme et mes enfants », de m’avoir supporté pendant
les moments difficiles pour l’élaboration de ce modeste travail.
K. HACHEMI.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Les Sommaires
Table de Matières.
Introduction Générale.
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Chapitre I : Constitution et modélisation de l’onduleur et de la MSAP
1.1
Introduction
1.2 Comparaison des machines électriques
1.2.1 La Machine à courant continu (MCC)
1.2.2 La Machine asynchrone (MAS)
1.2.3 La Machine synchrone à réluctance variable (MSRV)
1.2.4 La Machine synchrone à rotor bobiné (MSRB)
1.2.5 La Machine synchrone à aimants permanents
1.3 Choix de la machine synchrone à aimants permanents
1.4 Choix du nombre de paires de pôles
1.5 Modélisation de la machine synchrone à aimants permanents
1.5.1. Autopilotage de la machine synchrone
1.5.2 Transformations de Concordia et de Park
1.5.2.1 Hypothèses, conventions et symboles
1.5.2.2 Matrices de transformations
1.5.4 Modèle du moteur synchrone dans le référentiel de Park
1.6. Modélisation De L’alimentation Du MSAP
1.6.1 Modélisation de l’onduleur
1.6.2. Modulation de largeur d'impulsions
1.6.2.1. Contrôle des courants par hystérésis
1.6.2.2. Contrôle par MLI vectorielle
1.7. Résultats de Simulation
1.8. Conclusions
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Chapitre II : Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
2.1 Introduction
2.2 Modélisation Du Système Onduleur-Machine
2.2.1. Modèle De la machine
2.2.2. Equations mécaniques
2.2.3. Modèle de facteurs influents sur la MSAP
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Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Les Sommaires
2.2.4. Modèle de fonction de transfert de la MSAP
2.2.5. Fonction de transfert de l’onduleur de tension
2.3. Commande Vectorielle De La MSAP
2.3.1 Principe
2.3.2 Modèle d’alimentation en vue de la commande vectorielle
2.3.3. Commande vectorielle par la méthode indirecte
2.3.4. Commande vectorielle par la méthode directe
2.4. Théorie De La Commande Non Linéaire
2.4.1. Linéarisation au sens d’entrée – sortie
2.4.2. Conception de contrôleur linéaire par retour d'état
2.4.3 Application au MSAP
2.5. Présentation des différents Régulateurs
2.5.1. Régulateurs linéaires robustes
2.5.2. Régulateurs non linéaires
2.5.3. Régulateurs intelligents
2.5.4. Régulateur industriel PID
2.6. Régulateur PI
2.6.1. Système d’anti-Windup
2.6.2. Régulation par la méthode indirecte
2.6.3. Régulation par la méthode directe
2.7. Résultats De Simulation
2.7.1-Contrôle de vitesse
2.7.2-Contrôle de position
2.8. Conclusion
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Chapitre III : Modélisation de la commande par logique floue
3.1. Introduction
3.2. Logique floue
3.2.1. Principe et définitions
3.2.2. Opérateurs et normes
3.2.3. Inférence
3.2.3.1. Inférence Linguistique et Symbolique
3.2.3.2. Matrice d'inférence
3.2.4. Méthode d'inférence Max-Min
3.2.5. Méthode d'inférence Max-Produit
3.2.6. Méthode d'inférence Somme-Produit
3.3. Structure d'un régulateur flou
3.3.1. Introduction
3.3.2. Fuzzification
3.3.3. Inférence
3.3.4. Défuzzification
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Les Sommaires
3.4. Définition De La Loi De Commande Floue
3.4.1. Structure du contrôleur flou adopté
3.4.2. Paramètres du Contrôleur Flou
3.5. Résultats de simulation
3.5.1 Contrôle de vitesse
3.5.2 Contrôle de position
3.6. Conclusion
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Chapitre IV : Modèle d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP
4.1. Introduction
4.2. Estimation De Position Et De Vitesse
4.2.1. Calcul Du Flux En Utilisant La Tension Et Les Courants
4.2.2. Comparaison entre Valeurs Prédictives Et Valeurs Réelles
4.2.3. Techniques utilisant la f.e.m aux bornes de la machine
4.2.4. Utilisation des observateurs
4.3. Principe de l’estimateur
4.4. Etude Générale des Observateurs
4.4.1. Principe
4.4.2. Observabilité
4.4.3. Détermination du gain de l’observateur
4.4.4. Synthèse des observateurs
4.5. Modèle Du MSAP En Vue De La Commande Sans Capteur
4.6. Observateur de Luenberger
4.6.1. Structure de l’observateur
4.6.2. Mise en équation de l’observateur
4.6.3. Résultats de simulation
4.7. Observateur de Gopinath
4.7.1. Mise en équation du système
4.7.2. Conception de l'observateur de Gopinath
4.7.3. Résultats de simulation :
4.8. Conclusion
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Conclusion Générale
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Références
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Annexes
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Les Sommaires
Liste des figures
Chapitre I : Constitution et modélisation de l’onduleur et de la MSAP
Fig. 1.1 : Structure d’une machine à courant continu
Fig. 1.2 : Structure d’une machine asynchrone à cage d’écureuil ou à rotor massif.
Fig. 1.4 : Rotor d’une machine synchrone à réluctance variable.
Fig. 1.5: Machine synchrone a rotor bobiné.
Fig. 1.6 : Rotors de machines synchrones à aimants permanents.
Fig. 1.7 : Principe de la concentration de flux.
Fig. 1.8 : Comparaison des structures des machines synchrone et à courant continu.
Fig. 1.9 : Autopilotage de la machine synchrone.
Fig. 1.10 : - Diagramme de Fresnel pour une f.e.m. sinusoïdale.
Fig. 1.11 : Caractéristique couple vitesse d’un moteur synchrone à ω constante.
Fig. 1.12 : Référentiel conventionnel.
Fig. 1.13 : Application de la transformation de Park au stator de la MSAP.
Fig. 1.14 : Modèle du MSAP.
Fig. 1.15 schéma de principe d’un onduleur de tension.
Fig. 1.16 : Structure de l’onduleur avec les fonctions de commutation.
Fig. 1.17 : Principe de réglage par hystérésis.
Fig. 1.18 : polygone de commutation.
Fig. 1.19 : Principe de commutation.
Fig. 1-20 : Algorithme pour déterminer le secteur angulaire.
Fig. 1.21 : Description des séquences de conduction des Interrupteurs.
Fig. 1.22 : l’autopilotage du MSAP.
Fig. 1.23a : les trois phases statoriques.
Fig. 1.23b : les courants dans le repère d-q.
Fig. 1.23c : Couple et Vitesse.
Fig. 1.23d : Tension d’une phase sortie onduleur.
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Chapitre II : Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Fig. 2.1 : Ensemble Commande-Onduleur-Machine.
Fig. 2.2 : modèle fonctionnel de Park du MSAP.
Fig. 2.3 : Commande vectorielle avec i d nul.
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Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Les Sommaires
Fig. 2.4 : Schéma de la commande vectorielle des MSAP
Fig. 2.5 : Schéma simplifié de la commande vectorielle du MSAP
Fig. 2.6 : Schéma de commande vectorielle par la méthode indirecte.
Fig. 2.7 : Découplage de la machine.
Fig. 2.8 : structure de découplage.
Fig. 2.9 : Structure de la commande vectorielle par la méthode directe.
Fig. 2.10 : découplage et Compensation.
Fig. 2.11: Régulation des courants et de vitesse des MSAP
Fig. 2.12: modèle d’Anti-Reset-Windup.
Fig. 2.13: Boucle de régulation de vitesse.
Fig. 2.14 : Boucle de régulation de position.
Fig. 2.15: Boucle de régulation du courant id
Fig. 2.16 : Boucle de régulation du courant i d
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Fig. 2.17 : Boucle de régulation du courant i q
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Fig. 2.18 : Boucle de régulation de vitesse.
Fig. 2.19 : Boucle de régulation de position.
Fig. 2.20 : modèle de simulation avec contrôleur PI de vitesse.
Fig. 2.21 : les courants de phases.
Fig. 2.22 : les courants en quadrature.
Fig. 2.23 : Vitesse et Couple avec rejet de perturbation dus à la charge.
Fig. 2.24 : Poursuite de vitesse et position correspondante.
Fig. 2.25 : Poursuite de Position et Vitesse correspondante.
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Chapitre III : Modélisation de la commande par logique floue
Fig. 3.1 Exemple d'ensembles en logique booléenne
Fig. 3.2 Exemple d'ensembles en logique floue.
Fig. 3.3 Représentation d'un ensemble flou par sa fonction d'appartenance
Fig. 3.4 : Ensemble flou de la variable Température "moyenne".
Fig. 3.5 Exemple d'inférence Max-Min
Fig. 3.6 Exemple d'inférence Max-Produit
Fig. 3.7 Schéma d'un contrôleur flou de vitesse.
Fig. 3.8 Structure du régulateur flou
Fig. 3.9 Fuzzification de l'erreur
Fig. 3.10 Trajectoire dans le plan de phase.
Fig. 3.11 Défuzzification par la méthode des hauteurs pondérées.
Fig. 3.12 Défuzzification par valeur maximum
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Les Sommaires
Fig. 3.13 : Boucle de contrôle flou.
Fig. 3.14a : Fonction d’appartenance de la variation « de » à trois classes.
Fig. 3.14b : Fonction d’appartenance de l’erreur « e » à cinq classes.
Fig. 3.14c : Fonction d’appartenance de « du » à sept classes.
Fig. 3.15 Surface caractéristique du contrôleur flou de vitesse.
Fig. 3.16 : modèle de simulation avec CF de vitesse intégré.
Fig. 3.17 : Les trois phases statoriques
Fig. 3.18 : Allures des courants en quadrature Id puis Iq.
Fig. 3.19a : Réponses Vitesses et couples électromagnétiques
Fig. 3.19b : Réaction lors de la variation de la charge.
Fig. 3.20 : Réponses des courants et couple.
Fig. 3.21 : Réponses de position et de vitesse.
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Chapitre IV : Modèle d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP
Fig. 4.1 : commande avec observateur
Fig. 4.2 : Repères (d-q) et (γ-δ) et Composantes (γ-δ) de la f.e.m.
Fig. 4.3 : Principe de l’observation d’états
Fig. 4.4 : structure d’un observateur d’état
Fig. 4.5 : Principe de commande sans capteur par l’observateur de Luenberger.
Fig. 4.6 : Observation du Courants Ia et de la Position du rotor.
Fig. 4.7 : Observation de la Vitesses et du Couple
Fig. 4.8 : Détail de la vitesse et du couple au démarrage.
Fig. 4.9 : Observation des Courants Id et Iq.
Fig. 4.10 : Observation des Détails de la vitesse et du couple
Fig. 4.11 : Principe de commande sans capteur par l’observateur de Gopinath.
Fig. 4.12 : Observation du Courants Ia et de la Position du rotor.
Fig. 4.13 : Observation de la Vitesses et du Couple
Fig. 4.14 : Observation des Courants Id et Iq.
Fig. 4.15 : Détails de la vitesse et du couple
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Les Sommaires
Liste des Tableaux
Tab. 1.1 : Caractéristiques des machines synchrones à aimants permanents.
Tab. 1.2 : Valeurs des vecteurs de tension.
Tab.1.3 : calcul des durées de modulation.
Tab 1.4 : caractéristique du MSAP.
Tab 2.1 : coefficients de régulateurs de vitesse
Tab 2.2 : coefficients des régulateurs de position
Tab 3 1 : Matrice d’inférence à deux dimensions.
Tab 3.2 : Matrice d’inférence à trois ensembles flous.
Tab 3.3 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix I.
Tab 3.4 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix II.
Tab 3.5 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix III.
Tab 3.6 : Matrice des règles d’inférences.
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Tab 3.7 : Paramètres des régulateurs PI
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Liste des symboles
LISTE DES SYMBOLES
MSAP :
Machine (ou moteur) synchrone à aimants permanents.
MSRB :
Machines synchrones à rotor bobiné
MSRV :
Machines synchrones à réluctance variable
MAS :
Machines asynchrones
MCC :
Machines à courant continu
MLI :
Modulation de largeur d'impulsion.
FMM :
Force magnétomotrice.
FEM :
Force électromotrice.
CF :
Contrôleur à logique floue.
PI :
Régulateur Proportionnel Intégral.
d-q :
Système d’axes longitudinal et transversal (transformation de Park).
vabc :
Tensions de phases statoriques.
iabc :
Courants de phases statoriques.
Is :
Amplitude des courants statoriques
λabc :
Flux totaux produits par les courants statoriques.
λd :
Composante longitudinale du Flux
λq :
Composante transversale du Flux
Rs :
résistance d'une phase statorique.
Ls :
inductance propre d'une phase statorique.
Ms :
Inductance mutuelle entre deux enroulements statoriques.
Mf :
inductance mutuelle entre l’inducteur et une phase de l’induit.
Lfs .
Inductance de fuite.
Lm :
Inductance de magnétisation.
Ld :
Inductance dans l'axe longitudinal.
Lq :
Inductance dans l'axe transversal.
Etude De La Machine Synchrone Autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Liste des symboles
id :
Composante longitudinale des courants statoriques.
iq :
Composante transversale des courants statoriques.
u d, v d :
Composante longitudinale des tensions statoriques.
u q, v q :
Composante transversale des tensions statoriques.
eα, eβ :
Tensions réelle et imaginaire selon l'axe du système biphasé.
vs :
Vecteur instantané du système triphasé.
U0 :
Tension continue alimentant l'onduleur.
idref :
Référence de la composante longitudinale des courants statoriques.
ωs:
Pulsation statorique.
Ωr, ωr :
Vitesse de rotation du rotor.
Ωref, ωref :
Référence de vitesse.
θr :
Position du rotor par rapport au stator.
ψ:
Déphasage entre courant et fem dans un enroulement statorique.
Pθ :
Matrice de transformation de PARK.
Tαβ0 :
Matrice de transformation de CONCORDIA.
[R] :
Matrice des résistances statoriques.
[L] :
Matrice globale des inductances.
Φr:
flux rotorique vu par les enroulements du stator.
p:
Nombre de paires de pôles.
B, F:
Coefficient d'amortissement.
J:
Moment d'inertie du rotor.
CL :
Couple de charge.
Cem, Ce:
Couple électromagnétique.
x:
Vecteur des états.
S1, S2, S3 :
Signaux logiques pour la commande des six interrupteurs.
y:
vecteur de sortie.
f(x) :
Fonction de linéarisation.
D(x) :
Matrice de découplage du système.
Te :
Période d'échantillonnage.
Te, :
Durée de la commutation.
Etude De La Machine Synchrone Autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Liste des symboles
T1, T2 :
Durée de Modulation liée au vecteur v1, v2.
Ti :
Durée de la séquence de roue libre.
K, K(p,n):
matrice des gains.
k1, k2 :
Gains de l'observateur.
Etude De La Machine Synchrone Autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Introduction Générale
INTRODUCTION GENERALE
Durant ces dernières années, le développement de l'électronique a marqué
profondément le domaine de la conversion de l'énergie électrique.
Le moteur à courant continu a parfaitement assuré le fonctionnement de la plupart
d'équipements industriels ; cependant, son principal défaut reste le collecteur mécanique
qui est mal toléré dans certains environnements et qui fait augmenter les coûts d'entretien.
Ces contraintes ont orienté les études vers les entraînements par des machines à courant
alternatif. Les méthodes classiques de variation de vitesse (mécaniques et
électromécaniques) ont été peu à peu déclassées par des ensembles associant des
convertisseurs statiques à des moteurs électriques.
Actuellement, il existe une abondance théorique et pratique en ce qui concerne les
études sur les entraînements à courant alternatif qui concurrencent avec succès ceux à
courant continu.
Le moteur synchrone à aimants permanents se distingue par son excellent
rendement et peut présenter les mêmes possibilités de contrôle que la machine à courant
continu, s’il est convenablement alimenté par des courants sinusoïdaux. Cette machine
présente d’autres caractéristiques essentielles telles que la possibilité de fonctionner aux
grandes vitesses et l’utilisation aisée dans divers domaines industriel.
Dans cette étude nous allons présenter l’un des aspects de fonctionnement de la
machine synchrone à aimant permanent le plus utilisé c'est-à-dire le domaine des
actionneurs :
Dans le premier chapitre, nous présenterons le modèle mathématique de la
machine synchrone à aimants permanents (MSAP) permettant l'étude de son
comportement dynamique. Le modèle adopté est basé sur la transformation de Park ; une
première partie est consacrée à la modélisation des éléments de la machine synchrone,
puis une deuxième partie pour l’étude de la commande à MLI vectorielle et la description
du convertisseur qui l'alimente.
Dans le deuxième chapitre, nous allons concevoir un contrôleur linéaire par retour
d'état afin de réguler la vitesse du MSAP et observer ses performances. Nous allons
montrer la robustesse du contrôleur lors des variations paramétriques du modèle du
moteur.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 12
Introduction Générale
Pour asservir la position ou la vitesse de la machine il faut mesurer celle-ci par
l’intermédiaire d’un capteur mécanique de position ou de vitesse. On réalise, en premier,
la boucle interne qui assure le réglage du courant puis la boucle externe qui assure la
régulation de la vitesse. Le réglage du courant est réalisé par la commande à modulation
de largeur d'impulsion.
La régulation de la vitesse est assurée par un simple régulateur du type PI ; c’est lui
qui fournit la référence nécessaire à la boucle interne du courant. Cependant, les
régulateurs sont conçus à l'aide des techniques de commande destinées aux modèles
linéaires. Les modèles des moteurs synchrones à aimants permanents n'étant pas linéaires,
les techniques de linéarisation de premier ordre sont utilisées pour linéariser les équations
du modèle autour d'un point d'opération ; entre autres, la technique de linéarisation au
sens des entrées-sorties.
Mais le recours à des commandes robuste est souhaitable aussi bien en stabilisation
qu'en poursuite de trajectoire ; La commande à logique floue qui par sa nature est une
commande non linéaire, possède cette robustesse. Elle est basée sur la commutation de
fonctions de variables d'état, dont le but est de forcer la dynamique du système à s’aligner
avec celle prédéfinie.
Le chapitre III présente les différentes approches utilisées pour cette étude. Ces
techniques étant relativement nouvelles, il est important de bien préciser les termes
employés et de développer suffisamment les méthodes utilisées. Nous commençons par
définir et expliquer la terminologie utilisée en logique floue, la théorie des ensembles
flous, ainsi que le mode de raisonnement propre aux variables floues. Nous développons
une méthode de synthèse d'un régulateur flou et abordons les étapes nécessaires à la
réalisation de l'inférence floue.
Pour des raisons économiques, de sécurité de fonctionnement ou tout simplement
un choix de l’utilisateur, certaines applications peuvent être dispensées du capteur
mécanique de vitesse. L’information de vitesse ou de position doit alors être reconstruite à
partir des grandeurs électriques. Le chapitre IV présente l’élaboration de l’observateur de
vitesse du rotor, basée sur la modélisation de la machine.
Le choix est porté sur deux types d’observateurs (Luenberger et Gopinath) connus
pour leur simplicité de fonctionnement. Nous présenterons les contraintes technologiques
de tels capteurs virtuels de vitesse. Nous aborderons successivement les points concernant
la reconstitution des grandeurs nécessaires au calcul de la vitesse et de la position. La
commande sans capteur de vitesse doit cependant avoir des performances qui ne
s’écartent pas trop de celles que nous aurions eues avec un capteur mécanique.
Nous terminerons chaque chapitre par la présentation des résultats de simulation.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 13
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
CHAPITRE I
1.1
Introduction :
Les évolutions récentes des composants semi-conducteurs de l’électronique de
puissance, et les performances croissantes de l’informatique industrielle
(microcontrôleurs, DSP, etc.) ont accéléré le renouvellement des systèmes des
entraînements électromécaniques.
Les machines synchrones représentent aujourd’hui une grande partie du marché
des convertisseurs d’énergie électromécaniques et couvrent une très large gamme de
puissance qui s’étend de quelques Microwatts, jusqu’à un Gigawatt environ. Les fortes
puissances restent le domaine réservé de la production d’électricité ; Par contre, dans
le cas où ces machines sont utilisées en fonctionnement moteur, associés aux
nouveaux convertisseurs électroniques de puissances, les puissances installées
dépassent rarement quelques dizaines de Mégawatts, mais présentent une grande
souplesse lorsque l’on veut commander la vitesse ou la position d’un moteur [NB1].
Les machines électriques sont nombreuses et variées, et le choix est vaste. Elles
présentent des avantages et des inconvénients les unes par rapport aux autres quelles
soient du même type ou de types différents, à courant alternatif ou à courant continu.
C’est pour cela que nous allons présenter dans ce chapitre les principales
familles de machines électriques afin de situer les machines synchrones par rapport à
l’ensemble.
Ensuite nous présenterons un modèle de moteur synchrone à aimants
permanents que nous étudierons plus en détails, avec son alimentation par un onduleur
de tension.
Nous finirons ce chapitre par la présentation du principe de la MLI classique
puis vectorielle, qui sera associée à la commande de ce moteur.
1.2 Comparaison des machines électriques :
1.2.1 La Machine à courant continu : (MCC)
La figure 1.1 montre d’une machine à courant continu avec les différents
composants [A1].
La présence du système ballais-collecteur est un inconvénient pénalisant de la
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 14
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
machine à courant continu par rapport aux machines à courant alternatif
Fig. 1.1 - Structure d’une machine à courant continu.
Ses avantages sont :
*)
Une électronique de commande simple,
*)
Le défluxage et le fonctionnement en vitesses élevées sont faciles à
réaliser pour les MCC à inducteur bobiné.
Les inconvénients sont :
*)
La présence du système ballais-collecteur, qui représente un volume
supplémentaire,
*)
L’usure du système ballais-collecteur (contacts glissants) qui demande
un entretien périodique rigoureux,
*)
La présence d’enroulements de compensation qui augmente le volume,
*)
L’induit étant en rotation ne permet pas son refroidissement
efficacement, ce qui limite les possibilités d’accroître les performances,
*)
La puissance massique est assez faible.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 15
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
1.2.2 La Machine asynchrone (MAS) :
La figure 1.2 montre les différents composants d’une machine asynchrone à
cage d’écureuil ou à rotor massif [YA].
Le principal inconvénient des machines asynchrones vient de leur principe de
fonctionnement : La machine asynchrone est équivalente à un transformateur tournant,
dont le flux crée par les courants du stator induit dans le rotor des courants qui à leur
tour créent un flux rotorique, tournant à la même pulsation que celle du stator, c’est
l’interaction entre ces deux flux qui crée un couple.
Les avantages sont :
*)
La fabrication assez simple,
*)
La Machine est robuste.
Les inconvénients :
*)
Le rendement est relativement faible avec la nécessité d’avoir des pertes
au rotor pour produire du couple,
*)
Difficulté d’évacuer les pertes joules au rotor due à un refroidissement
difficile,
*)
Mauvais facteur de puissance.
Fig. 1.2 – Structure d’une machine asynchrone à cage d’écureuil ou à rotor massif.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 16
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Pour magnétiser le fer il est nécessaire d’apporter de la puissance réactive, d’où
un mauvais facteur de puissance et des pertes joules relativement élevées au stator. De
plus des pertes joules au rotor sont nécessaires pour créer le couple.
Finalement, vue par leurs performances, les machines asynchrones se trouvent
défavorisées par rapport aux machines synchrones [BM1] [BM2].
1.2.3 La Machine synchrone à réluctance variable (MSRV) :
Le stator d’une machine synchrone à réluctance variable est semblable à celui
de la majorité des machines à courant alternatif.
Sur la figure 1.4, on voit le rotor qui ne contient ni aimants, ni bobinage
d’excitation, le couple est créé grâce à l’effet de réluctance.
Il est construite avec un rapport Ld /Lq élevé entre l’inductance dans l’axe direct
et l’axe en quadrature.
La plage de fonctionnement à puissance constante est directement liée à ce
rapport. Plus ce rapport est élevé, plus le facteur de puissance est élevé aussi [BM2].
Mais ce rapport Ld /Lq élevé est obtenu au détriment de certaines contraintes de
fabrication, qui se répercutent sur le coût.
Fig. 1.4 – Rotor d’une machine synchrone à réluctance variable.
Les avantages :
*)
Rotor passif permettant un fonctionnement à vitesse élevée,
*)
Rendement relativement meilleur que les machines asynchrones
Les inconvénients :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 17
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
*)
Nécessité d’un rapport de saillance élevé, donc fabrication délicate en
grande série,
*)
Facteur de puissance relativement faible,
*)
Electronique de commande assez compliquée d’où la nécessité d’un
capteur de position.
1.2.4 La Machine synchrone à rotor bobiné (MSRB) :
Une coupe axiale d’une machine synchrone à rotor bobiné est présentée sur la
figure 1.5; le flux d’excitation est créé par un courant circulant dans les enroulements
du rotor.
Il existe une grande ressemblance entre cette machine et la machine à courant
continu, mais elles diffèrent seulement par la manière de commuter le courant ;
commutation mécanique pour la machine à courant continu et commutation
électronique pour la machine synchrone à rotor bobiné. Les contacts glissants et
l’usure des balais limitent le fonctionnement à haute vitesse de la MSRB mais à un
degré moins important que la MCC.
Fig. 1.5 – Machine synchrone a rotor bobiné.
Les avantages :
*)
Défluxage aisé par réduction du courant d’excitation,
*)
Domaine d’exploitation plus étendu que les machines à aimants, lois de
commande permettant d’optimiser le rendement.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 18
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Les inconvénients :
*)
Rapport couple/masse relativement plus faible que pour les machines
synchrones à aimants,
*)
Contacts glissants limitant les vitesses de rotation,
*)
Rendement relativement plus faible que les machines synchrones à
aimants à cause des pertes au rotor,
*)
Nombre de pôles limité,
*)
Electronique de commande assez compliquée d’où la nécessité d’un
capteur de position.
En général, à cause des pertes joules rotoriques, les machines synchrones à
rotor bobiné possèdent un rendement plus faible que celles à aimants permanents. De
plus pour une même gamme de puissance, les machines à rotor bobiné sont 30% plus
lourdes que les machines à aimants permanents [YA].
1.2.5 La Machine synchrone à aimants permanents : [BM1] [NB1] [YA].
Les machines synchrones à aimants permanents sont nombreuses et variées
suivant la forme et la nature du rotor (figure 1.6); mais le stator est semblable à celui
de toutes les machines à courant alternatif.
La figure 1.6a représente une machine à aimants en surface, le couple total dans
cette machine est égal, à un instant donné, à la somme d’un couple hybride et d’un
couple de détente. Le couple réluctant est nul, le rotor ne présentant aucune saillance
ni variation de réluctance quand il tourne, cette machine est dite à pôles lisses.
a)
b)
c)
d)
Fig. 1.6 –Rotors de machines synchrones à aimants permanents.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 19
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Les figures 1.6b et 1 6c représentent des machines à aimants enterrés. Le couple
total est égal, à un instant donné, à la somme d’un couple hybride, d’un couple de
détente et d’un couple réluctant.
Pour la machine de la figure 1.6b, les aimants sont justes insérés en surface,
alors que pour la machine de la figure 1.6c et 1.6d, les aimants sont complètement
enterrés dans le rotor. Ces machines sont dites à pôles saillants.
La figure 1.6d montre une machine dite à concentration de flux, et le couple
total est conforme, à la relation (1.1).
Le principe de concentration de flux est schématisé Sur la figure 1.7. Les
aimants sont à aimantation radiale, la somme des surfaces vis à vis des aimants (2.S1),
qui créent le flux d’un pôle, est supérieure à la surface du pôle (S2).
Fig. 1.7 – Principe de la concentration de flux.
Le flux traversant la surface S2 est la somme des flux traversant les deux
aimants (les deux surfaces S1). La surface S2 étant inférieure à 2.S1, l’induction dans
l’entrefer, vis à vis de la surface S2, est supérieure à celle dans les aimants, il y a donc
concentration [BM1].
Le couple instantané dans n’importe quelle machine est la somme de trois
couples élémentaires [AB2] :
Couple Total=Couple Réluctant+Couple Hybride+Couple de Détente
(1.1)
*)
Le couple réluctant est lié à la variation de la réluctance du circuit
magnétique, vue par le flux statorique, en fonction de la position du rotor.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 20
Chapitre I:
*)
rotorique.
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Le couple hybride résulte de l’interaction du flux statorique avec le flux
*)
Le couple de détente est dû à la variation de la réluctance du circuit
magnétique, vue par le flux rotorique, en fonction de la position du rotor ; il possède
une valeur moyenne nulle, mais il présente des ondulations de couple gênantes [YA].
Selon le type de machine, la valeur d’un des couples élémentaires peut être
faible ou bien constituer la composante essentielle du couple total. Le tableau 1.1,
donnent les caractéristiques générales des machines à aimants permanents.
L’inconvénient fonctionnel lié à l’utilisation de ces machines est la difficulté de
contrôle du flux des aimants. En cas de perte de contrôle à haute vitesse, le flux des
aimants ne peut pas être coupé, il apparaît aux bornes des phases une tension très
élevée, pouvant entrainer des dégâts importants [YA].
Avantages
·Rapports
« couple/masse »
« puissance/masse » élevés,
·- Bon rendement.
Inconvénients
et - Coût élevé à cause du prix des aimants,
·- Problème de support de température des
aimants
·- Electronique de commande assez
compliquée
(capteur
de
position
nécessaire).
·- Fabrication plus complexe que les
machines asynchrones à cage d’écureuil et
à réluctance variable.
Tab. 1.1 – Caractéristiques des machines synchrones à aimants permanents.
Il existe, par ailleurs, d’autres inconvénients ou avantages, selon le type de
machine à aimants permanents :
Pour la machine de la figure 1.6a, il est nécessaire de fretter le rotor pour
maintenir les aimants en rotation; Cette frette, constitue un entrefer supplémentaire qui
vient s’ajouter à l’entrefer mécanique et augmenter ainsi la valeur de l’entrefer réel.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 21
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
De plus, les aimants possèdent une perméabilité relative proche de celle de l’air
(pour un aimant, µr≈1). Les enroulements statoriques sont donc en présence d’une
réluctance magnétique assez importante et la réaction magnétique d’induit est
affectée ; il résulte alors une difficulté de défluxage.
D’autre part, il existe un risque de démagnétisation irréparable des aimants par
cette réaction magnétique d’induit qui les traverse, même si elle est assez faible
[BM2].
Pour la machine de la figure 1.6b il est aussi nécessaire de maintenir les aimants
en place. Ce type de machine possède les mêmes problèmes que la précédente. Mais
l’avantage est la présence d’un couple réluctant permettant d’augmenter le couple
massique d’environ 20% [YA].
Pour le rotor de la figure 1.6c, comme pour la machine de la figure 1.6b, il
existe un couple réluctant qui permet d’améliorer le couple globale. L’entrefer peut
être minimisé par rapport à celui des deux autres machines précédentes, les aimants
étant naturellement tenus par les tôles rotor. Cela permet d’avoir une réaction
magnétique d’induit relativement plus élevée que pour les précédents, et donc un
meilleur défluxage.
Pour les trois structures des figures 1.6.a, b et c, l’utilisation des aimants terres
rares (Br.=1T) donne de bonnes performances. Ces aimants sont plus coûteux sur le
marché; par comparaison, les aimants ferrites (Br.=0,4T) coûtent environ 25 fois
moins cher.
Dans la machine synchrone, la quasi-totalité des pertes est localisée au stator ce
qui facilite le refroidissement et la surveillance de température. Ainsi une machine
synchrone, à puissance égale, est plus petite qu’une machine à courant continu et
moins coûteuse. En revanche, le choix du capteur, de l’électronique de commutation et
du système de contrôle, plus complexes, font que, l’ensemble convertisseur - machine
reste souvent plus coûteux que celui à collecteur mécanique. Les performances
d’accélération des moteurs à aimants sont meilleures grâce à un moment d’inertie
réduit.
L’exemple de la figure 1.8 montre bien l’inversion de structure entre machine
synchrone et machine à courant continu, dans le cas d’une excitation par aimants.
[BM2]
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 22
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Fig. 1.8 – Comparaison des structures des machines synchrone et à courant continu.
1.3 Choix de la machine synchrone à aimants permanents :
Nous avons présenté, dans ce qui précède, les différents types de machines
électriques. Cette liste est loin d’être finie, tellement le domaine des machines
électriques est vaste; mais elle est suffisante pour nous faire remarquer l’intérêt que
porte les chercheurs à la machine synchrone à aimant permanant.
Les évolutions technologiques ont permis aux machines synchrone, de retrouver
la souplesse de contrôle et les performances dynamiques obtenues jusqu'alors avec la
machine à courant continu, et en plus sans les inconvénients liés à la présence des
balais et collecteurs ; avec l’avantage que la machine synchrone autopilotée permet de
contrôler directement le couple moteur.
Dans cette partie nous présentons les principales caractéristiques de la machine
synchrone, nécessaire à l'élaboration de lois de commande.
Celle que nous allons étudier est munie d’un rotor présentant un système
d’aimants dont l’effet peut être assimilé à celui d’un bobinage alimenté par un courant
continu constant :
Les machines synchrones à aimants montés en surface :
Ces machines sont caractérisées par un très faible taux de saillance (Ld≈Lq), et
en raison de la très faible perméabilité relative des aimants terre rare utilisés ces
machines présentent des inductances synchrones de plus faibles valeurs que celles
d’une machine synchrone à rotor bobiné.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 23
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Les machines synchrones à aimants enterrés :
Ces machines présentent des inductances Ld et Lq plus élevées que celles des
machines à aimants montés en surface et le coefficient de saillance est supérieur à
l’unité (ρ=Ld/Lq>1) .
La machine utilisée est un moteur synchrone à distribution sinusoïdale qui possède
les propriétés suivantes:
-
Un flux d’excitation constant au niveau de l’inducteur constitué par l’aimant
permanent.
L’absence des amortisseurs c’est à dire seuls les enroulements de l’induit sont
parcourus par des courants.
1.4 Choix du nombre de paires de pôles [YA], [AK1] :
Le choix du nombre de paires de pôles « p » est conditionné par plusieurs
paramètres tels que la fréquence d’alimentation, les pertes fer, ou la puissance
massique.
L’accroissement du nombre de paires de pôles permet de réduire le volume des
circuits magnétiques de retour du flux et la taille des têtes de bobines, il est ainsi
possible d’améliorer la puissance massique de la machine (génératrice ou moteur).
Il faut cependant noter que l’accroissement du nombre de paires de pôles
s’accompagne d’une augmentation de la fréquence d’alimentation, car pour une vitesse
donnée la fréquence électrique est proportionnelle à p.
Si par exemple la vitesse de fonctionnement maximale souhaitée est de 6000
tr/mn, Pour un nombre de paires de pôles égal à 10, la fréquence correspondante à la
vitesse maximale est de 1kHz.
Si la fréquence de découpage maximale du convertisseur d’alimentation est de
20 kHz, on voit bien qu’il n’est pas possible d’imposer un courant sinusoïdal, compte
tenu du rapport entre ces deux fréquences.
Si l’on impose des courants sinusoïdaux pour contrôler la machine, il faut donc
utiliser des convertisseurs ayant une fréquence de découpage assez élevée.
D’autre part l’augmentation de la fréquence de fonctionnement entraîne
l’augmentation des pertes fer dans la machine. Il faut alors trouver un compromis entre
les différents aspects de fonctionnement.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 24
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Nous avons choisi pour le modèle du moteur un nombre de pôles égal à 6 (p=3).
Ce nombre de pôles paraît constituer un bon compromis entre l’encombrement, les
pertes fer, et la fréquence de fonctionnement [YA], [AK1].
1.5 Modélisation de la machine synchrone à aimants permanents :
La machine synchrone à aimants permanents (MSAP) considérée dans cette
étude comporte un stator et un rotor de constitution symétrique avec p=3 paires de
pôles. Les enroulements statoriques sont connectés en étoile à neutre isolé. L'excitation
rotorique est créée par des aimants permanents au rotor. Ces aimants sont supposés
rigides et de perméabilité voisine de celle de l'air.
Les machines synchrones sont classées en deux catégories "sinusoïdale" et "non
sinusoïdale" en fonction de la répartition spatiale des conducteurs. Les machines
synchrones sinusoïdales alimentées par des courants sinusoïdaux présentent un couple
constant et leur modèle en régime linéaire est relativement simple dans le "repère de
Park". Mais la répartition spatiale sinusoïdale n'est qu'un idéal théorique. Les machines
réelles ont des conducteurs au stator logés dans un nombre fini d'encoches, ce qui ne
permet pas d'obtenir une répartition sinusoïdale exacte des conducteurs.
Cependant, l'hypothèse de la répartition sinusoïdale des fmms est justifiée dans
un grand nombre des machines synchrones triphasées sans liaison de neutre qui
comporte un nombre suffisant d'encoches par pôle et par phase avec une réalisation de
bobinages à faible taux d'harmoniques d'espace.
Afin de simplifier la modélisation de la machine, les hypothèses suivantes sont faites :




