R - Lpc2E

Résumé du 2ème cours
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Spectroscopie :
- mesure T (continuum, modèle du corps noir :
Stefan e=aStT4, Wien lmaxT=b)
- mesure de la composition chimique, des champs magnétiques
(Zeeman) et vitesses (Doppler) : z=V/c
Mesures des vitesses : masse d’étoiles binaires, masse des galaxies
Mise en évidence de matière noire (= matière non rayonnante, détectée
par sa gravitation) dans les galaxies. Particules élémentaires non
encore identifiées ?
L’Univers dans son ensemble est en expansion (Hubble) : mouvement
«!de fuite!» des galaxies mis en évidence par decalage vers le rouge.
Interprétation V=H0r pour galaxies pas trop lointaines (traitement non
relativiste)
La relation de Hubble, confirmée empiriquement, devient un nouvel
outil de mesure des distances des galaxies lointaines.
Structure d’une étoile
1) Un peu de thermodynamique
Equation de l’équilibre hydrostatique
Gaz en équilibre HS : force de
gravitation (Æ intérieur)
équilibrée par gradient de
pression (Æ extérieur).
Hypothèse de tous nos calculs :
symétrie sphérique.
r
dr
2
Coquille sphérique, rayon r, épaisseur dr : dV = 4 pr dr , dM = r( r) dV
Gravitation par masse M(r) à l’intérieur :
fi pression dP = dF /
4pr2
:
†
†
dF = -
GM(r)
GM(r)
dM
=
r ( r) 4 pr 2 dr
2
2
r
r
dP
GM(r)
=r(r)
2
dr
r
Mouvements microscopiques et pression
d’un gaz parfait
p'x
Dz
Dz
px
Dy
Gaz = ensemble de particules
microscopiques (molécules,
atomes, ions, électrons …).
Collisions élastiques ¤ échange
de quantité de mouvement.
Dx
1 particule transfère, lors d’une collision, qté de mvt
par unité de temps :
Dpx = p¢x - px = 2 px
Dpx
u
pu
= 2px x = x x
Dt
2Dx
Dx
Nombre de particules heurtant DA par s = N†:
†
N
pu
Dpx
= N x x
Dt
Dx
pu
fi pression = force / DA : P = N x x = n pxu x
DA † Dx
N
(n =
; DV = DADx)
DV
1) gaz mono-atomique non-relativiste
N pxu x
P=
= n pxu x
DA Dx
px = mu x fi P = nm u x2
ux2 = uy2 = uz2 =
1 2
1
2
u fi P = nm u 2 = e
3
3
3
†
(e : densité d’énergie cinétique moyenne = densité d’énergie interne)
e=n
†
m 2 †3
u = n KBT
2
2
fi P = nK BT
Pour un gaz parfait (= interaction des particules par collisions
élastiques; cas des atmosphères stellaires et des intérieurs, tant
que la densité du gaz ne dépasse pas une valeur limite).
†
2) gaz de particules relativistes; ici : photons
Le rayonnement exerce une pression, liée à la force de Lorentz du champ
magnétique de l’onde : le E de l’onde met une particule chargée en
mouvement, le B exerce la force FL=quB le long de k.
k
E
qEu 1 dW
E=
fi FL =
=
w
c
c
c dt
dp
W
FL =
fi p =
dt
c
E,B µ e i(k⋅ r-wt ) fi wB = k Ÿ E fi B =
†
N pxu x
W
1
P=
= n pxu x
p=
, u = c , pxu x = pu
DA† Dx
c
3
1
1
1
fi P = nW = e = aSt T 4
3
3
3
(e : densité d’énergie des photons + loi de Stefan du corps noir)
†
Pression et augmentation de la
température
Molécules du gaz (énergie interne : U=S(Wcin+Wpot))
• réalisent travail sur piston: dW = Fdx = pAdx = pdV
• échangent de l’énergie avec leur environnement
(parois) : DQ
Conservation de l’énergie :
dU = DQ - DW
Etoile ou nuage de gaz : pas de «!parois!», échange d’énergie
avec l’environnement (=l’Univers) par absorption (DQ >0) et
émission (DQ<0) de rayonnements.
