CABRIWORLD II Montréal / UQÀM / Juin 2001 Constructions géométriques : du compas à Cabri Atelier 305 Harry White [email protected] Université du Québec à Trois-Rivières Québec / Canada 1 1. HISTORIQUE Durant la période babylonienne et la période égyptienne, la géométrie était d'abord une science empirique. Avec les Grecs (Thalès, Pythagore, Euclide, Archimède, Apollinius, ...), elle devint une science déductive et abstraite basée sur le raisonnement plutôt que sur l'observation. L’oeuvre d’Euclide est le premier exposé systématique connu d’une géométrie rationnelle fondée sur la méthode déductive. Les Éléments d'Euclide furent considérés à juste titre pendant des siècles comme un modèle d'exposé mathématique déductif à partir d'un système d'axiomes ou postulats donnés à priori. En fait, la géométrie euclidienne fut, jusqu'au 19e siècle, la seule branche des mathématiques à procéder de manière déductive à partir d'un système axiomatique. Théorie déductive → termes primitifs, axiomes ou postulats, définitions, propositions. Euclide a fondé sa géométrie plane sur les postulats suivants : P1 Par deux points distincts passe une et une seule droite. P2 Pour tout segment AB et pour tout segment CD, il existe un point E tel que B est entre A et E, et le segment CD est congru à BE. P3 Pour tout point O et pour tout point A, il existe un cercle de centre O et de rayon OA. P4 Tous les angles droits sont congrus. P5 Par un point pris hors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite. (Énoncé de Playfair, 1748-1819) 2 2. FONDEMENT ET CONDITIONS Les postulats P1 et P3 assurent qu’il est toujours possible... a) de tracer une droite passant par deux points donnés ; b) de tracer un cercle dont le centre est donné et dont le rayon est égal à la distance entre deux points donnés (un est le centre et l’autre, le deuxième point donné). Par la suite, ses propositions étaient toujours prouvées en ramenant les résultats aux postulats (axiomes) ou à des théorèmes de base sur les intersections de droites avec des droites ou avec des cercles, ou de cercles avec d’autres cercles. D'ailleurs les géomètres grecs considéraient la droite et le cercle comme des figures fondamentales, et pour cette raison, ils n'envisageaient que des problèmes susceptibles d'être résolus à la règle et au compas. 3. INSTRUMENTS En conséquence, les seuls moyens autorisés pour des constructions dans la géométrie euclidienne sont ceux nécessaires pour construire des droites (la règle non graduée) ou des cercles (le compas). Les conditions requises pour une construction avec la règle et le compas uniquement sont donc liés au choix des axiomes de la géométrie plane, et non à la précision du résultat. Comme les anciens Grecs ne disposaient que de rudiments sur les techniques de calcul et d’algèbre, ils essayaient de résoudre la plupart des problèmes mathématiques par des constructions à la règle et au compas. Par exemple, ils extrayaient les racines carrées en construisant la moyenne géométrique de deux segments. Trois problèmes ne peuvent être résolus par cette méthode (problèmes classiques grecs) : 3 a) b) c) Trisection d’un angle : le partage d’un angle arbitraire en trois parties congrues. Quadrature du cercle : la construction d’un carré dont la surface est égale à la surface d’un cercle donné. Dédoublement (duplication) d’un cube : la construction d’un cube dont le volume est le double du volume d’un cube donné. Des méthodes modernes ont prouvé que ces trois problèmes ne peuvent être résolus en utilisant uniquement la règle et le compas. Par exemple, la quadrature du cercle nécessite la construction d’un segment de droite de longueur π . Puisque π est un nombre transcendant (ne satisfait à aucune équation algébrique à coefficients entiers), alors le problème est insoluble (Re : Lindermann, 1852-1939). 4. CONSTRUCTION Le problème de la construction à l’aide de la règle et du compas seuls peut être formulé de la manière suivante : à partir d’un nombre fini de points donnés dans le plan, construire en un nombre fini d’étapes un point requis, où chaque étape respecte l’une des conditions suivantes... a) on ne doit utiliser la règle que pour tracer la droite joignant deux points donnés ou précédemment construits ; b) on ne doit utiliser le compas que pour dessiner un cercle dont le centre est un point donné ou précédemment construit et dont le rayon est la distance entre deux points donnés ou déterminés auparavant ; c) les nouveaux points peuvent être construits par intersection de deux droites, d’une droite et d’un cercle, ou de deux cercles qui ont été tracés à l’aide des conditions (a) ou (b). 4 Dire qu’un problème de construction est faisable à la règle et au compas, c’est dire qu’il se ramène à des intersections de droites et de cercles. Les Grecs ont essayé de déterminer quelles figures pouvaient être construites avec la règle et le compas. Voici les principales situations... a) Constructions de base (ex. médiatrice, perpendiculaire, parallèle, angle, bissectrice) b) Figures (ex. triangle, pentagone régulier) c) Mesure (ex. d) Lieu géométrique (ex. arc capable) e) Transformations géométriques (ex. rotation) 5) NOTE AU SUJET DE LA CONSTRUCTION DES ANGLES Seuls quelques angles peuvent être construits avec seulement une règle et un compas, tels que 120°, 90°, 72°, qui résultent de la construction à la règle et au compas d’un ∆ équilatéral, d’une perpendiculaire et d’un pentagone régulier. Une suite de bissections de ces angles permet de tracer 30°, 15°, 45°, 36°, 18°, 9° (pour ne signaler que les angles dont la mesure est un nombre entier de degrés). En ajoutant 15° et 9°, on obtient 24°, puis 12°, 6°, 3°. Ensuite, tous les multiples de 3° peuvent être construits à la règle et au compas. En fait, ce sont les seuls angles d’un nombre entier de degrés qui peuvent être construits. 5 5. APPLICATIONS AVEC CABRI Cabri permet entre autres… • de construire des lieux ; • de cacher des lignes de construction ; • de modifier la forme de présentation ; • il faut connaître les fonctions de Cabri ; • il faut avoir un ordinateur ou une calculatrice avec Cabri. mais… Recommandation Il est souhaitable d’être capable de s’exécuter dans les deux modes : règle et compas, Cabri. Ce texte est accompagné de 12 fichiers (.fig) pour Cabri représentant des exemples de constructions dans les cinq types mentionnés précédemment… a) Constructions de base : médiatrice, perpendiculaire, angle, tangente b) Figures : ∆ équilatéral, ∆ connaissant trois côtés, pentagone régulier c) Mesure : d) Lieu géométrique : milieu d’une corde, arc capable, podaire e) Transformations géométriques : rotation 5 Pour connaître la démarche utilisée, il faut utiliser la fonction « Revoir la construction ». Plusieurs constructions ont de éléments cachés, il faut d’abord faire « Cacher / Montrer » avant de « Revoir la construction ». Dans certains cas, il faut faire « Lieu géométrique » ou « Trace » et « Animation ». 6 Note supplémentaire On appelle ARC CAPABLE le lieu géométrique des point où un angle inscrit est constant et égal à une valeur donnée. C’est l’ensemble des points où un segment donné est toujours vu selon un angle constant. 6. RÉFÉRENCES Caral, M. (1995). Géométrie. Paris, France : Éditions Marketing. Delessert, A. (1960). Géométrie plane (2e édition). Lausanne, Suisse : Éditions SPES. Réunion de professeurs (1964). Cours de géométrie (No 266E). Paris, France : Ligel. REMARQUE Vous trouverez également la présentation PowerPoint (27 diapositives) qui accompagnent ce texte. [email protected]