La répartition des forces magnétomotrices est sinusoïdale.
Le circuit magnétique de la machine n’est pas saturé.
L’effet d'amortissement au rotor est négligé.
Les irrégularités de l'entrefer dues aux encoches statoriques sont
ignorées.
 Les phénomènes d'hystérésis et les courants de Foucault sont négligés.
 Les couplages capacitifs entre les enroulements sont négligés.
1.5.1. Autopilotage de la machine synchrone:
Le rôle de l'autopilotage (figure 1.9) consiste à générer les courants de référence
des trois phases de façon à lier la fréquence des courants délivrés par l'onduleur à la
fréquence de rotation du moteur. Il est nécessaire donc de connaître la position du
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 25
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
rotor par rapport au stator pour élaborer les références sinusoïdales des courants
fournis au moteur et agir sur le déphasage.
Fig. 1.9 - Autopilotage de la machine synchrone
La position du rotor de la machine est délivrée par le codeur qui lui est solidaire
(résolveur annexe B).
Cette position est traitée et transformée en un groupe de trois courants de
références déphasées de 120° par rapport à la position donnée par le codeur.
Le couple électromagnétique (Cem), dans le cas d'une machine à pôles lisses, est
donné par l'expression [ZT1]:
C em =
3
.p.M f .i r .i s . cos(ψ )
2
(1.2)
Cette relation met en évidence les paramètres de réglage du couple moteur qui
sont le courant d'excitation ir, l'amplitude des courants triphasés is et l’angle ψ
déphasage entre courants et forces électromotrices dans les enroulements du moteur.
Le Diagramme de Fresnel pour une phase est représenté sur la figure 1.10.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 26
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
V = E + RI + jX d I d + jX q I q
E = jω φf avec ω = pΩ r
X d = L d ω et X q = L q ω
Fig. 1.10 : - Diagramme de Fresnel pour une f.e.m. sinusoïdale [BM1].
Dans une machine autopilotée, on fixe l’angle ψ entre courant d’induit et force
électromotrice, ψ est l’angle d’autopilotage. Ceci revient à imposer l’angle entre le
champ inducteur (tournant aussi) comme dans une machine à courant continu dont les
balais sont calés.
On reconnaît «l’angle interne» δ entre la tension d’alimentation et la force
électromotrice.
Lorsque l'angle de calage ψ et le courant d'excitation, sont maintenus constants,
le couple électromagnétique est proportionnel à l'amplitude des courants triphasés
imposés par la loi de commande.
Dans le cas où nous considérons la valeur efficace des courants triphasés,
l'équation (1.2) devient :
Cem = K em .I
Avec :
I=
Is
2
3
(1.3)
valeur efficace du système des courants triphasés
alimentant le moteur (câblé en triangle).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
K em =
3
.p.M sr .i r . cos(ψ )
2
Constante de couple du moteur.
Ce couple électromagnétique résulte de l’interaction de deux champs tournants
fondamentaux Bs et Br. créés respectivement par le stator et le rotor. [ST].
Pour résoudre le problème au démarrage il faut imposer la loi ωs = pΩ r en
asservissant la pulsation d’alimentation ω s à la vitesse Ω r du rotor. Il y a donc
translation automatique de la courbe couple-vitesse de la figure (1.11) [GC].
Ce
Cem
Ωr
ω/ p
Fig. 1.11 - Caractéristique couple vitesse d’un moteur synchrone à ω constante
1.5.2 Transformations de Concordia et de Park :
1.5.2.1 Hypothèses, conventions et symboles :
La modélisation classique du MSAP découle des transformations de Concordia et
de Park. Elle est établie en supposant une répartition sinusoïdale des harmoniques
d'espaces le long de l'entrefer, c’est à dire les inductances propres et mutuelles de la
machine sont des fonctions sinusoïdales de la position du rotor [GS1].
Les hypothèses couramment émises dans le cadre de l'approximation linéaire et
sinusoïdale sont rappelées ci-dessous.
On néglige :
• La saturation du circuit magnétique, l'hystérésis et les courants de
Foucault.
• Les valeurs des inductances propres et mutuelles ne dépendent pas des
intensités des courants dans les phases. Les pertes dans le fer sont nulles.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
• Tous les harmoniques d'espace dans les expressions des forces
magnétomotrices, c’est à dire les inductances propres et mutuelles sont la
somme d'une valeur moyenne et d'un terme sinusoïdal dépendant de la
position relative du rotor par rapport au stator.
On note :
θ : position angulaire de l'axe Od du rotor par rapport à l'axe Oa du stator ;
p : le nombre de paires de pôles;
Les axes Oa, Ob et Oc sont les axes respectifs des trois enroulements a, b et c du
stator; et les axes Od et Oq sont les axes direct et en quadrature par rapport à Od dans
le repère électrique (figure 1.12).
→
b
ib
→
d
vb
θ
φr
→
va
vc
ic
ia
a
→
q
→
c
Fig. 1.12 - Référentiel conventionnel.
Vabc = [v a
I abc = [i a
λ abc = [λ a
vb
ib
λb
v c ] - vecteur des tensions d'alimentations des enroulements a, b et c,
.T
i c ] - vecteur des courants à travers les enroulements a, b et c,
.T
λ c ] - vecteur des flux totaux à travers les enroulements statoriques,
.T
R S3 = R S .I 3 - la matrice des résistances statoriques ; ou Rs est la résistance d'une phase
du stator et I3 est la matrice identité d'ordre 3.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 29
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
La matrice des inductances est donnée par :

2π  
2π 


M s 0 + L s 2 cos 2θ r −  M s 0 + L s 2 cos 2θ r +  
 L s 0 + L s 2 cos(2θ r )
3 
3 



π
π
2
2




M s 0 + L s 2 cos(2θ r )  (1.4).
L =  M s 0 + L s 2 cos 2θ r −  L s 0 + L s 2 cos 2. θ r − 


3 
3 




2π 

M s 0 + L s 2 cos 2θ r + 2π 
M s 0 + L s 2 cos(2θ r )
L s 0 + L s 2 cos 2. θ r + 

3 
3 


Où L s 0 , L s 2 et M s 0 sont des termes constants non nuls qui dépendent de la
machine. Ces termes sont positifs à l'exception de Mso.
L s 0 − L s 2 et L s 0 + L s 2 Sont les valeurs minimale et maximale de l’inductance
propre d’une phase de l’induit.
En négligeant les flux de fuites on a :
M s0 = −
Ls0
2 .
L cs = L s 0 − M s 0 =
3
Ls0
2
L’inductance cyclique d'une phase du stator ;
L 0 s = L s 0 + 2M s 0 = 0
L’inductance homopolaire d'une phase du stator ;
3
L d = L cs + L s 0
2
L’inductance d'axe direct ;
L q = L cs −
3
Ls0
2
L’inductance de l'axe en quadrature.
1.5.2.2 Matrices de transformations.
a) Transformation de Concordia.
La transformation de Concordia [GS1] permet de transformer un système
triphasé quelconque en un système équivalent formé de trois grandeurs orthogonales.
La transformation directe de Concordia est définie par la matrice T appelée
matrice de transformation directe ; donnée par l’équation (1.5).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Tαβ 0
I αβ 0
− 1/ 2 − 1/ 2 
 1
2 
. 0
3 / 2 − 3 / 2
=
3
1 / 2 1 / 2 1 / 2 
(1.5).
Aux vecteurs originaux Vabc , I abc et λ abc , elle fait correspondre les vecteurs Vαβ 0 ,
et λ αβ 0 . Elle est appliquée de manière identique aux tensions, aux courants et aux
flux.
Elle est composée de deux sous-matrices :
T32 =
T31 =
2 1 − 1 / 2 − 1 / 2 
Transforme le triphasé vers le diphasé (1.6).
.
3 0 3 / 2 − 3 / 2
1
.
.[1 1 1]
3
Vecteur relatif à la composante homopolaire.
Le vecteur des courants dans le repère de Concordia s'écrit : I αβ 0 = [i α i β i 0 ].T .
La transformation de Concordia est définie par :
I 0 = [T31 ].I abc et
[
I αβ = [T32 ] .I abc = I α
Iβ
]
.T
.
Comme les enroulements statoriques sont montés en étoile à neutre isolé, la
somme instantanée des courants statoriques est nulle, de sorte qu'il n'y a pas de courant
homopolaire. Par conséquent, même s'il existe une composante homopolaire de tension
ou de flux, elle n'intervient pas dans le couple.
On peut alors utiliser uniquement la transformation restreinte de Concordia
notée T=T32.
b) Transformation de Park :
En appliquant un écart ou une rotation d'angle θ au système diphasé défini par
la transformation de Concordia (voir figure 1.12) on obtient la transformation de Park
définie par la matrice (1.7) notée P(θ) [GS1], [AT1].
Ainsi pour les moteurs à courant alternatif d’une façon générale, la
représentation du système par la transformée de Concordia sera liée au stator, alors que
la représentation par la transformée de Park sera liée au rotor tournant ; P(θ) est donnée
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 31
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
par :

2π 
2π 


cos(θ) cos θ − 3  cos θ + 3 





2 
2
2
π
π




P(θ) = . sin (θ) sin  θ −
 sin  θ +
 = Tαβ 0 .ρ h (θ)

3
3 
3 



 1/ 2
1/ 2
1/ 2




(1.7).
cos(θ) − sin (θ) 0
Avec ρ h (θ) =  sin (θ) cos(θ) 0 c’est la matrice de rotation qui permet le
 0
0
1
passage du repère (α-β) lié au stator vers (d-q) lié au rotor.
En l’absence de composantes homopolaires la matrice ρ h (θ) devient :
cos(θ) − sin (θ)
ρ(θ) = 

 sin (θ) cos(θ) 
(1.8).
t
La position θ est définie par :
θ = ∫ Ω r (τ )dτ
(1.9).
0
Et la matrice inverse de Park a pour forme:
P(θ)
−1


 cos(θ)
sin (θ)
1


2π 
2π  



= cos θ −
 sin  θ −
 1
 
3 
3  


2π 
2π  

cos θ +
 sin  θ +
 1
3 
3  
 

(1.10).
Dans notre cas la machine synchrone à aimants permanents est utilisée en
moteur (MSAP). En fonction de la manière dont les aimants sont placés, on peut
distinguer deux types de rotors.
Dans le premier type (figure1.6a), les aimants sont montés sur la surface du
rotor donnant un entrefer homogène, le moteur est à rotor lisse et les inductances ne
dépendent pas de la position du rotor.
Par contre dans le deuxième type (figure1.6c ou d), les aimants sont montés à
l’intérieur de la masse rotorique et l'entrefer sera variable à cause de l'effet de la
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 32
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
saillance du rotor. Dans ce cas, les inductances dépendent fortement de la position du
rotor.
1.5.4 Modèle du moteur synchrone dans le référentiel de Park [AK1], [HYC],
[NM1] :
La majorité des systèmes présentent des équations fortement non-linéaires et
couplées. Pour simplifier ce problème, on utilise la transformation de Park qui, par une
transformation appliquée aux variables réelles (tensions, courants et flux), permet
d'obtenir des variables fictives appelées les composantes d-q ou les équations de Park.
La mise en équation du MSAP de la figure 1.13 est la suivante :
[X ] = [P(θ)][. X ]
dq 0
(1.11).
abc
→
a
b
ib
vb
ids
vds
→
ia
vc
a
θ
Transformation
→
a
va
vqs
ic
iqs
→
q
→
c
Fig. 1.13 : Application de la transformation de Park au stator de la MSAP,
(Enroulements d et q tournants).
Du point de vue physique, cette transformation est interprétée comme étant une
substitution des enroulements statoriques (a, b, c) par des enroulements (d, q) tournant
avec le rotor. Cette transformation rend les équations dynamiques des moteurs à
courant alternatif plus simples ce qui facilite leur étude et leur analyse.
Il faut noter que la transformation inverse est obtenue par :
[X abc ] = [P(θ)]−1.[X dq 0 ]
(1.12)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 33
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Les équations du moteur synchrone triphasé sans amortisseur s’écrivent :
[Vabc ] = [R ][. I abc ] + d .[λ abc ]
(1.13)
dt
Les flux totaux λabc sont exprimés par :
[λ abc ] = [L][. I abc ] + [φabc ]
(1.14)
Où Фabc sont les flux vus par les phases statoriques au rotor.
Le moteur avec son alimentation sont supposés former un système équilibré de
sorte que les composantes homopolaires s’annulent.
En appliquant la transformation (1.7) au système (1.13), on aura:
[u ] = [P(θ)][. V ] = [P(θ)][. R ][. I ] + [P(θ)]. dtd ([λ ])
dq
abc
abc
(1.15)
abc
L’utilisation de la transformation inverse (1.10) pour exprimer les tensions, en
fonction des courants et des flux totaux, dans le repère d-q donne:
[u ] = [P(θ)][. R ][. P(θ)] .[I ]+ [P(θ)][. P(θ)]
−1
dq
−1
dq
.
[ ]
[ ]
d
d
−1 
λ dq + [P(θ)]. [P(θ)] . λ dq
dt
 dt

(1.16)
Avec : R une matrice diagonale on a alors [P(θ)][. R ][. P(θ)]−1 = R
λ d   L d
= 0
λ
q
  
et [λ dq ] = 
0  i d  φ r 
+
.
L q  i q   0 
(1.17).
Où, Фr désigne le flux crée par les aimants au rotor.
Par ailleurs [AK1]
[P(θ)]. d [P(θ)]−1 .[λ dq ] = dθ .ρ h  π .[λ dq ] = pΩ r .[λ'dq ]
 dt
− L q
 0
Le calcul montre que [λ'dq ] = 

dt
2
0  i q   0  − λ q 
+
=
.
L d  i d  φ r   λ d 
id et iq sont les composantes direct et en quadrature du courant. λd et λq sont les
composantes directe et en quadrature du flux.
On peut alors réécrire l’équation (1.16), comme suit:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 34
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
[u ] = [R ].[I ]+ dtd [λ ]+ pΩ .[λ ]
'
dq
dq
dq
r
dq
(1.18)
Où p désigne le nombre de paires de pôles,
L’écriture sous une forme plus explicite donne :
u d  R s
u  = 
 q  0
0  i d  d λ d 
− λ 
.  +   + pΩ r . q 