Pression et température au centre du
Soleil (équilibre hydrostatique)
Simplification: sphère uniforme (r=cte.)
dP
GM(r)
4 pG 2
=r
(r)
ª
rr
2
dr
r
3
R
P ( R) - P (0) =
†
Ú
0
dP
4 pG 2 R
4p R 2 2
GMr
dr = r Ú rdr = -G
r =dr
3
3 2
2R
0
GMr Ê 3 ˆ GM 2
fi P (0) =
=Á ˜ 4
Ë 8p ¯ R
2R
Plasma électrons + protons :
†
P = n e K B T + n p K B T = 2nK B T
r = n e me + n p m p = n ( me + m p ) = nm H
m H P (0) GMm H
T (0) =
=
2K B r
4K B R
ª 6 ¥10 6 K
Un effet quantique : pression de
dégénérescence (électrons)
La pression n’est pas nécessairement liée à la température.
Relation d’incertitude :
DpxDx > h
DxÆ0 fi DpxÆ∞
Estimation de la pression résultante :
Dx =
1
1
ne 3
1
h
fi px ª
= hn e 3
Dx
P = n e pxu x
Calcul plus précis (voir poly):
†
ne 2
h2 53
=
px =
ne
me
me
1Ê 3 ˆ
P= Á ˜
5 Ë 8p ¯
2
3
h 2 53
ne
me
†
La pression de dégénérescence
augmente au cours de la
contraction d’un gaz, indépendamment de la température.
†
Structure d’une étoile
2) La source d’énergie
Pourquoi le Soleil brille-t-il ?
Combustion? Un petit exercice numérique: combien de temps
le Soleil pourrait-il briller comme aujourd’hui s’il était
constitué d’un combustible typique (p. ex.: essence) ?
Moteur à essence, consommation 8 l / 100 km,
vitesse 100 km/h, puissance 40 kW
fi 8 kg de combustible pour 1 heure
Soleil: puissance 4¥1026/4 ¥ 104=1022 fois supérieure,
réservoir 2 ¥1030 /8 = 2,5 ¥ 1029 fois supérieur
fi fonctionne 2,5 ¥ 1029 / 1022 heures = 3 000 ans
fi Bien trop court ! Quelle(s) alternative(s) ???
Energie gravitationnelle
r
M(r)
dr
Energie potentielle de la coquille de masse
dM et rayon r dans le champ de la masse
M(r) :
GM(r)dM
dW g = r
Assemblage d’une sphère de masse M(R)
¤ Travail réalisé sur le gaz
M (R )
†
Wg = -
Sphère uniforme (r=cte.) :
Ê 4p 3 ˆ
Ê 4p
M(r)dM = Á
r r˜ 4 pr 2 rdr = 3Á
Ë 3
¯
Ë 3
M (R )
fi -
Ú
0
Ú
0
GM(r)
dM
r
ˆ2 5
r˜ r dr
¯
2 R
2
Ê
ˆ
Ê
ˆ
GM(r)
4
p
4
p
R5
3 GM 2
4
†
dM = -3GÁ
r˜ Ú r dr = -3GÁ
r˜
=Ë 3 ¯ 0
Ë 3 ¯ 5
r
5 R
Durée de vie du Soleil, si son seul
réservoir d’énergie était la gravitation
• Modèle de sphère homogène de H : énergie
gravitationnelle (= - énergie ayant été libérée lors
de l’assemblage du Soleil) :
3 GM 2
Wg = -
5 R
• Perte d’énergie par rayonnement : L=4¥1026 W
• Supposons que la luminosité ne change pas
pendant toute sa vie : †
t=
Wg
ª 6 ¥1014 s = 2t KH (= temps de Kelvin - Helmholtz)
L
Durée de vie d’env 10 millions d’années : insuffisante !
