formula théorème -fait

Op#que'«'physique'»''
(ou'ondulatoire)'
'
Chapitre'OPB1'
'
Théorie'scalaire'de'la'vibra#on'lumineuse'
Phénomènes'd’interférences'
Les$condi*ons$d’interférences$
Mise$en$évidence$expérimentale$$
sur$des$ondes$mécaniques$de$faible$fréquence!
Nécessité'de'l’addi#vité,'du'synchronisme'et'de'la'cohérence!
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Les$limites$de$l’op*que$géométrique'
L’op#que'géométrique'repose'sur''la'no#on'fondamentale'de'rayon$lumineux$:$
Lieu$des$points$de$l’espace$correspondant$à$une$trajectoire$possible$de$la$lumière$
$
(le'cours'de'première'année'postule'une$propaga*on$en$ligne$droite$dans'un'milieu'
homogène'transparent,'le$principe$du$retour$inverse$$et'les$lois$de$SnellBDescartes$à'
l’interface'd’un'dioptre'et'd’un'miroir)'
'
B  Les'rayons'lumineux'sont'supposés'indépendants'entre'eux'
B  La'marche'des'rayons'lumineux'lors'de'réflexions'et'réfrac#ons'successives'(donnée'
exactement'par'les'lois'de'Descartes)'est'obtenue'pour'des'systèmes'op#ques'
centrés''(et$dans$les$condi*ons$de$GAUSS)$par'des'tracés'de'segments'rec#lignes'
u#lisant'des'éléments'cardinaux'(plans'focaux,'plans''principaux,'points'nodaux…)'
B  Les'condi#ons'nécessaires'de'forma#on'des'images'dans'des'plans'de'front'sont'le'
s*gma*sme'et'l’aplané*sme'(vérifiées'de'façon'approchée'dans'les'condi#ons'de'
Gauss)'
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Les$limites$de$l’op*que$géométrique'
Un'faisceau'cylindrique'(rayon'LASER'par'exemple)'donne'une'représenta#on'intéressante'
de'ceUe'no#on'de'rayon'lumineux.'Il's’agit'alors'd’isoler'(par'la'pensée)'la'puissance'
lumineuse'véhiculée'dans'ce'tronçon'd’onde'électromagné#que'plane'de'sec#on'finie'S.'
''
La'puissance'locale'par'unité'de'sec#on'normale'est'donnée'par'la'norme'du'vecteur'de'
Poyn#ng'moyen'et'la'direc#on'et'le'sens'de'propaga#on'de'la'lumière'par'celles'de'ce'
vecteur.'
Hélas,'si'on'cherche'à'isoler'un'faisceau'cylindrique'de'sec#on'la'plus'faible'possible,'les'
lois''de'l’op#que'géométrique'vont'être'mises'à'mal'par'le$phénomène$de$diffrac*on'
dont'les'effets'seront'd’autant'plus'importants'que'la'dimension'transversale'du'faisceau'
se'rapprochera'de'la'longueur'd’onde'de'la'lumière'monochroma#que.'
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Les$limites$de$l’op*que$géométrique'
La'résolu#on'des'équa#ons'de'Maxwell'dans'le'vide'ou'dans'un'milieu'transparent'
homogène'et'istotrope'fournit'pour'les'composantes'E'et'B'du'champ'une'forme'générale'
de'solu*on$par*culière$élémentaire$l’Onde'Plane'Progressive'Harmonique'(Polarisée'
Ellip#quement)'OPPHpe$$(chapitre!Oem)!
'
Le'principe'de'superposi#on's’applique'aux'champs'électromagné#ques'(et'non'au'
vecteur'de'Poyn#ng'!)'':'grandeurs'vectorielles'qui's’ajoutent'en'un'point'donné'de'
l’espace'et'à'un'instant't.'Les'expériences'meUant'en'évidence'les'phénomènes$
d’interférences$nécessitent'de'connaitre'l’amplitude'et'la$phase$instantanée$et$locale$de'
la'grandeur'vibratoire'que'l’on'choisira'pour'la'descrip#on'de'l’onde'lumineuse.'
'
On'ne'pourra'ignorer'le'caractère'vectoriel'que'dans'deux'situa#ons':'
B  Ondes$polarisées$rec*lignement$quasi$parallèles$et$de$même$plan$de$polarisa*on$
B  Ondes$de$polarisa*on$aléatoire$(nonBpolarisées)$:$succession$de$mul*ples$trains$
d’ondes$sur$la$durée$de$détec*on.$
On'posera'alors'ceUe'défini#on'de'l’amplitude'scalaire'd’une'onde'lumineuse'monochroma#que'
  




s(r,t) = s(r ).cos(ω .t − k (r ).r ) = s(r ).cos(ω .t − ϕ (r ))
 
On'appelle''''''''''le'vecteur'd’onde'local''
k (r )
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Le$théorème$de$MalusBDupin$'
Ce!théorème!permet!de!repérer!localement!la!forme!des!surfaces!équiphases!(surfaces!
d’onde)!issues!d’une!seule!source,!rela;vement!à!la!direc;on!des!«!rayons!»!lumineux.!