R s  i q  dt λ q 
 λd 
(1.19)
ud et uq sont les composantes direct et en quadrature de tension.
L'équation électromécanique est exprimée par:
C em − C L = J.
dΩ r
+ F.Ω r
dt
(1.20).
Où: F, J et CL définissent respectivement le coefficient d'amortissement, le
moment d'inertie du rotor et le couple de charge.
Le couple électromagnétique Cem est produit par l'interaction entre les aimants
montés au rotor et les f.m.ms générées dans l'entrefer par les courants statoriques.
Il est exprimé par:
C em =
3p
(φ r i q + (L d − L q )i d i q .
2
(1.21)
En développant le système d'équations (1.19) tenant compte de l’équation
électromagnétique (1.20) on déduit la forme finale des équations du MSAP dans le
référentiel (d-q), dont le modèle de simulation est donné à la figure 1.14 et 1.15:
u d = (R s + L d .s).i d − pΩ r L q .i q

u q = pΩ r L d .i d + (R s + L q .s).i q + pΩ r φ r

C em − C L = (J.s + F).Ω r
(1.22).
Ce système d'équations est plus simple que celui donné en (1.13) sauf qu'il est
toujours non linéaire.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 35
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
L’expression du couple sera réduite et le modèle sera encore plus simple si le
moteur est à entrefer constant (sans pièces polaires, Ld=Lq) ; un tel modèle défini par le
système d'équations (1.23) suivant est donné sur la figure 1.14:
u d = (R s + L d .s).i d − pΩ r L q .i q

u q = pΩ r L d .i d + (R s + L q .s).i q + pΩ r φ r
C em − C L = (J.s + F).Ω r

C = 3p φ i
r q
 em
2
Ud
1
f(u)
1
Fcn2
Fd
f(u)
2
Fcn3
Fq
f(u)
Fcn6
Uq
2
(1.23).
f(u)
Fcn7
1
3
Ld.s+Rs
Id
1
4
Lq.s+Rs
Iq
3
Cr
f(u)
7
Fcn4
Ce
6
f(u)
Fcn5
1
Wr
J.s+f
1/s
p
5
p
Pos
Fig. 1.14 : Modèle du MSAP.
1.6. Modélisation De L’alimentation Du MSAP :
Les machines synchrones sont classées en deux catégories (sinusoïdale et non
sinusoïdale) en fonction de la répartition spatiale des conducteurs. Théoriquement, les
moteurs synchrones sinusoïdaux sont alimentés par des courants sinusoïdaux et
présentent un couple constant et leur modèle en régime linéaire est relativement simple
dans le repère de Park. Mais réellement ces moteurs ont des conducteurs logés au
stator dans un nombre fini d'encoches, ce qui ne permet pas d'obtenir une répartition
sinusoïdale exacte des conducteurs. Cependant, l'hypothèse de la répartition
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
sinusoïdale des f.m.ms est justifiée dans un grand nombre des machines synchrones
triphasées sans liaison de neutre qui comporte un nombre suffisant d'encoches par pôle
et par phase avec une réalisation de bobinages à faible taux d'harmoniques [NM1].
Le Moteur synchrone doit connaitre la position relative du rotor par rapport au
stator pour réaliser la synchronisation des courants d’induits avec le flux inducteur,
c’est à dire l’autopilotage. Pour obtenir une rotation continue avec un couple bien
lissé, le Moteur à besoin d’un onduleur 4 quadrants (courant tension) pour fournir les
courants alternatifs nécessaires. Généralement, l’induit est triphasé et l’onduleur
comporte 6 interrupteurs.
1.6.1 Modélisation de l’onduleur : [AT1], [NM1], [ST].
La commande du moteur synchrone à aimants permanents nécessite une tension
d’alimentation à fréquence variable.
Les onduleurs de tension alimentent les machines à courant alternatif à partir
d'une source de tension continue. Ils permettent d'imposer aux bornes du moteur des
tensions d'amplitude et de fréquence réglables par la commande.
Un moteur triphasé sans liaison de neutre est alimentée par un onduleur de
tension à trois branches comprenant chacune deux cellules de commutation (figure
1.15) ; chaque cellule est composée d'un interrupteur (IGBT, ou Transistor), et d'une
diode de récupération en antiparallèle. A chaque instant, l’un des deux interrupteurs de
chaque branches est conducteur et l'autre est bloqué [ST].
Dans l'étude de l'ensemble commande-onduleur-moteur-charge, nous nous
intéresserons uniquement au comportement dynamique des variables électriques et
mécaniques de la machine.
Fig. 1.15 schéma de principe d’un onduleur de tension.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 37
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Du fait que les constantes de temps des machines et des régulateurs sont très
grandes devant le temps de transition d'un état à l'autre des composants semiconducteurs, on peut réduire le temps de simulation en modélisant l'onduleur par des
interrupteurs idéaux : c'est-à-dire résistance nulle à l'état passant, résistance infinie à
l'état bloqué, réaction instantanée aux signaux de commande. Cette méthode est
couramment utilisée dans l'étude de l'ensemble onduleur-machine.
Dans ce modèle, on considère que tous les éléments sont linéaires et invariants
dans le temps ; les sources de tension et les interrupteurs sont considérés comme quasi
idéaux.
Pour avoir un système équilibré, les tensions alternatives sont définies comme
suit:
e a = E m cos(ωs t )
e b = E m cos(ωs t − 2π / 3)
(1.24)
e c = E m cos(ωs t + 2π / 3)
Em et ωs sont respectivement, l'amplitude de la tension simple et la pulsation du réseau
vers le stator du moteur. Pour un système équilibré on a :
∑e
k
=0
avec, k=a, b, c
(1.25)
En appliquant la loi de Kirchhoff aux trois phases du moteur, on obtient la
représentation matricielle suivante :
Ls
di s
= e abc − R s i abc − f abc
dt
(1.26)
Où I abc = [i a i b i c ].T , f abc = [f a f b f c ].T , e abc = [e a e b e c ].T .
Et fa , fb , fc sont les FEM des trois phases du moteur synchrone.
On définit aussi, le vecteur E = [E ab E bc E ca ].T des tensions composées où :
E ab = e a − e b
E bc = e b − e c .
(1.27).
E ca = e c − e a
On peut exprimer directement ce système sous forme matricielle de sorte que :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 38
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
E = M.e abc .
(1.28).
 1 −1 0 
M =  0 1 − 1 .
− 1 0 1 
Avec
L'état de conduction des composants de l'onduleur peut être représenté par une
matrice de connexion de dimension (3,2) dont chaque élément représente l'état de
conduction de l'un des interrupteurs [NM1]:
c1a
C = c1b
c1c
c 2a 
c 2 b 
c 2 c 
(1.29)
Sachant que les deux interrupteurs d’une même branche d’onduleur ne sont
jamais ouverts ou fermés en même temps, les indices c1k et c 2 k expriment,
respectivement, la liaison des éléments aux bornes positives ou négatives de la source
continue; l’indices k indique l’une des trois phases (a, b, c) de sortie de l'onduleur:
1- Si c1k = 1 l'interrupteur reliant la borne « 1 » positive de la source de
tension à la phase « k » du moteur est fermé.
2- Si c1k = −1 alors ce même interrupteur est ouvert.
Pour exprimer la tension composée Eab on écrit:
U0
si c1a = 1 et c1b = −1
2
U
E ab = − 0 si c1a = −1 et c1b = 1
2
E ab = 0
si c1a = c1b même signe
E ab =
(1.30).
Ainsi en généralisant, on peut mettre l’équation (1.27) sous la forme suivante :
U0
(c1a − c1b )
2
U
E bc = 0 (c1b − c1c )
2
U
E ca = 0 (c1c − c1a )
2
E ab =
(1.31).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 39
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Cette écriture permet d’exprimer la valeur temporaire de la tension composée
en fonction de la connexion des interrupteurs ; et en l’écrivant sous la forme
matricielle on a:
E=
Où
c = [c1a
U0
.M.c
2
c1b
c1c ]
.T
(1.32).
désigne le vecteur de commutation.
Si les tensions triphasées sont équilibrées c'est-à-dire H = e a + e b + e c = 0 , on
ne tient pas compte des composantes homopolaires et l’on ajoute cette équation à la
matrice M; on obtient alors:
E = N.e abc .
(1.33).
2 0 1
Avec N = M + H =  0 1 − 1 .
− 1 0 1 
Mais du faite que N.e abc =
On déduit que :
e abc
U0
.M.c .
2
 2 − 1 − 1
U0 
U 0 -1
=
.N .M.c =
.− 1 2 − 1
2
6
− 1 − 1 2 
(1.34).
Ce qui permet d’écrire les tensions triphasées simples par rapport au neutre n :
 2 − 1 − 1
e a 
e  = U 0 − 1 2 − 1

 b
6 
− 1 − 1 2 
ec 
(1.35).
1.6.2. Modulation de largeur d'impulsions : [AK1], [FM3], [ME]
Les onduleurs ont nettement amélioré le fonctionnement des machines
synchrones en leur permettant de fonctionner comme des moteurs à courant continu
tout en éliminant les aléas liés aux systèmes ballais-collecteurs.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 40
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Ils facilitent l'autopilotage des moteurs synchrones qui consiste à asservir la
fréquence de l'alimentation à la vitesse de rotation du rotor et assurer un parfait
synchronisme entre le champ statorique et le champ rotorique.
C’est grâce à ce synchronisme que le moteur peut démarrer même à partir du
repos [AK1]. La seule contrainte liée à l'autopilotage est la nécessité d'utiliser un
capteur de position (un résolveur ou un encodeur), mais nous verrons au chapitre IV
que ce capteur peut être remplacé par un système observateur.
Les onduleurs peuvent être commandés en utilisant plusieurs techniques parmi
lesquelles on cite: la commande par hystérésis et la technique de Modulation par
largeur d'Impulsion (MLI). Mais la technique MLI reste la plus utilisée et la plus
conseillée ; en effet, elle a fait l’objet de nombreuses recherches depuis maintenant
plusieurs années [AK1].
Il existe trois types de MLI, qui différent dans le concept et les performances :
la MLI sinusoïdale, la MLI pré-calculée et la MLI vectorielle.
La MLI classique consiste à imposer aux bornes de la machine des tensions,
hachées évoluant en fonction des références de tension obtenues à partir des
régulateurs des courants. Ces tensions sont modulées en largeur d'impulsions (MLI) à
l'aide d'un signal triangulaire appelé "porteuse" afin de déterminer les instants de
commutation et la durée de conduction de chaque interrupteur de l'onduleur.
Mais la dernière catégorie reste la plus favorable pour le contrôle instantané des
courants car elle assure de faibles harmoniques et une réponse très rapide.
Actuellement, un certain nombre de critères, que nous citons ci après, sont mis
au point pour aider à choisir la méthode la plus favorable à l'application souhaitée :
- Le taux d'harmoniques du courant qui engendre les pertes fer et par conséquent
Affecte le rendement.
- Les ondulations du couple, fonction directe du taux d'harmoniques des courants.
- La limitation de la fréquence de commutation, car on ne peut l'augmenter
librement au dessus d'un certain seuil sans pour autant augmenter les pertes dans les
semi-conducteurs. Pour les transistors bipolaires, ce seuil est de quelques Kilohertz,
pour les IGBTs il est autour de 10 KHz alors que pour les GTOs il ne dépasse pas les
quelques centaines de Hertz [AK1].
- Les performances dynamiques qui dépendent du temps de réponse des courants,
parfois, directement affecte par l'utilisation d’un filtrage pour réduire les harmoniques
d'ordre élevé.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Dans ce qui suit, nous présenterons le modèle de l'onduleur et nous
expliquerons la technique de la MLI adoptée. Le schéma représentatif de l’onduleur en
association avec le moteur synchrone est donné à la figure 1.16. On suppose que les
interrupteurs sont idéaux et ne présentent que deux états possibles (ouvert ou fermé).
On considère que les interrupteurs de chaque bras sont commandés par deux
signaux complémentaires. Ainsi, on a besoin de trois signaux logiques (Sa, Sb et Sc)
pour commander les six interrupteurs formant l'onduleur [ST]. Mais, dans la pratique il
faut prévoir un délai entre les deux signaux complémentaires pour ne pas courtcircuiter la source continue.
Lorsque le signal logique Sk = 1, alors c’est l'un des interrupteurs C1k qui est
fermé, mais si Sk = 0 c'est l'un des interrupteurs C2k qui est fermé.
U0
2
O
U0
2
C1b
C1a
A
C2a
C1c
B
C2b
PMSM
C
C2c
ea
eb
ec
N
Fig. 1.16 : Structure de l’onduleur avec les fonctions de commutation.
1.6.2.1. Contrôle des courants par hystérésis :
Dans cette stratégie on compare en permanence les courants mesurés et les
courants de référence ; les interrupteurs de l’onduleur sont commandés de sorte que les
variations du courant dans chaque phase du moteur soient contrôlées suivant un cycle
d’hystérésis (figure 1.17).
Les sorties des comparateurs sont reliées à la logique de commande des
interrupteurs lorsque le courant s’écarte de la bande d’hystérésis de sa référence
[AT1].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
i
∗
a
+
c1a
−
c 2a
ia
i ∗b
c1b
+
−
c 2b
ib
i ∗c
c1c
+
−
c 2c
ic
Figure 1.17 : Principe de réglage par hystérésis.
1.6.2.2. Contrôle par MLI vectorielle :
La MLI consiste à imposer aux bornes de la machines des créneaux de tensions
de manière à ce que le fondamentale de la tension soit le plus proche de la référence
sinusoïdale.
La technique vectorielle proposée par VAN DER BROECK, respecte les règles
suivantes :
-
Le signal de référence est échantillonné à intervalles réguliers T (MLI
régulière).
- Pour chaque phase, l’impulsion de largeur T est centrée sur la période (MLI
symétrique) et sa valeur moyenne est égale à la valeur de la tension de référence à
l’instant d’échantillonnage.
- Tous les interrupteurs des demi - ponts identiques ont le même état au centre et
aux deux extrémités de la période.
Cette modulation est conduite en synchronisme sur les trois phases, elle est
appelée MLI vectorielle.
Pour simplifier les calculs et représenter ces créneaux de tension, nous
appliquons la transformation de Concordia triphasée/diphasée tout en respectant le
transfert de puissance.
e α 
e  =
 β
1

1 −

2
2
.
3
3
0
2

1  e 
a
2 .e 

3  b
−
e 
2   c 
−
(1.36)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 43
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Le fait d’avoir un système équilibré, c’est à dire i a + i b + i c = 0 nous permet de
réduire la transformation et donc la dimension du système, on pose alors T32 = Tαβ .
Le vecteur vs qui représente à chaque instant le système triphasé, est défini par
la relation :
v s = e α + j.e β
(1.37).
Avec ses composantes données par :
e α = v s cos( γ )
eβ = v s sin( γ )
(1.38).
ou γ est l’angle défini plus bas sur la figure 1.19.
Le vecteur vs décrit en valeur moyenne l’application successive des séquences
de commutation des interrupteurs.
Chaque interrupteur a deux états différents (ouvert ou fermé) ce qui donne donc
 
huit combinaisons possibles représentées par huit vecteurs de v 0 à v 7 suivant le
tableau-1.2 [ME].
Ainsi suivant les états des interrupteurs de l’onduleur, le vecteur vs peut prendre
différentes des positions possibles. Il va donc balayer six secteurs (figure 1.18) du plan
α-β à chacune de ses rotations complètes. Mais il faut réarranger les séquences de
sorte que, pendant le passage d'un état à l’autre des interrupteurs, un seul bras
d'onduleur soit affecté à la fois.


Les six vecteurs non nuls v1 à v 6 sont déphasés, l'un par rapport à l'autre, de 60°
formant ainsi six sections triangulaires, qui divisent le plan α-β en six secteurs,
correspondant aux états logiques 1 à 6 de l’onduleur.
Chaque vecteur correspond à une séquence bien définie composé de trois
variables logiques qui pilotent instantanément les trois bras de l'onduleur.


Les vecteurs v 0 et v 7 sont des vecteurs de roue libre à tension nulle ; ils
correspondent aux états logiques 0 et 7.
Une analyse de tous les états possibles des interrupteurs permet de calculer les
vecteurs e α , et e β correspondants :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
C1a
-1
C1b
-1
C1c
-1
état
000
ea
0
eb
0
ec
0
eα
0
eβ
0

vs

v0
1
-1
-1
100
2U 0
+
3
U
− 0
3
U
− 0
3
0

v1
1
1
-1
110
U0
3
U
− 0
3
2U 0
−
3
+
U0
3
2U 0
+
3
U
+ 0
3
−
2
U0
3
U0
6
− U0
U0

v2
2
U0

v3
U0
3
U
+ 0
3
U0
3
2U 0
−
3
+
0
0
-1
1
-1
010
-1
1
1
011
-1
-1
1
001
1
1
-1
1
1
101
1
+
−
111
2U 0
3
U
− 0
3
U
+ 0
3
2U 0
3
U
+ 0
3
−
6
2
2
−
U0
3
− U0
0

v4
U0

v5
2
U0

v6
6
U0
6
0
0
−
−
2
0

v7
Tab. 1.2 - Valeurs des vecteurs de tension.
β
010
110

v3

v2
2
011

v4
3
1
4

v1
100
α
6
5
001

v5

v6
101
Fig. 1.18 : polygone de commutation
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 45
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.

Par exemple, le vecteur v1 , est lié à la séquence (100) ce qui correspond à la
situation où les interrupteurs C1a C2b C2c sont fermés.
Sachant qu'à la sortie du contrôleur, on obtient deux tensions de commande (ed
et eq) qui tournent avec le référentiel fixé au rotor, il faut transformer ces deux tensions
de commande en (eα et eβ) qui, cette-fois, tournent avec le référentiel fixé au stator et
ainsi elles deviennent des entrées de commutation des interrupteurs de l’onduleur.



Le vecteur v s , se situe dans le secteur 1 (figure 1.19) entre le vecteur v1 et v 3 ,
ce qui permet d'écrire:



Vs .Te = V1 .T1 + V2 .T2
(1.39)
Où Te représente la période de commutation, T1 et T2 sont les durées de


modulation liées aux séquences correspondant aux vecteurs v1 et v 3


En supposant qu'initialement le vecteur v s coïncide avec le vecteur v1 , deux
séquences sont actives.

La séquence qui correspond au vecteur v1 est appliquée pendant la durée Tl et
la séquence de roue-libre est appliquée pendant la durée Ti. La séquence qui

correspond au vecteur v 3 est inactive car la durée T2, est nulle. Au fur et à mesure que



le vecteur v s s'éloigne du vecteur v1 en s'approchant du vecteur v 3 , T1 diminue
jusqu’à s’annuler et T2 augmente jusqu’à la valeur maximale.
β

v3
T1V1
Te
γ

Vs
T2 V2
Te

v1
α
Fig. 1.19 : Principe de commutation.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 46
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
D’après la Figure 1.19 on détermine la position du vecteur de consigne dans le
repère α-β:
Pour T2 on a :

T
T 3
π
v s sin (γ ) = v 2 2 cos  = v 2 2
Te
Te 2
6

T 3 U 0 T2
2
v s sin (γ ) =
U0 2
=
Te 2
3
2 Te
D’où on déduit :
T2 = 2 .Te .
Ou bien
2e β
T2 =
U0

vs
U0
. sin( γ )
(1.40)
Te
Et pour T1 on a :

π

π T
v s sin  − γ  = cos  v1 1
 6  Te
3

soit:
T1 = 2 .Te .
ou bien
T1 =
(

vs
π
.sin( − γ )
U0
3
6e α − 2e β
2U 0
)T
(1.41)
e
En suivant le même raisonnement, on effectue le calcul pour les autres secteurs
et Les durées T1 et T2 de modulation sont données par tableau 1.7 :
Les séquences de roue-libre ont une durée d'application Ti ; c’est la durée


correspondante aux tensions nulles ( v 0 et v 7 ), définie par :
Ti = Te − (T1 + T2 )
(1.42).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 47
Chapitre I:
Secteur
N° 1
N° 2
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
(
(−
T1
2U 0
6e α + 2e β
2e β
U0
N° 6
(−
(
(−
Te
(−
Te
6e α − 2e β
2U 0
6e α + 2e β
2U 0
)T (
e
− 2e β
U0
2e β
e
2U 0
N° 4
N° 5
)T
6e α − 2e β
N° 3
T2
)T (
e
)T
e
U0
Ti
6e α + 2e β
)T
e
2U 0
6e α − 2e β
6e α + 2e β
)T
e
2U 0
6e α − 2e β
)T
e
2U 0
− 2e β
)T
e
2U 0
U0
Te − T1 − T2
4
Te
Te
Te − T2 − T3
4
Te − T3 − T4
4
Te − T4 − T5
4
Te − T5 − T6
4
Te − T6 − T1
4
Tab.1.3 – calcul des durées de modulation.
Les expressions (1.40) et (1.41) sont valables uniquement lorsque le cercle

formé par le vecteur v s durant sa rotation, ne dépasse pas les segments de droites de
l'hexagone (voir figure 1.19).
Dans le cas de dépassement de ces segments, les durées de modulation T1 et T2
doivent être corrigées comme suit [AK1]:
T1 ⇒ T1 .
Te
T1 + T2
T2 ⇒ T2 .
Te
T1 + T2
(1.43)
Ti = 0
On peut généraliser le calcul des temps de commutations grâce à l’équation
suivante :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 48
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Tm
2
T T
T0 + i + i +1
2
2
T
T0 + i
2
T0
∫ V dt = ∫ V dt + ∫ V dt + ∫ V
s
0
0
0
(1.44)
7
T T
T0 + i + i +1
2
2
T
T0 + i
2
T0 +
Sachant que :
∫ V dt
dt +
i +1
i
T0
Tm
2
Ti Ti + 1
T
+
=
2
2
2
(1.45)
Et l’équation (1.38) s’écrit alors :



Vs .Te = Vi .Ti + Vi +1 .Ti +1
(1.46)
Car les vecteurs Vs , V i et Vi + 1 sont supposés constants pour une période
d’échantillonnage et que V0 et V7 sont nuls.
La décomposition de (1.46) dans le plan ( α − β ) tenant compte de (1.38)
donne :
Te  e α 
  ==
2  e β 
π

cos(
i
1
)
−

2
3
U 0 .
3
 sin(i − 1) π

3

π
cos i   T 
3  . i 
π   Ti +1 
sin i 
3
(1.47).
La résolution de cette équation permet de déterminer les différents temps par
l’argument du vecteur de référence.
 eα  i
(i − 1)
π ≤ arg  ≤ π
3
 eβ  3
Soit
π

 Ti 
Te  sin i 3

 = 2

U 0  − sin(i − 1) π
 Ti +1 

3

(1.48).
π 

3  .  e α 
π e 
cos(i − 1)   β 
3
− cos i
(1.49).

La détermination de la position du vecteur v s est définie en fonction du choix
des séquences établies par l'algorithme de la figure 1-20 suivante: [AT1, [GG], [AK1]
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 49
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Fig. 1-20. Algorithme pour déterminer le secteur angulaire.
Pour minimiser le nombre de commutation, on impose un ordre précis qui
montre le balayage successif, à des instants précis, des vecteurs Vi . Par le vecteur Vs
pendant sa rotation. le temps Ti (temps de roue libre), est réparti selon le cycle suivant:
V0 → Vi → Vi +1 → V7 → V7 → Vi +1 → Vi → V0
Ti →
Ti
T
T
T
→ i +1 → Ti → Ti → i +1 → i → Ti
2
2
2
2
Te 2
Une représentation des différents cycles relatifs à chaque secteur est donnée sur
la figure (1.21).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 50
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Figure 1.21 : Description des séquences de conduction des Interrupteurs.
Pour l'analyse du comportement du système, on utilise Matlab/Simulink. Le
moteur est représenté par son modèle dynamique dans le référentiel de Park ;
L’onduleur est simulé par les interrupteurs idéaux avec une fréquence de commutation
de 20 kHz.
1.7. Résultats de Simulation :
La simulation numérique du fonctionnement des systèmes physiques est
devenue une étape classique dans l'étude de ces systèmes. Elle consiste à résoudre le
système d'équations différentielles avec des conditions initiales données par le modèle,
afin d'obtenir les valeurs des différentes grandeurs du système physique à la fin du
calcul. Dans la simulation de l'ensemble commande-onduleur-machine, un problème
spécifique est lié aux non linéarités des composants mis en œuvre [NM1].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 51
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Ce problème est généralement pris en compte au moment de la modélisation
des composants.
L'onduleur est modélisé par des interrupteurs idéaux (résistance nulle à l'état
passant, résistance infinie à l'état bloqué); l'effet du temps mort est pris en
considération et est compensé par un seuil de valeur Vs=0.7volts ; l'amorçage et le
blocage des interrupteurs de l'onduleur sont liés à l'intervention des signaux de
commande et à l'apparition d'une tension positive aux bornes des diodes, ou à
l'annulation des courants qui les traversent.
Les résultats que nous présentons se basent sur la simulation de l’autopilotage
du MSAP avec retour de position (figure 1.22).
1
ia
2
dq/abc
11
Va
ic
id
4
iq
id
5
pos
iq
6
Va
Alimentation
triphasée
OND.
à
M.L.I
Vb
w
Vc
Couple
Couple
ib
3
pos
7
ce
wr
8
fd
ce
9
fq
fd
10
Cr
fq
moteur
figure 1.22: l'autopilotage du MSAP
Les paramètres du moteur sont reportés sur le tableau 1.8 suivant
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 52
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Paramètres
Puissance nominale
Vitesse maximale
Tension nominale de ligne
Courant nominal
Résistance d'une phase
Couple nominal
Inductance synchrone
Nombre de paires de pôles
Flux à vide
Moment d'inertie du moteur
Frottement
valeurs
3.0 (KW)
3900 (tr/mn) à 195Hz
210 (V)
7.0 (A)
1.2 (Ω)
5.0 (Nm)
0.011 (H)
3
0.18 (Wb)
0.006 (Kgm²)
0.0001 (Nm/A)
Courant Ic (A)
Courant Ib (A)
Courant Ia (A)
Tableau 1.4 : caractéristique du MSAP:[AK1].
5
0
-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps (s)
1.4
1.6
1.8
2
5
0
-5
5
0
-5
Figure 1.23a : les trois phases statoriques.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 53
Chapitre I:
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
Courant Id (A)
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1
1.2
temps (s)
1.4
1.6
1.8
2
10
Courant Iq (A)
8
6
4
2
0
100
50
0
Couple (Nm)
Vitesse (Rd/s)
Figure 1.23b : les courants dans le repère d-q.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
1
temps (s)
1.4
1.6
1.8
2
4
2
0
Position (Rd)
0
400
200
0
Figure 1.23c : Allure du Couple et Vitesse
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 54
Constitution et modélisation de la MSAP et de son alimentation.
phase va onduleur (V)
Chapitre I:
200
0
-200
Zoom phase va(V)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
200
0
-200
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
temps (s)
1.6
1.7
Figure 1.23d : Tension d’une phase sortie onduleur.
Ce que nous pouvons constater à travers ce test c’est que la vitesse est
fortement affectée par la variation de la charge, c’est à dire le couple ; de plus le
courant direct Id est totalement décalé par rapport à l’axe du temps ce qui justifie
l’application d’un découplage.
1.8- Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons décrit brièvement les machines les plus
couramment utilisées, puis nous avons détaillés le modèle du moteur synchrone à
aimants permanents, nous l’avons associé à un modèle d’onduleur de tension en
mettant en évidence le modèle discret équivalent.
Dans un second lieu, nous avons présenté les modèles mathématiques des
systèmes étudiés, Afin d’analyser le comportement dynamique de l’association
onduleur de tension-moteur synchrone à aimants permanents, la transformation de
Park a été adoptée.
Ce modèle a permis de réduire la complexité de la résolution des équations
différentielles du système.
Enfin nous avons synthétisé les stratégies de contrôle du MSAP ; à savoir, le
contrôle vectoriel associé à la MLI vectorielle. Des résultats de simulation ont été
présentés pour valider les modèles mathématiques utilisés.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 55
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
CHAPITRE II
2.1 INTRODUCTION :
Les moteurs synchrones à aimants permanents (MSAP) possèdent un couple
volumique élevé et une inertie très faible, ce qui entraîne des réponses rapides des
courants et donc du couple. Pour diminuer le taux d'ondulation de courant et de couple,
elles sont alimentées par des onduleurs de tension, à base de composants IGBTs ayant
une fréquence de découpage élevée. Grâce aux progrès de l'électronique numérique la
réalisation de leur commande est devenue de plus en plus simple. L'ensemble de ces
propriétés leur donne un grand avantage dans la motorisation d'actionneurs de forte
puissance massique et de hautes performances.
Afin d’assurer correctement la commande et la motorisation de ces actionneurs
il est nécessaire de disposer de contrôleurs capables de régler les courants, la vitesse
ou la position en se servant de la mesure de ses paramètres.
Il existe actuellement un grand nombre de régulateurs robustes destinés à cette
fonction ; on peut citer les régulateurs à mode glissants, à logique floue, à réseaux de
neurones, etc. mais les régulateurs classiques du type PI ou PID sont toujours de
rigueurs ; ils ont donné satisfaction par le passé et ils continuent d’être utilisés dans le
domaine de la commande actuellement.
Ce deuxième chapitre est consacré à l’étude de la commande non linéaire ; nous
avons appliqué la géométrie différentielle pour l’analyse et la modélisation de cette
commande du MSAP et plus particulièrement de la commande vectorielle et des
régulateurs classiques du type PI et PID. Nous terminerons ce chapitre par la
présentation des résultats de simulation de l’ensemble commande-onduleur-MSAP
figure 2.1).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 56
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Fig. 2-1 : Ensemble Commande-Onduleur-Machine.
2.2 Modélisation Du Système Onduleur-Machine :
2.2.1. Modèle De la machine:
La machine synchrone à aimants permanents (MSAP) considérée est le moteur
modélisé dans le chapitre I.
Partant des tensions triphasées statoriques :
λ a 
i a 
u a 
u  = R i  + d λ 
b
s b
 b
dt  
 λ c 
i c 
 u c 
(2.1).
Avec Rs la résistance des phases statoriques,
[u a
ub
u c ] les tensions des phases statoriques,
[i a
ib
i c ] les courants des phases statoriques et,
[λ a
λb
t
t
λ c ] les flux totaux à travers les bobines statoriques.
t
Le comportement de la machine peut être représenté par deux variables
indépendantes ; en appliquant la transformation réduite de Concordia T32, soit:
v α 
i α  d λ α 
 v  = R s .i  +  λ 
 β
 β  dt  β 
(2.2)
Et d’une façon générale pour tous les vecteurs considérés on notera :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 57
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
va 
v α 
 
