CABRIWORLD II Constructions géométriques : du compas à Cabri

CABRIWORLD II
Montréal / UQÀM / Juin 2001
Constructions géométriques :
du compas à Cabri
Atelier 305
Harry White
[email protected]
Université du Québec à Trois-Rivières
Québec / Canada

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1. HISTORIQUE
Durant la période babylonienne et la période égyptienne, la géométrie était d'abord une science
empirique. Avec les Grecs (Thalès, Pythagore, Euclide, Archimède, Apollinius, ...), elle devint
une science déductive et abstraite basée sur le raisonnement plutôt que sur l'observation.
L’oeuvre d’Euclide est le premier exposé systématique connu d’une géométrie rationnelle fondée
sur la méthode déductive. Les Éléments d'Euclide furent considérés à juste titre pendant des
siècles comme un modèle d'exposé mathématique déductif à partir d'un système d'axiomes ou
postulats donnés à priori. En fait, la géométrie euclidienne fut, jusqu'au 19e siècle, la seule
branche des mathématiques à procéder de manière déductive à partir d'un système axiomatique.
Théorie déductive → termes primitifs, axiomes ou postulats, définitions, propositions.
Euclide a fondé sa géométrie plane sur les postulats suivants :
P1 Par deux points distincts passe une et une seule droite.
P2 Pour tout segment AB et pour tout segment CD, il existe un point E tel que B est entre
A et E, et le segment CD est congru à BE.
P3 Pour tout point O et pour tout point A, il existe un cercle de centre O et de rayon OA.
P4 Tous les angles droits sont congrus.
P5 Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette
droite. (Énoncé de Playfair, 1748-1819)

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2. FONDEMENT ET CONDITIONS
Les postulats P1 et P3 assurent qu’il est toujours possible...
a) de tracer une droite passant par deux points donnés ;
b) de tracer un cercle dont le centre est donné et dont le rayon est égal à la
distance entre deux points donnés (un est le centre et l’autre, le deuxième point
donné).
Par la suite, ses propositions étaient toujours prouvées en ramenant les résultats aux postulats
(axiomes) ou à des théorèmes de base sur les intersections de droites avec des droites ou avec des
cercles, ou de cercles avec d’autres cercles. D'ailleurs les géomètres grecs considéraient la droite
et le cercle comme des figures fondamentales, et pour cette raison, ils n'envisageaient que des
problèmes susceptibles d'être résolus à la règle et au compas.
3. INSTRUMENTS
En conséquence, les seuls moyens autorisés pour des constructions dans la géométrie euclidienne
sont ceux nécessaires pour construire des droites (la règle non graduée) ou des cercles (le
compas). Les conditions requises pour une construction avec la règle et le compas uniquement
sont donc liés au choix des axiomes de la géométrie plane, et non à la précision du résultat.
Comme les anciens Grecs ne disposaient que de rudiments sur les techniques de calcul et
d’algèbre, ils essayaient de résoudre la plupart des problèmes mathématiques par des
constructions à la règle et au compas. Par exemple, ils extrayaient les racines carrées en
construisant la moyenne géométrique de deux segments. Trois problèmes ne peuvent être résolus
par cette méthode (problèmes classiques grecs) :

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a) Trisection d’un angle : le partage d’un angle arbitraire en trois parties
congrues.
b) Quadrature du cercle : la construction d’un carré dont la surface est égale à la
surface d’un cercle donné.
c) Dédoublement (duplication) d’un cube : la construction d’un cube dont le
volume est le double du volume d’un cube donné.
Des méthodes modernes ont prouvé que ces trois problèmes ne peuvent être résolus en utilisant
uniquement la règle et le compas. Par exemple, la quadrature du cercle nécessite la construction
d’un segment de droite de longueur π. Puisque π est un nombre transcendant (ne satisfait à
aucune équation algébrique à coefficients entiers), alors le problème est insoluble (Re :
Lindermann, 1852-1939).
4. CONSTRUCTION
Le problème de la construction à l’aide de la règle et du compas seuls peut être formulé de la
manière suivante : à partir d’un nombre fini de points donnés dans le plan, construire en un
nombre fini d’étapes un point requis, où chaque étape respecte l’une des conditions suivantes...
a) on ne doit utiliser la règle que pour tracer la droite joignant deux points donnés
ou précédemment construits ;
b) on ne doit utiliser le compas que pour dessiner un cercle dont le centre est un
point donné ou précédemment construit et dont le rayon est la distance entre
deux points donnés ou déterminés auparavant ;
c) les nouveaux points peuvent être construits par intersection de deux droites,
d’une droite et d’un cercle, ou de deux cercles qui ont été tracés à l’aide des
conditions (a) ou (b).

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Dire qu’un problème de construction est faisable à la règle et au compas, c’est dire qu’il se
ramène à des intersections de droites et de cercles. Les Grecs ont essayé de déterminer quelles
figures pouvaient être construites avec la règle et le compas. Voici les principales situations...
a) Constructions de base (ex. médiatrice, perpendiculaire, parallèle, angle,
bissectrice)
b) Figures (ex. triangle, pentagone régulier)
c) Mesure (ex.
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d) Lieu géométrique (ex. arc capable)
e) Transformations géométriques (ex. rotation)
NOTE AU SUJET DE LA CONSTRUCTION DES ANGLES
Seuls quelques angles peuvent être construits avec seulement une règle et un compas, tels que
120°, 90°, 72°, qui résultent de la construction à la règle et au compas d’un ∆ équilatéral, d’une
perpendiculaire et d’un pentagone régulier. Une suite de bissections de ces angles permet de
tracer 30°, 15°, 45°, 36°, 18°, 9° (pour ne signaler que les angles dont la mesure est un nombre
entier de degrés).
En ajoutant 15° et 9°, on obtient 24°, puis 12°, 6°, 3°. Ensuite, tous les multiples de 3° peuvent
être construits à la règle et au compas. En fait, ce sont les seuls angles d’un nombre entier de
degrés qui peuvent être construits.