Enoncé':"«"Après"un"nombre"quelconque"de"réflexions"ou"de"
réfrac9ons,"les"rayons"lumineux"issus"d’une"source"ponctuelle"sont"
normaux"aux"surfaces"d’onde"»"
Une'interpréta#on'possible'de'ce'théorème'consiste'à'dire'que'l’on'néglige'le'rôle'de'la'
varia#on'de'direc#on'du'vecteur'd’onde''sur'un'déplacement'infinitésimal'dr'(modèle'
d’une'onde'quasiBplane'(localement'plane))'

          
dϕ = r.dk + k.dr = grad (ϕ (r )).dr ≈ k.dr ⇒ grad (ϕ (r )) = k
soit'des'surfaces'équiphases'perpendiculaires'au'vecteur'd’onde'et'donc'au'rayon'lumineux'''
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Pourtant'on'présente'souvent'un'principe'varia#onnel'comme'fondement'de'l’op#que'
géométrique,'un'principe'de'sta#onnarité'qui'permet'de'retrouver'la'propaga#on'
rec#ligne,'le'retour'inverse'et'les'lois'de'SnellBDescartes.'En'par#culier,'sa'formula#on'
faisant'intervenir'un'point'de'départ'et'un'point'd’arrivée,'il'se'prête'bien'à'l’étude'du'
s#gma#sme'et'donc'de'la'forma#on'des'images':'
Le$principe$de$FERMAT!
Enoncé'1':"«"La"lumière"se"propage"d'un"point"à"un"autre"sur"des"trajectoires"
telles"que"la"durée"du"parcours"soit"extrémale"»"
Enoncé'2':"«"Le"trajet"effec9vement"choisi"par"la"lumière"pour"aller"d’un"point"A"
à"un"point"B"correspond"à"une"valeur"sta9onnaire"du"chemin"op9que"par"
rapport"aux"trajets"fic9fs"voisins"allant"de"A"à"B"»"
Qu’estBce'qu’un'chemin'op#que'?'
Qu’estBce'qu’un'chemin'op#que'sta#onnaire'?'
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Le$chemin$op*que!
Qu’estBce'qu’un'chemin'op#que'?'
Le'chemin'op#que'de'A'à'B'le'long'du'contour'!'est'l’intégrale':'''
B
( AB ) ≡ ∫ n.dl
A
B
B
t
2
c
( AB ) ≡ ∫ n(M ).dl = ∫ .dl = ∫ c dt
v
A
A ϕ
t1
soit$la$distance$parcourue$dans$le$vide$pendant$la$même$durée$
Que'dit'le'principe'de'Fermat'?'
Soit!un!chemin!!’!voisin!du!chemin!!!!pris!par!la!lumière!
et!si!on!note!dM’max!!!le!majorant!des!écarts!de!posi;on,!
le!chemin!!!est!sta;onnaire!si!la!varia;on!de!chemin!
op;que!d(AB)!=!(AB)’I(AB)!associée!est!un!infiniment!pe;t!
du!second!ordre!par!rapport!à!dM’max!
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Le$chemin$op*que!
CeUe'recherche'du'chemin'sta#onnaire'peut'être'appliquée'à'la'réfrac#on'sur'un'
dioptre'pour'retrouver'par'exemple'la'troisième'loi'de'Descartes':'
Considérons'K'comme'un'point'de'posi#on'
variable'sur'le'dioptre'et'cherchons'la'
posi#on'qui'annulera'la'varia#on'au'
premier'ordre'du'chemin'op#que'd(AB)'
( AB) = ( AK ) + ( KB) = n1.AK + n2.KB
 
 
d ( AB ) = n1.d ( AK ) + n2 .d ( KB ) = n1.u1.dOK − n2 .u2 .dOK = 0
avec O un point fixe du dioptre


soit un vecteur n1.u1 − n2 .u2 perpendiculaire au dioptre
et que l'on peut projeter sur la tangente en : n1.sin(i1 ) = n2 .sin(i2 )
1I!On!peut!démontrer!ceLe!rela;on!en!minimisant!le!temps!de!parcours!pour!!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!rejoindre!un!!point!B!depuis!un!point!A!avec!deux!vitesses!de!propaga;on!v1!et!v2.!
!
!
!(Pb!du!sauveteur)!
!
!