 v  = T32 . v b 
 β
 v c 
(2.3)
Avec T32 définie par l’équation (1.6) page 14 ; et l’expression (2.3) est aussi valable
pour le courant i et le flux λ.
En appliquant la transformation de Park au système d'équations (2.2), nous
pouvons exprimer tous les vecteurs dans un repère lié au rotor. Si θ est l'angle
électrique désignant la position du rotor par rapport au stator, nous avons:
v d 
i d  d λ d  dθ π λ d  e d 
 v  = R s .i  + λ  + ρ( ).λ  + e 
 q
 q  dt  q  dt 2  q   q 
x d 
x α 
Sachant que :   = ρ(θ) −1. 
xβ 
x q 
(2.4)
cos(θ) − sin (θ)

 sin (θ) cos(θ) 
avec ρ(θ) = 
(2.5).
Dans les machines synchrones avec des conducteurs à répartition sinusoïdale,
les flux en quadratures λd et λq sont des fonctions linéaires des courants id et iq :
λ d = Ldi d + φr
(2.6)
λ q = Lqiq
Ou Фr représente le flux des aimants au rotor à travers le circuit équivalent
direct. En reportant les expressions des flux dans l'équation (2.5) on aboutit à :
v d 
i d  L d
 v  = R s .i  +  0
 q
 q 
0  d i d 
π L d
.   + ω.ρ( ).

L q  dt i q 
2 0
0  i d  e d 
+
.
L q  i q  e q 
(2.7).
où ω=p.Ωr, p le nombre de paires de pôles et Ωr la vitesse angulaire du rotor.
ed et eq sont les composantes directe et en quadrature de f.e.ms. données par :
ed = 0
e q = p.φ r .Ω r
(2.8).
Si le rotor est lisse les inductances directe et en quadrature sont identiques
(Ld=Lq=L),pour les machines synchrones à aimants permanents et à rotor lisse, et
π
2
tenant compte de ρ( ) le système d'équations (2.7) se simplifie comme suit :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 58
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
v d 
i d 
 − i q  e d 
d i d 
 v  = R s .i  + L. i  + L.pΩ r .
 + e 
i
dt
q
q
q
d

  q
 
 
 
(2.9).
2.2.2. Equations mécaniques :
Le couple électromécanique développé par les machines synchrones à f.e.ms.
sinusoïdale est donné par la relation suivante:
C em = p(λ α i β − λ β i α ) = p(λ d i q − λ q i d ) =
3
pφ r i q + (L d − L q )i d i q
2
(2.10).
Cette équation se simplifie pour Ld=Lq:
C em =
3
p.φ r .i q
2
(2.11).
La conversion de l'énergie électrique en énergie mécanique dans les machines
synchrones est régie par la relation suivante :
J.
dΩ r
= C em − C L − F.Ω r
dt
(2.12).
Où CL est le couple de charge, F le coefficient de frottement et J le moment
d'inertie des parties tournantes de l'ensemble machine-charge.
2.2.3. Modèle de facteurs influents sur la MSAP : [GO], [AK1], [NM]
Nous définissons dans un premier lieu le vecteur d'état x, le vecteur d'entrée u et
le vecteur de sortie y.
Suivant le but recherché (régulation de couple, de vitesse ou de position), le
vecteur d'état peut être constitué de trois ou de quatre variables d'état.
Dans le cas d'une régulation de couple, de vitesse, ou de position angulaire, le
modèle non linéaire d'état dans le repère tournant d-q est décrit par le système (2.13)
ci-dessous :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 59
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
pL q


R
iqΩr
− s id +
 1

Ld
Ld
 id  
  Ld

Rs
pL d
pΦ r
i  
d  q
iq − (
id +
)Ω r   0
−
+
=
Lq
Lq
Lq
dt Ω r  
 
3p(L d − L q )
F  0
   3pΦ r
iq +
idiq − Ω r

θ 
2J
2J
J  0
 

pΩ r

0 

1  v d 
.
(2.13).
L q   v q 
0 

0 
Ce modèle est non linéaire à cause des termes (id.Ωr), (iq.Ωr), (id.iq).
La dernière équation du système représente l’évolution d’une nouvelle variable
d'état d’après l'équation (2.14), si nous avons à réguler la position θ du rotor; ceci
dépend du choix établi par l’utilisateur sur les composantes du vecteur d’état qui
définissent la machine.
dθ
= ω = p.Ω r
dt
(2.14).
Nous supposons que le couple de charge CL est une fonction non linéaire de Ωr ;
c'est-à-dire lorsqu’il y a une perturbation, quelle que soit la valeur prise par la vitesse
Ωr, alors CL est considérée comme une fonction dépendant et variant dans le même
sens que Ωr vérifiant la relation :
dC L
>0
dΩ r
(2.15)
CL est donc une perturbation importante qui influe sur la stabilité du système et
doit être compensée.
Le modèle (2.13) peut se simplifier dans le cas d'un MSAP à rotor lisse c'est-àdire si Ld=Lq=L :
R


− s i d + pi q Ω r
 1

Ld
 id  
 L
pΦ r
 i   Rs

d  q −
i q − (pi d +
)Ω r   0
=  Lq
+
L
dt Ω r  
 
3pΦ r
F
  
 0
iq − Ωr
θ 
  0
2J
J


pΩ r

0
1  v d 
.
L   v q 
0
0 
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
(2.16).
Page 60
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Dans le cas d'une modélisation dans le repère lié au stator α-β, toutes les
équations s'écrivent en fonction des nouvelles variables électriques iα et iβ et des
nouvelles entrées uα et uβ ; en se servant de la relation (2.16) et de la matrice de rotation
(2.5).
Ce qui pour un MSAP à rotor lisse conduit au modèle d'état non linéaire (2.17)
suivant :
R
pΦ r
 1

− s iα +
Ω r sin θ
 L

L
L
 iα  
 
Rs
pΦ r
d 
+0
iβ = 
iβ −
cos θ
−
Ω
r
dt   
L
L
 
Ω r   3pΦ r
F  0
(i cos θ − i α sin θ) − Ω r
 2J β
J  

0
1  v α 
. 
L   vβ 
0

(2.17).
L’utilisation de l’un ou l’autre des repères et modèles dépend du choix du
chercheur, ils peuvent être alors résumés sous la forme générale suivante :
x = f ( x ) + B.u
(2.18).
La connaissance de la vitesse du rotor Ω r permet la transformation des vecteurs
des entrées u et des sorties y = [i d i q ]T du système (2.16).
2.2.4. Modèle de fonction de transfert du MSAP :
Dans la plupart des cas, la vitesse angulaire ω=p.Ωr est considérée comme une
constante dans les équations électriques de la machine ; car la dynamique mécanique
est nettement plus lente que celle électrique et par conséquent cette hypothèse nous
permet de déduire le modèle linéaire à partir des systèmes (2.7) et (2.13):
Lq 
 Rs
1
−
ω

i
i
d  d   Ld
Ld   d   Ld
.
.  + 
=
 
dt i q  − L d ω − R s  i q   0
 Lq

L q 


0 
  v  e  
  d  −  d   (2.19).

1  v q
   e q  
L q 
Le modèle utilisé pour l’identification des paramètres du MSAP est représenté
par La matrice de transfert Y(s) définie par :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 61
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Y(s) =
1 / R s 1 + τ q s ωτ q 
P(s)  − ωτ d 1 + τ d s 
(2.20).
avec :
P(s) = (1 + τ d s)(1 + τ q s) + ω2 τ d τ q
τd =
(2.21).
L
Ld
et τ q = q sont les constantes de temps électriques.
Rs
Rs
2.2.5. Fonction de transfert de l’onduleur de tension :
L’onduleur de tension alimentant la machine à courant alternatif permet
d'imposer aux bornes de celle-ci des tensions d'amplitude et de fréquence réglables par
la commande. Une machine triphasée sans liaison de neutre peut être alimentée par un
onduleur de tension à trois bras comprenant chacun deux cellules de commutation.
Chaque cellule est composée d'un interrupteur, commandé à l'amorçage et au blocage
et d'une diode antiparallèle.
L’onduleur est commandé soit par la technique de Modulation de Largeur
d'Impulsions (MLI) classique soit par la MLI vectorielle ; cette dernière consiste à
imposer aux bornes de la machine des tensions, hachées à fréquence fixe, évoluant en
fonction des références de tension obtenues à partir des régulateurs des courants.
Dans cette, nous nous intéressons uniquement au comportement dynamique des
variables électriques et mécaniques de la machine associé à l’onduleur de tension et à
sa commande. Comme les constantes de temps de la machine et des régulateurs sont
très grandes devant le temps de commutation d'un état à l'autre des interrupteurs de
l’onduleur, nous pouvons simplifier le modèle et réduire le temps de simulation en
représentant l'onduleur par un ensemble d'interrupteurs idéaux.
La commutation des interrupteurs ne fait que transmettre l’état d’un ensemble
de signaux de faible puissance en un état de signaux triphasé reliées à la machine nous
pouvons alors modéliser la commande d’onduleur par un gain constant noté Gond.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 62
Chapitre II :
2.3.
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Commande Vectorielle De La MSAP :
Elle est aussi appelée commande par orientation de flux et notée FOC (Field Oriented
Control). La machine synchrone à aimants permanents est représentée par un système
d’équations vectoriel. Le control vectoriel porte en général sur des machines alimentées en
tension et réglées en courant sur les axes d et q. Cette topologie permet une meilleure
dynamique dans le control du couple tout en évitant les inconvénients d’alimentation en
courant.
2.3.1 Principe : [AT1], [FO],
Dans les machines à pôles saillants, le courant id peut être fixée à une valeur qui
correspond au couple maximal à courant maximal :
i dref =
φ r − φ 2r + 8(L d − L q ) 2 I 2max
2(L d − L q )I max
(2.22).
L'objectif principal de la commande vectorielle du MSAP est de contrôler le
couple de manière optimale selon un critère choisi. Ce critère correspond souvent à la
minimisation des pertes Joule pour un couple donné. Ce qui nous amène à minimiser
(id2+iq2) pour un couple donné. Il faut alors contrôler simultanément id et iq. Pour
simplifier la commande, on fixe le courant id dans la relation (2.10) (en général i dref = 0 )
tel que le couple soit proportionnel à iq dans une plage de vitesse donnée.
Lorsque le courant i d est nul, le modèle du moteur synchrone à aimants
permanents présenté à la figure 2.2 se réduit, en ce qui concerne l’axe q, à un modèle
équivalent à celui d’un moteur à courant continu à excitation indépendante.
Fig. 2.2: modèle fonctionnel de Park du MSAP.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 63
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Le couple étant proportionnel à la composante en quadrature iqref, il est donc
contrôlé par celle-ci. La commande vectorielle revient alors à contrôler les deux
composantes id et iq du courant statorique en imposant les tensions vd et vq qui
conviennent.
De plus dans le cas d’une machine synchrone à aimants permanents sans
saillance (Ld=Lq), et sans amortisseurs, le couple électromagnétique ne dépend que de
la composante du courant sur l’axe q. La relation couple courant devient linéaire, telle
que définie par (2.11).
La commande doit donc maintenir i d nul et régler le couple grâce à i q .
Physiquement, cette stratégie revient à maintenir le flux de réaction d’induit en
quadrature avec le flux rotorique produit par le système. Ceci est schématisé à la figure
2.3, où la machine est représentée dans le référentiel de Park, et les aimants
permanents sont modélisés par un bobinage traversé par un courant i r constant
produisant un flux équivalent à celui des aimants.
d
→
q
iq
id
vq
Ir
θ
Vr
vd
→
a
Fig. 2.3 : Commande vectorielle avec i d nul.
Donc quel que soit le but de la commande (régulation de couple, de vitesse ou
de position), le contrôle du couple de moteur dépend des deux variables id et iq.
2.3.2 Modèle d’alimentation en vue de la commande vectorielle : [NM1], [FO],
Comme nous l'avons vu, l'onduleur de tension à MLI peut être modélisé par un
gain Gond, par conséquent pour obtenir les tensions vd et vq, il suffit d'imposer des
tensions de référence vdr et vqr à son entrée.
A l'aide des régulateurs, on obtient les tensions de référence permettant de
maintenir les courants direct et en quadrature au voisinage de leurs valeurs de
référence idref et iqref.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 64
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Mais en réalité on a accès seulement aux tensions et courants des trois phases
de la machine. Le passage aux grandeurs intermédiaires (tensions et courants diphasés)
se fait à l'aide des transformations de Park et de Concordia (directe et inverse) figure
(2.4).
Fig. 2.4 : Schéma de la commande vectorielle des MSAP.
De ce schéma nous déduisons celui de la figure 2.5 qui représente le schéma
simplifié de commande et de réglage des courants id et iq.
Fig. 2.5 : Schéma simplifié de la commande vectorielle du MSAP.
Nous avons montré au paragraphe précédent que nous pouvons ramener le
modèle du moteur synchrone à aimants permanents à un modèle linéaire équivalent à
celui d’un moteur à courant continu à excitation indépendante.
A partir de ce modèle, les régulateurs de vitesse et de position peuvent être
synthétisés au moyen de techniques classiques développées pour les systèmes
linéaires.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 65
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Dans ce qui suit, nous mettons en œuvre le contrôle vectoriel, en utilisant les
stratégies de commande qui permettent la réalisation du découplage de la machine afin
d’atteindre des performances dynamiques et statiques élevées.
2.3.3. Commande vectorielle par la méthode indirecte [AT], [AK], [FO] :
A partir de la position de référence θ ref et de la position mesurée θ mes , un
régulateur proportionnel calcule la consigne de vitesse, et par la suite un régulateur PI
calcule la consigne de couple, en conséquence le courant i q souhaité.
La valeur de référence du couple est combinée avec la vitesse mesurée dans un
bloc de découplage pour fournir les tensions de commande v ∗d et v ∗q , ce qui permet de
générer les tensions de commande v ∗a , v ∗b et v ∗c pour les trois branches de l’onduleur.
θref
iq
Ω*
−
θmes
−
I.F.O.C
dq
Ω
MSAP
MLI
abc
id*
−
v0
id
dq
id
abc
Ω
d/dt
θ
Fig. 2.6 : Schéma de commande vectorielle par la méthode indirecte.
On peut aussi contrôler le couple en fixant sa référence C ∗em (figure 2.7) ; le
bloc de découplage fournit les tensions de commande v ∗d et v ∗q qui assurent le contrôle
des courants i d et i q . Le passage du repère (d-q) aux grandeurs statoriques est défini
par le système suivant :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 66
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
 v ∗a 
∗
 ∗
−1  v d 
 v b  = P(θ)  v ∗ 
 q 
 v ∗c 
 
(2.23).
Cem*
F.O.C
dq
MSAP
MLI
id*
v0
−
abc
id
∫
θ
dq
id
abc
Ωr
Fig. 2.7 : Découplage de la machine.
Pour pouvoir découpler la machine il faut choisir les tensions de références
telles que :
∗
Cem
v = − pΩ r Lq
Kr
∗
d
∗
∗
Lq dCem
Cem
.
v = Rs
+
+ pΩ r Φ r
K r K r dt
(2.24)
∗
q
avec : K r =
3
pΦ r
2
Le bloc modèle correspondant est représenté sur la Figure 2.8.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 67
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
iq*
1
Kr
C ∗em
R S + L q .s
v∗q
Φr
Ωr
− Lq
v ∗d
Figure 2.8 : structure de découplage.
2.3.4. Commande vectorielle par la méthode directe
La structure de commande de la figure 2.6 peut être modifiée en ajoutant un
régulateur pour le courant iq en cascade avec le régulateur de vitesse, et en omettant le
réglage de la position θ.
Dans la littérature [ME], [AK], les sorties des régulateurs de courants doivent
fournir les tensions de commande vd∗ et vq∗ (figure 2.9). Ce procédé d’analyse conduit à
une difficulté pour la synthèse des régulateurs des courants, il y a une interaction entre
les grandeurs d’axe direct et celles d’axe en quadrature.
Ω
−
vd*
iq*
*
−
Ω
dq
iq
MSAP
MLI
*
id
−
abc
id
vq*
dq
id
θ
iq
abc
∫
Ω
Fig. 2.9 : Structure de la commande vectorielle par la méthode directe.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 68
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Le couplage est généralement supprimé par compensation car il constitue l’une
des difficultés de la conception de la commande vectorielle [AT], [FO]. Celle-ci
consiste à réguler les courants en négligeant les termes de couplage, ces derniers sont
rajoutés à la sortie des régulateurs de courant afin d’obtenir les tensions de références
et de commande v ∗d et v ∗q (figure 2.10).
i ∗q
pΩ r L d i ∗d
+
+
−
+
iq
+
+
i ∗d
+
pΩ r Φ r
v ∗d
−
−
id
v ∗q
pΩ r L q i ∗q
Figure 2.10 : découplage et Compensation.
Pour cela, il faut réécrire les équations du système 2.4 sous la forme suivante :
di d
+ e q (t )
dt
di q
+ e d (t )
v q = R si q + L q
dt
v d = R si d + L d
(2.25)
Où e d (t ) et e q (t ) sont les f.e.ms qui introduisent le couplage non linéaire.
2.4. Théorie De La Commande Non Linéaire : [AK].
La conception d'un contrôleur donné dépend de la nature et de la qualité du
système à contrôler. Le but recherché est d'améliorer les performances d’un système
commandé et d’obtenir des modèles de plus en plus précis.
Dans le cas des systèmes non linéaires où les non-linéarités ne sont pas
prononcées, on peut représenter ces systèmes dans une région autour d'un point
d'opération en linéarisant approximativement les équations; c’est la linéarisation de
premier ordre.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 69
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Mais, cette solution reste valable uniquement autour de ce point d'opération car
il est difficile d'étendre cette solution à d'autres régions.
L’avantage, c’est que la technique de linéarisation de premier ordre est
généralement appliquée aux cas de faibles perturbations, c'est-à-dire le cas d’une
situation qui concerne particulièrement, les machines électriques.
L’inconvénient, c’est que si ces non-linéarités deviennent très importantes, la
linéarisation de premier ordre n'est plus valable, les contrôleurs perdent
automatiquement leurs performances et le système devient instable [AK].
Cette technique a encouragé les chercheurs à s'investir de plus en plus sur les
méthodes de commande non-linéaire basée sur la théorie de la géométrie différentielle.
Parmi ces méthodes, on trouve la technique de linéarisation au sens des entréessorties ; Son principe consiste à trouver une transformation qui permet de compenser
les non-linéarités du modèle et rendre la relation d’entrée - sortie d'un système
complètement linéaire.
Nous allons étudier un contrôleur non-linéaire basé sur cette technique afin de
réguler la vitesse d'un moteur synchrone à aimants permanents.
Pour assimiler et parfaire la technique de linéarisation au sens des entréessorties, on présente quelques outils mathématiques nécessaires en annexe A.
2.4.1. Linéarisation au sens d’entrée – sortie : [AK], [FO].
La linéarisation au sens des entrées-sorties constitue un outil de linéarisation par
retour d'état avec découplage entrée-sortie ; elle a donné des résultats satisfaisants dans
différentes applications.
Le but de cette technique est de transformer le système multi entrées non
linéaire en une chaîne de systèmes linéaires en utilisant un retour d'état linéarisant avec
un découplage d’entrée-sortie; c'est-à-dire on cherche un système de la forme,
u=α(x)+β(x).v
(2.26).
Cette expression représente le comportement linéaire et découplé d’entréesortie du système en utilisant les propriétés de la géométrie différentielle présenté en
annexe A.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 70
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Cette technique consiste à transformer un système (S) à p entrées et p sorties
non linéaires d'ordre n appartenant à la classe des systèmes définis par les relations
(2.2) en un système suivant :
x = F( x ) + G( x )u

T
F( x ) = [f 1 ( x ),....., f n ( x )] : champ de vecteur d' ordre n

 g 11  g 1p 




S = G =  
  : Matrice [np]

g n1  g np 



 y = H( x )

T
H( x ) = h 1 ( x ),....., h p ( x )
[
(2.27)
]
Avec :
x = ( x 1 , x 2 ,......x p ) T Vecteur d’état appartenant à R n ; où n est l’ordre du système,
u = ( u 1 , u 2 ,......u p ) T ∈ R n Vecteur de commande,
y = ( y1 , y 2 ,...... y q ) T Vecteur des sorties à découpler appartenant à R p ,
fi, gjk, sont des champs de vecteurs lisses et hi est une fonction lisse (voir annexe A).
L'espace d'état n'est plus un espace Euclidien mais plutôt un espace courbe
(espace topologique), localement Euclidien pour lequel le modèle non linéaire est
valable pour un choix de coordonnées locales donné [AK].
Un champ de vecteur est une application qui fait correspondre à tout point d'une
variété un élément de l'espace tangent en ce point.
2.4.2. Conception de contrôleur linéaire par retour d'état : [CT] [AK1].
Pour concevoir le contrôleur linéaire par retour d'état, on doit effectuer deux
étapes: la linéarisation du système autour d'un point d'opération et le calcul de la
matrice des gains K qui permet de réaliser le placement des pôles souhaités.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 71
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Une fois le système linéarisé, on lui applique une commande par retour d'état de
la forme u=K.x+r où les sorties sont forcées de suivre une certaine référence définie
par le vecteur r, puisque le MSAP forme un système multi variable et le calcul de la
matrice K n'est pas direct comme pour le cas mono variable.
Pour comprendre le principe de la méthode par retour d'état, nous allons définir
notre système par le système d’équations d’état linéaires suivant :
x = A.x + B.u
y = C.x + D.u
(2.28).
où x ∈ R n , y ∈ R q , u ∈ R p ,et A(n,n), B(n,p), C(q,n), D(q,p) sont des matrices réelles
et constantes.
D’après [NM1], et [AK1], si le système considéré est commandable, (nous le
supposons commandable) on peut lui imposer n'importe quelle dynamique stable en
boucle fermée. C’est à dire qu'on peut influencer directement la dynamique du système
en boucle fermée. Cette méthode est connue sous le nom de la méthode par retour
d'état ou méthode de placement de pôles (pôles imposés). Son principe consiste à
remplacer l'entrée du système u par u=K.x+r, où r désigne le vecteur des références et
K(p,n) représente la matrice des gains.
Le système en boucle fermée aura la forme suivante:
x = ( A + B.K ).x + B.r
y = (C + D.K ).x + D.r
(2.29).
Le travail consiste à calculer la matrice des gains K qui place les pôles en
boucle fermée. On commence par mettre le système en boucle ouverte sous la forme
canonique avant de lui imposer la nouvelle dynamique. On peut donc transformer le
système (2.28) sous la forme canonique en effectuant le changement de variable
suivant:
x c = P.x
(2.30).
Ce qui nous oblige à écrire le système en boucle fermée sous la forme:
x c = ( A c + B c .K c ).x c + B c .r
(2.31).
avec:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 72
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
A c = P.A.P −1 , B c = P.B
(2.32).
Les valeurs propres de (A c + B c .K c ) doivent correspondre aux pôles imposés
définis par l'équation caractéristique:
n
Det (sI − (A c + B c .K c )) = ∏ (s − p i )
(2.33).
i =1
Où les pôles pi peuvent être arbitrairement choisis (réels ou complexes). [AK1], [GZ].
Cependant, pour appliquer le retour d'état au système réel, la matrice des gains
K doit être convertie en utilisant le changement de variables inverse:
K = K c .P
(2.34).
2.4.3 Application au MSAP :
Les équations dynamiques du MSAP dans le référentiel (d-q) sont:
Lq
di d
R
1
ud
pΩ r i q +
= − s id +
Ld
dt
Ld
Ld
di q
dt
=−
Rs
L
Φ
1
uq
i q − d pΩ r i d − r p Ω r +
Lq
Lq
Lq
Lq
(2.35).
dΩ r 3p
B
= (Φ r i q + (L d − L q )i d i q ) − Ω r
J
dt
2J
Le couple de charge CL n'apparait pas dans les équations (2.35) car il est
considéré comme une perturbation qui n’est pas obligatoirement présente au
démarrage. Le système d'équations est réécrit sous la forme normalisée pour
l'application de la linéarisation au sens des entrées sorties comme suit:
x = f ( x ) + g1 ( x ).u d + g 2 ( x ).u q
(2.36).
Où le vecteur d’état x et de commande u sont respectivement:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 73
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
x = [i d i q Ω r ]T et u = [u d u q ]T
(2.37).
pL q


