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S Antilles-Guyane juin 2016
Exercice 1 5 points
Les valeurs approchées des résultats seront données à
10−4
près.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65 % de la production et
la machine B le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :
. à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ;
. à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.
On définit les événements suivants :
. A : « l'ampoule provient de la machine A » ;
. B : « l'ampoule provient de la machine B » ;
. D : « L'ampoule présente un défaut ».
1. On prélève une ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée.
a. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
b. Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0,9305.
c. L'ampoule tirée est sans défaut.
Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A.
2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du
stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec
remise. Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
Partie B
1. On rappelle que si T suit une loi exponentielle de paramètre
λ
(
λ
est un rèel strictement positif) alors pour
tout réel positif a,
P(T⩽a)
=
∫
0
a
λe−λ xdx
.
a. Montrer que
P(T⩾a)=e−λ a
b. Montrer que si T suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positits t et a, on a :
PT⩾t(T⩾t+a)=P(T⩾a)
2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d'une ampoule sans défaut est une variable aléatoire T qui suit la
loi exponentielle d'espérance 10 000.
a. Déterminer la valeur exacte du paramètre
λ
de cette loi.
b. Calculer la probabilité
P(T⩾5000)
.
c. Sachant qu'une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant 7000 heures, calculer la probabilité que sa
durée de vie totale dépasse 12 000 heures.
Partie C
L'entreprise a chercher à améliorer la qualité de sa production et affirme qu'il n'y a pas plus de 6 % d'ampoules
défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient
71 ampoules défectueuses sur 1000.
1. Dans le cas ou il y aurait exactement 6 % d'ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d'ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille
1000.
2. A-t-on des raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise ?
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CORRECTION
Partie A
1.a. L'énoncé précise :
. « La machineA fournit 65 % de la production et la machine B le reste »
donc
P(A)=0,65
et
P(B)=P(̄ A)=1−P(A)=1−0,65=0,35
. « A la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut »
donc
PA(D)=0,08
et
PA(̄ D)=1−0,08=0,92
. « A la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut »
donc
PB(D)=0,05
et
PB(̄ D)=1−0,05=0,95
. On obtient l'arbre pondéré :
b. En utilisant l'arbre pondéré ou la formule des probabilités totales :
P(̄ D)=P(A∩̄ D)+P(B∩̄ D)=P(A)×PA(̄ D)+P(B)×PB(̄ D)
P(̄ D)=0,65×0,92+0,35×0,95=0,598+0,3325
= 0,9305.
c. On nous demande de calculer :
P̄
D(A)
P̄
D(A)= P(A∩̄
D)
P(̄ D)
P(A∩̄ D)=P(A)×PA(̄ D)=0,65×0,92=0,598
P̄
D(A)= 0,598
0,9305
= 0,6427 à
10−4
près.
2. On considère l'épreuve de Bernoulli :
On tire au hasard une ampoule de la production de la journée
succès S « l'ampoule est sans défaut »
probabilité de succès p= P(S) = 0,9305
échec
̄
S
« l'ampoule présente un défaut »
probabilité de l'échec q =
P(̄ S)
= 0,0695.
La taille du stock permet de condidérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des
tirages avec remise.
Donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès en 10 épreuves est la loi
binomiale de paramètres
n=10
et
p=0,9305
.
On nous demande de calculer
P(9⩽X⩽10)
.
En utilisant la calculatrice on obtient :
P(9⩽X⩽10)
= 0,85.
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Partie B
1.a.
λ
est un paramètre strictement positif.
Pour tout nombre réel positif a :
P(T⩽a)
=
∫
0
a
λe−λ xdx
f est la fonction définie sur
[0 ;+∞[
par
f(x)=λ e−λ x
F est la fonction définie sur
[0 ;+∞[
par
F(x)=−e−λ x
F est une primitive de f.
P(T⩽a)
=
∫
0
a
f(x)dx
=
F(a)−F(0)=−e−λ a−(−e0)=1−e−λ a
P(T⩾a)=1−P(T⩽a)=1−(1−e−λ a)=e−λ a
b. Pour tous nombres réels positifs t et a :
P(T⩾t)(T⩾t+a)= P((T⩾t)∩(T⩾t+a))
P(T⩾t)=P(T⩾t+a) P(T⩽t)=e−λ(t+a)
e−λ t=e−λ t×e−λ a e−λ t=e−λa=P(T⩾a)
2.a. L'espérance mathématique de T est égale à
E(T)= 1
T=1 10000 =0,0001
b.
P(T⩾5000)=e−0,0001×5000=e−0,5
= 0,6065.
c.
P(T⩾7000)(T⩾12000)=P(T⩾7000)(T⩾7000+5000)=P(T⩾5000)
= 0,6065.
Partie C
1. p=0,06 est la proportion théorique dans tout échantillon de taille 1000.
n=1000⩾30
np=60⩾5
n(1−p)=940⩾5
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d'ampoules défectueuses
sur un échantillon de taille 1000 est :
I=
[
0,06−1,96×
√
0,06×0,94
1000 ;0,06+1,96×
√
0,06×0,94
1000
]
=[ 0,0453; 0,0747 ]
2. La proportion observée dans l'échantillon est :
f=71
1000 =0,071
et f appartient à l'intervalle I.
On a pas de raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise.
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