Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres B ERNARD DE M ATHAN Théorème de Koksma dans un corps de séries formelles sur un corps fini Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no 4, p. 1-12 9, no 1 (1967-1968), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A4_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1967-1968, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire DELMGE-PISOT-POITOU (Théorie année, 1967 68, 9e 4-01 nombres) des n° 4 THÉORÈME DE KOKSMA DANS UN CORPS DE SÉRIES FORMELLES SUR UN CORPS FINI par Bernard de MATHAN d’équirépartition La notion corps fini a été introduite par CARLITZ théorème de Koksma dans peut se Soit une ce cas. faire dans le cadre G un base @ cessairement dans module 1 C3~. un corps de séries formelles Le but de cet Nous commençons par exposé sur un est l’étude du partie de cette étude qui une plus général suivant : topologique abélien, localement compacta dans lequel il existe du filtre des voisinages de 0 , formée de sous-groupes compacts (néouverts). Soit G- le dual de G, c’est-à-dire le groupe multiplicagroupe tif des caractères de catif des nombres G (homomorphismes complexes de LEMME 1. - Tout caractère Cela résulte du fait X valeur absolue de G )u - 1 ~ >, ~ . dans le groupe 1 ). Remarquons non multipli- d’abord que : trivial d’un groupe prend complexes :i Alors, G est localement constant. qu’un caractère valeur dans l’ensemble des nombres tisf ait donc à continus de comme )( 0 , 1, continu, il est au moins et une qu’il existe II voisinages de 0 E (B sa- tel que Soit r ~ B. désignons (donc aussi dans D translaté de un G) tout E Une telle vante : on la base du filtre des formée des intersections r avec dans F des éléments de 13 . Soit F . DEFINITION 1. - Une H par B0393 a application $ la double de D dans G est dite isométrique si pour implication : application est nécessairement continue. Remarquons la propriété sui- soit On ré). a ~(D~ ~ ~ , évidemment Il y a est est ~ D. 03A6 x0 et d’autre application (ai)1in mille finie de r part $ $(D) == A y seulement à démontrer que une bijection une de D est injective et on F . Pour tout dans d’éléments de r sur 0394 peut H E r . + = (car G restreindre se il existe ~, , sépa- est au une cas fa- telle que l’on ait D./.B . et j(i) tels que b.-L ~ j -J-/ L’application i -">j(i) de $(a.) 3l’ensemble (l y n) dans lui-même est injective, donc surjective~ et par suite les ensembles b. + H forment une partition de F . $(r) est donc dense dans r ~ donc $(r) r puisque r est compact. Soient b. = J- ... , = ~ DEFINITION 2. - Soit tion Y de métrie 03A6 On a (= D D de x + dans A r) G le résultat suivant une mesure de Haar LEMME3. - Soit dx x dans Soit H r sur nie d’éléments de T dans G . Une applica- s’il existe une iso- d’une telle application (par rapport à G). On lui-mêmey tel que r A-homométrique, est dite l’intégration sur il suffit de montrer que, si isométrie de G de telle que l’on ait de e$ . homomorphisme continu un a est x on un caractère non trivial de r 9 et $ une a x~x~ _ 1 ~ ~ x E H g tels que les ensembles et a. 1 une + H forment une famille fi- partition de r . Il est alors de même pour les ensembles en On * THÉORÈME 1. -Soit H (les (b.1 = ~( a.i ~ ~ . X partie dénombrable une -f.~-~-~-~ ~ continues de * * K sous-ensemble de a suites sont indexées de G . Soit ..~...~. "" .._ d’ applications On sur positifs). des entiers N + 1 alors démontrer le théorème suivant peut semble b. N x N ~ D ~ = x + ~’~ G. dans (03A6n)n~N* Supposons qu’il suite une ""’-"~""~’"~ existe (contenant diagonale,et symétrique), la un satisfai- sant à la condition (m , n) £ et tel que, pour tout priété Kl ’application Y m,n une famille finie de sous-ensembles de D , , sont des translatés de )~l’ , et pour dans m, et - Ç possède la pro- suivante : Il existe qui = l§ tout j G ~ 1’_on a, _en e J(m , n) , il existe un les (3) Pour tout x EX, sup(m , n) > v(x) , on disjoints, appartenant -.Ô.’