R
iqΩr
− s id +


Ld
Ld


Rs
pL d
pΦ r


Avec: f ( x ) =
 − L i q − ( L i d + L )Ω r 
q
q
q


 3p (Φ i + ( L − L )i i ) − B Ω 
d
q d q
r

 2J r q
J
(2.38)
2.5. Présentation des différents Régulateurs [ME], [NM1] :
Dans ce paragraphe, nous étudions brièvement quelques méthodes de
conception des régulateurs. Il s'agit de trois familles des régulateurs avancés :
-
régulateurs linéaires robustes,
régulateurs non linéaires
régulateurs intelligents.
Nous ferons simplement une brève description de La méthode la plus fréquente
de chaque famille.
2.5.1. Régulateurs linéaires robustes
La robustesse traduit la propriété d'invariance d'un comportement en présence
de phénomènes perturbateurs qui peuvent être externes (bruits de mesure) ou internes,
telles que les incertitudes de modélisation (variations de paramètres, dynamiques
hautes fréquences négligées). Dans ce cas, la commande robuste intègre, lors de
l'élaboration du correcteur, les variations paramétriques et les bruits injectés dans le
processus, pour lesquels l'optimisation de la robustesse est présentée comme un
objectif industriel majeur.
Les stratégies de commande robuste des machines synchrones nécessitent un
découplage entre les dynamiques des courants et de la vitesse. On suppose souvent que
la dynamique de vitesse est très faible devant celle des courants électriques, ce qui
permet une modélisation linéaire de la dynamique électrique. Dans ce cas une
commande du type boucles imbriquées suffit pour obtenir de bonnes performances
globales.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 74
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
2.5.2. Régulateurs non linéaires :
Les machines à courants alternatifs présentent une structure de commande non
linéaire multi variable. Elles constituent ainsi des cas d'études intéressantes, illustrant
les avantages des techniques de commande non linéaire.
Les systèmes de commande à structure variable constituent une solution au
problème de la commande robuste des systèmes non linéaire. Ils sont basés sur
l'utilisation d'un terme discontinu dans la commande afin d’obliger le système à
vérifier une équation différentielle pendant sont évolution. L'intérêt majeur de cette
méthode se situe d'une part dans la simplicité de mise en œuvre de la commande,
d'autre part dans la synthèse des coefficients de la surface de glissement. Cependant,
dans certains cas, les performances du système peuvent être altérées à cause d'un
phénomène de broutement qui se mélange aux grandeurs contrôlées. De plus, la
réduction de l'ordre du système ne permet pas toujours d'atteindre l'objectif imposé
avec la dynamique désirée. Les extensions méthodologiques concernent uniquement le
phénomène de broutement et permettent sa diminution ; mais elles sont la cause
d'autres problèmes tels que, la complexité de la mise en œuvre de la loi de commande,
l'existence d'un compromis entre la robustesse du régulateur et les performances du
système.
2.5.3. Régulateurs intelligents
Le développement technologique de ces dernières années a permis à la
commande intelligente de déboucher sur plusieurs applications intéressantes, surtout
dans la commande des processus dont le modèle mathématique est difficile, voire
impossible à définir. Suite à l'apparition des processeurs à logique floue, cette
technique a été appliquée avec succès dans le contrôle de plusieurs processus
industriels. Dans le domaine de l'électrotechnique, la commande floue a fait l'objet de
plusieurs travaux.
Dans le cas où la connaissance du fonctionnement d'un système est trop limitée
pour concevoir un modèle mathématique, la solution de recours sont les techniques de
synthèse de la commande par apprentissage. Parmi ces techniques d'apprentissage, les
réseaux de neurones montrent un certain nombre de propriétés avantageuses ; on peut
citer les propriétés suivantes:
-
la capacité de construire des modèles à partir des données empiriques historiques,
la qualité d'approximer correctement les fonctions continues, ainsi ils peuvent
modéliser des phénomènes complexes et non linéaires,
De part de leur rapidité de calcul, ils sont adaptés aux applications temps réel.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 75
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Malgré ces avantages, les réseaux de neurones souffrent de leur modélisation
mathématique compliquée qui empêche une analyse rapide et confiante de la stabilité
du système en boucle fermée. De plus, la mise en place des réseaux de neurones sur les
circuits intégrés n'est pas encore suffisamment utilisée, ce qui rend onéreux une
application pratique [NM1] .
2.5.4. Régulateur industriel PID :
Le régulateur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivée), est la combinaison des trois
actions de base P, I et D. Grâce au terme I, il permet l'annulation d'une erreur statique
et grâce à l'action D, il autorise des performances avec une grande rapidité.
C’est un régulateur typiquement industriel et sa loi de commande est de la
forme : [ME].
t

1
de 

u ( t ) = K p . (e( t ) + . ∫ e(τ).dτ + Td . 
Ti −∞
dt 

(2.39)
2.6. Régulateur PI :
Dans cette thèse, nous allons analyser le comportement du système de
Commande à régulateur PI pour diverses conditions de fonctionnement du moteur
synchrone.
Les résultats ainsi obtenus seront comparés avec ceux de la commande à
logique floue pour l'asservissement de vitesse en les mettant dans les mêmes
conditions de fonctionnement (consignes, charges, perturbations, etc.).
On peut distinguer deux modes de fonctionnement: le mode électrique (mode
rapide: boucle interne) et le mode mécanique (mode lent: boucle externe). La
dynamique de la boucle interne doit être sensiblement plus rapide que la dynamique de
la boucle externe. La commande par boucle imbriquée est alors appliquée à la MSAP,
puisqu'elle permet de contrôler séparément les courants id et iq (et donc le couple Ce) et
la vitesse Ωr.
Les régulateurs PI utilisés sont de la forme suivante :
C d (s ) = K d
1 + τ i .q .s
1 + τ i .d .s
1 + τ i .Ω .s
, C q (s ) = K q
, C Ω (s ) = K Ω
τ i .d .s
τ i .Ω .s
τ i .q .s
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
(2.40).
Page 76
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Cd(s) et Cq(s) sont les régulateurs des courants direct et en quadrature (id et iq),
C Ω (s) est le régulateur de la vitesse angulaire mécanique Ω.
Fig. 2.11 : Régulation des courants et de vitesse des MSAP.
2.6.1. Système d’anti-Windup
La structure par boucle imbriquée permet de réguler séparément chaque
grandeur utile du système. Les boucles des courants et de la vitesse sur la figure 2.11
comprennent des éléments limitant les sorties des régulateurs ; c'est-à-dire les valeurs
de iqref, vdr et vqr .
La caractéristique non linéaire de la limitation ne permet plus d'analyser
correctement le comportement dynamique dès que la sortie du régulateur est saturée.
Cette saturation perturbe également le fonctionnement des régulateurs
comportant une action intégrale. En effet, la composante intégrale continue à croître,
bien que la sortie du régulateur soit limitée. Le délai nécessaire pour réduire la
composante intégrale supplémentaire provoque un dépassement de la grandeur à
régler, (problème de reset-windup) [NM1].
Le couple est donc limité dans la machine par un simple dispositif d’écrêtage.
Cette limitation provoque un effet d’emballement (effet Windup). Ainsi, le régulateur
doit être associé à un système d’anti-Windup afin d’éviter le dépassement que peut
introduire le régulateur en continuant à sommer une erreur qui ne correspond pas à la
tension de commande [AT1] [HB1].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 77
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Nous utilisons à cet effet une approche dynamique applicable à la limitation
exacte d'une structure par boucle imbriquée. Nous limitons la sortie du régulateur de
telle façon qu’elle n'atteint pas la saturation figure 2.12).
Fig. 2.12 : modèle d’Anti-Reset-Windup.
« r » est la consigne de référence, « y » est la grandeur à réguler, « us » est la
sortie limitée du régulateur. C(s) désigne le régulateur de courants ou vitesse.
« rs » est la référence limitée entre rmax et rmin ; ces limites sont calculées par :
rmax = C −1 (s)u max + y
(2.41).
rmin = C −1 (s)u min + y
Par exemple si ε Ω (k ) est l’écart entre la consigne de vitesse et la vitesse
mesurée.
ε Ω (k ) = Ω ∗ (k ) − Ω(k )
(2.42)
Et si ε Ω (k )l correspond à l’erreur de vitesse qui produirait le couple de sortie du
régulateur, la fonction de saturation serait alors :
ε Ω (k )l = ε Ω (k ) −
(
1
. C∗e (k ) − C∗e (k )l
K Ω (1 + T / τiΩ )
)
(2.43)
L’équation du sommateur devient :
y(k ) = y(k − 1) + ε Ω (k )l
(2.44).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 78
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
2.6.2. Régulation par la méthode indirecte :
a). Réglage de la vitesse
Le régulateur de vitesse peut aisément être déterminé à partir du modèle
découplé de la machine défini plus haut par le système d’équation 2.24. En insérant un
régulateur PI dans la boucle de régulation de vitesse on obtient le schéma suivant :
Cr
1
Fc (1 + τ m s )
Ω∗
1 + τ i.Ω .s
KΩ
τ i.Ω .s
+
−
C ∗em
1
Fc (1 + τ es )(1 + τ m s )
+
−
Ω(s )
Fig. 2.13: Boucle de régulation de vitesse.
τe =
Avec :
Lq
Rs
, τm =
J
Fc
(2.45)
La fonction de transfert globale en boucle ouverte sera :

1 + τ i .Ω .s 
1

Fo (s ) =  K Ω
τ i .Ω .s  Fc (1 + τ m s )(1 + τ e s )

(2.46)
En boucle fermée, on aura :
Ff (s ) =
Fo (s )
1 + Fo (s )
(2.47).
Après un calcul élémentaire, on obtient l’expression finale de F f (s ) :
FfΩ (s ) =
τ iΩ .[Jτ e s
3
(K Ω (1 + τ iΩ .s )
N(s )
=
2
+ (J + Fc τ e )s + (K Ω + Fc )s + K Ω / τ iΩ ] D(s )
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
(2.48)
Page 79
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
En tenant compte des paramètres de la machine, on peut négliger les termes
Jτe et Fc τe alors le dénominateur D(s ) devient :
D(s ) ≅ Js 2 + (K Ω + Fc )s + K Ω / τ iΩ
(2.49)
Pour avoir un amortissement relatif optimal, les paramètres des régulateurs ont
été choisis par la méthode par retours d’état. Les pôles imposés au système, ont la
partie réelle égale à la partie imaginaire [HB1].
Dans ce cas, les paramètres du régulateur sont :
τ iΩ =
F
1
− c 2 ; K Ω = 2Jρ − Fc
ρ 2 Jρ
où ρ représente le module des pôles du système.
b). Réglage de la position :
La régulation de position peut s’effectuer en ajoutant une boucle externe à celle
de la vitesse, cette boucle est constitué d’un simple réglage du gain suivi d’une
intégration (figure 2.14).
θ∗
+
−
Kθ
Ω
1
s
θ
Fig 2.14 : Boucle de régulation de position.
c). Réglage de courant id :
De la première équation du système 2.9, on peut écrire :
v d = (R s + sL q )i d − Ω pL q i q
(2.50).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 80
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
On pose :
v o = (R s + sL q )i d
(2.51)
Et on tient compte du régulateur PI de fonction de transfert donnée par 2.40 ; la
mise en boucle de régulation du courant id se représente alors comme suit :
i ∗d +
Kd
−
1 + τ i.d .s
τ i.d .s
vo
1
R s + Lds
id
Fig. 2.15: Boucle de régulation du courant id
La fonction de transfert en boucle fermée sera donnée Par un calcul identique à
celui de la vitesse soit :
Ffd (s ) =
K d (τ id .s + 1)
τ id [L d s + (K d + R s ).s + K id / τ id ]
(2.52)
2
Nous obtenons les paramètres de régulateur de id ci dessous :
K d = 2L d ρ − R s ; τ id =
Rs
1
−
ρ 2L d ρ 2
2.6.3. Régulation par la méthode directe :
a). Réglage de courant id :
Du système d’équation 2.25 on peut écrire :
id =
e q (t )
vd
+
R s + Lds R s + Lds
(2.53)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 81
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
Avec la boucle de régulation globale se présentant comme suit :
e q (t )
i ∗d
1 + τ i.d .s
Kd
τ i.d .s
+
−
v ∗d
id
1
R s + Lds
Fig. 2.16 : Boucle de régulation du courant i d .
La fonction de transfert en boucle ouverte, pour e q (t ) = 0 est donnée par
l’équation suivante :
id
1
=
vd R s + Lds
(2.54)
C’est un calcul identique à celui du paragraphe 2.3.6.3., on ajoute un régulateur PI de
transmittance C d (s) donnée par (2.40) ; et la fonction de transfert en boucle fermée
sera celle donnée en (2.52).
b). Régulation du courant iq
Le système d’équation 2.25, donne :
iq =
vq
R s + Lqs
+
e d (t )
R s + Lqs
(2.55)
La boucle de régulation se présente alors comme suit :
e q (t )
i ∗q
+
−
Kq
1 + τi.q .s
τi.q .s
v ∗q
1
R s + Lqs
iq
Fig. 2.17 : Boucle de régulation du courant iq .
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 82
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
La fonction de transfert en boucle ouverte, pour e d (t ) = 0 , est donnée par
l’équation suivante :
iq =
vq
(2.56)
R s + Lqs
La fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :
Foq (s ) =
K q (1 + τ i.q .s)
(2.57)
τ i.q .s(R s + L q s)
Et en boucle fermée on aura :
Ffq (s ) =
K q (τ iq .s + 1)
τ iq [L q s 2 + (K q + R s ).s + K iq / τ iq ]
(2.58)
Et en utilisant comme précédemment la méthode par retour d’états on aura :
K q = 2L q ρ; τ iq = 1 / ρ
c). Réglage de vitesse et de position.
En insérant un régulateur PI de fonction de transfert :
C Ω (s ) = K Ω (1 +
1
τ iΩ s
(2.59)
)
La boucle de régulation globale se présente comme suit :
Ω
∗
+
−
K Ω (1 +
i ∗q
1
τ iΩ .s
)
Boucle interne de
régulation ( i q )
iq
3pΦ r
2
C em
1
J.s + F
Ω
Fig. 2.18 : Boucle de régulation de vitesse.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 83
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
En considérant le courant i q parfaitement réglé, la fonction de transfert en
boucle ouverte de la boucle externe s’écrit :
FoΩ (s ) = K Ω (1 +
3pΦ r
τ iΩ .s 2(J.s + F)
1
(2.60)
).
La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
3
pΦ r K Ω (τ iΩ .s + 1)
2
FfΩ (s ) =
3
(J.s + F)τ iΩ .s + pΦ r K Ω (τ iΩ .s + 1)
2
(2.61)
En utilisant la méthode par retours d’états, on aura :
KΩ =
3
1
F
pΦ r (2Jρ − F); τ iΩ = −
2
ρ 2 Jρ 2
La régulation de position est réalisée en ajoutant une boucle de régulation
externe à celle de la vitesse, cette boucle peut être un simple réglage du gain K θ
(figure 2.19).
Si la boucle de régulation de vitesse est parfaite, Le calcul du coefficient K p du
régulateur de position est donc réalisé par celle-ci selon le paragraphe §2.7.2-contrôle
de position plus bas.
θ
+
∗
Ω +
*
−
−
K Ω (1 +
1
τ iΩ .s
i ∗q
)
Boucle interne de
régulation ( i q )
iq
3pΦ r
2
C em
1
J.s + F
Ω
1 θ
s
Fig. 2.19 : Boucle de régulation de position.
2.7. Résultats De Simulation :
Après la synthèse des régulateurs, et afin d’évaluer le comportement dynamique
du moteur synchrone à aimants permanents muni de sa commande vectorielle, les
performances du réglage ont été testées uniquement par la méthode directe par
simulation dans le cas du réglage de vitesse et de position. Le choix a été dicté par les
résultats quasiment identiques pour les deux méthodes [AT1], [AA2]. La figure 2.20
illustre le modèle de simulation avec toutes les valeurs constituant le système.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 84
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Fig. 2.20 : modèle de simulation avec contrôleur PI de vitesse.
• Hypothèses:
Le MSAP démarre avec application d’une charge de 1.7Nm; Le courant direct
I d étant maintenu à la valeur nulle par sa référence I dref = 0 .
Nous imposons au démarrage une référence de vitesse ωr = 50rd / s pour
observer la réaction du courant en quadrature I q , puis nous la modifions brusquement
de la manière suivante:
• A t=0.6s, nous diminuons la consigne de vitesse jusqu'à ω r = 30rd / s
• A t=1.2s, nous l’augmentons jusqu'à ω r = 50rd / s
Lorsque le régime est établi, nous appliquons une charge supplémentaire de
1.7Nm à l’instant t=1.8 secondes;
Nous observons la réaction du système puis nous réajustons la charge à 1.7Nm
à l’instant t=2.4 secondes.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 85
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
• 2.7.1-Contrôle de vitesse :
Les comportements du MSAP sont illustrés sur les figures 2.21 à 2.23 plus bas :
Nous avons procédé à des essais successifs sur les régulateurs de vitesse et des
courants les paramètres de réglages trouvés sont groupés sur le tableau 2.1 suivant :
Paramètres
Régulateur Ωr
Régulateur Id
Régulateur Iq
Valeurs
KP=0.7, KI=6
KP=20, KI=10
KP=5, KI=2
Tableau 2.1 : coefficients des régulateurs de vitesse.
Courant Ic (A)
Courant Ib (A)
Courant Ia (A)
Le moteur démarre avec une vitesse de consigne de 50 rd/s et une charge de
5Nm. Les résultats obtenus montrent que les performances de poursuite de la consigne
sont satisfaisantes, Les courants de phases possèdent une allure presque sinusoïdale.
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
5
0
-5
5
0
-5
Fig. 2.21 : les courants de phases.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 86
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Le courant id en régime permanent reste constant quelque soit la charge et n’est
pas affecté lors des changements de référence de vitesse ; mise à part les fluctuations
dues au changement de référence ; toutes les perturbations affectant le système sont
rejetées par les régulateurs et le système possède un temps de réponse satisfaisant.
Il faut remarquer que chaque perturbation engendre une pointe sur les courants
et couple ce qui peut se révéler néfaste pour le moteur s’il est trop sollicité.
Courant Id (A)
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
Courant Iq (A)
10
8
6
4
2
0
Fig. 2.22 : les courants en quadrature.
L'allure de la vitesse est obtenue avec un léger dépassement au démarrage et
lorsqu'on augmente le couple résistant, il y a rejet des perturbations d'une manière
assez lente.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 87
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Vitesse (Rad/s)
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
Couple (Nm)
6
4
2
0
Couple (Nm)
Vitesse (Rad/s)
Fig. 2.23 : Vitesse et Couple avec rejet de perturbation de la charge.
100
0
-100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
10
0
-10
Position (Rd)
100
50
0
Fig. 2.24 : Poursuite de vitesse avec position correspondante.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 88
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
Chapitre II :
• 2.7.2-Contrôle de position :
Pour le contrôle de position nous avons procédé à des essais successifs et les
paramètres de réglages trouvés sont groupés sur le tableau 2.2 suivant :
Paramètres
Régulateur Ωr
Régulateur Iq
Régulateur Id
Gain de position
Valeurs
KP=2.5, KI=25
KP=10, KI=25
KP=10, KI=15
Gp=2.0
Tableau 2.2 : coefficients des régulateurs de position.
Vitesse (Rad/s)
La figure 2.24 donne les réponses du système lors de l’inversion de la vitesse de
+50rd/s à -50rd/s.
10
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
temps (s)
6
7
8
9
10
Couple (Nm)
10
5
0
Position (Rad)
-5
6
4
2
0
Fig. 2.25 : Poursuite de Position avec Vitesse correspondante.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 89
Chapitre II :
Modélisation de la commande et des régulateurs classiques
La figure 2.25 donnent les performances du positionnement pour une consigne
de 5 radians (t=0) ainsi que pour un retour à la position de 0 radians (t=2s) puis
+5radians (t=4s) avec variation de la charge à t=6s puis à t=8s.
Dans ce cas nous avons introduit une boucle externe pour le réglage de position
et nous constatons que les performances de poursuite sont aussi satisfaisantes que pour
la vitesse, ainsi qu’une prise en compte efficace de la perturbation. Le découplage de
la machine est insensible aux variations de la charge ou de la consigne.
Utilisé comme référence, le régulateur classique PI est dimensionné pour un
fonctionnement satisfaisant quelque soit le régime. Pour cela, nous avons accepté pour
le système bouclé un certain dépassement au démarrage et en fonctionnement à vide,
afin de ne pas trop pénaliser en rapidité le moteur en charge ce qui permet d’obtenir
une réponse sans oscillations dans les cas de fonctionnement aux limites.
2.8. Conclusion :
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons étudié la modélisation de la
machine synchrone à aimants permanents associée à un onduleur de tension. Nous
avons d'abord présenté les référentiels et les transformations utilisés dans les systèmes
de commande des machines, puis les différents modèles linéaires et non linéaires de la
MSAP en vue de la commande.
La deuxième partie de ce chapitre à été consacrée à l’étude du principe de la
commande vectorielle et le réglage de vitesse et de position par des régulateurs
classiques, pour améliorer le comportement dynamique et statique de la machine
synchrone à aimants permanents.
Il apparaît de ces résultats que l’application de la commande de vitesse ou de
position présente une même et bonne dynamique de la machine. Dans les deux cas le
moteur atteint rapidement sa référence car le courant de perturbation (id) est annulé
rapidement, et le moteur dispose d’un couple maximum optimale ce qui autorise une
forte accélération.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 90
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
CHAPITRE III
3.1. Introduction :
Le développement de la logique floue constitue une approche qui se fait par des
méthodes avec lesquelles l'homme essaye de copier la nature et de reproduire des
modes de raisonnement et de comportement qui lui sont propres. Cette approche
commence à être utilisée dans les domaines technologiques tels que l'électrotechnique
afin de résoudre les problèmes d'optimisation et de régulation de processus.
Dans certains la machine synchrone et le convertisseur statique associé peuvent
poser des problèmes difficiles à étudier pour la commande classique, nous nous
proposons d'analyser ce que la logique floue peut apporter comme solution à cette
commande.
D’abord nous présenterons la logique floue puis nous expliciterons les manières
les plus simples pour la mettre en œuvre dans notre travail de façon à répondre à
l'objectif fixé ici, c'est-à-dire la commande vectorielle de la machine synchrone, et
d'analyser les avantages et les inconvénients liés à cette méthode.
Ensuite nous terminerons cette analyse par une étude comparative entre le
contrôle par logique floue et celui par régulateur PI vu au chapitre II précédent.
3.2. Logique floue : [AT1], [EHM], [FP2], [HB2], [LB],
La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous développée par le
professeur Lotfi A. Zadeh. Il travaillait à Berkeley depuis 1959 et il a été président de
l’Electrical Engineering Department de 1963 à 1968. Le texte « Fuzzy sets » est paru
en 1965 dans la revue Information and control. Il est considéré comme le début de la
théorie.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 91
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.2.1. Principe et définitions
Il est relativement difficile d’affirmer de manière précise les notions de
température moyenne ou de courant faible. On peut fixer des seuils et ensuite qualifier
par un nom d’emprunt la variable température en fonction de la valeur de celle ci par
rapport à ces seuils. Par exemple, la "température moyenne" telle que représentée sur
la figure 3.1 est située entre les seuils 15°C et 25°C.
On peut définir le degré d'appartenance de la variable température à l'ensemble
"faible" comme le "degré de vérité" de la proposition "la température est faible".
Fig. 3.1 Exemple d'ensembles en logique booléenne
En logique booléenne, le degré d'appartenance (μ) ne peut prendre que la valeur
0 ou 1. La température peut être:
μfaible(T)=1, μmoyenne(T)=0,
μélevée(T)=0
• moyenne : μfaible(T)=0, μmoyenne(T)=1,
μélevée(T)=0
μfaible(T)=0, μmoyenne(T)=0,
μélevée(T)=1
• faible :
• élevée :
En logique floue, le degré d'appartenance (μ) devient une fonction qui peut
prendre une valeur réelle comprise entre 0 et 1 inclus ; par exemple, μmoyenne(T),
exprime que la température considérée est moyenne.
Dans ce cas, par exemple, la température peut être considérée, à la fois, comme
faible avec un degré d'appartenance de 0,2 et comme moyenne avec un degré
d'appartenance de 0,8 (figure 3.2).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 92
Chapitre III:
μfaible (T) =0,2,
Modélisation de la commande par logique floue
μmoyenne(T)=0,8,
μélevée(T)=0.
Fig. 3.2 Exemple d'ensembles en logique floue.
Considérons « x » une variable floue et définissons un ensemble flou « A » sur
un univers de discours « X » par la fonction degré d'appartenance :
µ A : X → [0,1]
x → µA (x)
(3.1)
L'univers de discours X est l'ensemble des valeurs réelles possibles que peut
prendre la variable floue x,
μA(x) est le degré d'appartenance de la variable floue x à l'ensemble flou A
(figure 3.3).
Fig. 3.3 Représentation d'un ensemble flou par sa fonction d'appartenance
Dans l’exemple considéré, la variable floue x est la température variant de 0 à
40 degrés, l'univers de discours est l'ensemble des réels de l'intervalle [0, 40].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 93
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
On attribue à cette variable floue trois sous-ensembles flous : faible, moyen et
élevé. Chaque sous-ensemble flou est caractérisé par sa fonction d'appartenance dont
un exemple est représenté sur la figure3.4:
Fig. 3.4 : Ensemble flou de la variable Température "moyenne".
On peut définir la fonction degré d'appartenance μmoyenne sur tout l'univers de
discours par:
1

