Chapitre 9 Quantité de mouvement Questions : #3) Lancez les objets que vous portez dans la direction inverse à la berge. Votre quantité de mouvement est initialement nulle et doit être conservée. Si vous lancez un objet, dans la direction opposée à la berge, celui-ci acquiert une quantité de mouvement qui doit nécessairement être annulée par la vôtre. Ainsi vous acquérez une vitesse vers la berge. #4) Collision parfaitement inélastique : m : voiture ; u1 M : camion; u 2 collision inélastique : p = const a) Variation de vitesse : p0 = p m u1 + M u 2 = (m + M ) v = m v + M v m (u1 − v ) = M (v − u 2 ) − m ∆v1 = M ∆v 2 Pour avoir égalité, tout en sachant que M > m, il faut que la variation de vitesse de la voiture ∆v1 soit plus importante que celle du camion ∆v 2 . b) On reprend la dernière égalité de la sous-question précédente : − m ∆v1 = M ∆v 2 − ∆p1 = ∆p 2 Donc, les 2 subissent la même variation de quantité de mouvement. c) Variation d’énergie cinétique : ∆p12 ∆K 1 = 2m ∆p 22 ∆K 2 = 2M ∆K 1 2 M M = = ∆K 2 2m m Donc, la variation de l’énergie cinétique de la voiture est plus grande que celle du camion. 1 #5) a) K= p2 2m si on double la quantité de mouvement ⇒ K ′ = (2 p )2 2m = 4p2 = 4K 2m b) p = 2 Km #6) si on double l ' énergie cinétique ⇒ p′ = 2 ( 2 K ) m = 2 2 Km = 2 p a) Même énergie cinétique K1 = K 2 1 1 m1 v12 = m2 v 22 2 2 1 m v1 = 2 m1 (1) ( 2) 2 v2 m p1 = m1 v1 = m1 2 m1 p 2 = m2 v 2 p m m (1) = 1 = 1 2 (2) p 2 m2 m1 1 2 1 2 v 2 m = 1 m2 1 2 ⇒ Si m1 > m2 ⇒ p1 > p 2 b) Même quantité de mouvement p1 = p 2 m1 v1 = m2 v 2 m v1 = 2 v 2 m1 (1) 1 1 m K 1 = m1 v12 = m1 2 2 2 m1 ( 2) K2 = 2 2 v 2 1 m2 v 22 2 (1) K 1 m1 m2 = = (2) K 2 m2 m1 2 m = 2 m1 ⇒ Si m1 > m2 ⇒ K 2 > K1 2 #7) Collision élastique (conservation de l’énergie cinétique) mA ; u A mB ; u B = 0 (1) vA = (m A − m B ) u (m A + m B ) A ( 2) vB = 2m A u (m A + m B ) A Cas particulier #2 de collision élastique : a) Consultez l’exemple 9.7 : fB = 1− (m A − mB )2 (m A + m B )2 Ici, la plus grande valeur possible est 1. On obtient cette valeur lorsque m A = mB b) On veut la plus grande quantité de mouvement pour B : mA u A = mA vA + pB p B = m A (u A − v A ) (m − m B ) p B = m A u A − A u (m A + mB ) A (m − m B ) p B = m A u A 1 − A (m A + m B ) Ici, la plus grande valeur possible est lorsque la parenthèse égale 1. On obtient cette valeur lorsque m A = m B c) La vitesse la plus grande que peut récupérer B est celle que possède A initialement. Le cas particulier du « transfert de vitesses » se produit lorsque m A = mB #9) La personne devrait marcher vers la falaise. En marchant, elle pousse la voiture dans la direction opposée à la falaise, ce qui entrainera la voiture à s’éloigner du ravin. La quantité de mouvement est conservée : nulle avant et après. #11) On amortit la vitesse de recul avec un appui stable du corps (l’épaule). On évite ainsi les blessures à l’œil appuyé sur la lunette de visée. 