Principes fondamentaux de l`information quantique

Principes fondamentaux de l’information quantiquePrincipes fondamentaux de l’information quantique
En vue de l’obtention de l’unit´ e de valeur
AC20
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Ecrit le : 22/06/2014 par :
Budai Lucas, Jaffali Hamza, Nounouh Isma¨el
Semestre de printemps 2014
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Etablissement :
Universit´e Technologique de Belfort Montb´eliard
Pr´ esident du jury :
BRIAND Michel
Professeur encadrant :
HOLWECK Fr´ed´eric

Remerciements
C’est avec grand plaisir que nous souhaitons adresser ici toute notre reconnaissance `a Fr´ed´eric
Holweck, qui nous a accompagn´e durant tout ce semestre pendant lequel il a ´et´e notre suiveur
dans cette UV d’acquisition de connaissances. Nous le remercions particuli`erement de nous avoir
fait d´ecouvrir les fondements de la th´eorie de l’information quantique, et de nous avoir propos´e
ce sujet d’AC20. Il convient ´egalement de remercier les professeurs de math´ematiques du Tronc
Commun de l’UTBM, ainsi que ceux de l’enseignement secondaire, qui nous ont fourni les outils
n´ecessaires `a la compr´ehension des calculs et des concepts math´ematiques relatifs `a ce sujet.
Nous tenons ´egalement `a remercier l’UTBM, notamment son directeur, Pascal Brochet, de
nous permettre d’´etudier durant toute l’ann´ee dans cette ´ecole. Ces remerciements ne seraient
pas complets sans un remerciement `a Michel Briand, responsable de l’UV AC20, permettant aux
´edutiants, chaque semestre, d’approfondir des sujets qui les tiennent `a cœur.
Enfin, nous remercions notre famille et nos proches de nous avoir soutenu durant ce semestre,
et durant nos ´etudes en g´en´eral.
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Table des mati`eres
1 Introduction aux Qubits 7
1.1 Bits classiques vs Bits quantiques dit Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Le chat de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Les postulats quantiques et les qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Postulat de l’´etat d’un syst`eme quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Postulatdelamesure ............................. 9
1.2.3 Postulat d’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Syst`eme d’´etats `a un ou plusieurs qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Produit de deux qubits (´etats s´eparables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Etats intriqu´es (non s´eparables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Syst`eme`an-qubits............................... 13
1.4 Th´eor`eme de non-clonage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 D´emonstration ................................. 14
1.5 Manipulation d’´etats `a un ou plusieurs qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Op´erateurs sur un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Op´erateurs sur un ´etat `a deux (ou plusieurs) qubits . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Premieres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Repr´ esentation des qubits et Spin de l’´ electron 27
2.1 LaSph`eredeBloch................................... 27
2.1.1 Repr´esentation dans la Sph`ere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Propri´et´es de la Sph`ere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 LeSpindel’´electron .................................. 31
2.2.1 L’exp´erience de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 R´esonance Magn´etique Nucl´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Communication quantique 37
3.1 T´el´eportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Protocole .................................... 38
3.1.2 Petithistorique................................. 39
3.2 Superdensecoding ................................... 41
3.2.1 Principedebase ................................ 41
3.3 Cryptographiequantique................................ 42
3.3.1 ProtocoleBB84................................. 43
3.3.2 ProtocoleB92.................................. 47
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