1 + e (15− x ) ; x ∈ [0,20]
µ moyenne ( x ) = 
1
1 −
; x ∈ [20,40]
 1 + e ( 25− x )
(3.2).
3.2.2. Opérateurs et normes :
On définit l'intersection ou l'union des ensembles flous ainsi que le
complémentaire d'un ensemble flou, comme dans la théorie des ensembles classiques.
Ces relations sont traduites par les opérateurs "ET", "OU" et "NON" qui nous
permettent d’établir de nouvelles fonctions d'appartenance qui leur sont liées :
L'opérateur "ET" se définit par une norme triangulaire (t-norme) :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
T possède les propriétés suivantes :
• commutativité :
xTy=yTx.
• associativité :
xT(yTz)=(xTy)Tz.
• monotonie :
xTz≤yTz si x≤y.
• admet 0 comme élément absorbant :
0Tx=0,
• et admet 1 comme élément neutre :
1Tx=x.
De même, l'opérateur "OU" est défini par la s-norme : S suivante:
S possède également les propriétés de commutativité, d'associativité et de
monotonie. Elle admet 1 comme élément absorbant et 0 comme élément neutre.
Les opérateurs les plus utilisés en logique floue sont :
• L’opérateur "ET" pour la t-norme, qui correspond à l’intersection de deux ensembles
A et B. Il peut être réalisé par :
• La fonction "Min" :
• La fonction arithmétique "Produit" :
• L’opérateur "OU" pour la s-norme, correspondant à l’union des ensembles A et B,
réalisé par:
• La fonction "Max" :
• La fonction arithmétique "Somme" :
• L’opérateur "NON" est réalisé par :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 95
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.2.3. Inférence
En logique classique, la règle de raisonnement permet, à partir des deux
assertions,
• x est A,
• si x est A alors y est B,
de conclure que y est B.
En logique floue, la règle de raisonnement permet à partir des assertions,
• x est A',
• si x est A alors y est B,
de conclure que y est B'.
L'inférence est l'opération d'assimilation de ces règles.
Ces règles, une fois établies permettent de lier les entrées aux sorties. Selon les
valeurs données en entrée, on applique une règle et on obtient une ou plusieurs valeurs
de sortie. Cela définit le fonctionnement d’un système qui, une fois les données
quantifiées et les règles établies, peut se suffire à lui-même.
Le concept repose sur le principe suivant : plus la condition sur les entrées est
vraie, plus l’action préconisée en sortie doit être respectée [AA2]. C’est-à-dire, plus le
degré d’appartenance de la valeur en entrée est fort à un état, plus celui de la valeur de
sortie est fort aussi à un état.
Autrement dit le degré d'appartenance de chaque élément y de B à l'ensemble
flou B' est égal au plus grand degré d'appartenance des couples (x, y).
Dans le cas de la commande et de la régulation, les variables floues ont
plusieurs ensembles d'appartenance. Ainsi plusieurs règles peuvent être activées en
même temps. Ces règles d'inférences peuvent être décrites de plusieurs façons,
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 96
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.2.3.1. Inférence Linguistique et Symbolique :
On écrit les règles de façon explicite comme dans l'exemple suivant,
SI la température est élevée ET la vitesse est faible
ALORS la tension est grande positive
OU
SI la température est moyenne ET la vitesse est faible
ALORS la tension est positive
On peut aussi utiliser une description linguistique où l'on remplace la
désignation des ensembles flous par des abréviations.
3.2.3.2. Matrice d'inférence :
Elle rassemble toutes les règles d'inférences sous forme de tableau. Dans lequel
la désignation des ensembles flous est remplacée par des symboles. Dans le cas d'un
tableau à deux dimensions, les entrées du tableau représentent les ensembles flous des
variables d'entrées (température : T et vitesse : V). L'intersection d'une colonne et d'une
ligne donne l'ensemble flou de la variable de sortie définie par la règle. Il y a autant de
cases que de règles (tableau 3.1).
exemple
U
V
T
F
M
E
F
Z
P
GP
E
Z
Z
P
Tableau 3 1 : Matrice d’inférence à deux dimensions.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 97
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Les règles de ce tableau sont sous forme symbolique:
SI (T est F ET V est F) ALORS U est Z
OU
SI (T est M ET V est F) ALORS U est P
OU
SI (T est E ET V est F) ALORS U est GP
OU
SI (T est F ET V est E) ALORS U est Z
OU
SI (T est M ET V est E) ALORS U est Z
OU
SI (T est E ET V est E) ALORS U est P.
Les règles qui sont activées à un instant donné sont représentées ci après :
SI (T est M ET V est F) ALORS U est P
OU
SI (T est E ET V est F) ALORS U est GP
Dans certains cas les cases du tableau ne sont pas toutes remplies, on dit alors
que les règles d'inférences sont incomplètes. Cela signifie que la sortie existe, mais le
degré d'appartenance est nul pour la règle d’inférence en question.
Il s'agit maintenant de définir les degrés d'appartenance de la variable de sortie à
ses sous ensembles flous. Plusieurs méthodes d'inférence sont proposées.
Ces méthodes se différencient essentiellement par la manière de réaliser les
opérateurs "ET" et "OU" utilisés dans les règles d'inférence.
Nous présentons les trois méthodes d'inférence les plus usuelles ; Max-Min,
Max-Produit et Somme-Produit :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 98
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.2.4. Méthode d'inférence Max-Min : [HB2] [AA] [LB].
Cette méthode réalise l'opérateur "ET" par la fonction "Min", la conclusion
"ALORS" de chaque règle par la fonction "Min" et la liaison entre toutes les règles
(opérateur "OU") par la fonction Max.
La dénomination de cette méthode, dite Max-Min ou "implication de
Mamdani", est due à la façon de réaliser les opérateurs ALORS et OU de l'inférence.
Dans l'exemple du tableau 3.1 deux règles seulement sont activées :
Par exemple la variable T est Elevée avec un degré d'appartenance de 0,8
et Moyenne avec un degré d'appartenance de 0,2.
Et la vitesse V est faible avec un degré d'appartenance de 1.
L'application de la première règle d'inférence donne un degré d'appartenance à
la condition de 0,8 (minimum dû à l'opérateur ET entre les deux degrés
d'appartenance). On obtient ainsi une "fonction d'appartenance partielle" dessinée en
gris qui est écrêtée à 0,8.
Figure 3.5 Exemple d'inférence Max-Min
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
De manière similaire, la seconde règle donne lieu à une fonction d'appartenance
écrêtée à 0,2.
La fonction d'appartenance résultante correspond au maximum des deux
fonctions d'appartenance partielles puisque les règles sont liées par l'opérateur OU.
3.2.5. Méthode d'inférence Max-Produit :
La différence par rapport à la méthode précédente réside dans la manière de
réaliser la conclusion "ALORS". Dans ce cas, on utilise le produit comme illustré par
la figure 3.6.
On remarque que les fonctions d'appartenances partielles ici ont la même forme
que la fonction d'appartenance dont elles sont issues multipliées par un facteur
d'échelle vertical qui correspond au degré d'appartenance obtenu à travers l'opérateur
"ET".
Figure 3.6 Exemple d'inférence Max-Produit
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
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Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.2.6. Méthode d'inférence Somme-Produit :
Dans ce cas, l'opérateur "ET" est réalisé par le produit, de même que le résultat
"ALORS".
Cependant, l'opérateur "OU" est réalisé par la valeur moyenne des degrés
d'appartenance intervenant dans l'inférence.
D'autres méthodes ont été élaborées, ayant chacune une variante spécifique.
Néanmoins, la méthode Max-Min est de loin la plus utilisée à cause de sa simplicité.
3.3. Structure d'un régulateur flou
3.3.1. Introduction
La réalisation d'un régulateur flou pose un problème lié aux différentes
manières de réaliser les opérateurs flous et l'implication. Nous allons présenter les
principales différences et ensuite expliquer, notre choix pour les étapes de
modélisation et de simulation..
Dans notre cas, la vitesse de référence peut être proposée par un opérateur
externe. La grandeur de sortie de ce régulateur de vitesse est l'image du couple
électromagnétique de référence que génère l'ensemble commande-convertisseurmachine. Pour un flux constant, ce couple est proportionnel au courant Iq imposé en
entrée à la boucle de régulation de courant.
Le schéma de base du régulateur repose sur la structure d'un régulateur
classique ; à la différence que cette dernière donne en sortie, non pas le couple ou le
courant à appliquer mais plutôt l'incrément de cette grandeur (fonctionnement
incrémentale).
Figure 3.7 Schéma d'un contrôleur flou de vitesse.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 101
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Dans ce qui suit, nous notons :
E : l'erreur, est définie par :
E(kT)= Ωref(kT)−Ω(kT)
(3.3)
dE : la variation de l'erreur, définie telle que :
dE(kT)= E(kT)−E((k-1)T).
(3.4)
T étant la période d'échantillonnage
La sortie du régulateur est donnée par :
Iqs*(kT)=Iqs*((k-1)T)+dU(kT)
(3.5)
On retrouve en entrée et en sortie du contrôleur flou des gains appelés "facteurs
d'échelle" qui permettent de changer la sensibilité du régulateur flou sans en changer la
structure. Les grandeurs indicées "n" sont donc normalisées à l'entrée et à la sortie du
contrôleur flou.
Les règles d'inférences permettent de déterminer le comportement du contrôleur
flou. Il doit donc inclure des étapes intermédiaires qui lui permettent de passer des
grandeurs réelles vers les grandeurs floues et inversement; ce sont les étapes de
Fuzzification (F) et de défuzzification (F-1) sur la figure 3.8.
Figure 3.8 Structure du régulateur flou
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 102
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.3.2. Fuzzification :
L'étape de fuzzification permet de fournir les degrés d'appartenance de la
variable floue à ses ensembles flous en fonction de la valeur réelle de la variable
d'entrée.
En premier lieu on définit les ensembles flous des variables d'entrée et leurs
fonctions d'appartenance (figure 3.9).
Figure 3.9 Fuzzification de l'erreur
Une subdivision très fine de l'univers de discours sur plus de sept ensembles
flous n'apporte en général aucune amélioration du comportement dynamique du
système à réguler [HB2]. Par contre, on peut obtenir des comportements non linéaires
assez différents en fonction de la manière dont les fonctions d'appartenance des
ensembles flous sont disposées sur l'univers de discours.
Nous avons opté pour des fonctions triangulaires et trapézoïdales pour les
variables d'entrées avec un nombre de subdivision au plus égal à sept.
Le passage d'une fonction d'appartenance à sa voisine doit s'effectuer en
douceur de manière à avoir au moins deux règles d'inférences sollicitées en même
temps. Le recouvrement de deux fonctions d'appartenance voisines est tel que leur
croisement s'effectue à μ=0,5.
Un recouvrement insuffisant conduit à une zone sans sollicitation de règle
d'inférence. De même, un recouvrement trop important (degré d'appartenance aux
environ de l'unité) conduit à un aplatissement de la caractéristique du régulateur [HB2]
[LB].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 103
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
On doit connaître les ensembles flous de la variable de sortie Lors de l'inférence
et de la défuzzification ; il est donc indispensable de pouvoir fuzzifier cette variable
ainsi que les fonctions d'appartenance.
3.3.3. Inférence
L'inférence se fait donc sur la base des matrices. On commence par utiliser un
opérateur t-norme pour définir la description symbolique associée à la prémisse de la
règle ; C'est à dire réaliser le "ET". L'inférence proprement dite consiste à caractériser
la variable floue de sortie pour chaque règle. C'est l'étape de la conclusion "ALORS".
Dans la dernière étape de l'inférence, appelée agrégation des règles, on
synthétise ces résultats intermédiaires ; on utilise alors une s-norme.
La construction d'une table d'inférence repose sur une analyse qualitative du
processus. Dans notre cas c'est une analyse dans le plan de phase de la trajectoire que
l'on souhaite donner au système.
Une action dans un sens ou dans l'autre de la commande provoque le
déplacement dans une direction indiquée par les flèches (figure 3.10). En pointillés
sont indiquées les directions que l'on ne souhaite pas donner au système car il serait
alors divergent.
Si l'on attribue trois ensembles flous, Négatif, Zéro et Positif, à chacune des
variables floues, on peut écrire pour chaque quadrant le comportement à adopter.
Figure 3.10 Trajectoire dans le plan de phase.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 104
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Par exemple :
Quadrant 1 :
SI En est P ET dEn est P ALORS dUn est P
Quadrant 2 :
SI En est N ET dEn est P ALORS dUn est Z
On peut donner un comportement différent dans ce quadrant, en sollicitant la
commande à freiner l'annulation de l'erreur; on peut choisir la règle suivante:
SI En est N ET dEn est P ALORS dUn est N
Avec trois ensembles flous et deux entrées, la matrice d'inférence est la
suivante:
dEn
dUn
En
N
Z
P
N
N
N
Z
Z
N
Z
P
P
Z
P
P
Tableau 3.2 : Matrice d’inférence à trois ensembles flous.
Dans le cas de cinq ensembles flous NG (Négatif Grand), N, Z, P et PG (positif
Grand), le choix des règles devient plus vaste et son optimisation dépend du système à
réguler ; un choix possible est le suivant :
dEn
dUn
NG N
Z
NG NG NG N
En
P PG
N
Z
N NG N
N
Z
P
Z
N
N
Z
P
P
P
N
Z
P
P PG
PG Z
P
P PG PG
Tableau 3.3 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix I.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 105
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Ou bien,
dEn
dUn
NG NG Z
P PG
NG NG NG NG NG Z
En
N NG N
N
Z
P
Z
N
N
Z
P
P
P
N
Z
P
P PG
PG Z PG PG PG PG
Tableau 3.4 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix II.
Celle qui suit ne possède que huit règles qui donnent un incrément de
commande non nul (différent de l'ensemble flou Z). Elle convient à la régulation de
processus du type 1er ordre [LB].
dEn
dUn
NG N
NG Z
En
Z
P PG
Z NG Z
Z
N
Z
Z
N
Z
Z
Z
N
N
Z
P
P
P
Z
Z
P
Z
Z
Z PG Z
Z
PG Z
Tableau 3.5 : Matrice d’inférence à cinq ensembles flous- choix III.
Si de plus, on retient seulement les règles donnant un ensemble flou différent de
Z, le processus d'inférence est sensiblement allégé. C'est le cas de la table d'inférence
incomplète.
La manière de réaliser les opérateurs va donner lieu à des contrôleurs flous
différents. Les régulateurs les plus courants sont:
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Page 106
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
• De MAMDANI :
Ces contrôleurs sont dits symboliques car la prémisse et la conclusion sont
symboliques [EHM]. Après l'inférence, il faut passer par une étape de
"defuzzification" afin d'obtenir la valeur réelle de la commande à appliquer.
• De SUGENO :
Ces contrôleurs opèrent par procédure (type procédural) [HB2]. En effet, seule
la prémisse est symbolique. La conclusion, qui correspond à la commande, est
directement une constante réelle ou une expression polynomiale.
L'établissement des règles d'inférence est généralement basé sur un des points
suivants [HB2] [LB]:
1.
L'expérience de l'opérateur et/ou du savoir-faire de l'ingénieur en régulation et
contrôle qui possède de l'expérience sur le comportement du système.
2.
Un modèle flou du processus pour lequel on souhaite synthétiser le régulateur.
3.
Les actions de l'opérateur ; s'il n'arrive pas à exprimer linguistiquement les
règles qu'il utilise implicitement.
4.
L'apprentissage; c'est à dire que la synthèse de règle se fait par un procédé
automatique appelé également superviseur.
3.3.4. Défuzzification : [HB2], [FP2].
Cette étape exécute le retour aux grandeurs de sortie réelles. A partir des degrés
d'appartenance à tous les ensembles flous de la variable de sortie on calcule l'abscisse
qui correspond à la valeur de cette sortie.
Différentes méthodes sont utilisées:
• Méthode du centre de gravité :
C'est la méthode de défuzzification la plus courante. L'abscisse du centre de
gravité de la fonction d'appartenance résultant de l'inférence μR correspond à la valeur
de sortie du régulateur.
Elle consiste à tracer, sur un même diagramme, les différentes zones
trapézoïdales correspondant à chacune des règles, et à calculer le centre de gravité de
la zone consolidée.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 107
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
La méthode de défuzzification la plus mentionnée dans la littérature est celle de
la détermination de l'abscisse dUn du centre de gravité de la fonction d'appartenance
résultante μR(x). Cette abscisse de centre de gravité peut être déterminée à l'aide de la
relation générale suivante : [LB] [AA2]:
x1
dU n
∫ xµ ( x )dx
=
∫ µ ( x )dx
x0
R
x1
x0
(3.6).
R
L’intégrale au dénominateur donne la surface, tandis que l’intégrale au
numérateur correspond au moment de la surface. Ces deux intégrales sont calculées
sur l’univers de discours ([x0 x1] de la variable de sortie.
On remarque que si la fonction d'appartenance résultante est compliquée, alors
le processus de défuzzification peut durer longtemps.
• Méthode des hauteurs pondérées :
C’est toujours la méthode du centre de gravité mais lorsque les fonctions
d'appartenance ne se recouvrent pas.
Elle est surtout utilisée lorsque les fonctions d'appartenance de la variable de sortie
sont des singletons (éléments isolés).
Figure 3.11 Défuzzification par la méthode des hauteurs pondérées.
Dans ce cas, le calcul du centre de gravité ce trouve grandement simplifié. Le
régulateur n'est plus de type MAMDANI mais de type SUGENO de part la façon dont
la sortie est calculée.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 108
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
• Méthode par valeur maximum :
Cette méthode est beaucoup plus simple. La valeur de sortie c’est l'abscisse de
la valeur maximale de la fonction d'appartenance.
Figure 3.12 Défuzzification par valeur maximum
3.4. Définition De La Loi De Commande Floue [AT], [HB2], [FP] :
La loi est fonction de la variable d’entrée et de la variation de son erreur telle
que : ( u = f (e, de ) ) ; par conséquent l’ensemble des règles associées activent la
variation de la sortie de commande " du" .
3.4.1. Structure du contrôleur flou adopté :
Dans cette partie nous allons développer le réglage du contrôleur flou
proprement dit. Nous détaillerons la méthode de réglage et le positionnement des
fonctions d'appartenance.
A partir des entrées e et de Le contrôleur va déterminer la commande à
appliquer au processus de la figure 3.13 ;
Avec :
e(kT)=ΩRef(kT)-Ω(kT)
de(kT)=e(kT)-e((k-1)T),
Sachant que « e » représente l'erreur entre la consigne et la sortie du
processus et « de » représente sa variation par l’incrémentation de « k » entre deux
périodes d'échantillonnage « T ».
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 109
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
A partir de ces deux entrées non floues, parfaitement connues, le contrôleur
évalue la sortie à appliquer au processus à l'aide des règles linguistiques [GM].
Figure 3.13 : Boucle de contrôle à logique floue.
3.4.2. Paramètres du Contrôleur Flou :
Nous avons synthétisé le régulateur Flou du type MANDANI pour le réglage de
vitesse. La forme générale de la loi de commande est donnée par :
u k − u k −1 = G d u d u k
Où :
(3.7)
Gdu : Gain associe à la commande uk.
duk : Variation de la commande.
L’erreur « e » et la variation de l’erreur « de » sont normalisées comme suit :
X e = G e .e
X de = G de .d e
(3.8).
Où, G e et G d e Représentent les facteurs d’échelle (ou Gain de normalisation),
nous ajustons ces facteurs de façon à trouver un réglage convenable.
Le signal de sortie est déterminé en fonction des signaux d'entrée par
l'intermédiaire des règles d’inférence illustrées dans le tableau 3.3.
Mais nous avons sensiblement allégé le processus d'inférence afin de retenir
seulement les règles donnant une variation de l’erreur "de" sensiblement réduite ; le
tableau-3.6 est donné ci dessous:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 110
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
du
de
e
NG N Z
N NG NM N
Z NM N
P N Z
P
Z
PG
P
Z P PM
P PM PG
Tab. 3.6 Matrice des règles d’inférences.
Les classes sont notées comme suit:
NG : négatif grand,
NM : négatif moyen,
N : négatif petit,
Z : zéro,
P : positif petit,
PM : positif moyen,
PG : positif grand.
On remarque que les paramètres du contrôleur flou sont nombreux et qu'il est
difficile de mettre en évidence le réglage. Pour notre application, nous avons choisi de
façon arbitraire la forme des fonctions d'appartenances et leur nombre. L'univers de
discours de chacune des variables d'entrée sera donné par la variation maximale
possible pour le système. On utilisera les fonctions d'appartenances avec croisement
des fonctions à 0.5.
Ces fonctions d’appartenances sont du type triangulaire, et trapézoïdal sur les
extrémités. L’intervalle d’intérêt des variables d’entrées est subdivisé en cinq classes
pour l’erreur « e » et en trois classes pour sa dérivée « de », alors que celui de la
variable de sortie « du » est subdivisé en sept classes.
Une représentation est donnée sur la figure 3.14a-b-c. Ce choix a été guidé par
plusieurs études sur le réglage et la forme de celles-ci [HB2], [LB], [AT], [FP2],
[GM].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 111
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Fig 3.14a : Fonction d’appartenance de la variation « de » à trois classes.
Fig 3.14b : Fonction d’appartenance de l’erreur « e » à cinq classes.
Fig. 3.14c : Fonction d’appartenance de « du » à sept classes.
Les valeurs des gains facteurs d’échelles sont:
G e = 9.5 ;
G de = 0.83 .
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 112
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Les paramètres des régulateurs PI associés sont les suivants:
Reg_Iq
Reg_Id
P
5
30
I
2
10
sat
3e+3
3e+3
Tableau 3.7 : Paramètres des régulateurs PI.
Le régulateur flou à deux entrées est représenté par sa surface caractéristique (figure
3.15). Celle ci exprime les variations de la valeur réelle de la sortie du régulateur en fonction
des entrées quand ces dernières parcourent l'univers de discours.
Fig 3.15 Surface caractéristique du contrôleur flou de vitesse.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 113
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
3.5. Résultats de simulation :
Dans cette partie nous allons présenter les résultats de simulation que nous
avons obtenus avec MATLAB/Simulink. Nous effectuerons une comparaison entre
l'approche par contrôleur flou et la technique plus classique de régulateurs PI.
Les conditions de simulation, ainsi que la valeur des différents éléments
constituant le model de simulation sont ceux de la figure 3.16 et de la figure 2.20
(chap.II).
Figure 3.16 : modèle de simulation avec CF de vitesse intégré.
3.5.1 Contrôle de vitesse :
Pour procéder à la comparaison des résultats nous avons observés les deux
réponses du système des simulations, relevés aux instants des actions identiques de
manière à ce que l’on puisse faire un agrandissement ; les résultats de la comparaison
entre les régulateurs PI (bleu) et CF(vert) sont représentés sur les figures ci dessous.
Les figures 3.17, 3.18 et 3.19 nous montrent l’allure des courants, vitesse, et
couple sur un démarrage avec une charge de 1.7Nm, puis sur des changements des
références de la vitesse ou du couple résistant pour les deux types de régulateurs PI et
CF.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 114
Courant Ic (A)
Courant Ib (A)
Courant Ia (A)
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
5
0
-5
5
0
-5
Figure 3.17 : Les trois phases statoriques
Courant Id (A)
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
Courant Iq (A)
10
8
6
4
2
0
Figure 3.18 : Allures des courants en quadrature Id puis Iq.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 115
Vitesse (Rad/s)
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
Couple (Nm)
6
4
2
0
Figure 3.19a : Réponses Vitesses et couples électromagnétiques
55
54
53
Vitesse (Rad/s)
52
51
50
49
48
47
46
45
1.5
2.5
2
3
temps (s)
Figure 3.19b : Ecart lors de la variation de la charge.
Les résultats du système muni d’un régulateur flou présentés ici peuvent être
interprétés de la même manière qu’au chapitre II.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 116
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Ces résultats indiquent qu'avec le contrôleur CF nous obtenons une allure plus
stable que celle avec le régulateur classique PI.
Nous avons présenté une étude comparative des deux contrôleurs de vitesses
que nous avons testés et nous ne devrons pas faire des conclusions trop rapides pour ce
qui est de la préférence de l’un par rapport à l’autre ; les réponses et les détails
présentés font leur propre commentaire.
Ce n'est pas parce qu'une méthode est nouvelle qu'elle est forcément meilleure
ou plus efficace. Nous les comparons donc de manière objective et nous mettons en
évidence les améliorations apportées par ces techniques.
3.5.2 Contrôle de position :
Courant Iq (A)
Courant Id (A)
Il est clair que l’amélioration principal apportée par le CF est le fait de pouvoir
numériser la commande par calculateur, c’est donc à priori un contrôleur évolutif que
nous pouvons adapter à la demande à tout sorte de processus.
5
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
temps (s)
6
7
8
9
10
10
5
0
-5
Courant Ce (Nm)
0
6
4
2
0
-2
Figure 3.20 : Réponses des courants et couple.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 117
Chapitre III:
Modélisation de la commande par logique floue
Vitesse (Rad/s)
10
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
temps (s)
6
7
8
9
10
Position (Rad)
6
4
2
0
Figure 3.21 : Réponses de position et vitesse.
3.6. Conclusion :
Dans cette étude nous avons présenté les bases nécessaires de la logique floue.
Le vocabulaire utilisé est vaste. Nous l’avons utilisé de cette manière afin de
permettre une compréhension claire de la commande par les régulateurs flous.
Ce que nous devons retenir c’est que l'obtention d'un contrôle flou performant
nécessite une bonne formulation des règles qui sont :
1.
La définition des formes des fonctions d'appartenance, d'où le choix de
formes triangulaires à cause de la simplicité de mise en œuvre.
2.
Le choix des fonctions pour réaliser les opérateurs et le mécanisme
d'inférence (opérateurs ET, OU pour les règles : ALORS)
3.
Le choix de la méthode de défuzzification.
D'un autre point de vue pratique, on peut résumer dans les points suivants les
éléments qui ont une importance particulière, sur le comportement global du régulateur
flou lors de sa synthèse: [LB2]:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 118
Chapitre III:
1.
discours.
2.
Modélisation de la commande par logique floue
Le nombre et la répartition des fonctions d'appartenance sur l'univers de
La table des règles.
Ces considérations pratiques ont guidé le choix développé dans ce chapitre.
Nous avons voulu contribuer à la réflexion sur la commande et le contrôle
vectoriel d’un moteur synchrone à aimant permanent par deux types de régulateurs
différents ; le régulateur PI classique puis le régulateur a logique floue ; nous avons
mis en évidence le comportement de la régulation de vitesse dans ces deux types de
commandes sans modifier la structure globale du système.
Les résultats obtenus matérialisés par les courbes de variation de la vitesse, du
couple et des courants, montrent le comportement du MSAP pour chacun des types de
régulateurs étudiés.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 119
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
CHAPITRE IV
4.1. Introduction:
La recherche de la simplicité de conception et de la robustesse devient l’un des
critères les plus importants dans de nombreuses applications.
La commande de la MSAP exige généralement des capteurs de position tels que
les encodeurs ou les résolveurs pour une connaissance exacte de la position de rotor.
La commande vectorielle des MSAP nécessite une information précise sur la
position du rotor. Cette information qui assure l'autopilotage de la machine provient
habituellement d'un capteur mécanique (de position ou de vitesse) placé en bout
d’arbre de la machine.
Les inconvénients liés à l'utilisation de ce capteur mécanique sont multiples. Il
faut noter qu’il est l’élément sensible de la chaîne de mesure, il augmente
l’encombrement et le coût global du système. De plus il est particulièrement difficile
de placer ce capteur en bout d’arbre du rotor d’une machine de petite taille en raison
de l'encombrement, des difficultés d'adaptation et du montage sur tous les types
d'entraînement; cette opération diminue la fiabilité du système.
Tenant compte des contraintes que présente le fonctionnement de la machine
avec capteur mécanique, l'idée de l’élimination du capteur a fait l’objet de plusieurs
publications, ainsi que plusieurs études sur l'estimation de la position du rotor ont été
développées.
Actuellement, la commande vectorielle sans capteurs mécaniques est de plus en
plus utilisée pour des raisons technico-économiques.
A cette fin, La recherche d’un modèle d’estimation ou d’observation, nécessite
une réflexion pour le choix d’un repère d’état et d’une méthode de discrétisation de
l’équation d’état pour utiliser ces estimateurs ou ces observateurs en boucle fermée.
Généralement, l'observateur d'état basé dans le référentiel rotorique est le plus
employé pour estimer l'état électrique et mécanique des moteurs électriques [VM].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 120
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Cependant, si on ne considère pas que la vitesse du rotor soit constante, les
modèles électriques présentent des non linéarités à cause des produits croisés des
termes contenant la vitesse et les courants dans le modèle du moteur. Les gains de
l'observateur doivent être optimisés, mais il est difficile de déterminer leurs valeurs
appropriées pour toutes les conditions de fonctionnement de l'observateur.
Nous proposons une approche comparative de commande sans capteurs de la
MSAP utilisant l’observateur de Gopinath ou de Luenberger.
Nous proposons une méthode simple pour la commande vectorielle sans capteur
du moteur synchrone à aimant permanent.
Nous allons d’abord présenter une modélisation de la MSAP en vue de la
commande vectorielle sans capteur mécanique. Ensuite, nous réduisons l'ordre du
modèle obtenu en faisant certaines hypothèses habituelles. Ce modèle d'ordre réduit
nous permettra d'analyser facilement le comportement dynamique et statique de la
commande sans capteur de notre choix.
Nous allons présenter une méthode qui améliore les performances de la
commande sans capteur ; nous citerons les avantages et inconvénients. Ensuite, nous
étudions la régulation de vitesse sans capteur mécanique et son influence sur le Moteur
Synchrone à Aimants Permanent. Les résultats de simulations seront présentés pour
confirmer la validité des modèles utilisés et de l'analyse effectuée.
4.2. Estimation De Position Et De Vitesse : [NM1] [VC] [DH] [ZZ].
Pour La commande sans capteur de position on doit résoudre deux problèmes
majeurs :
Le premier concerne la localisation de la position angulaire initiale du rotor.
Elle est nécessaire à la fois pour démarrer le moteur avec le couple maximum et pour
éviter une rotation du moteur dans le sens inverse.
Le second problème consiste à assurer l'autopilotage malgré les variations
paramétriques et les différentes perturbations agissant sur le moteur. Cette structure
doit être robuste et doit résister aux variations paramétriques et aux différentes
perturbations.
Vu la diversité des nouvelles méthodes d'estimation de position et de vitesse, il
n'est pas évident de trouver la meilleure façon de classer ces techniques de commande
sans capteur mécanique. Plusieurs techniques ont été publiées et les nouvelles
méthodes sont aussi nombreuses ; sur cette base nous pouvons citer quelques
techniques dans les paragraphes suivants :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 121
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
4.2.1. Calcul Du Flux En Utilisant La Tension Et Les Courants : [WUR] [TS].
Pour estimer la position du rotor on doit connaitre Sa position initiale, les
paramètres de la machine et de la relation liant le flux principal à la position du rotor.
La vitesse est estimée en déterminant le taux de variation du flux principal.
La méthode basée sur le calcul du flux principal permet de ne pas considérer les
tensions simples mais plutôt les tensions composées sans neutre; c’est le principal
avantage que présente cette méthode. D'autres techniques appliquées à la régulation de
vitesse, utilisent les méthodes de calcul du flux avec des stratégies de commande
perfectionnée telles que les observateurs d'état, la commande adaptive, etc.
4.2.2. Comparaison entre Valeurs Prédictives Et Valeurs Réelles :
Les tensions et les courants sont mesurés et projetés dans le référentiel d-q lié
au rotor puis comparés à leurs valeurs estimées obtenues par reconstruction dans un
référentiel identique. Les différences obtenues informent sur la variation de la position
du rotor qui s'est produite depuis la position précédente [HW].
C’est N. MATSUI [NMA] qui a fondée la théorie de cette méthode, il a utilisé
le modèle de la machine représentée dans un référentiel d-q lié au rotor.
4.2.3. Techniques utilisant la f.e.m aux bornes de la machine[TS] [WUR].
Dans la machine synchrone à flux orienté, la f.e.m et le courant dans une phase
sont alignés. Les instants de commutation du convertisseur peuvent être obtenus en
détectant le passage par zéro de la f.e.m et de l'angle de la commande lorsque le
courant est nul. On produit les signaux de commande du convertisseur au moment du
passage de la f.e.m par zéro.
Cette méthode n'est praticable que pour des vitesses limitées entre 1000 et 6000tr/min
environ puisque la f.e.m est nulle à l'arrêt, et que à très haute vitesse, le procédé
d'orientation du flux est perturbé d'où l’existence de cette limitation de vitesse.
4.2.4. Utilisation des observateurs :
La théorie des observateurs a été développée initialement par D. Luenberger
aux années 1964 [DL].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 122
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Il existe plusieurs modèles d’observation ; ils dépendent de la façon dont est
alimentée la machine, du choix du vecteur d’état et surtout du référentiel dans lequel
on se situe.
Dans la plupart des cas on utilise le principe de commande des systèmes par
retour d'état (commande optimale, découplage, placement de pôles,...). Les seules
grandeurs accessibles du système sont en générale les grandeurs électriques d'entrée et
de sortie, il est alors possible, à partir de ces informations, de reconstruire l'état du
système pour élaborer le modèle de la commande (figure-4.1).
Fig. 4.1 : commande avec observateur.
Un observateur standard produit à sa sortie le vecteur d'état du système ; ce
vecteur d'état est généralement constitué de la position, de la vitesse du rotor, des
courants et du couple électromagnétique. L’équation d'état étant non linéaire,
l'observateur résultant est donc non linéaire aussi.
Généralement on parle de reconstructeur d'état ou d’estimateur ; dans le cas où
le modèle est déterministe, le reconstructeur d'état sera un observateur. Dans le cas de
systèmes est bruités, c'est-à-dire comportant des phénomènes aléatoires indésirables,
ce sera le filtre de Kalman.
Le filtre de Kalman appartient aussi à cette famille de reconstructeurs
d’états ; il est Généralement utilisé comme un estimateur de flux, de la vitesse ou des
paramètres rotoriques utiles à la synthèse de la commande vectorielle.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 123
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
4.3. Principe de l’estimateur : [AA2], [C2], [ST], [NM1], [DL].
La f.é.m. est la seule grandeur électrique capable de fournir des informations
instantanées sur les grandeurs mécaniques. C'est la raison pour laquelle la commande
vectorielle sans capteur mécanique des MSAP repose sur l'estimation du vecteur fém.
pour en déduire les grandeurs mécaniques.
Le vecteur de la f.é.m. peut être estimé de deux manières [NM1]:
-
Estimation des composantes de la f.é.m. dans un repère fixé au stator
Ou estimation des composantes liées à un repère tournant.
Les méthodes de la première catégorie sont généralement basées sur
l'estimation des composantes (α-β) de la f.é.m. Ensuite, on peut déduire la position et
la vitesse angulaire du rotor à partir de l'argument et du module des cordonnées
polaires du vecteur de la f.é.m. estimé.
Dans la deuxième catégorie, on estime les composantes de la f.é.m. dans un
repère arbitraire supplémentaire tournant (γ-δ) (voire figure 4.2). Si celui-ci coïncide
avec le repère (d-q) lié au rotor, la composante directe de la f.é.m. dans le repère
arbitraire (γ-δ) devient nulle. La position et la vitesse du rotor se déduisent alors
directement de la position et de la vitesse du repère arbitraire. C’est donc un avantage
pour les méthodes de cette deuxième catégorie.
Fig. 4.2 : Repères (d-q) et (γ-δ) et Composantes (γ-δ) de la f.e.m.
Chaque grandeur x peut être représentée par ses composantes dans chacun des
repères. Les relations entre ces différentes représentations sont :
x
x
x
x d 
x δ 
x δ 
−1  α 
−1  α 
−1  d 
 x  = ρ θ  x ;  x  = ρ υ  x ;  x  = ρ ϕ  x 
 β  γ
 β  γ
 q
 q
(4.1)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 124
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
où ρ θ désigne la matrice de rotation qui permet le passage par exemple du
repère (α-β) lié au stator vers (d-q) lié au rotor dans la transformation de Park ; elle est
définie par :
cos − sin 
ρθ = 

