I- Multiples d`un entier:

PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE DE DEUX NOMBRES (P.P.C.M.)
I- Multiples d'un entier:
Exemple:
En multipliant 17 par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... on obtient comme produits ;
0, 17, 34, 51, 68, 85, 102 , ...
Ces nombres sont les multiples de 17
Remarque: La liste des multiples d'un nombre est infinie
II- Plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres:
Exemple:
Déterminer les multiples communs à 12 et 8
Liste des multiples de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72 , ...
Liste des multiples de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...
Liste des multiples communs à 12 et 8: 0, 24, 48, 72, ...
Le plus petit multiple commun non nul, est appelé le PPCM des deux nombres.
Notation: PPCM (12, 8) = 24
III- Multiples communs à deux nombres:
En reprenant l'exemple ci-dessus, et en continuant plus loin dans la liste, on trouve:
Liste des multiples communs à 12 et 8: 0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
On constate que cette liste est celle des multiples de 24, c'est-à-dire du PPCM et 12 et 8.
D'où la propriété:
Les multiples communs à deux nombres sont les multiples de leur PPCM
Exemple d'utilisation:
a) Déterminer PPCM (14,21)
b) En déduire la liste des multiples communs à 14 et 21 inférieurs à 200
a) Multiples de 14: 0, 14, 21, 42, ...
Multiples de 21: 0, 21, 42, ...
D'où: PPCM (14,21) = 42
b) En utilisant la propriété ci-dessus on peut dire que les multiples communs à 14 et 21 inférieurs
à 200 sont les multiples de leur PPCM (c'est-à-dire de 42) inférieurs à 200
Ce sont donc: 0, 42, 84, 126, 168
IV- Lien entre PGCD et PPCM:
D'après le III ci-dessus, PPCM (12,8) = 24
D'autre part, on trouve aisément: PGCD (12,8) = 4
On a alors:
12 x 8 = 96
PGCD (12,8) x PPCM (12,8) = 4 x 24 = 96
D'où la propriété:
Le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM.
Exemple d'utilisation:
a) Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, PGCD (517, 1081)
b) En déduire PPCM (517, 1081)
a) En utilisant l'algorithme d'Euclide, on obtient: PGCD (517, 1081) = 47
b) D'après la propriété ci-dessus on a alors:
47 x PPCM (517, 1081) = 517 x 1081
Donc PPCM (517, 1081) = (517 x 1081) : 47 = 11 891
1

NOMBRES PREMIERS
I- Définition:
Un nombre est premier s'il a exactement deux diviseurs: 1 et lui-même
Attention: Cette définition ne doit pas être confondue avec celle de deux nombres premiers entre
eux.
Exemples
7 est premier car les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7
15 n'est pas premier car il a d'autres diviseurs que 1 et 15: il est aussi divisible par 3 et 5
Remarque:
1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur:1
II-Construire une table de nombres premiers - Crible d'Eratosthène:
La méthode expliquée ci-dessous pour établir une table de nombres premiers porte le nom de
"crible d'Eratosthène" (mathématicien grec, III ème siècle avant J.C.)
Exemple:
Trouver les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100
Etape 1:
On écrit dans un tableau tous les nombres
inférieurs ou égaux à 100 (le 1 n'étant pas écrit,
puisqu'on sait, d'après la remarque du I ci-
dessus, qu'il n'est pas premier).
Etape 2:
On barre, ou on efface, dans cette liste tous les
multiples de 2, excepté 2 (qui est premier)
Etape 3:
On barre, ou on efface, dans cette liste tous les
multiples de 3, excepté 3 (qui est premier)
Remarque: le premier nombre à supprimer est 3
x 3 car 3 x 2 a déjà été supprimé en tant que
multiple de 2
Etape 4:
On barre, ou on efface, dans cette liste tous les
multiples de 5, excepté 5 (qui est premier)
Remarque: le premier nombre à supprimer est 5
x 5 car 5 x 2, 5 x 3, 5 x 4 ont déjà été supprimés
en tant que multiples de 2 ou 3
2