!2IOn!«!ob;ent!»!également!ceLe!loi!de!la!réfrac;on!en!posant!le!problème!du!
!
!
!passage!d’une!troupe!rangée!d’un!sol!dur!à!un!marécage!:!la!direc;on!de!
!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!déplacement!étant!définie!perpendiculaire!aux!rangs!=>!MALUS!
Remarques :
!
!
!
!
!
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Chemin$op*que$et$surfaces$d’onde!
Retrouvons'l’équivalence'entre'Principe'de'Fermat'et'Théorème'de'Malus'par'la'
rela#on'entre'chemin'op#que'et'surfaces'd’ondes.'
Une$surface$d’onde$est$le$lieu$des$points$M$tels$que$le$chemin$op*que$(SM)$
compté$le$long$d’un$rayon$lumineux$depuis$la$source$ponctuelle$S$soit$constant.$
Si'M1'et'M2'sont'deux'points'infiniment'voisins'd’une'même'surface'd’onde':''
'
'
'
'
'
'(SAA’M1)=(SBB’M2)'
'
Si'le'chemin'(SAA’M1)'est'sta#onnaire'(FERMAT),'alors'(SBB’M1)'n’en'diffère'qu’à'l’ordre'2'
en'AB'et'A’B’'soit'au'second'ordre'près':'(SAA’M1)'=(SBB’M1)'
'
Or'la'différence'à'l’ordre'1'entre'(SBB’M1)'et'(SBB’M2)'s’écrit':'u1.M1M2$ou'u2.M1M2$'
'
'
'
'soit'  
u1.M1M 2 = 0 ⇒ rayon lumineux ⊥ surface d'onde
''
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Applica*ons$du$théorème$de$MALUS!
Le'théorème'de'MALUS'nous'permet'd’évaluer'les'déphasages'dus'à'des'
«'différences'de'marche'»'(différence'de'chemins'op#que)'en'différents''points'de'
l’espace'aUeints'par'des'rayons'lumineux'provenant'de'la'même'source'ponctuelle.'
Applica*on$1$:$len*lle$mince$(u*lisa*on$du$retour$inverse)$
Chemin'1'
∆Phi'
Système'
op#que'
1'
∆Phi'
Système'
op#que'2'
Chemin'2'
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Applica*ons$du$théorème$de$MALUS!
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Applica*ons$du$théorème$de$MALUS!
Applica*on$2$:$superposi*on$de$deux$faisceaux$d’ondes$localement$planes$
Que'vaut'le'déphasage''
∆φ(M)=φ2(M)Bφ1(M)'??'
'
Chemin'1'
Système'
op#que'
1'
O'
M'
Système'
op#que'2'
Point'O'où'les'
deux'ondes'
sont'en'phase'
Chemin'2'
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
Applica*on$2$:$superposi*on$de$deux$faisceaux$d’ondes$localement$planes$
Applica*ons$du$théorème$de$MALUS!
Marche'd2'
Marche'd1'
M'
O'
Δϕ ( M ) ==
U1$
Retard'de'phase'de'1/2'
U2$
!!!!" "
!!!!" "
" " !!!!"
2.π
2.π
.( d1 − d2 ) =
. n.OM .u1 − n.OM .u2 = k1 − k2 .OM
λ
λ0
(
) (
)
La$théorie$de$la$vibra*on$scalaire$
L’amplitude$lumineuse$scalaire$!
Nous'allons'associer'à'chaque'point'M'd’un'rayon'lumineux'une'amplitude'lumineuse'
4/ Effet photoélectrique
locale'et'instantanée'caractérisant'l’état'vibratoire'de'la'lumière''et'vérifiant'le'principe'
importante
(en utilisant
utilisant
une
trop forte
forte
résistance
de
charge
par
exemple) alors
alors le
le courant
courant
des porteurs
porteurs
Un photon (en
d'énergie
hυune
supérieure
à l'énergie
dude
gap
Eg est
susceptible
importante
trop
résistance
charge
par
exemple)
hυdes
ε
de'superposi#on'de'telle'façon'que'si'deux'ondes'arrivent'au'point'M'on'puisse'écrire':'
majoritaires
vientréduire
réduire
leeffet
courant
photo-induit et
etàla
la réponse
réponse
n'est plus
plus linéaire.
linéaire.
de donner naissance
parle
photoélectrique
des
photo-porteurs
majoritaires
vient
courant
photo-induit
n'est
(
s1 (M ,t) = a1 ( M ) .cos (ω 1t − ϕ1 ( M )) = ℜ ( s ) = ℜ a .e
s2 (M ,t) = a2 ( M ) .cos (ω 2t − ϕ 2 ( M )) = ℜ ( s
) = ℜ ( a .e
)
éairere
linéai
rég
imeelin
régim
600mV
Dans lalades
mesure
d'un
signal
lumineux
et pour
pour
ce
type puissent
dans chacune
régions
designal
la diode.
