valeurs moyennes des quantites qui varient avec le temps

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Versicherungsmathematik und Statistik
digkcit, die hier zur Kausalität wird, so erhält man „Naturgesetze" von der Art des
Newtonschen Gravitationsgesetzes. Legt man die Denkform der Zufälligkeit zu-
grunde, so kommt man zu „Wahrscheinlichkeitsaussagen", wie sie z. B. in der kine-
tischen Gastheoric oder in der Quantenmechanik auftreten. Außerdem gewinnt man
noch sogenannte „Erhaltungssätze", z. B. das Gesetz der Erhaltung der Energie.
Ein Erhaltungsgesetz hat, vom mathematischen Standpunkt aus, immer die Bedeu-
tung einer Gleichung für einen „Mittelwert".
III. Der Mathematiker, der alle Dinge auf Zahlen zurückführt, muß auch die
„Wahrscheinlichkeit" als eine Zahl definieren: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereig-
nisses ist eine dem Ereignisse zugeordnete Zahl. Sie genügt gewissen Axiomen,
welche die Grundlage der mathematischen Wahrscheinlichkeitslehre bilden. Als Axio-
mensystem kann man das von Bohlmann (Enz. d. math. Wiss., Bd. I, Abschnitt „Ver-
sicherungsmathematik") angegebene benutzen.
VALEURS MOYENNES DES QUANTITES QUI
VARIENT AVEC LE TEMPS
Par B. HOSTINSKY, Brno
Si les lois qui régissent l'évolution d'un système physique sont exactement con-
nues, les variations de ce système peuvent être définies, par exemple, par des équa-
tions différentielles. Si l'on ne connaît pas complètement les lois d'évolution, il faut
introduire certaines probabilités ou valeurs moyennes. Je me propose d'étudier le
cas où un point M se meut sur le segment de l'axe Ox allant de x = a à x=b; la
position de M sera définie par son abscisse x; on a a ~fE x rfE b.
Soit x1 l'abscisse de M à l'instant t1 ; nous admettons que la probabilité pour
que M se trouve à l'intérieur du segment infinitésimal (x2, x2 -f- dx2) à l'époque t0
(t2 < t2) soit égale à 0 (x1 x2, tv f2) dx2. La fonction 0 (« densité de probabilité
du passage de x1 à x2 » ou simplement « probabilité de passage ») 2. satisfait aux
conditions b
0(xlf X2, tl} /2)>0, I 0{X\, Xif tl7 t2)dx2=z ]
<P(xlt X2, h, U) = J 0(X1} S, U, t) 0{S, XX, t, tt)ds
a
avec ti < t < U .
(0
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J'ai montré1) qu'on peut construire une solution générale 0 du problème (i).
Cette solution qui contient une fonction arbitraire de trois variables se présente
sous la forme d'une série infinie dont chaque terme représente une certaine proba-
bilité de passage et dont la somme donne la probabilité totale 0. Une telle fonction
0 étant connue, si F (x) est une fonction du point mobile M et si l'abscisse de M
à l'époque t1 est égale à xv la valeur moyenne de F (x) à l'époque t2 est égale à
b
F (x2) 0 (x\ , x2, tx, t2) dx2.
S
Supposons maintenant que le mouvement du point M soit défini par l'équation
différentielle
-$-=*<*.')• (2)
Représentons les états du point M par des points figuratifs AT dans le plan (x, t).
Le mouvement de M, déterminé par un état initial (xx, tj, sera figuré dans le plan
(x,t) par la courbe intégrale de (2) passant par le point A1 (x^t^). Cela posé
soit 0 (xv x2, tlt t2, e) une fonction qui satisfait aux conditions (1) et qui dépend
non seulement des coordonnées x1, x2, tlf t2 {t1 <^ t2) mais, aussi d'un paramètre e ;
supposons que l'on ait lim 0 (xlt x2, tv t2, E) = o sauf dans le cas où le point
£ = ()
A2 (x2, t2) est situé sur la courbe intégrale de l'équation (2) qui passe par Ax(xx, t^).
Dans ce cas le mouvement du point M \est déterminé (pour lim £ = 0) par l'état
initial (xlt Jj) ; M se trouve dans la position x2 à l'instant t2. Ainsi la loi de mouve-
ment exprimée par (2) correspond à un choix particulier de la fonction 0 qui donne
les probabilités de passage et qui satisfait aux conditions (1).
Des circonstances analogues se présentent quand on étudie l'évolution d'un système
variable qui dépend de plusieurs paramètres. La fonction 0 qui donne les probabilités
de passage dépend alors de plusieurs variables ; il faut remplacer les intégrales simples
qui figurent dans (1) par des intégrales multiples. Et en choisissant la fonction 0 d'une
manière convenable on arrive au cas où l'évolution du système est définie par des
équations différentielles.
x)
B. Hostinsky: Sur une équation fonctionnelle de la Théorie des probabilités (Publications de la Faculté
(Vs Se. de l'Univ. Masaryk, n° 156). Brno, 1932.
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