énoncé - Physique-Chimie LN-SPE-2 2016-2017

Lycée Naval, Spé 2.
Γm =
Devoir non surveillé n◦ 07 (pour le 1er février 2017)
Machine asynchrone
1
Principe simplifié d’un moteur asynchrone
O
R
L (Ωs − ω)
+
L(Ωs − ω)
R
Γ0 /2
Γm
On dispose d’un champ magnétique qui tourne à la pulsation Ωs dans le plan xOy.
On considère une spire d’aire S, de résistance R, d’inductance propre L et de vecteur
normal ~n (Cf. figure). Cette spire, court-circuitée, tourne à la pulsation ω autour de Oz
de telle sorte que son vecteur normal reste dans le plan xOy.
spire
Γ0
Γ(0)
y
θ
x
n
ϕ
B
0
On pose θ(t) = ωt, ϕ(t) = Ωs t + Ωs0 , et ωr = Ωs − ω.
On suppose de plus ω > 0.
0
Ωs /2
ω
Ωs −R/L
Ωs
6. La machine est soumise à un couple résistif ~Γ = −Γr ~uz , supposé constant.
1. Le champ magnétique est supposé homogène au sein de la spire. Calculer le flux du
champ magnétique à travers la spire.
En déduire l’expression de la f.e.m. dans la spire. On posera Φ0 = B × S.
(a) Montrer que si Γr est inférieur à une certaine valeur limite, il existe en général
deux points de fonctionnement.
(b) Étudier la stabilité de ces deux points de fonctionnement.
2. En considérant l’équation électrique de la spire, montrer, en passant par les grandeurs complexes, que l’intensité i peut se mettre sous la forme :
i(t) = i0 sin (ωr t + Ωs0 − ψ)
2
avec i0 et ψ à exprimer en fonction des données du problème.
3. Déterminer le moment ~Γ = Γ~uz des forces de Laplace exercé sur le cadre.
~ ∧ B.
~
Indication : utiliser la formule ~Γ = M
Étude énergétique d’un moteur asynchrone réel
Soit un moteur asynchrone diphasé dont la plaque signalétique indique, selon le marquage : Uef f = 230 V, Ief f = 18, 90 A, Ωsn = 50 Hz, Pn = 5, 5 kW, cos (ϕn ) = 0, 83 et
qui comporte :
— un stator cylindrique creux d’axe Oz fixé à la carcasse, portant deux phases (B1 ) et
(B2 ) d’axes Ox1 et Ox2 perpendiculaires et fixes, connectées à un réseau électrique
diphasé leur délivrant des courants :
i1 (t) = Iˆs cos (Ωs t) et i2 (t) = Iˆs sin (Ωs t) ,
et créant un champ magnétique d’axe Ox glissant à vitesse Ωs .
— un rotor cylindrique de même axe, rayon Rs , longueur Ls , tournant à la vitesse ω
par rapport à la carcasse ;
— deux bobines (b1 ) et (b2 ) rotoriques d’axes perpendiculaires, chacune de Nr spires,
résistance Rr , auto-inductance Lr , chacune en court-circuit, chacune parcourue par
le courant irj (t) où j ∈ {1, 2} induit par les effets des phases du stator ;
— un entrefer lisse de largeur e constante.
4. En déduire la valeur moyenne de Γ, notée Γm . Montrer que ce couple peut se mettre
sous la forme :
2
~Γm = h Φ0 R (Ωs − ω) i ~uz
2
2 R2 + L2 (Ωs − ω)
5. Pour toute la suite, on suppose que 0 ≤ ω ≤ Ωs et que LΩs /R > 1.
Montrer que le dispositif est moteur et que le couple moteur Γm en fonction de ω
a l’allure ci-contre, toutes les autres grandeurs étant fixées.
On posera Γ0 = Φ20 /(2L).