Pour et
que
ces ce
porteurs
600mV
Dans
mesure
d'un
lumineux
type
V
-V
régim+
de
fonctionnement,
estilnécessaire
nécessaire
d'ajuster
parfaitement
la et pour
ré
contribuer
à un courant
faut éviterd'ajuster
qu'ils ne
se recombinent
gimE
de
fonctionnement,
ilil est
parfaitement
la
saturati
ee ddee sa
j
ω
t−
ϕ
(
)
int turatioonn
1 trop
résistance
de charge
charge
utilisée.par
Enl'action
effet1une
une
forteCeci
valeur
cela ils doivent
être séparés
d'un
champ.
n'est possible
résistance
de
utilisée.
En
effet
trop
forte
valeur
ε Ι ph
R'LL >> R
RLL
IIph
((εε))
phcette
1 dedetransition.
1
ε
entraîne
un
défaut
linéarité
de
la
diode
et
une
valeur
trop
R'
que
dans
la
zone
Un
électron
et
un
trou
créées
dans
entraîne un défaut de linéarité de la diode et une valeur trop
P
N
petite
conduit
à
des
valeurs
mesurées
qui
peuvent
être
très
R
L
zone
sont
aussitôt
accélérés
par
le
champ
interne
et
passent
dans
les
petite conduit à des valeurs mesurées qui peuvent être très I (2ε)
RL
22εε
I ph(2d'un
ε)
j(ωse
ϕ 2 ) par l'apparition
faibles
donc
non
significatives. ce qui
régionsetetN
et Pnon
respectivement,
2t−traduit
faibles
donc
significatives.
ph
R"
L << R
R
L
I
R"
L
L
2
2
courant photo-induit Iph. Ce courant photo-induit est un courant inverse
I
I
ε=0
2/
Montage
(2)en
enque
photoconducteur
(U<0)
deMontage
même sens
le courant lié(U<0)
aux porteurs minoritaires et dont
2/
(2)
photoconducteur
Le
courantIIaugmente
quicircule
circuleavec
est donné
donné
par:
l'intensité
le nombre
de photons incidents sur la
Le
courant
qui
est
par:
qU
2 de transition
2
600mV
barrière. 2L'éclairement de la zone
a pour effet de translater
 qU
U

kT
kT
=Iph -- Itension
I
e

s
=I
e
-- 11
la caractéristique de la diode vers le bas. Quand IIaucune
ph s 


ε≠0
extérieure n'est appliquée à la diode, on obtient les points
ηqλ
correspondants
ε'>ε
avec
I = ηqλ àPU=0. P puissance en W
)
s(M ,t) = a1 ( M ) .cos (ω 1t − ϕ1 ( M )) + a ( M ) .cos (ω t − ϕ ( M ))
Puissance$lumineuse$locale$sur$un$détecteur$:$Eclairement$!
avec I =
P puissance en W
P
ph
ph
hc
hc
pour une
une tension
tension inverse
inverse
de quelques
quelques volts
volts on
on aa l'approximation
l'approximation
etet pour
de
Les'détecteurs'sont'quadra#ques'et'leur'durée'd’intégra#on'τ
d''est'généralement'de'
suivante II ≈≈ Iph
Iph ++ II ≈≈ Iph.
Iph. Le
Le courant
courant mesuré
mesuré est
est encore
encore
suivante
plusieurs'ordres'supérieure'aux'durées'des'trains'd’ondes'et'à'plus'forte'raison'à'la'période'
II
proportionnel àà l'éclairement
l'éclairement εε (en
(en général
général IIph
est compris
compris entre
entre
ph
proportionnel
est
Le courant I qui circule dans la diode en présence d'un éclairement ε est donné
par:
U
U
du'signal'lumineux'monochroma#que.'On'conviendra'donc'd’appeler'éclairement':'
1µAetet11mA,
mA,ce
cequi
quiest
estgrand
grand devant
devant IIss).).
1µA
ss
εε
PP
N
N
RL
R
L
V
V

Dans ce
ce cas
cas lele champ
champ extérieur
extérieur que
que l'on
l'on applique
applique est
estI dans
dans
le) -même
même
sens que
le champ
champ interne
interne et
et
=I
I  esens
-que1le
E1 (M) ≡ a12 = s1.s1* = 2 .<s12 (M,t)>
Dans
ph(εle
τd



s
qU
kT
s'ajoute àà celui-ci
celui-ci ce
ce qui
qui aa pour
pour effet
effet de
de renforcer
renforcer la
la barrière
barrière de
de potentiel.
potentiel. Celle-ci
Celle-ci va
va être
être maintenue
maintenue
s'ajoute
plus
longtemps DE
queLA
dans
le régime
régime précédent.
précédent.
