1 Interféromètre en lame d`air 2 Anneaux brillants d`égale

MP1 Lycée Janson de Sailly Interféromètre de Michelson
TD n°25 : INTERFÉROMÈTRE DE MICHELSON
1 Interféromètre en lame d’air
On étudie un interféromètre de Michelson éclairé par une source
étendue D(située à distance finie) qui émet une lumière monochro-
matique de longueur d’onde λ= 550 nm. On observe la figure d’in-
terférence sur un écran situé dans le plan focal image d’une lentille
mince convergente (L) de distance focale f0= 50 cm. L’ensemble est
placé dans l’air, dont l’indice est pris égal à 1.
!
!
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!
O
x
M2
M1
y
D
1. On observe des anneaux sur l’écran. En déduire l’orientation
relative des deux miroirs. Pourquoi faut-il placer l’écran dans le
plan focal de la lentille ?
2. On déplace le miroir M1dans la direction Ox jusqu’à l’obtention
d’un éclairement uniforme sur l’écran. Comment s’appelle cette
situation ?
3. À partir de la position précédente, on déplace M1d’une dis-
tance edans le sens des xcroissants. On observe à nouveau des
anneaux.
a) On relève le rayon du 1er anneau sombre à partir du centre
de la figure : r1= 1,5 cm et celui du 9ème anneau sombre :
r9= 4,8 cm. Calculer numériquement e.
b) Quel est le rayon du 2ème anneau sombre ?
c) On constate que l’intervalle entre les anneaux successifs se
resserre quand on passe du centre au bord de la figure d’in-
terférences. Expliquer ce phénomène.
2 Anneaux brillants d’égale inclinaison
Un interféromètre de Michelson est réglé
en lame d’air. Il est éclairé par une lampe
à vapeur de mercure devant laquelle on a
placé un diaphragme largement ouvert et
un filtre interférentiel isolant la raie verte
de longueur d’onde dans le vide λ0= 546.1
nm.
1. La distance entre les miroirs est e= 1,10 mm et la lentille de
projection a une distance focale image f0= 1,0 m. Détermi-
ner l’ordre d’interférence p0au centre de la figure. Calculer les
rayons ρ1et ρ2des deux premiers anneaux brillants.
2. On diminue la valeur de e. Comment les anneaux évoluent-ils
sur l’écran ? Calculer la valeur e0de epour laquelle le premier
anneau disparaît. En déduire le rayon ρ0
1du premier nouvel
anneau et le comparer au rayon de l’anneau qui a disparu.
3 Mesure de l’épaisseur d’une lame de verre
On étudie un interféromètre de Michelson éclairé par une source
ponctuelle Splacée au foyer principal objet d’une lentille mince
convergente. Cette source émet une lumière monochromatique de lon-
gueur d’onde λ= 546 nm.
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M2
M
Écran
M1
S
x
O
L’interféromètre est réglé en lame d’air d’épaisseur optique e. On
observe l’intensité lumineuse sur un écran placé dans la zone de sortie.
L’ensemble est placé dans l’air, dont l’indice est pris égal à 1.
1. Tracer la marche des rayons lumineux qui viennent se superpo-
ser au point Mde l’écran représenté sur la figure ci-dessus.
2. Les deux voies de l’interféromètre produisant la même intensité
I0, quelle est l’expression de l’intensité I(M)en fonction de I0,e
et λ? On déplace alors le miroir M1de façon à ce que son image
par la séparatrice coïncide avec le miroir M2. Comment appelle-
t-on cette configuration et quelle est la valeur de l’intensité sur
l’écran ?
•
O
d
n
x
M1
3. Sans rien toucher aux réglages décrits à la question précédente,
on place maintenant sur la voie 1 de l’interféromètre une lame de
verre transparente, à faces parallèles, d’indice n=1,5 et d’épais-
seur d.
a) Quelle est la différence de marche supplémentaire due à la
lame ?
b) Quel est la nouvelle intensité détectée sur l’écran ? Dans le
cas où cette nouvelle intensité serait à nouveau minimale,
serait-il possible de définir l’épaisseur de la lame ?
c) On utilise un laser accordable (c’est à dire de longueur
d’onde réglable) et l’intensité minimale est réalisée pour
deux longueurs d’onde voisines λ1et λ2. Comment peut-on
en déduire l’épaisseur de la lame ?
4 Interféromètre réglé en coin d’air
Un interféromètre de Michelson est réglé en coin d’air et il est éclairé
sous une incidence quasi-normale. L’épaisseur optique eest nulle et
on utilise une lampe à vapeur de sodium dont la lumière peut être
considérée comme monochromatique, de longueur d’onde λ= 589 nm.
On fait l’image des miroirs sur l’écran à l’aide d’une lentille mince
convergente. Les miroirs sont des disques de diamètre D= 3 cm, leurs
images des disques de diamètre D0= 4 cm. On observe sur l’écran
des franges d’interfrange i0= 0,8 cm.