3 #12) Les muscles étant plus relâchés, on augmente le temps de collision. Pour une même impulsion : I = ∆p = p − p 0 = 0 − p 0 = − p 0 I = − p 0 = Fmoyenne ∆t Si ∆t + > ⇒ Fmoyenne + < ( force appliquée sur la personne par le sol ) #16) Conservation de la quantité de mouvement ou application de la 3ième loi de Newton : Exercices : #1) Quantité de mouvement m = 70kg v = 10 m i s ⇒ p = m v = 700 kg m s i a) Même quantité de mouvement pour la balle : p = p′ 700 kg m s i = 20 ×10−3 kg v′ ⇒ v′ = 35, 0 km i s 4 b) Même quantité de mouvement pour la voiture : p = p′ 700 kg m s i = 1500kg v ′ ⇒ v ′ = 0,467 m i s #3) Une balle et un coureur : mB = 20 ×10−3 kg ; vB mC = 60kg ; vC a) Même quantité de mouvement : p B = pC m B v B = mC v C m v B = C vC mB (1) m 1 1 K B = m B v B2 = m B C 2 2 mB ( 2) KC = 2 2 vC 1 mC vC2 2 (1) K B m B mC = = (2) K C mC m B 2 m = C = 3000 mB b) Même énergie cinétique K B = KC 1 1 m B v B2 = mC vC2 2 2 m v B = C mB (1) ( 2) 1 2 vC m p B = m B v B = m B C mB p C = mC v C (1) p B m B mC = = (2) pC mC m B 1 2 1 2 vC m = B mC 1 2 = 0,0183 5 #4) Conservation de la quantité de mouvement : • Avant : M avec u = 0 • Après : m =M ; v1 = 20 m i s m2 = M ; v 2 = 15 m à 135° 3 s m3 = M ; v3 = ? 3 1 3 p0 = p 0 = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 0 = v1 + v 2 + v3 = ∑ v x + ∑ v y (1) ( 2) ⇒ ∑ v = (v + v cos135°)i + v = 0 ⇒ ⇒ ∑ v = v sin 135° i + v = 0 v = (− 9,39 i − 10,6 j ) m = 14,2 m à 228° s s x y 1 2 2 3x 3y v3 x = −9,39 m i s v3 y = −10,6 m i s 3 #5) Conservation de la quantité de mouvement : • Avant : M = 10kg avec u = 6 m i s • Après : m1 = 5kg ; v1 = (2 i − j ) m s m2 = 5kg ; v2 = ? p0 = p 60 kg m i = (10 i − 5 j ) kg m + 5kg v 2 s s ⇒ v 2 x = 10 m i s ⇒ v2 y = 1 m j s ⇒ v 2 = (10,0 i + 1,00 j ) m s 6 #7) Collision inélastique à 2D : • Avant : m1 = 3kg ; u1 = −6 m j s m2 = 2kg ; u 2 = 0 • Après : v1 = v1 à 240° v 2 = v 2 à 295° p0 = p p 01 = p1 + p 2 (1) p 01x = 0 ( 2) p 01 y = −18 kg m (3) p x = p1x + p 2 x ( 4) j s = (3kg v1 cos 240° + 2kg v 2 cos 295°) i p y = p1 y + p 2 y = (3kg v1 sin 240° + 2kg v 2 sin 295°) j (1) = (3) 0 = −1,5 v1 + 0,845 v 2 (5) ⇒ v 2 = 1,77 v1 ( 2) = ( 4) (6) − 18 kg m s j = −2,6 v1 − 1,81v 2 (5) dans (6) : ⇒ v1 = 3,10 m ⇒ v 2 = 5,49 m s s #8) Collision parfaitement inélastique : v1 = v2 = v m1 = 0,5kg ; u1 = 6 m i s m2 = M ; u2 = 0 7 • 25% de l’énergie cinétique est perdue lors de la collision : 1 1 K = ( m1 + m2 ) v 2 = K 0 − 0, 25K 0 = 0, 75 K 0 = 0, 75 ⋅ m1 u12 = 6, 75 J 2 2 • Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p (1) m1 u1 = (m1 + m2 ) v 3 kg m i = (0,5kg + m2 ) v s • ( 2) De (1) : 1 2 ⋅ 6, 75 J 2 v = i ( 