L'intérêt
de polariser
polariser la
la diode
diode en
en inverse
inverse est
est donc
donc de
de
II PRINCIPE
DÉTECTION
D'UN FLUX
LUMINEUX
plus
longtemps
que
dans
le
L'intérêt
de
pouvoirobtenir
obtenir
uncomportement
comportement
qui reste
reste
linéaire
pour des
des
éclairements
plus intenses.
intenses.
En
on ne mesure
paslinéaire
le courant
photo
induit plus
pouvoir
un
qui
pour
éclairements
ε
τgénéral
d transimpédance
3/
Montageen
en
directement
mais
la tension qui s'établit aux bornes d'une résistance de
3/
Montage
transimpédance
I
P N
Le
schéma
principe
quialors
comprend
un ampli
ampliVopérationel
opérationel
est représenté
représenté
ci dessous.
dessous.
charge
RLde
.deOn
mesure
une
est ci
Le
schéma
principe
qui
comprend
un
est
2 tension
R L qui normalement
I
R
I
RL
montage2(3)
(3)sans
sans
tension
de polarisation
polarisation
(U=0)
proportionnelle
autension
nombre
de photons(U=0)
incidents.
Le schéma de U R
a/a/
de
1montage
τd
Dans
ce de
cas,
compte tenu
tenu
de
la présence
présence de
de l'ampli
l'ampli
principe
la détection
est lede
suivant:
Dans
ce
cas,
compte
la
VRL
opérarationel, les
les deux
deux bornes
bornes PP et
et N
N de
de la
la jonction
jonction
opérarationel,
-N Le mode photoconducteur pou
sont fixées
fixées
un potentiel
potentiel
égal
zéro.
La modes
photodiode
est
N
sont
un
àà zéro.
La
photodiode
est
Onààdistingue
enégal
général
trois
de fonctionnement.
Vout
Vout
donc
court
circuitée
et photovoltaïque
le courant
courant photo-induit
photo-induit
traverse
PP en transimpédance pour
donc
et
le
traverse
lequelcourt
U<0circuitée
et le mode
pour lequel
U=0. Le montage
lequel un
+
U
résistance
de
charge
R.
+
U
lala
résistance
de
charge
R.
ampli opérationel est utilisé.
1/ montage
Montage (4)
(1) avec
en mode
photovoltaïque
(U=0)
b/
tension
de polarisation
polarisation
(U≠0)
b/
montage (4)
avec tension
de
(U≠0)
Dans ce
cas la
aucune
n'est appliqué
à la diode.
Le montage
représenté
dessous.la capacité et
Dans
cecas
diodetension
est maintenue
maintenue
un potentiel
potentiel
négatif
ce qui
qui aaest
pour
effet de
deci
diminuer
Dans
cecas
la diode
est
àà un
négatif
ce
pour
effet
diminuer
la capacité et
Si réduire
la diodeson
esttemps
en court
circuit RL=0 où si la résistance de charge est faible alors le courant I qu
de
deréponse.
réponse.
de
réduire son
temps de
circule est le courant photo-induit Iph proportionnel au flux lumineux incident ε.
La
charactéristique
courant tension
tension
pourest
chaque
type de
de montage
montage
est représentée
représentée
ci-dessous. φ ε=0
La
courant
pour
chaque
type
est
Parcharactéristique
contre si la résistance
de charge
quelconque
une tension
induite V ci-dessous.
non négligeable va apparaître aux bornes de celle-ci et va aussitôt s'appliquer
N
Vpn
P
pna un sens
aux bornes de la barrière. Le champ associé à cette tension V
V
opposé au champ interne et donc réduit la barrière de potentiel (ce qui
ε
favorise le passage des porteursε majoritaires et réduit le courant photo
RL
induit). Dans ce type de fonctionnement
la tension
mesuréeV représente
ε'>ε
ε'>ε
(3)
(3)
∆φ
(1)
ε
(1)
directement la chute de potentiel ∆φ de la
(2)zone de transition. Celle ci ne
(2)
(4)
(4)
peux donc pas dépasser la hauteur initiale
φ de Ila
barrière (600 mV pour le
Iph
N
ph
P
Iph
silicium).
