DS3_enonce

MP1&2 2016 - 2017
DS n°3 (CCP-e3a) - Électrostatique
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Résolution de problème - Matière noire dans une galaxie spirale
Document 1 : Les galaxies spirales (source : wikipedia)
Les galaxies spirales représentent entre 60 et 70 % des galaxies observées et comprennent jusqu’à plusieurs
centaines de milliards d’étoiles.
Elles adoptent la forme aplatie d’un disque, avec un renflement central sphérique lumineux appelé le
bulbe, de densité plus importante, comprenant en son cœur un trou noir supermassif. Elles contiennent
également, et de façon variable, des quantités importantes de gaz et de poussières. Autour du disque, il
existe également un halo moins dense et plus discret, dans lequel les étoiles sont fréquemment regroupées
en amas globulaires. Le disque contient typiquement plusieurs bras lumineux, où se trouvent les étoiles les
plus jeunes et les plus lumineuses. Ces bras s’enroulent autour du centre en formant une spirale, donnant
leur nom aux galaxies.
Notre galaxie, la Voie lactée, est une galaxie spirale dite "barrée". Notre position sur le disque galactique
rend très malaisée l’observation de l’ensemble de la Voie Lactée.
Figure 1 – Un exemple de galaxie spirale : la voie lactée.
Document 2 : Courbes de rotation et matière noire (source : wikipedia)
Dans les années 1970, l’astronome américaine Vera Rubin étudia la rotation des galaxies spirales en
cherchant à comparer leur « masse lumineuse » - c’est-à-dire la masse qui est déduite de la présence des
étoiles - et leur « masse dynamique » - c’est à dire la masse déduite de son influence gravitationnelle.
En analysant le spectre de quelques galaxies vues par la tranche, elle a pu en déduire leur courbe de
rotation, c’est à dire la vitesse de rotation de la galaxie en fonction de la distance au centre ; ceci constitue
une mesure directe de la distribution globale de matière dans la galaxie. La vitesse maximale de rotation
d’une galaxie spirale se trouve à quelques kiloparsecs 1 du centre, puis elle est censée décroître, en suivant
1. 1 parsec ' 1 année lumière.
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une décroissance képlérienne (courbe A de la figure ci-dessous).
Figure 2 – La courbe de rotation prévue par les équations de Newton (A) et la courbe observée (B), en
fonction de la distance au centre de la galaxie.
En effet, les étoiles à la périphérie de la galaxie sont en orbite autour du centre, de la même manière que
les planètes sont en orbite autour du Soleil. Les étoiles en périphérie de la galaxie tournent moins vite que
celles plus près du centre puisque ce dernier est beaucoup plus dense que le disque. La courbe de rotation,
après un maximum, devrait donc décroître.
Cependant, Vera Rubin a observé que les étoiles situées à la périphérie de certaines galaxies semblaient
tourner trop vite (les vitesses restaient pratiquement constantes au fur et à mesure que l’on s’éloignait du
centre - courbe B dans la figure précédente).
Cette observation pose de profondes questions, car la courbe de rotation mesure bien la masse dynamique,
et les étoiles de ces galaxies ne semblent pas obéir aux lois de la gravitation.
Une explication possible est d’imaginer l’existence d’un gigantesque halo de matière non visible, appelé
matière noire entourant les galaxies. Les astronomes pensent que les galaxies contiennent des astres très peu
lumineux (comme les naines brunes, naines blanches, trous noirs, étoiles à neutrons) qui peuvent constituer
jusqu’à 90 % de la masse totale de la galaxie, mais qui ne sont pas visibles avec les instruments optiques
habituels.
Questions
On cherche à interpréter la courbe de rotation d’une galaxie spirale avec un modèle très simple.
1. On modélise une galaxie spirale par un disque homogène de masse M , de rayon R, de centre O et
d’épaisseur H avec H R, en rotation autour de son axe ∆.
(a) On se place uniquement dans le plan médian de la galaxie, c’est à dire le plan passant par le centre
O de la galaxie et perpendiculaire à l’axe de rotation. En utilisant l’analogue gravitationnel du
→
−
théorème de Gauss, déterminer le champ gravitationnel G en fonction de la distance r au centre
de la galaxie. Comme on ne s’intéresse qu’au voisinage du plan médian, on pourra considérer ici
que l’étude des symétries et invariances est identique au cas d’un cylindre de hauteur H infinie.
(b) En déduire la vitesse de rotation d’une étoile de masse m située à la distance r de l’axe de rotation
de la galaxie, dans le plan médian de la galaxie.
(c) Ce modèle permet-il de rendre compte de la courbe de rotation d’une galaxie ne prenant en
compte que la masse lumineuse, ou également la matière noire ? Où se situe donc principalement
la matière noire dans une galaxie spirale ?
2. Rappeler ce qu’est l’effet Doppler. Expliquer comment cet effet peut permettre de déduire la vitesse
d’une étoile à partir du spectre émis par cette dernière.
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Electromagnétisme
Donner l’expression de l’équation de Maxwell associée au théorème de Gauss. (5/2 et MP1 uniquement)
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Spectrographe de masse de Bainbridge
Dans un spectrographe de Bainbridge, des ions positifs de masse m et de charge électrique e sont émis
par un ioniseur. Ils sont introduits en A à l’intérieur d’un condensateur plan, avec une vitesse presque nulle.
Ils sont ensuite accélérés par le champ électrostatique qui règne entre les deux armatures de ce condensateur. Ils sortent alors en O grâce à un petit orifice percé dans l’armature du condensateur, avec une vitesse
de norme v0 .
Dans tout l’exercice, on négligera les interactions des ions entre eux ainsi que leur poids.
Ioniseur
A
•
U
x Plaque photo
•
O
→
−
v0
Trajectoires
des isotopes
→
−
B
•
y
1. La tension entre les deux armatures du condensateur étant VA −VO = U > 0, déterminer v0 en fonction
de e, m et de U . On pourra utiliser avec profit un raisonnement énergétique.
2. Considérons un ion particulier arrivant en O. Il pénètre alors dans une région où règne un champ
→
−
− ~
→ avec B > 0 (→
magnétique uniforme et permanent B = B −
u
E = 0 dans cette région).
z
a) Écrire les équations différentielles vérifiées par les deux coordonnées x et y de la particule. Résoudre ces équations en posant ω = eB/m et donner les expressions de x(t) et y(t) en fonction
de t.
b) Les ions viennent alors impressionner une plaque photographique placée dans le plan y = 0.
Déterminer l’expression littérale de la distance d qui sépare sur la plaque les deux isotopes 39 K+
et 41 K+ du potassium. On exprimera d en fonction de e, U , B, des masses molaires M1 et M2
(M2 > M1 ) des deux isotopes et de la constante d’Avogadro NA .
c) Application numérique : calculer d si U = 10 kV ; B = 0,10 T ; e = 1,60.10−19 C ; NA = 6,02.1023
mol−1 .
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