0,5kg + m2 ) • (1) (1) dans (2) : 1 1 13,5 J 2 2 3 kg m i = ( 0,5kg + m2 ) i = 13,5 J ⋅ 0,5 kg + m i ( ) ( ) 2 s 0,5 kg + m ( ) 2 ⇒ m2 = 0,167kg #10) Collision parfaitement inélastique : v1 = v2 = v m1 = 2kg ; u1 = u1 i m2 = 3kg ; u2 = 0 • 60J d’énergie cinétique est perdue lors de la collision : 1 1 K = (m1 + m2 ) v 2 = K 0 − 60 J = m1 u12 − 60 J (1) 2 2 • Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p m1 u1 = (m1 + m2 ) v • ( 2) De (2) : 2 v = u1 (2) 5 8 • (2) dans (1) : 2 1 1 2 2 m1 u1 − 60 J = (m1 + m2 ) u1 2 2 5 2 u12 − 60 = u12 5 ⇒ u1 = 10,0 m i s #14) Collision inélastique à 2D : • Avant : m1 = 1kg ; u1 = u1 i m2 = 2kg ; u 2 = 0 • Après : v1 = v1 à 30° v 2 = 10 m s à − 45° p0 = p p 01 = p1 + p 2 (1) p 01x = 1kg u1 i ( 2) p 01 y = 0 (3) ( 4) p x = p1x + p 2 x = 1kg v1 cos 30° + 20 kg m cos 315° i s p y = p1 y + p 2 y = 1kg v1 sin 30° + 20 kg m sin 315° j s ( 2) = ( 4) 0 = 0,5 v1 − 14,1 (1) = (3) ⇒ ⇒ v1 = 28,3 m s u1 = 38,6 m i s 9 #15) Collision parfaitement inélastique : v1 = v2 = v m1 = 2 x 10 4 kg ; u1 = 6 m i s 4 m2 = 4 x 10 kg ; u 2 = 0 p0 = p m1u1 = (m1 + m2 ) v ⇒ v = 2m i s a) Fraction de l’énergie cinétique restante : 1 (m + m2 ) v 2 K 2 1 = = 0,333 1 K0 2 m1 u1 2 Donc, 0,667 de l’énergie cinétique a été perdue b) Dans ce cas, la vitesse finale est : v = 4 m s i 1 (m1 + m2 ) v 2 K 2 = = 0,667 1 K0 m2 u 22 2 Donc, 0,333 de l’énergie cinétique a été perdue #17) Collision parfaitement inélastique avec une force de frottement : m1 = 1400kg ; u1 = u1 i m2 = 1000kg ; u 2 = 0 ∆x = 4m i µ c = 0,6 a = −a i a) Accélération après l’impact : ∑F = f c = − µ c N i = − µ c (m1 + m2 ) g i = (m1 + m2 ) a ⇒ a = − µ c g i = −5,88 m 10 s2 i Dans la 4ième équation de la cinématique, pour trouver la vitesse après la collision : v′2 = v 2 + 2a i ∆x 0 = v 2 + 2a i ∆x cos180° v = 6,86 m i s ⇒ b) Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p m1u1 = (m1 + m2 ) v ⇒ u1 = 11,8 m i s #18) Collision parfaitement inélastique avec une force de frottement : m1 = 1500kg ; u1 = 20 m i s m2 = 1000kg ; u 2 = 0 p0 = p m1u1 = (m1 + m2 ) v v = 12 m i s ⇒ ∆x = ? µ c = 0,5 a = −µc g i (voir #17) v ′ 2 = v 2 + 2 a i ∆x 0 = v 2 + 2a i ∆x cos180° ⇒ ∆x = 14, 7 m i #21) Conservation de la quantité de mouvement : • Avant : M avec u = 0 • Après : α: m1 = 4u Rn : m2 = 222u ; v2 = ? ; K1 = 6, 72 ×10−15 J ⇒ v1 = 1, 42 ×107 m i s 11 a) Vitesse de recul p0 = p 0 = m1 v1 + m2 v2 K2 = b) v2 = −2,56 ×105 m i s ⇒ 1 m2 v22 = 1, 21× 10−14 J 2 #27) Collision parfaitement inélastique avec force gravitationnelle (pendule balistique) : m1 = 15 x 10 −3 kg ; u1 = u1 i m2 = 2kg ; u2 = 0 L = 1,2m θ max = 20° θmax L h • Conservation de l’énergie ( juste après l ' impact ) E0 = E (au sommet ) K 0 + U 0g = K + U g 1 (m1 + m2 ) v 2 + 0 = 0 + (m1 + m2 )g L (1 − cos