Etape 5:
On barre, ou on efface, dans cette liste tous les
multiples de 7, excepté 7 (qui est premier)
Remarque: le premier nombre à supprimer est 7
x 7 car les multiples de 7 se trouvant avant lui
ont déjà été supprimés en tant que multiples de
2, 3 ou 5
Etape 6:
Il faudrait barrer, ou effacer, dans cette liste
tous les multiples de 11, excepté 11 (qui est
premier)
Mais le premier nombre à supprimer serait 11 x
11 car les multiples de 11 se trouvant avant lui
ont déjà été supprimés en tant que multiples de
2, 3, 5 ou 7
Or 11 x 11 = 121, qui est plus grand que 100
Le tableau ci-contre donne donc tous les
nombres premiers inférieurs ou égaux à 100
III- Déterminer si un nombre donné est premier:
1) En utilisant les critères de divisibilité:
Exemples:
2 458 est-il premier?
Non, car il est divisible par 2
31 437 est-il premier?
Non, car il est divisible par 3
2) Méthode générale:
On divise le nombre donné, successivement, par les nombres premiers de la liste établie ci-
dessus.
Deux situations sont alors possibles:
- si l'une des divisions tombe juste, le nombre n'est pas premier
- si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
Remarque:
Pour abréger les recherches, on peut s'arrêter lorsque le quotient devient inférieur au diviseur.
(En effet, les diviseurs d'un nombre "vont deux par deux", l'un augmentant tandis que l'autre
diminue; par exemple, pour 18: 1 et 18; 2 et 9; 3 et 6)
3

Exemples:
2737 est-il premier ?
Les critères de divisibilité permettent de dire
que 2737 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par
5
Puis:
2737 : 7 = 391 reste 0
Donc 2737 n'est pas premier.
907 est-il premier ?
Les critères de divisibilité permettent de dire
que 907 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par
5
Puis:
907 : 7 = 129 reste 4
907 : 11 = 82 reste 5
907 : 13 = 69 reste 10
907 : 17 = 53 reste 6
907 : 19 = 47 reste 14
907 : 23 = 39 reste 10
907 : 29 = 31 reste 8
907 : 31 = 29 reste 8
Le quotient est devenu inférieur au diviseur. On
arrête là les recherches.
907 est premier
IV- Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers:
Exemple: Soit le nombre 1176
En divisant ce nombre, successivement, par tous les nombres premiers par lesquels il est
divisible, on obtient:
1176 : 2 = 588 588 : 2 = 294 294 : 2 = 147
147 : 3 = 49 49 : 7 = 7 7 : 7 = 1
D'où: 1176 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 7
C'est à dire: 1176 = 23 x 3 x 72
Et ce produit est appelé décomposition de 1176 en produit de facteurs premiers
V- Utilisation pour la recherche du PGCD et du PPCM:
Soient deux nombres décomposés en produits de facteurs premiers.
Alors:
- la décomposition en facteurs premiers du PGCD de ces deux nombres est formée des facteurs
communs aux deux décompositions, chacun étant affecté du plus petit des exposants
- la décomposition en facteurs premiers du PPCM de ces deux nombres est formée de tous les
facteurs apparaissant dans l'une ou l'autre des deux décompositions, chacun étant affecté du plus
grand des exposants
Exemple:
5292 = 22 x 33 x72 52822 = 2 x 74 x 11
Les facteurs communs aux deux décompositions sont 2 et 7
Le plus petit exposant pour 2 est 1, pour 7 est 2
D'où, en appliquant la règle ci-dessus: PGCD (5292,52822) = 2 x 72 =98
Tous les facteurs apparaissant dans l'une ou l'autre des décompositions sont 2, 3, 7, 11
Le plus grand exposant pour 2 est 2, pour 3 est 3, pour 7 est 4, pour 11 est 1.
D'où, en appliquant la règle ci-dessus: PPCM (5292,52822) = 22 x 33 x 74 x 11 = 2 852 388
Cas particulier:
S'il n'y a aucun facteur commun aux deux décompositions, alors le PGCD des deux nombres est
1
4