devoir maison 5 - Collège Eugène Varlin

Nom : Prénom : Classe :
Collège Eugène Varlin
Mathématiques
3ème
DEVOIR MAISON 5
correction
2015/2016
À rendre le :
Mercredi 24 février 2016
Exercice 1 (La pénicilline).
À l’hôpital, lorsqu’on injecte de la pénicilline, elle se décompose progressivement en une heure : 40% de cette
molécule n’est plus active l’heure suivante.
On note xla quantité de pénicilline active à une certaine heure et Ala fonction qui donne la quantité de
pénicilline active l’heure suivante.
1Trouver l’expression de la fonction A.
Il s’agit de traduire une baisse de 40% au moyen d’une fonction :cette fontion est forcément linéaire, il s’agit
d’une situation de proportionnalité.
_fonction linéaire : A(x)=a×xoù aest le coecient directeur (ou de proportionnalité ou multiplicateur)
à déterminer.
_coecient : d’après le cours a=1−t
100 , où test le taux de pourcentage ; soit dans notre cas
a=1−
40
100
=1−0,4=0,6
_fonction linéaire cherchée : A(x)=0,6×x.
2Calculer A(150)et interpréter le résultat.
A(150)=0,6×150 =90
Cela signie que si la quantité de pénicilline est à 150 g, elle ne sera plus que de 90 g l’heure d’après.
3Une patiente a reçu une injection à 10 h. À 11 h, 180 g de pénicilline sont encore actifs.
a. Quelle quantité de pénicilline sera encore active à 12h ?
Comme à 11 h, la quantité de pénicilline vaut 180 g, alors pour connaître la quantité encore active à 12 h,
c’est-à-dire l’heure d’après, on calcule A(180).
A(180)=0,6×180 =108
Donc à 12 h, il reste 108 g de principe actif dans le corps de cette patiente.
b. Trouver la quantité de pénicilline injectée à 10 h à cette patiente ?
Comme à 11 h, la quantité de pénicilline vaut 180 g, alors pour trouver la quantité active à 10 h , soit
l’heure d’avant, il faut trouver xtel que A(x)=180 :
A(x)=180
soit 0,6×x=180
donc x=
180
0,6
=300
Donc à 10 h, la patiente avait 300 g de pénicilline active.
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3ème DEVOIR MAISON 5 2015/2016
Exercice 2 (Une fonction ane ?).
On se donne la fonction fdénie par f(x)=(x−0,3)2−(x2+0,09).
Cette fonction est-elle ane ? Justier la réponse :
— si oui, donner l’ordonnée à l’origine ainsi que le coecient directeur ;
— si non, expliquer pourquoi.
On pourra éventuellement “modier” l’expression de la fonction
L’expression d’une fonction ane est f(x)=a×x+boù aet bsont les coecients de la fonction à trouver.
Cela indique que la fonction sera ane si l’antécédent xest multiplié par un nombre (ne dépendant par de x), ce
produit étant augmeté (ou dinimué d’un autre nombre).
Comme les parenthèses sont “gênantes”, supprimons-les au moyen de deux développements :
▷on supprime les première parenthèses avec la deuxième identité remarquable : (a−b)2=a2−2×a×b+b2.
f(x)=(x−0,3)2−(x2+0,09)
=x2−2×x×0,3+0,32−(x2+0,09)
=x2−2×0,3×x+0,09 −(x2+0,09)
=x2−0,6x+0,09 −(x2+0,09)
On aurait pu aussi utiliser une double distributivité en écrivant (x−0,3)2=(x−0,3)×(x−0,3)
▷éliminons les deuxièmes parenthèses avec la distributivité du −:puis réduisons
−(a+b−c)=−1×(a+b−c)=−1×a+(−1)×b−(−1)×c=−a−b+c: on change les signes des termes
intérieurs à la parenthèses. Poursuivons le calcul :
f(x)=x2−0,6x+0,09 −(x2+0,09)
=x2−0,6x+0,09 −x2−0,09
=x2−x2−0,6x+0,09 −0,09
=0x2−0,6x+0
=−0,6x
▷Concluons : l’expression de la fonction fobtenue est donc f(x)=−0,6×x. Ainsi, le coecient avaut
−0,6et le coecient best égal à 0car on peut réécrire aussi f(x)=−0,6×x+0dans changer l’expression
de la fonction.
La fonction fest donc bien une fonction ane, elle est même linéaire.
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Exercice 3 (Énigme).
On s’intéresse au polygone répondant aux indices suivants :
▷Ce polygone est régulier. ▷Ce polygone a un angle au centre de 24○.
1Trouver son nom. Justier la réponse.
Rappelons la formule des angles au centre d’un polygone régulier : angle au centre = 360
n, où nest le nombre
de côtés du polygone.
Comme le polygone admet un angle au centre de 24○et qu’il est régulier, alors il possède 360
24
=15 côtés (égaux).
Ce polygone est un pentadécagone ou pentakaidécagone (penta : 5, déca = 10 ; 10 + 5 = 15).
2Construire ci-dessous ce polygone. On choisira les mesures pour les longueurs. On rappelle le protocole pour
la construction d’un polygone régulier. Comme il est inscriptible dans un cercle (par dénition), on trace un
cercle (les longueurs sont laissées au choix dans l’énoncé) puis un rayon.
On construit ensuite un angle au centre de mesure 24○en s’appuyant sur le rayon tracé, le deuxième côté de
l’angle intercepte le cercle.
On répète la construction de l’angle à 24○jusqu’à “fermer” le polygone, c’est-à-dire rejoindre le le rayon initial.
On relie par les segments successifs les points du cercle construits grâce aux angles.
La gure est réalisée avec le logiciel Géogébra :
O A
B
24°
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
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3Dans cette question, toute trace de réexion pertinente sera valorisée.
Trouver, en présentant les étapes du raisonnement, la mesure d’un angle à un sommet de ce polygone.
L’objectif est de trouver la mesure de l’angle rouge  BC.
1ère méthode : triangle isocèle.
On se repose sur la gure ci-dessous :
Le triangle OBC est un triangle isocèle en O, donc les angles à sa base sont de même mesure,
ainsi : Ĉ BO = 180 −24
2
=
156
2
=78○.
Le polygone étant régulier, le triangle OAB a les mêmes dimensions que OBC, en particulier les mêmes mesure
d’angles, d’où Â BO = 78○aussi.
Ainsi, Â BC = 2×78 =156○.
2ème méthode : théorème de l’angle au centre.
On s’appuie sur la gure suivante :
Les angles  OC et  BC sont un angle au centre et un
angle inscrit, mais n’interceptent pas le même arc, ils
ne sont pas orientés dans la même direction. On utilise
alors l’angle rentrant  OC “orienté vers la gauche” (le
grand angle vert sur la gure).
On calcule sa mesure : 360 −2×24 =360 −48 =312○
(360 : tour complet ; 2×24 : voir codages).
Ainsi, par application du théorème de l’angle au centre,
il vient  BC = A
̂
OC
2
=
312
2
=156○.
On retrouve la mesure déterminée au moyen de la mé-
thode précédente.
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