θ max ) 2 ⇒ v = [2 gL (1 − cos θ max )] 2 i = 1,19 m i s 1 a) Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p m1u1 = (m1 + m2 ) v ⇒ u1 = 160 m i s 12 b) % d’énergie cinétique perdue 1 1 ( m1 + m2 ) v2 − m1 u12 ∆K 2 ⋅100 = 2 ⋅ 100 = −99,3% 1 K0 2 m1 u1 2 #28) Collision parfaitement inélastique : v1 = v 2 = v m1 = 0,2kg ; u1 = 30 m m2 = 1,3kg ; u2 = 0 s j a) Principes de conservation • Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p m1u1 = (m1 + m2 ) v • v = 4,00 m ⇒ Conservation de l’énergie : ( juste après l ' impact ) s j E0 = E (au sommet ) K0 + U 0g = K + U g 1 (m1 + m2 )v 2 + 0 = 0 + (m1 + m2 )g H 2 ⇒ H = 81,6cm b) ∆K = K − K 0 = (m1 + m2 ) v 2 − m1 u12 = − 78,0 J 1 2 1 2 #29) Collision inélastique: • Avant : m1 = 0,01kg ; u1 = 400 m i s m2 = 2,5kg ; u 2 = 0 • Après : v1 = 100 m i s v2 = ? 13 a) Conservations de la quantité de mouvement et de l’énergie : • Quantité de mouvement avant et après l’impact : p0 = p m1u1 = m1 v1 + m2 v 2 • v 2 = 1,2 m i s ⇒ Énergie du pendule après l’impact et au sommet de m2 : E0 = E K0 + U 0g = K + U g 1 m2 v 22 + 0 = 0 + m2 g H 2 ⇒ H = 7,35cm 1 2 1 2 b) WNET = ∆K1 = K1 − K 01 = m1 v12 − m1 u12 = 750 J #32) Collision élastique cas particulier #2 : • Avant : m1 = ? ; u1 = 160 km i h m2 = 0,046kg ; u 2 = 0 • Après : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 a) Si m1 = 0,046kg = m2 , cas particulier #1, transfert de vitesses : v1 = u 2 = 0 v 2 = u1 = 160 km i h b) Si m1 = 0,092kg v1 = 53,3 km i h v 2 = 213 km i h 14 #34) Collision élastique cas particulier #2 : • • Avant : m1 ; u1 m2 u2 = 0 ; Après : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 a) Si m1 = 3m2 v1 = ( 3m2 − m2 ) ( 3m2 + m2 ) v2 = 2 × 3m2 3u u1 = 1 4m2 2 u1 = b) Si m2 = 3m1 v1 = (m1 − 3m1 ) (m1 + 3m1 ) v2 = 2 m1 u u1 = 1 4m1 2 u1 = u 2m2 u1 = 1 4m2 2 − 2m1 − u1 u1 = 4m1 2 #36) Collision élastique cas particulier #2 : • • Avant : m1 ; u1 = u1 i m2 u2 = 0 ; Après : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 15 − u1 3 ( − u1 m − m2 ) v1 = 1 u1 i = i (m1 + m2 ) 3 a) Si v1 = − 1 (m1 − m2 ) = 3 (m1 + m2 ) − (m1 + m2 ) = 3 (m1 − m2 ) 2m2 = 4m1 ⇒ m2 m1 =2 u1 2 (m − m2 ) u v1 = 1 u1 i = 1 i (m1 + m2 ) 2 b) Si v1 = 1 (m1 − m2 ) = 2 (m1 + m2 ) (m1 + m2 ) = 2 (m1 − m2 ) 3m2 = m1 ⇒ m2 m1 =1 3 #38) Collision élastique cas particulier #2 : • • Avant : m1 = 2kg ; u1 = u1 i m2 = ? ; u2 = 0 Après : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 16 a) Si v 2 = v2 = u1 2 2m1 u u1 i = 1 i (m1 + m2 ) 2 2m1 1 = 2 (m1 + m2 ) (m1 + m2 ) = 4m1 m2 = 3m1 m2 = 6,00kg ⇒ b) Rapport de l’énergie cinétique : (1) ( 2) 1 m v2 K 2 2 2 2 m2 v 22 1 = = = K 01 1 m1 u12 3 2 m1 u1 2 2m1 v2 = u (m1 + m2 ) 1 (2) dans (1) : K2 = K 01 (1) 4m12 u12 m2 (m1 + m2 )2 2 1 m1 u 4m1 m2 = = 1 3 1 3 (m1 + m2 ) (m1 + m2 )2 = 12m1 m2 (2 + m2 )2 = 24 m2 2 4 + 4m2 + m22 = 24 m2 4 − 20m2 + m22 = 0 ⇒ m2 = 0,202kg ou 19,8kg #39) Impulsion : m = 0,046kg I = ∆p = m (v − u ) = Fmoy ∆t u =0 v = 61,1 m s ∆t = 0,5ms i ⇒ Fmoy = 5,62kN i 17 #40) Impulsion : m = 1kg u = −20 m v = 15 m I = ∆p = m (v − u ) = Fmoy ∆t j s ⇒ j s ∆t = 0,1s Fmoy = 350 N j #43) Impulsion : m = 0,5kg u = −4 m j s v =0 I = ∆p = m (v − u ) = Fmoy ∆t ∆t = 10 −3 s ⇒ Fmoy = 2000 N j ( sur le marteau ) ⇒ Fmoy = −2000 N j ( sur le clou ) #47) Impulsion : mballe = 0, 015kg u =0 v = 450 m s i ∆M = 10 balles ⋅ mballe = 0,15 kg s s ∆t ⇒ I ∆p M (v − u ) = = ∆t ∆t ∆t Fmoy = 67,5 N i ( sur les balles ) ⇒ Fmoy = −67,5 N i Fmoy = ( sur la mitrailleuse) #48) Impulsion : m = 0,4kg u = 20 m v = 16 m s s à 37° à − 53° 18 a) Impulsion : v − u = {(16 cos 53° − 20 cos 37° ) i + (− 16 sin 53° − 20 sin 37°) j }m v − u = (− 6,34 i − 24,8 j ) m = 25,6 m à − 104° s s I = ∆p = m v − u = 10,2 kg m s s b) La résistance de l’air et la force gravitationnelle. c) NON. On ne connaît pas l’intervalle de temps et on ne peut utiliser les équations de la cinématique avec la résistance de l’air. #51) Impulsion : m = 0,06kg u = 25 m v = 20 m s à − 40° s à 30° a) Impulsion v − u = {( 20 cos 30° − 25cos 40° ) i + ( 20sin 30° + 25sin 40° ) j } m v − u = ( −1,83 i + 26,1 j ) m s s I = ∆p = m ( v − u ) = ( −0,110 i + 1,56 j ) kg m s b) Force moyenne I ∆p ∆p = = ∆t ∆t 5ms Fmoy = (− 22,0 i + 312 j ) N Fmoy = ⇒ #52) a) Aire sous la courbe de la figure 9.26 t I = ∫ F dt = t0 b) 1 1 100 N i ⋅ 2ms ) + (100 N i ⋅ 2ms ) + (100 N i ⋅ 1ms ) = 0,350 kg m i ( s 2 2 Fmoy = I I = = 70,0 N i ∆t 5ms 19 #54) a) Figure 9.28 t I = ∫ F dt = t0 1 1 1000 N i x 0, 2s ) + ( 500 N i ⋅ 0,1s ) + ( 500 N i ⋅ 0,1s ) + ( 500 N i ⋅ 0, 2 s ) = 275 kg m i ( s 2 2 b) Variation de la vitesse Fmoy = I I = = 550 N i ∆t 0,5s a moy = ⇒ Fmoy m = 11 m i s2 ∆v = a t = 5,50 m i s ⇒ Problèmes : #2) Conservation de la quantité de mouvement : • • Avant : m1 = 60kg ; u1 = 0 m2 = 0,5kg ; u2 = 0 Après : v1 = ? ( v 2 = v1 − 6 m i s ) a) Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p 0 = m1 v1 + 2m2 v 2 ( 0 = m1 v1 + 2m2 v1 − 6 m i s ) ⇒ v1 = 0,0984 m i s b) Conservation de la quantité de mouvement, après le premier lancé: p0 = p 0 = (m1 + m2 ) v1 + m2 v 2 ( 0 = (m1 + m2 ) v1 + m2 v1 − 6 m i s ) ⇒ v1 = 0,0492 m i s 20 Conservation de la quantité de mouvement, après le second lancé: p = p′ (m1 + m2 ) v1 + m2 (v1 − 6 m s i )= m1 v1′ + m2 v2 + m2 v2′ (m1 + m2 ) v1 + m2 (v1 − 6 m s i )= m1 v1′ + m2 (v1 − 6 m s i ) + m2 (v1′ − 6 m s i ) (m1 + m2 ) v1 − m1 v1′ − m2 (v1′ − 6 m s i ) = 0 ⇒ v1′ = 0,0988 m i s c) #3) Collision parfaitement inélastique : v1 = v2 = v m1 ; u1 = u1 i m2 ; u 2 = −u 2 i • Conservation de la quantité de mouvement : p0 = p m1 u1 + m2 u 2 = (m1 + m2 ) v (m1 u1 − m2 