Introduction au calcul moulien : l`exemple du théorème de

Introduction au calcul moulien :
l’exemple du th´eor`eme de lin´earisation de Poincar´e.
Olivier Bouillot
19 mai 2010
S´eminaire des doctorants,
Universit´e Paris-Sud

Rappels sur les champs de vecteurs.
But ultime :
Trouver un changement de variables qui permetta de r´esoudre / simplifier
le syst`eme suivant :
∂y1
∂x1
=a1(y1(t),· · · ,yn(t))
.
.
.
∂yn
∂xn
=an(y1(t),· · · ,yn(t))
.

Rappels sur les champs de vecteurs (suite).
D´efinition : Soit Uun ouvert de Rn.
On appelle champ de vecteurs de classe Ck, de Rn,
une application X= (a1,· · · ,an) : Rn−→ Rntelle que toutes
les fonctions ai:U −→ Rsoient de classe Cksur U.
D´efinition : Soit Uun ouvert de Rn.
On appelle champ de vecteurs holomorphe, de Cn,
une application X= (a1,· · · ,an) : Cn−→ Cnleque toutes
les fonctions ai:U −→ Csoient holomorphes sur U.
Notation : Un tel champ sera not´e : X=
n
X
i=1
ai(x)∂
∂xi
.

Rappels sur les champs de vecteurs (suite).
A un syst`eme diff´erentiel :
∂y1
∂x1
=a1(y1(t),· · · ,yn(t))
.
.
.
∂yn
∂xn
=an(y1(t),· · · ,yn(t))
on associe un champ de vecteurs X=
n
X
i=1
ai(x)∂
∂xi
.
Et r´eciproquement.

Exp´erimentation.
Si X(x0)6= 0, on sait que les courbes int´egrales sont sensiblements parall`ele au
voisinage de x0.
Figure: Un champ ne s’annulant pas.