Pour l’étude de la fonction, on pourra remarquer que :
1
axe du champ
statorique
bobine B 1
Ox 2
Déterminer le flux mutuel Φmut1 (t) à travers la bobine (b1 ) et montrer que la fem
er1 (t) d’inductance mutuelle pour cette bobine a pour expression :
er1 (t) = Φ̂ωr sin ([Ωs − ω]t − θ0 ) ,
ˆ
avec Φ̂ = M̂ Is .
En déduire l’expression de l’amplitude complexe E r1 .
axe du champ
rotorique
x
X
bobine b 1
M
entrefer
ωr t
6. Réaliser un schéma électrique associé à la bobine b1 de l’induit. En déduire l’expression de l’amplitude complexe I r1 en fonction de Rr , Lr , ωr , θ0 et Φ̂ (attention
à l’expression de la pulsation d’excitation).
xr
axe solidaire
du rotor
θ (t)=ω t +θ
γ
ο
Oz
bobine B 2
Ωs t
O
Φ̂ωr
L r ωr
sin (ωr t − θ0 − Ψ) avec tan (Ψ) =
2
2
Rr
+ Lr ωr
7. On admet être en régime alternatif où ce courant s’écrit :
ir1 (t) = p
Ω s t −( ω t +θο )
stator
bobine b 2
Montrer alors que le courant instantané ir1 (t) a pour expression :
x
Ox 1
axe fixe
xr
Rr2
ir1 (t) = Iˆr cos ([Ωs − ω]t)
x1
En identifiant à l’expression précédemment obtenue, exprimer sin (θ0 ) et montrer
que le couple moyen prend la forme :
Les courants induits irj (t) étant sinusoïdaux, l’axe OX des pôles du rotor tourne à la
vitesse angulaire ωr par rapport au rotor et à vitesse Ω0r = ω + ωr par rapport à la
carcasse du stator.
La figure précédente repère les axes, où l’on a noté Oxr une direction solidaire du rotor
et Ox1 l’axe fixe de référence.
Rr
C = Ê p
2
Rr + L2r ωr2
8. Sachant que Ê est proportionnel à Ĥr l’amplitude de l’excitation rotorique, montrer
(Ωs − ω)
que le couple est finalement proportionnel à : 2
.
Rr + L2r (Ωs − ω)2
1. On repère un point M de l’entrefer par sa position angulaire γ par rapport à
l’axe fixe. Sachant que les excitations statorique et rotorique sont spatialement
sinusoïdales au sein de l’entrefer et compte-tenu des axes des champs, montrer que
ces excitations, dirigées radialement, peuvent se mettre sous la forme :
Hs (γ, t) = Ĥs cos (γ − Ωs t) et Hr (γ, t) = Ĥr cos (γ − Ω0r t − θ0 ) ,
avec Ĥs et Ĥr les amplitudes des excitations statorique et rotorique et que l’on ne
cherchera pas à expliciter.
On retrouve finalement bien une expression compatible avec celle du modèle simplifié étudié dans la première partie.
2. La perméabilité relative des parties ferromagnétiques étant supposées infinies, montrer que l’énergie magnétique du dispositif stockée dans l’entrefer prend la forme :
Em = α + Ê cos ([Ωs − Ω0r ] t − θ0 ) ,
Ĥs2 + Ĥr2
et Ê = πRs eLs µ0 Ĥs Ĥr .
2
3. En remarquant que Ωs t − Ω0r t − θ0 = Ωs t − ωr t − θ(t), déterminer le couple moteur
C(t).
avec α = µ0 πLs Rs e ×
4. Montrer que sa moyenne est non nulle pour Ωs = ω + ωr (condition que l’on
supposera vérifiée pour la suite) et que le couple moyen a pour expression :
C = −Ê sin (θ0 )
5. Exprimer les mutuelles d’inductances M1r (t) et M2r (t) de la bobine (b1 ) du rotor
avec chacune des bobines du stator, à l’aide de ω, θ0 et t et de leur maximum M̂ .
2