u 2 ) i = (m1 + m2 ) v (m u − m2 u 2 ) ⇒ v= 1 1 i (m1 + m2 ) • (1) Perte d’énergie cinétique : 1 1 1 ∆K = ( m1 + m2 ) v 2 − m1 u12 − m2 u22 2 2 2 en utilisant l ' équation (1) : ( m u − m2 u2 ) − 1 m u 2 − 1 m u 2 1 ∆K = ( m1 + m2 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( m1 + m2 ) 2 1 ( m1u1 − m2 u2 ) 1 1 ∆K = − m1 u12 − m2 u22 2 ( m1 + m2 ) 2 2 2 #6) Figure 9.31 m = 0, 5kg M à une hauteur L ; u2 = 0 Principes de conservation : 21 • Conservation de l’énergie : (au sommet ) E0 = E ( juste avant l ' impact ) 0 K0 + U 0 g = K + U g mg L = → • 0 1 m u12 2 u1 = 2 g L i Collision élastique avec le cas particulier #2 : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 • Vitesse, après l’impact, de la bille suspendue (m − M ) u i = (m − M ) 2g L i v1 = (m + M ) 1 (m + M ) • Montée maximale de la bille après l’impact : ( juste après L, impact ) E0 = E 0 (au sommet ) 0 K0 + U0 g = K + U g 1 m v12 = m g h 2 v2 ( m − M ) h= 1 = L 2 g ( m + M )2 2 → #7) a) Si M = 2,5kg ⇒ h = 44, 4cm b) Si M = 0, 2kg ⇒ h = 18, 4cm Collision élastique : m1 ; u1 = u1 i m2 ; u2 = u 2 i 22 • On utilise les 2 équations développées pour les collisions élastiques : m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2 v2 (1) v2 − v1 = − ( u2 − u1 ) • (2) On isole v1 de l’équation (2), qu’on remplace dans l’équation (1) : (2) v1 = v2 + ( u2 − u1 ) (1) m2v2 = m1u1 + m2u2 − m1v1 m2v2 = m1u1 + m2u2 − m1v2 − m1u2 + m1u1 m2v2 + m1v2 = 2m1u1 + m2u2 − m1u2 ( m1 + m2 ) v2 = 2m1u1 + ( m2 − m1 ) u2 2m u + ( m2 − m1 ) u2 v2 = 1 1 ( m1 + m2 ) • Qu’on remplace dans (2) 2m u + ( m2 − m1 ) u2 (2) v1 = 1 1 + ( u2 − u1 ) ( m1 + m2 ) ( v1 = ) 2 m1u1 + m2 −m1 u2 + m1u2 + m2u2 −m1u 1 − m2u1 v1 = ( m1 + m2 ) ( m1 − m2 ) u1 + 2m2u2 ( m1 + m2 ) #14) Figure 9.35. Collisions élastiques avec le cas particulier #2 : m1 = 3M ; u1 = u1 i m2 = 2 M ; u2 = 0 m3 = 3M ; u3 = 0 • Collision entre les masses 1 et 2 : (m − m2 ) u v1 = 1 (m1 + m2 ) 1 v2 = 2m1 u (m1 + m2 ) 1 23 v1 = v2 = • (3 M − 2 M ) 5M u1 = u1 5 6u 6M u1 = 1 5 5M Suivi de la collision entre 2 (avec la vitesse v2 ) et 3 : v2′ = ( m2 − m3 ) ( m2 + m3 ) v3 = 2m2 v ( m2 + m3 ) 2 v2′ = 6u − M 6 u1 =− 1 5 25 5M v3 = 4 M 6 u1 24 u1 = 5 25 5M v2 #20) Figure 9.38. Collision parfaitement inélastique. L’axe des x suit la trajectoire sur les surfaces plane et inclinée. m1 = 5kg ; u1 = 8 m i s m2 = kg ; u2 = 0 µc = 0, 25 θ = 37° • Vitesse des 2 blocs après la collision : p0 = p m1u1 = ( m1 + m2 ) v ⇒ v = 5m i s • Montée des blocs jusqu’à leur arrêt : F ∑ x = ( −µc N − [ m1 + m2 ] g sin 37° ) i = ( m1 + m2 ) a ∑ F = ( N − [ m + m ] g cos 37°) j = 0 y ∑F x 0 1 2 → N = [ m1 + m2 ] g cos 37° j ( ) = − µ c [ m1 + m2 ] g cos 37° − [ m1 + m2 ] g sin 37° i = ( m1 + m2 ) a v′2 = v 2 + 2a i ∆x ⇒ → a = −7,86 m ∆x = 1,59m i 24 s2 i