Optique ondulatoire

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Optique ondulatoire : Chapitre 3
Présentation de l’interféromètre de Michelson
Utilisation avec une source ponctuelle
I – Présentation de l’interféromètre
1. Approche historique
L'interféromètre de Michelson est un dispositif
interférentiel à division d'amplitude. Il porte le nom
de son inventeur, Albert MICHELSON (1852–1931,
prix Nobel de Physique en 1907), qui espérait, en
vain, montrer à l'aide de ce dispositif que la vitesse
de la lumière dépend du référentiel dans lequel on
l'étudie. Cette expérience, et en particulier l’échec
rencontré par Michelson dans son entreprise, fait
partie des expériences fondatrices de la théorie de la
relativité générale.
L'interféromètre de Michelson est aujourd'hui utilisé dans divers domaines de la physique
pour réaliser des mesures de grande précision : mesures de distances, contrôles de planéité,
spectroscopie, détection d'ondes gravitationnelles…
Optique ondulatoire : Interféromètre de Michelson
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2. Description de l’interféromètre
L'interféromètre de Michelson, vu de dessus, est schématisé sur la figure suivante :
Les trois éléments principaux de l'interféromètre sont :
- le miroir mobile (M1) : il est mobile en translation dans la direction de l'axe O1x
(vis de réglage 5) et en rotation autour des axes O1z et O1y (vis de réglage 1 et 2) ;
- le miroir “fixe” (M2): il est seulement mobile en rotation autour des axes O 2z et
O2x (vis de réglage 3 et 4) ;
- la lame séparatrice : il s'agit d'une lame de verre traitée pour être semiréfléchissante, positionnée selon la bissectrice des axes Ox et Oy ; elle est associée à une
lame compensatrice dont le rôle sera précisé ultérieurement.
Les axes (OO1) et (OO2) sont appelés les “bras” de l'interféromètre.
Sur certains appareils, un verre anticalorique est placé à l'entrée de l'interféromètre. Celui-ci
a pour rôle d'arrêter le rayonnement infrarouge qui pourrait chauffer les différents éléments de
l'interféromètre et, par suite, entraîner leur déformation.
3. Observation d’interférences
L'onde incidente est divisée en deux ondes secondaires par la lame séparatrice, qui réalise
la division d'amplitude :
- la première onde secondaire, l'onde (1), est transmise en direction du miroir (M1) ;
- la deuxième onde secondaire, l'onde (2), est réfléchie en direction du miroir (M2).
Après réflexion sur le miroir (M1), l'onde (1) est partiellement réfléchie vers la sortie de
l'interféromètre. On ne se préoccupera pas de l'onde renvoyée vers la source.
Après réflexion sur le miroir (M2), l'onde (2) est partiellement transmise vers la sortie de
l'interféromètre. On ne se préoccupera pas de l'onde renvoyée vers la source.
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Miroir (M2)
Onde (2)
Onde (1)
Onde incidente
Séparatrice
Miroir (M1)
En sortie de l'interféromètre, les ondes (1) et (2), qui ont parcouru des chemins optiques
différents au sein de l'interféromètre, se superposent au moins partiellement : on observe donc
des interférences. La forme des franges d'interférences obtenues dépend du réglage de
l'interféromètre.
En pratique, on utilisera toujours l'interféromètre de Michelson dans une des deux
configurations suivantes pour observer des interférences :

1ère configuration possible : la configuration en “lame d'air” :
Les miroirs (M1) et (M2) sont alors
rigoureusement orthogonaux aux axes
Ox et Oy respectivement mais la
distance OO1 diffère de la distance
OO2 ; la différence entre ces deux
distances est appelée épaisseur de la
lame d'air.