 sin cos 
(4.2).
A partir des équations d'état de la machine, on peut aboutir à plusieurs manières
permettant d'estimer la vitesse.
Dans le système d'axes (α-β) lié au stator du MSAP ; dans le cas d'une
orientation du flux statorique, On utilise les courants mesurés et les tensions
d'alimentation de la machine et on exprime les équations des tensions statoriques :
Vα = R s i α + ϕ α
Vβ = R s i β + ϕ β
(4.3).
Puis on reconstitue les flux par :
ϕˆ α = ∫ (Vα − R s i α )dt
ϕˆ β = ∫ (Vβ − R s i φ )dt
(4.4).
Le module du flux et sa phase sont obtenus comme suit :
2
ϕˆ s = ϕˆ α + ϕˆ β
 ϕˆ
θˆ = arctg β
 ϕˆ
 α
2




(4.5).
Des que les deux composantes de flux sont obtenues, le couple
électromagnétique peut être estimé d'après sa formule rappelée ci-dessous :
Ĉ e =
3
p(ϕˆ α i β − ϕˆ βi α )
2
(4.6)
L'estimation du flux statorique et du couple électromagnétique nécessite
d’abord la connaissance des composantes du courant et de la tension statoriques. En
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 125
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
générale cette méthode est retenue surtout dans le cas d’une commande non linéaire
appliquée au MSAP et en particulier la commande directe du couple (DTC) [AA2].
4.4. Etude Générale des Observateurs :
4.4.1. Principe : [DH] [HYC] [FR].[ZZ]
On peut éviter Le problème posé par un estimateur utilisé en boucle ouverte
afin de reconstituer l'état du système. Un observateur n'est qu'un estimateur en boucle
fermée qui introduit une matrice de gain pour corriger l'erreur sur l'estimation.
Autrement dit si le système à observer est déterministe alors le reconstructeur
d'état est appelé observateur. Nous signalons par ailleurs que lorsque le système est
stochastique, cet estimateur est un filtre de Kalman.
Le plus connu des observateurs et le plus simple est celui de Luenberger.
L’objectif principal d’un observateur est de reconstruire les grandeurs qu’on ne peut
pas mesurer ou qu’on ne désire pas mesurer par une méthode directe.
A partir de l’état du système continu déterministe décrit par un système
d’équations d’état on reconstruit ces grandeurs.
Soit un système continu décrit par l’équation d’état déterministe (non bruitée) :
x = A.x + B.u
y = C.x + D.u
(4.7).
Où u, y et x sont des vecteurs de dimension respectif m, l et n et représentent
respectivement la commande, la sortie (mesurée) et l’état du système.
A, B, C et D sont des matrices constantes de dimensions convenables.
L’état du système n’étant pas accessible, l’objectif d’un observateur consiste à
estimer cet état par une variable notée x̂ en vue de réaliser une commande par retour
d’état.
Cette estimation est réalisée par un système dynamique dont la sortie sera
précisément x̂ et l’entrée sera constituée de l’ensemble des informations disponibles,
c’est-à-dire u et y. La structure de l’observateur sera de la forme :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 126
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
x̂ = A.x̂ + B.u + K ( y − ŷ)
ŷ = C.x̂ + D.u
(4.8).
Où le terme de correction est fonction de l’erreur de reconstruction de la sortie,
ε = y − ŷ et du gain de correction K, appelé aussi gain de l’observateur qu’il faut
déterminer.
Cette structure peut être écrite sous la forme :
x̂ = (A − KC).x̂ + (B − KD).u + Ky
(4.9).
Si on considère l’erreur d’estimation : ~x = x − x̂ ,
On obtient :
~
x = (A − KC).~
x
(4.10).
Pour que l’observateur soit utilisable il est nécessaire que cette erreur s’annule
dans le temps. Lorsque cette propriété est satisfaite l’observateur est dit asymptotique,
mais il est évident que c’est une propriété nécessaire au fonctionnement correct d’un
observateur. En conséquence il faudra choisir K telle que les valeurs propres de la
matrice A−KC soient toutes à partie réelle strictement négative.
4.4.2. Observabilité :
L'observabilité permet de montrer si la connaissance des seules sorties
électriques mesurables permet de reconstruire l'état complet du système.
Un système est alors localement observable au voisinage de x0єRn si le rang de
la matrice Φo d'observabilité en x0 soit plein ; c'est-à-dire il existe une matrice Φo telle
que rangΦo(xo)=n. [NM1].
Pour le système (4.9), nous énonçons le théorème d'observation suivant:
Théorème [FR] : Les valeurs propres de (A−KC) peuvent être fixées
arbitrairement si et seulement si la paire (A, C) est observable, c’est à dire :
 C 


  CA  
rang  CA 2   = n


  
  n −1  
 CA  
(n étant la dimension de l’état du système)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
(4.11).
Page 127
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Le choix des valeurs propres peut se faire librement, cependant on ne peut pas
les prendre infiniment grandes pour deux raisons essentielles [FR]:
-
on ne peut utiliser que des gains réalisables
l’augmentation de la bande passante du reconstructeur ne permet plus de
négliger les bruits qui deviennent importants en haute fréquence.
4.4.3. Détermination du gain de l’observateur : [FR].
Le gain de l’observateur est fixé d’après le choix des valeurs propres de la
matrice (A–KC) précisé par le théorème précédent.
Il s’agit de déterminer les n composantes du vecteur K :
 k1 
k 
K =  2 ,

 
k n 
(4.12).
Sachant que : det(sI − A + KC) = det(sI − A T + K T C T ) ,
Puisque les méthodes de calcul utilisées sont directement transposées des
méthodes de calcul du gain de retour d’état qui place les pôles du système bouclé
(§2.4.2.).
Nous noterons le polynôme représentant les dynamiques du système par:
n −1
a (s) = det(sI − A) = s n + ∑ a i s i
(4.13).
i =0
et par â (s) les dynamiques estimées pour l’observateur :
n
n −1
i =1
i =0
â (s) = ∏ (s − λ i ) = s n + ∑ â i s i
(4.14).
où les λi sont les valeurs propres désirées pour (A−KC).
Dans le cas ou le système considéré ne comporte qu’une seule sortie ; on
effectue alors le calcul par une méthode directe.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 128
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
En développant det(sI − A + KC) on obtient :
n −1
det(sI − A + KC) = s n + ∑ f i (k 1 , ..., k n ).s i
(4.15).
i =0
où les f i (k 1 , ..., k n ) sont n formes linéaires pour les inconnues k 1 , ..., k n ,
c’est-à-dire que l’on peut écrire, pour i = 0, ..., n − 1; f i (k 1 , ..., k n ) = Fi .K .
Les n égalités : i = 0, ..., n − 1; f i (k 1 , ..., k n ) = â i ,
conduisent à : FK = â ,
Ou,
 F0 
F 
F= 1 
  
 
Fn −1 
et
On obtient donc le gain par :
 â 0 
 â 
â =  1 
  


â n −1 
(4.16).
K = F −1â
4.4.4. Synthèse des observateurs :
Dans ce qui suit, et parce que cela est vérifié pour la plupart des systèmes, nous
supposerons que D=0. Mais dans le cas où D n’est pas nul, il suffit de poser :
Y = y − Du = Cx
(4.17).
Puis de construire le nouveau vecteur de sortie.
A partir du schéma de principe de l’observateur (Figure 4.3), nous pouvons
mettre en œuvre tous sortes d’observateurs, leur différence se situant uniquement dans
la synthèse de la matrice de gains K. Celle ci permet d’obtenir la structure
fonctionnant en boucle fermée et d’imposer une dynamique propre à cet observateur.
Les observateurs peuvent être classés en deux familles:
• Les observateurs d’ordre complet qui donnent les informations sur toutes les
variables d’état pour une machine symétrique. Ce qui nécessite un temps d’exécution
relativement long.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 129
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
• Les observateurs d’ordre réduit qui ne comportent que les équations décrivant
les grandeurs non mesurables (vitesse et position) , on obtient alors les informations
sur ces deux variables d’état précédentes pour la machine symétrique.
Fig. 4.3 : Principe de l’observation d’états.
4.5. Modèle Du MSAP En Vue De La Commande Sans Capteur :
A présent, nous allons procéder à la mise en équation d’états du modèle
de la machine qui nous servira à concevoir notre observateur.
Le modèle de la machine étudiée ici est celui du moteur synchrone à aimants
permanents à rotor lisse présenté au chapitre I. Nous considérons le modèle biphasé
équivalent généralisé pour ce moteur exprimé dans le référentiel (d-q) tournant, lié au
rotor. Dans ce cas le modèle d'espace d'état est défini par le système d’équation 4.1.
Lq
di d
R
1
pΩ r i q +
ud
= − s id +
dt
Ld
Ld
Ld
di q
dt
=−
Rs
L
Φ
1
i q − d pΩ r i d − r pΩ r +
uq
Lq
Lq
Lq
Lq
(4.18).
dΩ r 3p
1
F
= (Φ r i q + (L d − L q )i d i q ) − C L − Ω r
dt
2J
J
J
dθ
= Ωr
dt
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 130
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
La mise sous forme matricielle permet de mettre en évidence les termes de non
linéarité du système, générée par Ω r i d , Ω r i q , i d i q ;
 Rs
−
 id   Ld
 
d  iq   0
=
dt Ω r  
   0
θ 
 0
0
Rs
Lq
3p
Φr
2J
0
−
 1
 Lq

0
pΩ r i q
 L

Ld
  d
  id  
Φr
i  
Ld
  0

p 0  q
−
p i
+  − L Ωr d  + 
.
Lq
q
 
 Ω r  
F
3
p


0  θ   (L d − L q )i d i q   0
−
 
 2J
J

  0

1
0
0
0
0
1
Lq
0
0

0 
 u 
d
0  
. u q 
1  C 
−   L
J
0 
(4.19).
Afin de réduire l’ordre de ces termes nous poserons les hypothèses habituelles
simplificatrices :
- Le MSAP est à rotor lisse ce qui permet de poser, (Ld=Lq=L).
- Le couple de charge est supposé être une perturbation donc il n’intervient pas
dans l’expression du MSAP.
Dans les paragraphes qui suivent, nous utiliserons l’un ou l’autre des systèmes
d’équations (4.18), ou (4.19) selon l’application que nous tenterons de justifier.
Le modèle est non linéaire, cependant ces non-linéarités peuvent être
maintenant contrôlées par retour d'état.
Pour implanter la commande non-linéaire il faut nécessairement mesurer les
courants, la vitesse, et la position. Hors seuls les courants sont mesurables ; alors que,
La position, et la vitesse ne le sont pas ; ils seront donc estimées à l'aide de
l'observateur non-linéaire, qu'on se propose de concevoir. Cet observateur est destiné à
être associé aux systèmes linéarisés de la forme:
x = A.x + B.u
y = Cx
(4.20).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 131
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
4.6. Observateur de Luenberger : [DH] [DL] [ZZ] [NM1].
4.6.1. Structure de l’observateur :
Cet observateur peut être utilisé pour reconstituer la vitesse de rotation du
MSAP à partir du couple électromagnétique ou des courants statoriques. Il permet
aussi de reconstituer les flux de la machine, sachant que ceux ci sont difficiles à
mesurer [AK1].
Pour le concevoir, nous devons choisir les grandeurs à observer.
Dans notre application de commande de moteur synchrone à aimants
permanents, nous tenons compte des considérations suivantes : [FM3]
-
Paramètres du modèle : Connus et invariants
Courants statoriques : Mesurés
Pulsation et tensions statoriques : Fournies par la commande
Flux rotorique : A observer
Vitesse rotorique : A observer.
La structure de l’observateur d’état est indiquée sur la figure 4.4 ; l’estimateur
en place fonctionne en boucle ouverte et il est caractérisé par la même dynamique que
celle du système.
Afin de réduire la taille du vecteur d’état et par conséquent la complexité de la
modélisation, nous considérons un découplage de la dynamique mécanique vis-à-vis
de la dynamique électrique et magnétique. Cette hypothèse suppose que la dynamique
électrique est plus rapide devant le mode mécanique sachant que la constante de temps
mécanique est assez élevée.
Les différentes grandeurs mentionnées sur la figure 4.4, représentent
respectivement :
• Un vecteur d’entrée u du système réel et de l’observateur,
• Un vecteur d’état x constitué par des grandeurs à observer,
• Un vecteur de sortie y dont les composantes sont mesurables (tensions,
courants).
Ce dernier vecteur est comparé à un vecteur équivalent ŷ estimé et fourni par
l’observateur pour assurer le fonctionnement en boucle fermée. L’erreur d’observation
ε ainsi obtenue est multipliée par la matrice de gains K puis retournée à l’entrée de
l’observateur pour influencer les états estimés x̂ par un retour d’état [DL] [AA2].
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 132
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Figure 4.4 : structure d’un observateur d’état.
Les observateurs qui permettent de reconstituer l’état d’un système observable à
partir de la mesure des entrées et des sorties sont, entre autres, celui de Luenberger ou
celui de Gopinath. Ils sont utilisés lorsque tout ou une partie du vecteur d’état ne peut
pas être mesuré. Ils permettent l’estimation des paramètres variables ou inconnus d’un
système.
La mise en équation de l’observateur qui en découle conduit à la formulation
suivante :
x̂ = A.x̂ + B.u + K ( y − ŷ)
ŷ = C.x̂
(4.21).
Dans ce qui suit, nous allons appliquer cette méthode pour la mise en œuvre des
observateurs de Luenberger et de Gopinath, cités ci dessus.
4.6.2. Mise en équation de l’observateur : [DH] [NM1].
Le MSAP considéré ici est représenté par son modèle d’équation du système
4.18 ; les équations (1) et (2) de ce système montrent que les modèles électriques du
moteur représenté dans le référentiel rotorique sont couplés par les non
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 133
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
linéarités : Ω r i d , Ω r i q , i d i q . Si le contrôle par retour d’état non linéaire sur la tension est
possible, alors la non-linéarité est découplée entre les deux équations et le modèle est
considéré globalement linéarisé.
A cet effet nous les transformons de la manière suivante :
v d = u d + L q pΩ r i q
v q = u q − L d pΩ r i d
(4.22).
Nous supposons que les variations des grandeurs mécaniques sont lentes par
rapport aux grandeurs électriques.
La substitution de (4.22) dans (4.18) donne :
di d
R
1
vd
= − s id +
dt
Ld
Ld
(4.23).
R
1
Φ
vq
= − s i q − r pΩ r +
dt
Lq
Lq
Lq
di q
La nouvelle dynamique électrique est maintenant découplée de la limite non
linéaire proportionnelle à la vitesse et aux courants de rotor. Par conséquent, nous
pouvons concevoir les modèles électriques séparément.
Notons que cette linéarisation de contrôle par retour d’état peut être mise en
application si tous les états de moteur sont connus. Dans la commande sans capteur de
vitesse, celle-ci n’est pas mesurable mais elle est estimée à partir de l'observateur puis
utilisée pour la commande.
D’autre part nous supposons que le couple de perturbation CL varie par étapes
ou très lentement par rapport à un paramètre électrique. Alors CL est exprimé tel que :
dC L
=0
dt
(4.24).
Pour contrôler la vitesse du moteur, il est nécessaire de connaitre la vitesse
estimée du rotor, celle-ci est obtenue à partir de l'observateur d’ordre réduit.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 134
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Avec cette hypothèse et le modèle linéarisé du MSAP, les équations d’état sont
réécrites sous forme matricielle suivante.
 Rs
−
 id   Ld
 
d  iq   0
=
dt Ω r  
   0
C L  
 0
0

1
0 
L
i


 d
 d


Φr

i
p 0  q  0
−
+
.
Lq
Ω r  


F
1
−
−  C L   0
J
J
 0
0
0 
0
Rs
Lq
3p
Φr
2J
0
−

0 

1  v d 
.
L q   v q 
0 

0 
(4.25).
L'équation de sortie est exprimée ci-dessous sachant que Ω r et C L ne sont pas
mesurables.
 id 
i 
y = [1 1 0 0]. q 
Ω r 
 
