1 Interféromètre en lame d`air 2 Anneaux brillants d`égale
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MP1 Lycée Janson de Sailly Interféromètre de Michelson a) On relève le rayon du 1er anneau sombre à partir du centre de la figure : r1 = 1,5 cm et celui du 9ème anneau sombre : r9 = 4,8 cm. Calculer numériquement e. b) Quel est le rayon du 2ème anneau sombre ? c) On constate que l’intervalle entre les anneaux successifs se resserre quand on passe du centre au bord de la figure d’interférences. Expliquer ce phénomène. TD n°25 : INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON 1 Interféromètre en lame d’air On étudie un interféromètre de Michelson éclairé par une source étendue D (située à distance finie) qui émet une lumière monochromatique de longueur d’onde λ = 550 nm. On observe la figure d’interférence sur un écran situé dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L) de distance focale f 0 = 50 cm. L’ensemble est placé dans l’air, dont l’indice est pris égal à 1. 2 Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air. Il est éclairé par une lampe à vapeur de mercure devant laquelle on a placé un diaphragme largement ouvert et un filtre interférentiel isolant la raie verte de longueur d’onde dans le vide λ0 = 546.1 nm. y M2 D Anneaux brillants d’égale inclinaison x 1. La distance entre les miroirs est e = 1,10 mm et la lentille de projection a une distance focale image f 0 = 1,0 m. Déterminer l’ordre d’interférence p0 au centre de la figure. Calculer les rayons ρ1 et ρ2 des deux premiers anneaux brillants. 2. On diminue la valeur de e. Comment les anneaux évoluent-ils sur l’écran ? Calculer la valeur e0 de e pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon ρ01 du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de l’anneau qui a disparu. O M1 1. On observe des anneaux sur l’écran. En déduire l’orientation relative des deux miroirs. Pourquoi faut-il placer l’écran dans le plan focal de la lentille ? 2. On déplace le miroir M1 dans la direction Ox jusqu’à l’obtention d’un éclairement uniforme sur l’écran. Comment s’appelle cette situation ? 3 Mesure de l’épaisseur d’une lame de verre On étudie un interféromètre de Michelson éclairé par une source ponctuelle S placée au foyer principal objet d’une lentille mince convergente. Cette source émet une lumière monochromatique de longueur d’onde λ = 546 nm. 3. À partir de la position précédente, on déplace M1 d’une distance e dans le sens des x croissants. On observe à nouveau des anneaux. 1 MP1 Lycée Janson de Sailly Interféromètre de Michelson ! ! ! ! ! ! ! b) Quel est la nouvelle intensité détectée sur l’écran ? Dans le cas où cette nouvelle intensité serait à nouveau minimale, serait-il possible de définir l’épaisseur de la lame ? c) On utilise un laser accordable (c’est à dire de longueur d’onde réglable) et l’intensité minimale est réalisée pour deux longueurs d’onde voisines λ1 et λ2 . Comment peut-on en déduire l’épaisseur de la lame ? M2 x O S M1 Écran M 4 L’interféromètre est réglé en lame d’air d’épaisseur optique e. On observe l’intensité lumineuse sur un écran placé dans la zone de sortie. L’ensemble est placé dans l’air, dont l’indice est pris égal à 1. Un interféromètre de Michelson est réglé en coin d’air et il est éclairé sous une incidence quasi-normale. L’épaisseur optique e est nulle et on utilise une lampe à vapeur de sodium dont la lumière peut être considérée comme monochromatique, de longueur d’onde λ = 589 nm. On fait l’image des miroirs sur l’écran à l’aide d’une lentille mince convergente. Les miroirs sont des disques de diamètre D = 3 cm, leurs images des disques de diamètre D0 = 4 cm. On observe sur l’écran des franges d’interfrange i0 = 0,8 cm. 1. Tracer la marche des rayons lumineux qui viennent se superposer au point M de l’écran représenté sur la figure ci-dessus. 2. Les deux voies de l’interféromètre produisant la même intensité I0 , quelle est l’expression de l’intensité I(M ) en fonction de I0 , e et λ ? On déplace alors le miroir M1 de façon à ce que son image par la séparatrice coïncide avec le miroir M2 . Comment appellet-on cette configuration et quelle est la valeur de l’intensité sur l’écran ? 1. Que vaut l’angle α du coin d’air ? 