-É famille de homomorphisme continu 039Bjm-n m,n tel que la restriction de 03A8m,n à m,n - outre, (D~ ) ( m,n ) m,n jeJ Djm-nm,n soit une ~ A"m,n-homométrie. ~ propriétés suivantes,:1 il existe ait un entier v(x) tel que, pour (m , n) K et Alors, pour presque tout La démonstration dont résulte se x E D ,y on a fait de manière analogue à celle l ’énoncé, comme dans de [2]. Soit [2]. 1 . Définitions et notations. Soit maintenant Désignons par Z par F le corps F q le corps fini à i’anneau P q des fractions [T] des F q (T) . q éléments, polynômes à caractéristique. indéterminée sur Fq , et et soit une p sa q " La valuation est f si polynôme un non est définie par de 3 nul dont deg désigne f degré. le La valeur-absolue ul- associée est normalisée par tramétrique Le O-adique" complété de S S~ des séries pour cette valeur-absolue est le corps de Laurent1 On désigne Z0 par l’anneau de valuation et l’idéal maximal de par M0 Z0 . On a la décomposition en somme directe (de groupes additifs) , algébrique et topo- logique1 Soient E pectivement est défini et ~~ ( partie comme La locution projections associées les "presque-partout" lement compact S... On notera tel que sera 03B40 les facteurs fractionnaire) : entière et partie l’unique polynôme sur lx - relative à la mesure Z et res- Si l~ une mesure ~. ~ et de Haar du groupe loca- de Haar du groupe compact M+0, nor- 03B40(M+0) = 1 . 2. ~-répartition. Rappelons sure sur G que, si G est (nécessairement un groupe topologique abélien, compacta et positive et de masse totale 1 ). une suite une me- (u ) n~N* est dite G d’éléments de pour toute G ), si, complexes), on a Haar de Soit )1 Par est la mesure de -répartie (resp. équirépartie si des fonction ~ , continue, de G dans C (corps (~(x) transformée de Fourier de :t la densité, une = ~ x(- x) d~(x)) . condition nécessaire et suffisante de est le cri- ~-répartition tère de Weyl : De façon plus précise, si, pour tout caractère admet la suite répartition ; , telle que aussi DÉFINITION. - Soit ments de lli est dite ° une mesure sur Une suite le groupe - -répartie peut au (Un) no n~N* est mod 1 , si la sui te d’élép- M+0 répartie dans le groupe compact Il revient Pour dans modulo i 3. RéPartition On = v . qu’une définition équivalente de la ~-répartition est : sous-ensemble E de 0 ~ de frontière ~-négligeable, on a Rappelons tout de une mesure X 9 il existe D même de dire que, pour tout disque C on À une mesure a aussi considérer la notion suivante : DEFINITION. - Soient f un fini Une suite si la suite des images par la polynôme non de surjection constant , polynômes canonique est dite sur 03BB-répartie est le groupe module 03BB-répartie. f , On a le lien suivant entre les deux notions. soit p. de Z/fZ la masse Pour d’éléments qu’une suite E(fU ) d’ailleurs 1 ), mod équirépartie mes faut une partition Désignons par 0 0 une mod 1 -répartie la suite de f . infinité de polynômes du fait que les polynô- Il suffit f. disques et les groupes duaux des groupes du groupe 1 caractère différent de de S0 soit façon évidente de M0 , et attribuant à (resp. équirépartie modf ). modf soit ainsi pour en en et il suffit que, pour tout f-répartie soit qu’il il La démonstration résulte de forment Z/fZ la mesure définie sur f polynôme non constant un élément ~ et pour tout sur une mesure THEOREME 2. - Soit F, et soit x J+0 M+0 . et le caractère de un Soit S~ défini par L’application logique) de T : ~ U = S. sur La x(UX) décomposition est en un somme isomorphisme (d’ailleurs topo- directe A A permet d’identifier Le critère de ~ ~ à f~~ T~) . Weyl sjexprime = D’où l’isomorphisme de Z sur ~: alors par le lemme suivant. LEMME 4. - Pour que la suite modulo 1 9 il f aut et il suff it que, ;. pour d’éléments tout de S0 soit polynôme f ~ on ait -répartie ( ~f ~~+ voir aussi que peut On Weyl et le critère de pour qu’une s’identifie à (hn) n~N* suite dual par son de polynômes soit 03BB-répartie - est donc: modula f 4. Le théorème de Koksma. appliquant En une suite 3. - Soit D diagonale), ( 1) dénombrable), est D continues de existe uh sous-ensemble un pre- K q , et soit Y 03A6m - 03A6n . Sup- dans 5 . Posons