2ème configuration possible : la configuration en “coin d'air” :
Les miroirs (M1) et (M2) sont alors
sensiblement équidistants de la
compensatrice ( OO1  OO2 ) mais, en
revanche,
ils
ne
sont
pas
rigoureusement orthogonaux aux axes
Ox et Oy.
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Lorsque les deux miroirs (M1) et (M2) sont rigoureusement symétriques par rapport au
dispositif séparateur, on dit que l'interféromètre de Michelson est réglé au contact optique.
Dans ce cas, les chemins optiques parcourus par les deux ondes secondaires sont égaux. Sur
un écran placé en sortie du dispositif, on observe alors un éclairement uniforme, appelée
teinte plate.
4. Intérêt de la lame compensatrice
Le dispositif séparateur, qui réalise la division d'amplitude, comprend, en plus de la
séparatrice, une lame compensatrice. Il s'agit d'une lame de verre classique, réalisée dans le
même matériau que la lame séparatrice, et de même épaisseur que cette dernière.
Le rôle de la lame compensatrice est de rattraper la différence de chemin optique qui
existe entre les deux ondes secondaires après leur passage “à travers” la lame séparatrice.
En l'absence de compensatrice, l'onde (1) traverse trois fois la lame séparatrice alors que
l'onde (2) ne la traverse qu'une seule fois (voir figure ci-après). Cette différence de trajet
introduit une différence de marche non souhaitée entre les deux ondes secondaires qui
empêche d'observer correctement les interférences en sortie du dispositif et qui, de plus,
dépend de la longueur d'onde des vibrations.
miroir M2
séparatrice
miroir M1
En
présence
de
la
compensatrice,
chaque
onde
traverse quatre fois la même
épaisseur de verre (à travers la
séparatrice ou la compensatrice,
voir figure ci-contre).
miroir M2
compensatrice
séparatrice
miroir M1
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Pour que la compensation soit satisfaisante, il faut réaliser un parallélisme parfait entre la
compensatrice et la séparatrice (en agissant sur les vis de réglage 6 et 7). Par la suite, on
supposera ce réglage effectué et on modélisera le dispositif séparateur par une lame semiréfléchissante d'épaisseur nulle, orientée suivant la bissectrice des bras de l'interféromètre.
II – Schémas équivalents de l’interféromètre de Michelson
1. Position du problème
Sur le schéma ci-après, on a représenté la marche d’un rayon lumineux incident à travers
l’interféromètre jusqu’à la zone d’observation.
miroir M2
O2
O
S
O1
miroir M1
Comment parvenir à tracer rapidement ces rayons lumineux ? à calculer les chemins
optiques parcourus ?
2. Construction
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miroir M2
O2
O
S
O1
miroir M1
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3. Conclusion
Résultats de la construction
Du point de vue des rayons lumineux émergents, tout se passe comme si :