C L 
(4.26).
Nous devons donc réduire la complexité de l’observateur. Nous procédons à la
réduction de l’ordre de l’observateur, en considérant comme des entrées les courants
statoriques issus de l’onduleur.
Nous construisons alors l'observateur d’ordre réduit pour la commande de
vitesse de rotation et du couple de perturbation en appliquant la théorie d'observateur
de Luenberger aux équations (4.25) et (4.26) [DH].
x̂ = A.x̂ + B.u + K.(I − Î)
(4.27).
ŷ = C.x̂
Le vecteur de variables d'état et de sorties estimées sont exprimés comme suit :
[
ŷ = i d
iq
]
T
= Î ,
[
x̂ = i d
iq
Ωr
]
T
CL ,
et u = [u d u q ]T , est le vecteur d’entrée.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 135
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Les matrices A, B, sont choisies de façon que leurs valeurs propres soient le
plus loin vers la gauche dans le plan complexe que ceux des matrices du moteur de
sorte que l'erreur d'état tende toujours vers zéro rapidement dans le temps ; de même
que le couple de perturbation. Nous avons fait le choix limite suivant :
 Rs
− L
d

 0
A=

 0

 0
1
L
 d
B= 0

0

 0
0
Rs
Lq
3p
Φr
2J
0
−

0

1 
Lq 
0

0 

0 

Φr
−
p 0  ,

Lq
F
1
−
− 
J
J
0
0 
0
et C = [1 1 0 0]
(4.28a)
(4.28b).
La matrice de gain K est déterminée uniquement pour les courants id et iq mis en
cause soit :
K = [k d
kq ]
T
(4.29)
La vitesse étant connue on calcule alors la position du rotor par la relation :
θ = p.∫ Ω r dt
(4.30).
4.6.3. Résultats de simulation :
Le schéma est celui de la figure 4.5 nous remarquons que la vitesse et la
position sont estimés et fournis par l’observateur de Luenberger.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 136
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Nous avons comparé les résultats par rapport à ceux obtenus au chapitre II
grâce au schéma de la figure 2.20. Les paramètres du MSAP sont identiques ainsi que
ceux des contrôleurs de vitesse et courants. (Tableau 1.4 et Tableau 2.1).
La matrice de gain K pour les courants id et iq est donc :
K = [k d
k q ] = [12 75]
T
T
Les résultats obtenus montrent l’existence d’un courant Iq moins important avec
l’utilisation d’un observateur de Luenberger.
Fig. 4.5 – Principe de commande sans capteur par l’observateur de Luenberger.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 137
Courant de phase Ia (A)
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
5
0
-5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.25
0.3
temps (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
Position (Rad)
100
80
60
40
20
0
Fig. 4.6 – Observation du Courant Ia et de la Position du rotor.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 138
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Vitesse (Rad/s)
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
10
Couple (Nm)
8
6
4
2
0
Fig. 4.7 – Observation de la Vitesses et du Couple.
Vitesse (Rad/s)
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.25
0.3
temps (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
10
Couple (Nm)
8
6
4
2
0
Fig. 4.8 – Détail de la vitesse et du couple au démarrage.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 139
Courant de phase Iq (A)
Courant de phase Id (A)
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
10
8
6
4
2
0
Fig. 4.9 – Observation des Courants Id et Iq.
60
60
40
40
20
20
0
0
0
0.1
0.2
0.3
60
60
40
40
20
20
0
0.6
0.7
0.8
1.8
2
1.9
temps (s)
0.9
1
2.1
2.2
0
1
1.2
1.4
60
40
20
0
2.2
2.4
2.6
2.8
temps (s)
3
Fig. 4.10 – Observation des Détails de la vitesse.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 140
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
4.7. Observateur de Gopinath :
4.7.1. Mise en équation du système:
Le modèle du MSAP utilisé est supposé respecter les hypothèses de
simplification établies au chapitre II ; dans ce cas le modèle d'espace d'état est décrit
par le système d’équation (4.19) pour lequel le MSAP est à rotor lisse ce qui permet de
poser, (Ld=Lq=L).
Ce système est réarrangé sous la forme suivante :
 Rs
−
 id   L

 
d  iq   0
=
dt Ω r  
   0
θ 
 0
0
Rs
L
3p
Φr
2J
0
−

1
0
 i d   pΩ r i q   L
  
 
Φ
− r p 0. i q  − pΩ r i d   0
L
 Ω  +  0  + 
r
F
0  θ   0   0
−
  
 
J
 0
1
0
0
0
1
L
0
0

0 
 ud 
0  
. u q 
1  C 
−  L
J
0 
(4.31).
Le modèle d'état, décrit par ce système contient des non-linéarités sous forme
de produits croisés de deux variables d'état telles que Ω r .i d , Ω r .i q , .i d i q .
Pour Gopinath ce modèle ne peut pas être décrit en utilisant la forme standard
des systèmes linéaires avec des variables d'état, ainsi la théorie d'observateur linéaire
ne peut pas être appliquée directement.
L'observateur de Gopinath, utilise les courants mesurés afin d'obtenir une
linéarisation globale. Le système non linéaire est d'abord transformé en un système
linéaire variable dans le temps, ainsi le vecteur de variables d'état est dédoublé de sorte
que les variables du processus peuvent être effectivement observées ; cette
transformation aboutit au système suivant :
F

−

Ω
 r
J
θ 
1
d  
=
pi q
dt  i d  
  
 i q   − p( Φ r + i )
d

L
0
0
0
0
R
0 − s
L
0
0
3p 

Φr  Ω
0
 r 
2J
0   θ  0
.  +  1
0   id  
   L
R s   iq  
0
−

L 
0
0
0
1
L
1
− 
J
0  ud 
. u 
0  q
 C L 
0 

Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
(4.32).
Page 141
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Le model linéarisé peut être décrit par l’équation d’état déterministe (4.4) sous
la forme :

X̂ = A.X̂ + B.U
(4.33).
Ŷ = C.X̂
Sachant que, A, B, et C sont des matrices à valeurs constantes :
F

−

J

1
~
A=

p iq

− p( Φ r + ~i )
d

L
0
0
0
0
R
0 − s
L
0
0
3p 
Φr
2J 
0 
;
0 

Rs 
−
L 
0 0 1 0 
C=

0 0 0 1 

0
0
B = 1

L
0

0
0
0
1
L
1
− 
J
0 
;
0 

0 

(4.34a).
(4.34b).
~
~
Ou id et iq sont les valeurs des courants d’entrée estimés.
On définit alors le vecteur d’état par :
x = [Ω r
θ id
Où : x e = [Ω r
i q ]T = [ x Te
θ]T ;
y = [i d
yT ]
(4.35).
i q ]T
(4.36).
Les variables d’entrée sont définis par le vecteur d’état:
u = [u d
uq
c L ]T
(4.37).
4.7.2. Conception de l'observateur de Gopinath:
Afin de développer la structure de l'observateur de Gopinath, les premières
matrices auxiliaires sont obtenues par subdivision des matrices A et B du modèle
linéarisé:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 142
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
 F 
−
0
A11 =  J
;
 1 0


 3p 
Φr
0
A12 = 
2 J ;
0
0 

 Rs
− L
A 22 = 
 0

~

p. iq
0

;
A 21 =
Φ ~
− p( r + id ) 0
L


1

B2 =  L
0

1

0 0 − 
B1 = 
J ;
0 0 0 


(4.38-a&b).
0
1
L

0 
;
R 
− s
L
(4.39-a&b).

0
;
0

(4.40-a&b).
Elles sont écrites de la même manière que celle imposée par la subdivision du
vecteur de variables d'état X. Les équations générales de l'observateur de Gopinath
sont :
z = E.x + G.u + H.y;
(4.41).
x e = z + M.y;
(4.42).
z = [ z1
(4.43).
z 2 ]T
où z est le vecteur des variables d'état de l'observateur, avec :
E = A11 − M.A 21 ;
(4.44).
G = B1 − M.B 2 ;
H = A12 − M.A 22 + E.M
m
M =  11
m 21
m12 
m 22 
(4.45).
(4.46).
(4.47).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 143
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
La matrice M influence le comportement dynamique de l'observateur ; ses
coefficients sont déterminés en utilisant la méthode de placement de pôles de la
matrice E, nous pouvons ensuite choisir l’un ou l’autre coefficient en fonction de la
solution souhaitée. La matrice E est calculée en remplaçant les relations (4.38a),
(4.39a) et (4.47) dans l'équation (4.44) ; on obtient alors:
φr ~
~
 F

− J − m11 .p. iq + m12 .p( L + id ) 0
E=

φ ~
~
 1 − m 21 .p. iq + m 22 .p( r + id ) 0

L

(4.48)
La détermination des pôles de l'observateur est extrêmement simple puisque le
polynôme caractéristique est du second degré avec une racine nulle.
~
φ ~ 
 F
P0 (s) = det(s.I 2 − E ) = s.s + + m11 .p. iq − m12 .p( r + id )
L
 J

(4.49)
En choisissant une valeur convenable pour le pôle non nul (soit s1) et en fixant à
une valeur arbitraire m11=0, Nous obtenons:
F
L

m12 = − s1 − .
~
J  p(φ r + L. id )

(4.50)
Les autres coefficients de la matrice M n'influencent pas la dynamique de
l'observateur ; ils seront donc fixés à une valeur quelconque, (par exemple
m21=m22=0).
En remplaçant les relations (4.40), dans l'équation (4.45) et les relations (4.38b),
(4.39b), (4.47), (4.48) dans l'équation (4.46) respectivement et en tenant compte des
valeurs mentionnées ci-dessus des coefficients de la matrice M, nous obtenons les
relations suivantes:
m

0 − 12
G=
J
0
0

1
− 
J
0 
(4.51)
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 144
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
φ ~ 
 3.p.φ r m12 .R s
F
0
+
− m12  − m12 .p( r + id ) 

H=
2J
L
L
J


0
m
12


(4.52)
Ainsi nous déduisons l’expression finale des composantes du vecteurs z
définissant l'observateur de Gopinath qui permet d’estimer la vitesse et la position
angulaire du moteur synchrone:
φ ~ 
m
C
 F
z 1 =  − + m12 .p( r + id ) z1 − 12 ~
uq − L +
L
J
L
 J

φ ~ ~
 3.p.φ r m12 .R s 
 F
+
+
 + m12  − + m12 .p( r + id )  iq
L 
L
 J

 2J
(4.53).
Dans cette expression ~
u q est la composante en quadrature de la tension estimée dans le
repère rotorique en utilisant la position observée.
~
z 2 = z1 + m12 iq = ω
(4.54).
θˆ = z 2
(4.55).
et
4.7.3. Résultats de simulation :
D’une façon similaire nous utilisons le schéma de la figure 4.11 nous
remarquons que la vitesse et la position estimés par l’observateur de Gopinath sont
moins performants.
Les résultats du chapitre II sont la aussi utilisés à titre de références ; nous ne
modifions pas les paramètres du MSAP ainsi que ceux des contrôleurs de vitesse et
courants. (Tableau 1.4 et Tableau 2.1).
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 145
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
Fig. 4.11 – Principe de commande sans capteur par l’observateur de Gopinath.
L’unique coefficient de Gopinath est donc : m12 = −3.4
Les résultats obtenus montrent l’existence d’un courant Iq moins important avec
l’observateur de Gopinath.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 146
Courant de phase Ia (A)
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
5
0
-5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.3
0.25
temps (s)
0.35
0.4
0.45
0.5
0.25
Position (Rad)
100
80
60
40
20
0
Fig. 4.12 – Observation du Courants Ia et de la Position du rotor.
Vitesse (Rad/s)
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
10
Couple (Nm)
8
6
4
2
0
Fig. 4.13 – Observation de la Vitesses et du Couple.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 147
Courant de phase Iq (A)
Courant de phase Id (A)
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
temps (s)
2
2.5
3
10
8
6
4
2
0
Fig. 4.14 – Observation des Courants Id et Iq.
60
60
40
40
20
20
0
0
0
0.3
0.2
0.1
60
60
40
40
20
20
0.8
0.6
0.7
1.8
2
1.9
temps (s)
0.9
1
2.1
2.2
0
0
1.2
1
1.4
60
40
20
0
2.2
2.4
2.8
2.6
temps (s)
3
Fig. 4.15 – Détails de la vitesse.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 148
Chapitre IV:
Modèles d’Observateur pour la commande sans capteur de la MSAP.
4.8. Conclusion :
Ce chapitre nous a permis de rappeler quelques techniques permettant d'estimer
la position et la vitesse du rotor pour la commande vectorielle de la machine synchrone
à aimants permanents sans capteur mécanique. Globalement, les méthodes sont
classées en quatre grandes familles.
1)
2)
3)
4)
Les techniques utilisant les mesures algébriques,
Les techniques utilisant la f.e.m,
Les techniques basées sur la logique floue et réseau de neurones,
Les techniques utilisant les observateurs.
Le développement des estimateurs ne cesse de prendre de l'ampleur, ce qui
pousse les chercheurs universitaires à approfondir leurs études de recherche.
Nous avons vu, concernant les estimateurs de position et de vitesse de la
MSAP, que les méthodes sont nombreuses et que même la classification en sous
ensemble n'est pas une chose aisée.
Les observateurs se sont distingués comme étant des structures intéressantes
pour la commande sans capteurs des machines électriques notamment la MSAP.
Nous nous sommes intéressés par la suite aux techniques utilisant les
observateurs car c'est dans cet axe que s’est orientée cette partie notre étude basée sur
l'analyse, et la simulation de la commande vectorielle à flux orienté du MSAP. Nous
avons étudié l’observateur de Luenberger ensuite celui de Gopinath. Certaines
hypothèses simplificatrices ont été considérées afin d’alléger les calculs.
Les deux observateurs sont stables, mais l'observateur de Luenberger présente
de performances meilleures quand les coefficients sont calculés sur la base de
placements des pôles dans le plan complexe.
Nous avons étudié l'interaction de chacun des deux observateurs et le système
de contrôle en boucle fermée. La simulation du système de contrôle proposé a été
réalisée par Matlab/Simulink.
Cette simulation prouve que le comportement dynamique du système de
contrôle basé sur les observateurs est acceptable, même pour des paramètres
électriques d’une machine de conception différente.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 149
Conclusion Générale.
CONCLUSION GENERALE
Dans cette étude nous avons voulu contribuer à la réflexion sur la commande et le
contrôle vectoriel des machines synchrones et plus particulièrement du moteur
synchrone à aimant permanent.
Les résultats obtenus matérialisés par les courbes de variation de la vitesse, du
couple et des courants, montrent le comportement du MSAP modélisé en association
avec des contrôleurs de natures différentes avec ou sans capteur mécanique.
Dans le premier chapitre, nous avons décrit le modèle de la machine synchrone,
nous avons présenté les modèles mathématiques des systèmes étudiés, la
transformation de Park a été adoptée.
Nous avons associé le moteur synchrone à aimants permanents à un modèle
d’onduleur de tension en mettant en évidence la MLI vectorielle moyen de commande
de l’onduleur. Des résultats de simulation ont été présentés pour valider les modèles
mathématiques utilisés.
Dans le chapitre 2 nous avons en premier lieu modélisé le MSAP associé à un
onduleur de tension dans le but d’une linéarisation de l’ensemble.
Nous avons procédé en second lieu à l’étude du principe de la commande
vectorielle et du réglage de vitesse et de position par des régulateurs PI classiques,
pour améliorer le comportement dynamique et statique de la moteur synchrone à
aimants permanents. Les résultats de simulation ont été présentés à l'aide de
Matlab/Simulink.
Dans le chapitre 3 nous avons présenté les bases théoriques nécessaires de la
logique floue.
Ce que nous devons retenir c’est que l'obtention d'un contrôle flou performant
nécessite une bonne formulation des règles. Ces considérations pratiques ont guidé le
choix développé dans ce chapitre.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 150
Conclusion Générale.
Nous avons présenté la commande et le contrôle vectoriel d’un moteur
synchrone à aimant permanent; par deux types de régulateurs différents ; le régulateur
PI classique puis le régulateur CF a logique floue. Nous avons mis en évidence le
comportement de la régulation de vitesse dans ces deux types de commandes sans
modifier la structure globale du système.
Les résultats obtenus matérialisés par les courbes de variation de la vitesse, du
couple et des courants, montrent le comportement du MSAP pour chacun des types de
régulateurs étudiés.
Dans le chapitre 4, nous avons présenté l’observateur d’état non-linéaire
(observateur d'ordre complet et d'ordre réduit). Celui-ci ayant pour tâche d'estimer la
vitesse et la position du MSAP.
Finalement, en simulant le système avec deux types d’observateurs différents,
on a constaté que l'estimation de la vitesse ou de la position par l'observateur de
Luenberger présente une allure acceptable par rapport à celle de Gopinath dans le but
d’un remplacement du capteur mécanique de vitesse ou de position.
Cette étude ne présente qu’un des aspects de la commande des machines
synchrones, c'est-à-dire le MSAP ; celui-ci est utilisé en générale pour la commande
légère et rapide, mais cette étude peut être étendue à d’autre cas ou la machine
présentera une structure avec des paramètres différents.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 151
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Autopilotage de la machine synchrone : modélisation et simulation
Page 156
Annexes.
ANNEXE A
Outils Mathématique :[AK1]
A.1. Gradient.
le gradient d'une fonction scalaire lisse h(x) par rapport au vecteur x est défini,
par le vecteur ligne ∇h( x ) , défini par ( ∇h )i =
δh
.
δxi
D'une façon similaire, le gradient d'un champ de vecteur f(x) est défini par le
Jacobien de f (matrice de (n x n) éléments) comme suit:
A.2. Dérivée de Lie :
Soit f : R n → R n un champ de vecteurs et h: R n → R une fonction scalaire.
On introduit la dérivée de Lie comme étant une nouvelle fonction scalaire,
notée Lfh, donnant la dérivée de h(x) dans la direction de f(x), tel que:
Pour un ordre quelconque, on a:
et:
L0f h = h
De plus, si g est un autre champ de vecteurs alors la fonction scalaire Lg L f h( x )
est donnée par:
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 157
Annexes.
A.3. Crochets de Lie ;
Soient f et g deux champs de vecteurs dans Rn. Le crochet de Lie de f et g est un
troisième champ de vecteurs défini par:
-ou
∂g ∂f
,
∂x ∂x
sont des matrices Jacobiennes. L'application des crochets de Lie
successive donne:
A.4. difféomorphisme :
La fonction Φ : R n → R n définie dans une région Ω ⊂ R n est appelée
difféomorphisme si elle vérifie les deux conditions suivantes:
• Φ :est inversible, c’est à dire, il existe une fonction Φ-1
tel que: Φ-1.Φ(x)=x pour tout x ∈ Ω ⊂ R n et
• Φ-1 et Φ sont des fonctions lisses.
Le difféomorphisme est utilisé pour transformer un système non-linéaire en un
autre système non-linéaire en effectuant un changement de variables de la forme:
z = φ( x ) avec Φ(x) représentant « n » variables:
A noter que si Φ-1(z) existe pour tout z ⊂ R n , le difféomorphisme est dit global.
Dans le cas contraire, le difféomorphisme est appelé local et on doit le considérer
seulement autour de la région Ω ⊂ R n appelé voisinage.
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 158
Annexes.
ANNEXE B
B.1. Principe des résolveurs : [BM1].
La position doit être connue avec une précision suffisante pour pouvoir
imposer, en régime permanent, un courant sinusoïdal. On doit alors générer des
consignes de courant sinusoïdales de la position angulaire θ. Pour cela deux familles
de capteurs de position sont utilisées :
- les codeurs optiques absolus ou incrémentaux
- les résolveurs délivrant deux tensions modulées en amplitude par la position,
l’une est modulée en sinus, l’autre en cosinus, des circuits intégrés permettent de
démoduler et d’extraire la position absolue sur 12 à 16 bits (convertisseurs
résolveurs/numériques).
Il s’agit de capteurs électromagnétiques (voir figure) adoptant la structure d’une
machine synchrone diphasée à inducteur bobiné.
Fig. B1 résolveur électromagnétique.
L’inducteur est alimenté par un courant « haute » fréquence (quelques kHz à
quelques 10 kHz), éventuellement par un transformateur tournant. Les deux phases
statoriques, en quadrature, voient deux tensions induites à la fréquence du courant
d’excitation mais modulées par la position :
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 159
Annexes.
Les tensions induites sont égales aux dérivées des flux. Il s’agit donc de signaux
à la fréquence de la modulante (courant inducteur) modulés en amplitude (un cosinus
et un sinus). Une démodulation synchrone permet d’extraire le sinus et le cosinus et un
traitement analogique et numérique permet d’extraire la position grâce à des circuits
spécialisés.
« Un résolveur peut avoir plusieurs paires de pôles ».
Etude De La Machine Synchrone autopilotée : Modélisation Et Simulation
Page 160
Résumé:
Dans cette thèse nous allons présenter en premier lieu une description rapide
des machines électriques afin de justifier le choix fixé sur le moteur synchrone à aimant
permanent (MSAP).
Une étude plus détaillée est consacrée dans une seconde étape au moteur
synchrone à aimant permanent ainsi qu’à son autopilotage. Un modèle de simulation
est établi grâce à MATLAB/SIMULINK ; nous incluons :
- La modélisation du MSAP, Le modèle de l’onduleur triphasé et de sa commande
à MLI vectorielle.
- La stratégie de commande vectorielle pour la commande de la vitesse et du
couple électromécanique.
- Une étude comparative des régulateurs PI et Flou afin de mettre en évidence les
influences de chacun des régulateurs sur la stabilité du système globale.
Dans l’étape suivante nous concevons deux types d’observateurs (Luenberger et
Gopinath) capables de remplacer le capteur mécanique pour assurer l’autopilotage du
moteur synchrone tout en gardant une stabilité identique.
:‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫ﻧﻌﺮض ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻷﻃﺮوﺣﺔ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻷوﻟﻰ وﺻﻔﺎ ﻣﻮﺟﺰا لﻟﻤﺤﺮكات اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﺛﻢ نﺑﺮر اﺧﺘﻴﺎرﻧﺎ لﻟﻤﺤﺮك‬
.(MSAP) ‫اﻟﻤﺘﺰاﻣﻦ داﺋﻢ اﻟﻤﻐﻨﺎﻃﻴﺲ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻧﻘﺪم دراﺳﺔ أﻛﺜﺮ ﺗﻔﺼﻴﻼ لﻟﻤﺤﺮك اﻟﻤﺘﺰاﻣﻦ داﺋﻢ اﻟﻤﻐﻨﺎﻃﻴﺲ و ﻧﺮكز ﻋﻠﻰ وﺿﻊ ﻧﻤﻮذج ﻟﻘﻴﺎدﺗﻪ اﻟﺬاﺗﻴﺔ‬
: ‫ و ﺳﻮف ﺗﺸﻤﻞ ﻫﺬﻩ اﻟﺪراسة ﻣﺎ ﻳﻠﻲ‬matlab/simulink ‫( ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل‬autopilotage)
‫ وﺿﻊ ﻧﻤﻮذج ﻟﻤﻤﻮج اﻟﺘﻮﺗﺮ ﺛﻼﺛﻲ و ﻛﺬﻟﻚ وﺿﻊ ﻧﻤﻮذج‬،‫وﺿﻊ ﻧﻤﻮذج لﻟﻤﺤﺮك اﻟﻤﺘﺰاﻣﻦ داﺋﻢ اﻟﻤﻐﻨﺎﻃﻴﺲ‬
.‫ﻟﻨﻈﺎم اﻟﺘﺤﻜﻢ ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻤﻤﻮج‬
.‫دراﺳﺔ إﺳﺘﺮاﺗﻴﺠﻴﺔ اﻟﺘﺤﻜﻢ اﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ﻟﻀﺒﻂ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻤﺤﺮك واﻟﻌﺰم اﻟﻜﻬﺮوﻣﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻲ‬
‫( ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺨﺺ ﺿﺒﻂ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻤﺤﺮك و اﻟﻌﺰم‬flou) ‫ و اﻟﻤﻨﻄﻖ اﻟﻐﺎﻣﺾ‬PI ‫دراﺳﺔ ﻣﻘﺎرﻧﺔ لﻟﻤﻨﻈﻤﻴﻦ ال‬
‫ وﺗﺴﻠﻴﻂ اﻟﻀﻮء ﻋﻠﻰ ﺗﺄﺛﻴﺮات ﻛﻞ واﺣﺪ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﻈﻤﻴﻦ لﺿﺒﻂ اﺳﺘﻘﺮار اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺟﻤﺎلي اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ‬،‫اﻟﻜﻬﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ‬
.‫اﻟﻤﺤﺮك و اﻟﻤﻤﻮج واﻷﻧﻈﻤﺔ‬
‫( و إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ‬Gopinath) ‫( ﺛﻢ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻼﺣﻆ ﻟﻴﻮﻧﺒﺮﺟﻴﺮﻏﻮﺑﻴﻨﺎث‬Luenberger) ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻼﺣﻆ ﻟﻴﻮﻧﺒﺮﺟﻴﺮ‬
.‫إدﻣﺎﺟﻬﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺎم اﻹﺟﻤﺎلي ﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻻﻗﻂ ﺳﺮﻋﺔ اﻟﻤﺤﺮك اﻟﻤﺘﺰاﻣﻦ داﺋﻢ اﻟﻤﻐﻨﺎﻃﻴﺲ‬