Il faut vs il suffit, CN vs CS (d`après concours ESIEE 2004) Négation

Objectif Prépa
L1- CN/CS - Quanticateur - négation - ET et OU
sept 2009
Il faut vs il sut, CN vs CS (d'après concours ESIEE 2004)
On considère trois objets : une boîte, un vase et une boule, qui sont, chacun, soit bleu soit rouge.
Soit l'énoncé P : si la boule est rouge alors la boîte est rouge et le vase est bleu .
Compléter, si cela est possible, les phrases suivantes par il faut, ou il sut ou il faut et il sut ou
nécessaire ou susante ou nécessaire et susante.
1. Si la boule est rouge, pour que P soit vrai, il ...... que la boîte soit rouge.
Si la boule est rouge, que la boîte soit rouge est une condition .... pour que P soit vrai
2. Si la boule est rouge, pour que P soit faux, il ... que la boîte soit bleue.
Si la boule est rouge, que la boîte soit bleue est une condition ..... pour que P soit faux.
3. Si la boule est rouge, pour que P soit faux, il .... que la boîte soit bleue ou le vase rouge.
Si la boule est rouge, que la boîte soit bleue ou le vase rouge est une condition .... pour que P soit
faux.
4. Pour que P soit vrai, il .... que la boîte soit rouge et le vase bleu.
Que la boîte soit rouge et la vase bleu est une condition ......pour que P soit vrai.
Négation
1. Écrire la négation de 1 ≤ x < 3.
2. La négation de (a, b) = (0, 0) se traduit par (a) : a et b sont tous les deux non nuls
est non nul (c) : ab est non nul
3. La négation de ab = 0 se traduit par (a) : a et b sont tous les deux non nuls
nul (c) : (a, b) 6= (0, 0).
(b) : a ou b
(b) : a ou b est non
4. Écrire la négation de : Pour tout élève, si l'élève est en TS alors il aime les maths.
5. (concours ESIEE 2004) : On considère trois nombres réels x, y et z et l'énoncé P suivant :
si z = x + y alors x < 0 ou y = 1 .
(a) La négation de P est : si z = x + y alors x ≥ 0 ou y 6= 1 (b) La négation de P est : z = x + y et (x ≥ 0 ou y 6= 1) (c) P est équivalent à : x < 0 ou y = 1 implique z = x + y (d) P est équivalent à : pour que x < 0 ou y = 1 il faut que z = x + y (e) P est équivalent à : pour que x < 0 ou y = 1 il sut que z = x + y Réponses : 2b 3a 5FFFFV
Quanticateurs
1. (tiré de les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/download.php/2,4947/Ensemble.pdf ) Écrire les afrmations suivantes et leurs négations avec des quanticateurs, en utilisant les notations h pour
homme , F, M pour l'ensemble des farceurs et des mathématiciens.
(a) Les mathématiciens sont tous des farceurs.
(b) Les mathématiciens ne sont jamais des farceurs.
(c) Il y a des mathématiciens qui ne sont pas des farceurs.
(d) Il y a des farceurs qui ne sont pas des mathématiciens.
(e) Certains mathématiciens sont des farceurs.
2. Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Si elles sont fausses, écrire leur négation. (A et a sont des réels, N et n des entiers naturels).
(a) ∃x ∈ Z; 2x = −7
(b) ∃x ∈ R; 2x = −7
(c) ∀x ∈ R; x2 ≥ −1
(d) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R; y ≥ x
(e) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R; y ≥ x
1
(f) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R; y 2 ≥ x
(g) ∀A > 0, ∃N > 0, ∀n > N ; 2n + 3 > A
(h) ∃N > 0, ∀A > 0, ∀n > N ; 2n + 3 > A
(i) ∀A > 0, ∃N > 0, ∀n > N ; n2 > A
1
(j) ∀A > 0, ∃N > 0, ∀n > N ;
>A
n+5
¯
¯
¯ 1 ¯
¯<a
(k) ∀a > 0, ∃N > 0, ∀n > N ; ¯¯
n + 5¯
¡
¢
(l) ∀² ∈ R∗+ , ∃α ∈ R∗+ , ∀x ∈ R; |x| < α ⇒ |x2 | < ²
Réponses : 2FVVVFVVFVFVV
ET et OU
1. Les proposition suivantes sont-elles vraies ?
(a) Pour tout entier n, n est pair ou n + 1 est pair
(b) Pour tout entier n, n est pair et n + 1 est pair
(c) Il existe un entier n tel que n − 1 est pair et n + 1 est pair
(d) Pour tout réel x, x2 < 4 si et seulement si x < 2 et x > −2
(e) Pour tout réel x, x2 < 4 si et seulement si x < 2 ou x > −2
(f) Pour tout réel x, x2 > 4 si et seulement si x > 2 et x > −2
(g) Pour tout réel x, x2 > 4 si et seulement si x > 2 ou x < −2
2. a, b et c sont trois réels strictement positifs
1 1
(a) Démontrer que ab > 1 ou a + b ≤ + .
a b
1 1
(b) Peut-on avoir ab > 1 et a + b ≤ + ?
a b
µ
¶
1 1
(c) Démontrer que ab ≥ 1 ET a + b ≤ +
⇔ ab = 1
a b
1
1
1
(d) On suppose que abc > 1 et a + b + c ≤ + + . Démontrer qu'aucun des nombres n'est
a
b
c
égal à 1 et que l'un d'eux est inférieur à 1.
Réponses 1VFVVFFV
2