R =cste
E 2 (M) ≡ a = s 2 .s 2 * = 2 .<s (M,t)>
2
2
2
2
2
E(M) ≡ atot
= s.s* = ( s1 + s 2 ). ( s * +s *) = 2 .<s (M,t)>
Photodétecteurs$
Les'photorécepteurs'exploitent'généralement'l’effet$quan*que$photoélectrique$
(interac#on'énergé#que'(collision)'entre'un'photon'et'un'électron)'':'
B  Soit'l’électron'est'éjecté'du'matériau'avant'de'créer'un'effet'd’avalanche'':'
photomul*plicateurs$
droites de
de charge
charge R LL=cste
droites
B  Soit'il'y'a'créa#on'd’une'paire'électronBtrou'dans'la'zone'de'transi#on'entre'deux'
R
V
semiBconducteurs'dopés'P'et'N':'un'courant'''«'inverse'»'traverse'la'jonc#on'
Si la tension mesurée est faible devant φ alors I=Iph et le courant mesuré est proportionnel à ε
propor#onnel'au'flux'lumineux':'photodiode,$phototransistor.$
comme on peut le voir sur la figure ci-dessous, mais si la chute de tension de la barrière es
L
88
Le'temps'de'réponse'est'de'l’ordre'de'l’ordre'de$quelques$µs$pour'la'photodiode.''
Photodétecteurs$
Un'capteur$CCD$se'présente'sous'forme'linéaire'(barreUe'de'photodiodes'u#lisée'dans'les'
scanners)'ou'matricielle'(capteur'des'caméscopes'et'webcams).'
Le'courant'de'chaque'photodiode'charge'un'condensateur'pendant'une'durée'donnée.'Les'
charges'correspondantes'sont'transférées'par'un'disposi#f'analogue'à'un'registre'à'décalage'
(ici'analogique)'appelé'CCD'(coupled'charge'device'–'disposi#f'à'transfert'de'charge).'
'
Le'temps'de'réponse'd’une'barreUe'de'2048'pixels'est'du'coup'de'quelques$ms.$
'
Une'photorésistance'est'une'couche'mince'de'semiconducteur'cons#tué'généralement'de'
sulfure'de'cadmium'(CdS).'En'l’éclairant,'le'nombre'de'porteurs'et'donc'la'conduc#vité'
augmentent.''
K
On'peut'généralement'modéliser'par'une'loi'du'type'''''''''''''''avec'n'compris'entre'0.5'et'1.'
R= n
Φ
'
Le'temps'de'réponse'd’une'photorésistance'est'de'plusieurs$dizaines$de$ms.'
'
Il'existe'aussi'les'capteurs$thermiques$(pyroBpiezoélectriques)'qui'donnent'une'image'en'
tension'de'la'puissance'thermique'reçue'par'le'détecteur.'Leur'temps'de'réponse'est'
carrément'de'l’ordre'de'plusieurs'dixièmes'de'secondes.'(idem'bolomètres)'
Eclairement$ou$intensité$?$
Nous'ne'nous'préoccuperons'généralement'pas'de'la'dimension'physique'de'l’éclairement'
qui'sera'systéma#quement'rapporté'à'un'éclairement'de'référence'(valeur'maximale'dans'le'
champ'de'détec#on'la'plupart'du'temps)'et'encore'moins'de'l’unité'de'l’'«amplitude'»'de'la'
vibra#on'lumineuse.'Toutefois'nous'devinons'que'ces'grandeurs'sont'propor#onnelles':''
B  à'l’amplitude'de'la'composante'du'champ'électrique'pour'l’amplitude'vibratoire'
B  à'la'norme'du'vecteur'de'Poyn#ng'pour'l’éclairement'(W/m2)'
Pendant'de'longues'années,'on'a'parlé'd’'«'Intensité'lumineuse'I'»'en'lieu'et'place'de'''''''''''''
l’'«'éclairement'E'».'Il'y'avait'alors'confusion'avec'l’intensité$lumineuse$photométrique'd’un'
faisceau'de'lumière'représentant'le'flux'rayonné'par'unité'd’angle'solide'dans'une'direc#on'
donnée'et'dont'la'valeur'énergé#que's’exprimait'en'Wa[$par$stéradian.'
Soit'd2Φ'le'flux'lumineux'émis'par'un'élément'de'
surface'de'source'dS'dans'un'angle'solide'dΩ'
défini'par'un'élément'de'surface'de'détecteur'
dS’,'l’intensité'émise'dans'ceUe'direc#on'par'la'
source's’écrit':'
d 2Φ
d 2Φ
I ≡ ∫ dI = ∫∫
≠ E ≡ ∫ dE = ∫∫
dΩ
dS '
source
S
source
S
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Synchronisme'et'cohérence!
Expression$de$l’éclairement$obtenu$par$superposi*on$de$deux$ondes$lumineuses$
s1 (M ,t) = a1 (M ).cos(ω 1 .t − ϕ S1 −>M − ϕ 01 )
s2 (M ,t) = a2 (M ).cos(ω 2 .t − ϕ S2 −>M − ϕ 02 )
s(M, t) = a1 (M ).cos(ω1.t − ϕ S1 −>M − ϕ 01 ) + a2 (M ).cos(ω 2 .t − ϕ S2 −>M − ϕ 02 )
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Synchronisme'et'cohérence!