1. Que vaut l’angle αdu coin d’air ?
2. Combien voit-on de franges sur l’écran ?
5 Mesure d’un indice optique grâce au Mi-
chelson réglé en lame d’air
Sur un des bras d’un interféromètre de Michelson réglé en lame
d’air et éclairé par une lumière monochromatique de longueur d’onde
λ= 638 nm, on intercale une cuve d’épaisseur L= 1,6 cm, traversée
par la lumière sous incidence normale. On fait le vide dans cette cuve,
puis on laisse l’air entrer progressivement. Un capteur d’éclairement,
placé au centre des franges d’égale inclinaison, délivre une tension
u(t)proportionnelle à Eet représentée sur la figure ci-dessous.
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1. Pourquoi observe-t-on une oscillation de l’éclairement ?
2. Au cours du remplissage, l’indice ndu gaz dans la cuve aug-
mente à partir de 1 jusqu’à l’indice de l’air na. Compter le
nombre d’oscillations et en déduire un encadrement de l’écart
na−1entre l’indice de l’air et celui du vide.
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!
!
!
!
!
!
S
Cuve
Plan focal
image
Capteur
L
!
6 Pouvoir de résolution d’un détecteur
Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air et éclairé
par une source étendue monochromatique de fréquence ν0. On place
un écran dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L)
de distance focale image f0.
1. Donner l’expression de l’intensité I(i)sur l’écran, où iest l’incli-
naison des rayons interférant en M. On appellera I0l’intensité
sur l’écran lorsqu’on occulte un des deux miroirs et on notera e
la distance relative entre les deux miroirs. Quel est le contraste ?
2. On place un détecteur lumineux ponctuel au foyer image F0
de (L). Ce détecteur délivre une tension uproportionnelle à
l’intensité lumineuse qu’il reçoit, avec une constante de propor-
tionnalité K. On déplace alors un des deux miroirs à vitesse
constante v0, ce qui fait varier la distance eselon : e(t) = v0t.
Décrire l’évolution de la tension u(t).
3. En fait, le détecteur n’est pas ponctuel mais a la forme d’un
disque de rayon r0dont le centre est en F0. Il est sensible à la
puissance lumineuse moyenne totale qu’il reçoit.
!
r
r + dr
r0
F’
OL
i
di
i0
Centre optique de
la lentille
Surface du capteur
a) Les notations étant celles de la figure ci-dessus, exprimer la
surface élémentaire de l’anneau compris entre ret r+dr en
fonction de f0(distance focale image), iet di.
b) Montrer que si on suppose que i01,uest donnée par
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l’expression approchée :
u= 4π f02K I0Zi0
01 + cos 2πν0e
ccos ii di
c) On donne : i0= 0,8°,ν0= 5,5×1014 Hz et e= 1,0 mm.
Le cosinus de idans cos 2πν0e
ccos ipeut être remplacé
par 1−i2
2. Justifier pourquoi il n’est pas judicieux de faire
l’approximation cos i≈1dans cette situation.
d) Calculer alors l’intégrale et montrer que :
u= 4π f02K I0
i2
0
2"1 + sinc πν0e i2
0
2c!cos 2πν0e c 1−i2
0
4!!#
où sinc(x) est le sinus cardinal de x, défini par sinc(x) =
sin(x)
x. On utilisera la transformation :
sin(p)−sin(q) = 2 cos p+q
2sin p−q 2
e) Compte-tenu des valeurs numériques données à la question
précédente, représenter l’allure de uen fonction de e. Quelle
est la différence par rapport à la question 2. ?
7 Lame de mica
On éclaire une lame de mica d’indice net d’épaisseur egrâce à
une source ponctuelle Smonochromatique de longueur d’onde λ. On
observe la lumière réfléchie dans le plan focal image d’une lentille
convergente de focale f.
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i
S
Lame de
mica
f
Écran
e
Données : n= 1,57 ; e= 8,0 mm ; f= 50 cm ; λ= 0,590 µm
1. Faire un schéma représentant le trajet d’un rayon lumineux ar-
rivant sur la lame avec un angle d’incidence iet qui se divise en
deux rayons : le premier se réfléchissant sur le face avant de la
lame et le seconde se réfléchissant sur la face arrière.
En quel point Mdu plan focal image de la lentille ces deux
rayons vont-ils se rencontrer ?
2. Montrer que la différence de marche entre ces deux rayons
s’écrit :
δ(M)=2ne cos r
où rest l’angle de réfraction du rayon à l’intérieur de la lame.
Quel est alors le déphasage ∆ϕ(M)entre ces deux ondes ?
3. Justifier que l’on observe des anneaux et calculer l’ordre d’inter-
férence au centre (c’est à dire en F0: foyer image de la lentille).
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