N* (symétrique x = et contenant la Si presque tout d’éléments de X de est J0 J J partie Lorsqu’on parlera s ’ agira en de pour * et N , répartition réalité de la suite On déduit immédiatement du COROLLAIRE 1. - Soit pour presque tout module 1 o infinie de une équirépartie D * Soit il peut écrire satisfaisant à la condition :i Mors la suite sur on de rayon disque compact un d’applications qu’il posons Z (simplifie). mier énoncé THÉORÈME (puisque le théorème 1 ~ X e J0 . pour une la bijection croissante indexée suite N de sur J, (~(~)~eN~’ ’ théorème S~ - soit 03C6 précédent La suite les corollaires ci-après. est équirépartie mod 1 (= ~ - COROLLAIRE 2. mod 1 équirépartie Ce corollaire pour presque démontre se multiples Pour s dans un 1 , disjoint de rayon D disque p > 1 ~ et on a l) . = répartition Pour étudier la les ~~~ J0 - Z0 . X ~ plaçant (~)~,(n,p)=l La suite ont tous la même valeur-absolue D Les éléments de ((mn , p) en se tout ~) . p , il faut revenir de entier non négatif, par L on théorème au étudie la le sous-groupe de (A) pour répartition Z+ , A fixé, sans supprimer 1. utilisant l’homomorphisme de (039BXnp)n~N*,(n,p)=1 , en Désignons (Xn)n~N* de la suite mod 1 S formé des de la suite X dans polynômes f ~ Xp . tels que s LEMME5. - Pour Xe J0 - Z0 , En effet, D’autre la mesure de pour f E L s pour presque tout X répartition s (A) , on le théorème part, diaprés E (Xnp)n~N*, la suite fixé A ~0 -- on a admet, pour presque tout telle que a, pour les ~, et (n,p)=1 comme sommes de Weyl, pour le corollaire 2, on voit que, r (A) Soit l’orthogonal (dans J+0 à-dire l’adhérence de l’image de -~K (AX~ ) . X F s (039B) , et plus précisément, sur F s (A) la est la mesure mesure mesure de Haar de M0 de Haar de dont le F s support (A) ). On est c’est- de J+0 de canoniquement s sur Z+ ) et l’homomorphisme s’identifie est la voit alors que on par (A) quotient Le M+0 la dualité entre dans au (A) 0393s () et M+0 : dual du groupe F dont la trace a i En regroupant on les obtient le ’~~ lemme suivant. fixé, A Pour la suite (Xn)n~ admet, N*,ps+103BBn pour presque tout - X ~ J0 - Z0 , la mesure On vérifie aisément de répartition qu’on peut "passer à la limite", et on obtient donc le théo- rème suivant. THÉORÈME 4. - Soit A E J*0 . la suite Pour presque tout X -.. admet la mesure c ’ est-à-dire la de répartition mesure s..(f) désigne f~L~(A)) . où le dont la transformée de Fourier est premier indice tel que f ~ L ~ (A) = 0 , si V s , . COROLLAIRE 1. - Une condition nécessaire et suffisante te (Xn)n~N* soit équirépartie module 1 (sur A ) pour presque tout pour que la sui- est que , pour tout s() = {0} , c’est-à-dire que, pour tout polynôme non nul si f , existe, il L ait on s , On peut n E Z pour tout entier tel que l’on ait alors vérifier directement que l’ensemble des X presque tout S . pour lesquels, pour équirépartie mod 1 , est conséquence immédiate du corollaire est la suite presque tout A Ceci est évidemment une 1 du théorème. Il est intéressant d’examiner ce qui se passe dans le cas A = par X ~ Xps), s dans ce F (l) cas, (c’est-à-dire l’image m de M0 1 . On voit que, où d’où le corollaire suivant. COROLLAIRE 2. - Pour de presque X tout S~ - ~ répartition la suite a la mesure -. . s où .-_ 8 est la s mesure de Haar de Mp0 0. 201420142014.20142014201420142014201420142014201420142014201420142014 BIBLIOGRAPHIE (Alfred L.). - The analogue of the Pisotof formal power series, Illinois J. of in fields Vijayaraghavan numbers Math., t. 6, 1962, p. 594-606. (Paul T.) [1] BATEMAN [2] BERTRANDIAS Soc. math. and DUQUETTE (Françoise). - remarquables d’adèles algébriques, Bull. 1965, VI + 98 p. (Thèse Sc. math. Paris, Ensembles France, Mémoire n° 4, 1965). [3] CARLITZ (L.). - Diophantine approximation in fields of characteristic Trans. Amer. math. Soc., t. 72, 1952, p. 187-208. [4] CIGLER [5] CHAUVINEAU dans p , und HELMBERG (Gilbert). - Neuere Entwicklungen der Theorie der Gleichverteilung, Jahresber. Deutschen Math. Verein. , t. 64, 1962, p. 1-50. 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