Considérant'les'phases'indépendantes'du'temps,'le'caractère'isochrone'(ω1=ω2)'des'
oscilla#ons'est'donc'indispensable'pour'que'le'deuxième'terme'ait'une'moyenne'non'
nulle.'(condi#on'nécessaire'de'cohérence$temporelle$mutuelle)$
Même'si'le'déphasage'dû'à'la'différence'de'marche'op#que'(géométrique+supplémentaire)'
est'constant,'la'différence'complémentaire'ϕ01−ϕ02'est'pour'sa'part'complètement'aléatoire'
puisque'les'deux'sources'sont'totalement'indépendantes'!'En'd’autres'termes,'les'trains'
d’ondes'qui'se'superposent'autour'd’un'instant'donné'ont'un'état'de'phase'au'départ'des'
sources'dont'l’écart'variera'aléatoirement'sur'la'durée'de'détec#on'de'telle'manière'que'la'
moyenne'du'cosinus'est'inévitablement'nulle'.'
⇒ E(M ) = a12 + a22 = E1 + E2
Pas$de$terme$d’INTERFERENCES$!$
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Cohérence'Mutuelle!
C’est'le'problème'de'cohérence'mutuelle':' 'deux'ondes'
émises'par'deux'sources'ponctuelles'monochroma#ques'
dis#nctes' sont' incohérentes,' c’estBàBdire' complètement'
décorrèlées' .' On' palliera' ce' problème' en' réalisant' des'
interférences' entre' deux' sources' secondaires' issues'
d’une' même' source' primaire' :' division' de' front' d’onde'
ou'division'd’amplitude.'
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Cohérence'Temporelle!
Même'dans'le'cas'd’une'même'source'primaire'ceUe'différence'peut'être'aléatoire'si'
les'trains'd’onde'ont'une'longueur'de'cohérence'(longueur'dans'le'milieu'propagateur'
Lc=c.τc)'supérieure'à'la'différence'de'marche'entre'les'deux'trajets'pour'aUeindre'le'
point'M.'Dans'le'cas'contraire,'des'trains'd’ondes'successifs'et'donc'différents'en'
phase'se'superposent'au'point'M'et'on'se'retrouve'dans'une'situa#on'd’incohérence'
On$re*endra$donc$que$deux$ondes$issues$d’une$même$source$ponctuelle$monochroma*que$
ne$sont$cohérentes$que$si$la$différence$de$marche$δ$est$inférieure$en$valeur$absolue$à$la$
longueur$de$cohérence$de$la$source.'
τ c (LASER) #10 −8 s et τ c (Lampe spectrale) #10 −12 s
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Phase'et'différence'de'marche!
La$phase$subit$une$discon*nuité$de$π$lors$:$
B$d’une$réflexion$sur$un$métal.$
B$d’une$'réflexion$sur$un$dioptre$dans$le$sens$milieu$moins$réfringent$B>$plus$réfringent.(n2>n1)$
B$du$passage$par$un$point$de$convergence.$
Pour'une'onde'monochroma#que'de'pulsa#on'ω'(ou'de'longueur'd’onde'dans'le'vide'λ0)','
la'différence'de'phase'à'tout'instant'entre'deux'points'A'et'B's’écrit':'
ϕ (A → B) =
ϕ (A → B)
2π
( AB) + ϕsup
λ0
'retard$de$phase''en'B'dû'à'la'propaga#on'et'aux'discon#nuités'de'phase'de'A'à'B.'
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Formule'de'FRESNEL!
Lorsque'les'ondes'sont'synchrones'et'cohérentes,'on'observe'un'phénomène'd’interférences.'
L’éclairement'total'diffère'de'la'somme'des'éclairements'par'le'terme'd’interférences.'
'
On'appelle'«'formule''des'interférences'à'deux'ondes'»'ou'«'formule'de'FRESNEL'»'
l’expression'de'l’éclairement':'
'
'
⎛ 2πδ ⎞
Etot = E1 + E2 + 2 E1E2 cos ( Δϕ ) = E1 + E2 + 2 E1E2 cos ⎜
⎝ λ0 ⎟⎠
Retrouvez'ceUe'expression'en'u#lisant'les'amplitudes'complexes'de'deux'ondes'
synchrones'présentant'un'déphasage'constant'en'M.''
On'note'p'l’ordre'd’interférence'en'un'point'M':''' p ≡ δ
λ0
Si'p=k'en#er,'on'dit'que'l’interférence'est'construc#ve,'les'deux'vibra#ons'sont'en'phase'
'et'E=Emax.'Si'p'est'demiBen#er'(k+1/2)'l’interférence'est'destruc#ve'(opposi#on'de'phase).'