2. Combien voit-on de franges sur l’écran ? d x • O n Interféromètre réglé en coin d’air 5 M1 Mesure d’un indice optique grâce au Michelson réglé en lame d’air Sur un des bras d’un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air et éclairé par une lumière monochromatique de longueur d’onde λ = 638 nm, on intercale une cuve d’épaisseur L = 1,6 cm, traversée par la lumière sous incidence normale. On fait le vide dans cette cuve, puis on laisse l’air entrer progressivement. Un capteur d’éclairement, placé au centre des franges d’égale inclinaison, délivre une tension u(t) proportionnelle à E et représentée sur la figure ci-dessous. 3. Sans rien toucher aux réglages décrits à la question précédente, on place maintenant sur la voie 1 de l’interféromètre une lame de verre transparente, à faces parallèles, d’indice n=1,5 et d’épaisseur d. a) Quelle est la différence de marche supplémentaire due à la lame ? 2 MP1 Lycée Janson de Sailly Interféromètre de Michelson 1. Pourquoi observe-t-on une oscillation de l’éclairement ? ! ! ! ! ! ! ! 6 2. Au cours du remplissage, l’indice n du gaz dans la cuve augmente à partir de 1 jusqu’à l’indice de l’air na . Compter le nombre d’oscillations et en déduire un encadrement de l’écart na − 1 entre l’indice de l’air et celui du vide. Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air et éclairé par une source étendue monochromatique de fréquence ν0 . On place un écran dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L) de distance focale image f 0 . 1. Donner l’expression de l’intensité I(i) sur l’écran, où i est l’inclinaison des rayons interférant en M . On appellera I0 l’intensité sur l’écran lorsqu’on occulte un des deux miroirs et on notera e la distance relative entre les deux miroirs. Quel est le contraste ? Cuve 2. On place un détecteur lumineux ponctuel au foyer image F 0 de (L). Ce détecteur délivre une tension u proportionnelle à l’intensité lumineuse qu’il reçoit, avec une constante de proportionnalité K. On déplace alors un des deux miroirs à vitesse constante v0 , ce qui fait varier la distance e selon : e(t) = v0 t. Décrire l’évolution de la tension u(t). S L ! Capteur Pouvoir de résolution d’un détecteur Plan focal image 3. En fait, le détecteur n’est pas ponctuel mais a la forme d’un disque de rayon r0 dont le centre est en F 0 . Il est sensible à la puissance lumineuse moyenne totale qu’il reçoit. i0 OL Centre optique de la lentille i di r r0 F’ r + dr Surface du capteur a) Les notations étant celles de la figure ci-dessus, exprimer la surface élémentaire de l’anneau compris entre r et r + dr en fonction de f 0 (distance focale image), i et di. b) Montrer que si on suppose que i0 1, u est donnée par 3 MP1 Lycée Janson de Sailly Interféromètre de Michelson ! l’expression approchée : u = 4π f 02 K I0 Z i0 0 2πν0 e 1 + cos cos i c i di f e Données : n = 1,57 ; e = 8,0 mm ; f = 50 cm ; λ = 0,590 µm d) Calculer alors l’intégrale et montrer que : u = 4π f 02 K I0 2 " 1 + sinc πν0 e i20 2πν0 e 1− c 4 ! i20 cos 2c !! # où sinc(x) est le sinus cardinal de x, défini par sinc(x) = sin(x) . On utilisera la transformation : x sin(p) − sin(q) = 2 cos p+q 2 sin p−q 2 1. Faire un schéma représentant le trajet d’un rayon lumineux arrivant sur la lame avec un angle d’incidence i et qui se divise en deux rayons : le premier se réfléchissant sur le face avant de la lame et le seconde se réfléchissant sur la face arrière. En quel point M du plan focal image de la lentille ces deux rayons vont-ils se rencontrer ? 2. Montrer que la différence de marche entre ces deux rayons s’écrit : δ(M ) = 2 ne cos r où r est l’angle de réfraction du rayon à l’intérieur de la lame. Quel est alors le déphasage ∆ϕ(M ) entre ces deux ondes ? e) Compte-tenu des valeurs numériques données à la question précédente, représenter l’allure de u en fonction de e. Quelle est la différence par rapport à la question 2. ? 7 Écran S i c) On donne : i0 = 0,8°, ν0 = 5,5×1014Hz et e = 1,0 mm. 2πν0 e cos i peut être remplacé Le cosinus de i dans cos c i2 par 1 − . Justifier pourquoi il n’est pas judicieux de faire 2 l’approximation cos i ≈ 1 dans cette situation. i20 Lame de mica 3. Justifier que l’on observe des anneaux et calculer l’ordre d’interférence au centre (c’est à dire en F 0 : foyer image de la lentille). Lame de mica On éclaire une lame de mica d’indice n et d’épaisseur e grâce à une source ponctuelle S monochromatique de longueur d’onde λ. On observe la lumière réfléchie dans le plan focal image d’une lentille convergente de focale f . 4