Schémas équivalents de l’interféromètre
Les deux constats précédents permettent de proposer un modèle simplifié de
l’interféromètre de Michelson, constitué uniquement des miroirs M’1 et M2, et éclairé par S’.
Les sources secondaires de ce dispositif équivalent sont S 1 et S2, respectivement symétriques
de S’ par rapport au miroir M’1 et au miroir M2.
Cas de l'interféromètre de
Michelson réglé en lame d'air
Cas de l'interféromètre de
Michelson réglé en coin d'air
y
y
S1
S2
S2
S1
O'1
miroir M'1
miroir M2
O2
e (épaisseur de
la lame d'air)
S'
miroir M'1
O'1 ≈ O2
miroir M2
α (angle du
coin d'air)
S'
A l'avenir, lorsqu'on envisagera un interféromètre de Michelson, on raisonnera sur l'un des
deux systèmes équivalents représentés précédemment (en fonction de la configuration dans
laquelle on utilise l'interféromètre).
Remarque importante : Pour la construction des rayons lumineux à l'aide de ces modèles équivalents,
on considérera que le miroir le plus proche de la source S' se comporte comme une lame semiréfléchissante et donc “laisse passer” une partie des rayons lumineux qui l'atteignent…
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III – Franges d’interférences obtenues avec un interféromètre de
Michelson éclairé par une source ponctuelle
1. Non-localisation des franges d’interférences
Résultat (admis)
Avec une source ponctuelle, les franges d’interférences produites par un interféromètre
de Michelson sont non-localisées, c’est-à-dire qu’il est possible de les observer n’importe où
en sortie du dispositif avec un contraste maximal (égal à 1).
Illustration graphique (exercice)
On considère un interféromètre de Michelson réglé en coin d’air, éclairé par une source
ponctuelle S. On place un écran d’observation de manière quelconque en sortie de
l’interféromètre.
y
Soit M un point quelconque de
l’écran.
Représenter les deux rayons
lumineux qui interfèrent en M.
Conclure.
miroir M'1
O'1 ≈ O2
miroir M2
S'
écran
2. Forme des franges observées
miroir M2
Positionnement de l’écran
Quelle que soit la configuration utilisée
pour observer des interférences avec
l’interféromètre de Michelson, l’écran
d’observation est toujours placé en sortie de
l’interféromètre, en étant quasi-parallèle au
miroir M2. Selon la situation envisagée,
l’observation pourra se faire à distance finie ou
à l’infini (i.e. dans le plan focal image d’une
lentille convergente).
S
séparatrice
miroir M1
écran
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Conséquence : Forme des franges observées avec un interféromètre de
Michelson réglé en lame d’air
On reprend le schéma du dispositif équivalent à l’interféromètre de Michelson réglé en
lame d’air, en positionnant l’écran d’observation (quasi-)parallèlement au miroir M2.
y
S1
S2
O'1
miroir M'1
miroir M2
O2
Exemple : La photo ci-dessous représente la
figure d’interférences observée en éclairant
l’interféromètre de Michelson réglé en lame d’air
par une source monochromatique émettant la
longueur d’onde λ = 546 nm. L’épaisseur de la
lame d’air est e = 0,5 mm.
S'
écran
Conséquence : Forme des franges observées avec un interféromètre de
Michelson réglé en coin d’air
y
On reprend le schéma du dispositif
équivalent à l’interféromètre de Michelson
réglé en coin d’air, en positionnant l’écran
d’observation (quasi-)parallèlement au miroir
M2.
S2
S1
miroir M'1
O'1 ≈ O2
miroir M2
S'
écran
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Exemple : La photo ci-contre représente
la figure d’interférences observée en éclairant
l’interféromètre de Michelson réglé en coin
d’air par une source monochromatique
émettant la longueur d’onde λ = 589 nm
(lampe à vapeur de sodium).
IV – Description des franges du coin d’air (ou franges d’égale
épaisseur)
1. Conditions expérimentales d’observation
Pour observer les franges d’égale
épaisseur (ou franges du coin d’air), on
utilise :

Un interféromètre de Michelson
réglé en coin d’air (!) ;

Une source placée à l’infini,
éclairant le miroir M2 sous
incidence quasi-normale ;

Un écran sur lequel on forme
l’image du miroir M’1 à l’aide
d’une lentille (on peut également
effectuer
les
observations
directement sur le miroir).
miroir M2
S
f'’
séparatrice
lentille
convergente
Remarque : Les conditions d’éclairage et
d’observation seront justifiées dans le
prochain chapitre.
miroir M1
écran conjugué
du miroir M’1
2. Tracé des rayons lumineux
Remarque : Pour ce tracé, on considère que l’observation se fait directement sur les miroirs. L’arête
des miroirs est ici orthogonale au plan de la figure.
Représentons la marche de deux rayons lumineux incidents distincts, arrivant sous
incidence normale sur le miroir M2.
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y
miroir M'1
O
miroir M2
x
3. Calcul de la différence de marche en M – Éclairement
4. Étude des franges brillantes
Position des franges brillantes
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Calcul de l’interfrange
5. Évolution de la figure d’interférences suite à une
modification du coin d’air
Effet d’une augmentation de l’angle du coin d’air
Quand on augmente l’angle du coin d’air sans translater le miroir mobile, on effectue les
constats suivants :