'
A'quelle'condi#on'l’éclairement'total'estBil'nul'?'(lumière+lumière'='obscurité)'
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Contraste'ou'Visibilité!
On'définit'le'contraste'ou'facteur$de$visibilité$V$comme'le'coefficient'pondérant'les'
varia#ons'spa#ales'dans'l’expression'de'l’éclairement':'
⎛
⎛ 2πδ ( M ) ⎞ ⎞
E = Emoyen . ⎜ 1 + V ( M ).cos ⎜
⎝ λ0 ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
C’est'une'grandeur'définie'à'priori'localement'(zone'de'détec#on'sur'laquelle'la'
différence'de'marche'peut'varier'de'quelques'longueurs'd’onde).'
Montrez'que':'' V =
E max local − E min local
E max local + E min local
Que'vaut'ce'contraste'dans'le'cas'des'interférences'à'deux'ondes'd’éclairements'E1'et'E2''?'
Cas'par#culier'où'' E1 = E2 = E0
Les$phénomènes$d’interférences$
Interférences$à$deux$ondes!
Contraste'ou'Visibilité!
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Figure$d’interférences$
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Calcul$de$la$différence$de$marche$$
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Hyperboloïdes$équiphases$
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Source$ponctuelle$hors$de$l’axe$
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Extension(s)$transversale(s)$de$la$source$primaire$
Disposi*f$des$trous$d’Young$
Cohérente$spa*ale$de$la$fente$source$
b
d
D
⎧
⎛ 2π ax ⎞ ⎫
I = I 0 ⎨1+ sin c(u).cos ⎜
⎟⎠ ⎬
⎝
λ
D
⎩
⎭
Montrer'que':'
π ab
avec u ≡
λd
sinu
Soit'un'facteur'de'contraste':'' Γ = sin c(u) ≡
u
λd λ
l≡
=
est'appelée'largeur'de'cohérence'de'la'source'
b α
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$
Sources$polychroma*ques$
Doublet$Spectral$
$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$
Sources$polychroma*ques$
Lumière$blanche$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$
Sources$polychroma*ques$
Lumière$blanche$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$
Sources$polychroma*ques$
Cannelures$dans$le$blanc$d’ordre$supérieur$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$
Sources$polychroma*ques$
«$Modèle$»$du$profil$rectangulaire$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*que$
«$Modèles$»$de$profils$de$«$raie$»$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Un$modèle$de$spectre$con*nu$pour$le$doublet$du$sodium$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Trains$d’onde$et$cohérence$temporelle$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Trains$d’onde$et$cohérence$temporelle$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Trains$d’onde$et$cohérence$temporelle$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Formes$de$paquets$d’onde$
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Trains$d’onde$et$cohérence$temporelle$
On'écrit'souvent'que'le'«'temps'»'de'cohérence'est'la$durée$moyenne$d’un$train$
d’onde$émis$par$la$source.'Puisque'le'paquet'd’onde'temporel'est'la'transformée'de'
Fourier'inverse'du'spectre'fréquen#el,'ceUe'durée'est'inversement'propor#onnelle'à'
la'largeur'caractéris#que'du'spectre'en'fréquence':'
τC ≡
1 ⎛ 1⎞
=
Δν ⎜⎝ Δf ⎟⎠
Il'sera'défini'en'fonc#on'du'profil'de'raie'':'
B  Pour'la'Gaussienne'précédente':'la'largeur'à'miBhauteur'vaut'environ'
2,35sigma'et'le'temps'de'cohérence'lui'sera'inversement'propor#onnel.'
B  Pour'la'Lorentzienne$:$la'largeur'à'miBhauteur'vaut'l’inverse'de'Pi'fois'le'
temps'de'cohérence.'
A'ce'temps'de'cohérence'on'associe'une'longueur'de'cohérence'définie'comme'la'
longueur'du'train'd’onde'dans'le'vide,'soit,'en'rela#on'avec'la'défini#on'du'nombre'
d’onde':'
2
1
1 ν
σ≡ =
=
λ cT c
Lc ≡ c.τ c =
c
1
=
Δν Δσ
⎛ λ0 ⎞
⎜⎝ = Δλ ⎟⎠
$$$$$Le$problème$de$la$cohérence$temporelle$$
Sources$polychroma*ques$
Trains$d’onde$et$cohérence$temporelle$
Interférences$à$N$ondes$:$les$réseaux$op*ques$
Interférences$à$N$ondes$:$les$réseaux$op*ques$
Interférences$à$N$ondes$:$les$réseaux$op*ques$
Interférences$à$N$ondes$:$les$réseaux$op*ques$
Recouvrement des ordres successifs
Existence d’un minimum de déviation