Illustration : Les photos ci-dessous représentent les franges d’égale épaisseur
observées avec un laser He-Ne, pour deux valeurs différentes de l’angle du coin d’air. Ce
dernier est plus grand pour la photo de droite que pour la photo de gauche.
Effet d’une translation du miroir mobile
Quand on chariote le miroir mobile sans modifier l’angle du coin d’air, on effectue les
constats suivants :


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V – Description des franges de la lame d’air (ou anneaux d’égale
inclinaison)
1. Conditions expérimentales d’observation
Pour observer les anneaux d’égale
inclinaison, on utilise :

Un interféromètre de Michelson
réglé en lame d’air (!) ;

Une source placée à distance
finie du dispositif ;

miroir M2
S
Un écran à l’infini (i.e. placé dans
le plan focal image d’une lentille
convergente).
séparatrice
miroir M1
Remarque : Les conditions d’éclairage et
d’observation seront justifiées dans le
prochain chapitre.
lentille
convergente
f'’
écran
2. Tracé des rayons lumineux
Représentons la marche d’un rayon lumineux incident arrivant sous l’angle d’incidence
i sur les miroirs.
y
O'1
miroir M'1
e
miroir M2
O2
S'
lentille de
projection
i
O’
f'
écran
F’
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3. Calcul de la différence de marche en M
Expression de δ en fonction de i
Expression de δ en fonction de r
4. Forme des franges – Courbe d’éclairement
Forme des franges
Courbe d’éclairement
Les deux ondes obtenues en sortie de l’interféromètre ayant la même amplitude, on a (dans
l’approximation de Gauss) :

 2
 i2   

E  i   2 E0 1  cos 
 2e 1    

 0

2   




ou encore

 2

r2  

E  r   2 E0 1  cos 
 2e 1 

 2 f '2   
 0





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Exemple : Pour e = 100 µm, 0 = 682 nm et f ' = 1 m, on obtient l’allure suivante pour
la courbe d’éclairement ainsi que pour la figure d’interférences correspondante :
Que remarque-t-on quant à la position relative des anneaux brillants et sombres ?
5. Étude des anneaux brillants
Préambule : Évolution de l’ordre d’interférences à partir du centre
Par définition, l’ordre d’interférences à la distance r du centre de la figure est donné par :
p r  
  r  2e 
r2 
 1 

0
0  2 f '2 
L’ordre d’interférences diminue donc quand r augmente et est maximal au centre de la figure.
2e
Sa valeur au centre est a priori quelconque et donnée par p  r  0  
.
0
Exemple (suite) : Pour e = 100 µm,
0 = 682 nm et f ' = 1 m,
on obtient
p  r  0   293, 25 . L’éclairement au centre
est donc intermédiaire entre l’éclairement
maximal et l’éclairement minimal.
La courbe donnant l’évolution de l’ordre
d’interférences en fonction de la distance r est
représentée ci-contre.
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Rayon du premier anneau brillant observé
Généralisation : Rayon du n-ième anneau brillant observé
Exercice : Calcul du rayon du troisième anneau sombre observé
6. Évolution de la figure d’interférences suite à une
modification de la lame d’air
Lorsque l’on chariote (translate) le miroir M1 de sorte à augmenter l’épaisseur e de la
lame d’air, on constate que :



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Illustration : Les photos ci-dessous représentent les figures d’interférences observées
successivement en chariotant le miroir mobile. L’interféromètre de Michelson est réglé en
lame d’air, de sorte à observer les anneaux d’égale inclinaison, et éclairé par une source
monochromatique émettant la longueur d’onde λ = 546 nm. L’épaisseur de la lame d’air vaut
successivement 0,25 mm, 0,5 mm, 0,75 mm, 1,0 mm, 1,25 mm et 1,5 mm.
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