†
Energie gravitationnelle en équilibre HS
dP
GM(r)
=r(r)
2
dr
r
R
¥4 pr 3 : -
Ú
0
R
Ú
†
0
GM(r)
3
4
p
r
r( r)dr = 2
r
†
dP
3
3 R
4 pr dr = [ P ( r) 4 pr ] 0 dr
fi en équilibre HS :
†
4p 3
R
3
Ú
0
GM(r)
rr ( r)dV = 2
r
4p 3
R
3
R
M (R )
Ú
0
GM(r)
dM = W g
r
4p 3
R
3
3
Ú 3P4pr dr ª -3 Ú PdV = -2 Ú edV = -2U
0
Wg=-2U
0
0
(théorème du viriel)
La moitié de l’énergie gravitationnelle libérée lors de la contraction lente
(succession d’équilibres HS) sert à augmenter l’énergie interne du gaz
(chauffage), l’autre moitié est rayonnée.
Energie nucléaire
Energie de liaison /
Nucléon [MeV]
Nombre de nucléons
•
•
Les noyaux les plus stables sont ceux du fer (56 nucléons)
Libération d’énergie nucléaire par (a) la fission d’un élément lourd (p.
ex. U), (b) la fusion d’un élément léger (p. ex. H)
Barrière de Coulomb et fusion nucléaire
Ecin
Mécanique classique: particule
(q2, Ecin<W0) s’approche d’une
particule de charge q1 à la
distance r1 telle que
r
q1q2
Z1Z 2e 2
=
=
4 pe0 r1 4 pe0 r1
Répulsion
Coulombienne
µ1/r
Energie potentielle
W0
r1
†
r0
Interaction forte
E cin
Mécanique quantique: relation
d’incertitude Dp Dr ≥ h
fi probabilité finie que la
particule pénètre dans puits de
potentiel même si Ecin<W0. T
minimale pour H: ~107 K
Fusion nucléaire au centre du
Soleil :
4 noyaux d’hydrogène
(protons)
Ø
1 noyau d’hélium (He)
p
p
p
2 p se sont transformés en
neutrons (n)
Bilan des masses de cette réaction :
4 milliards de milliards de p: 6,690 micro-grammes
1 milliard de milliards de noyaux de He: 6,646 micro-grammes
Masse «!perdue!» : 0,044 micro-grammes
La masse «!perdue!» se retrouve sous forme d’énergie :
E = mc2 = 3,97 Mega-Joule = 1,10 kWh (Einstein 1905).
p
n p
p n
La fusion nucléaire au Soleil
• Chaîne de fusions successives (Atkinson & Houtermans,
Bethe, von Weizsäcker 1930-1940)
• Réaction la plus fréquente dans le Soleil:
Réaction
1
3
H+1HÆ2 H + e + + n ¸
˝ deux fois
2
1
3
H+ HÆ He + g ˛
He+ 3HeÆ4 He + 2( 1H )
Energie libérée
1,44 MeV
5,49 MeV
12,85 MeV
Mécanisme confirmé par les mesures de la structure
interne du
†
†
Soleil («!Héliosismologie!»)
et le comptage des neutrinos.
Domine dans les étoiles
† dont T(0)<2¥107 K.
Energie libérée par réaction : 28 MeV, dont
env 26 MeV (4,1¥10-12 J) sous forme de g
Durée de vie du Soleil, sur son budget
d’énergie nucléaire (fusion)
• Modèle de sphère homogène de H : nombre de
réactions 4H Æ 4He, énergie totale dégagée
M
(4,1¥10-12 J par réaction) : ???
N = S ª 3 ¥10 56 , W = 1,2 ¥10 45 J
4m p
• Perte d’énergie par rayonnement : L=4¥1026 W
• Supposons que la luminosité
ne change pas
†
pendant toute sa vie. Si la fraction f de la masse du
Soleil peut fusionner en He, la durée de vie est
fW ??? 18
t=
ª 3 ¥10 s ª 1011 f ans
L
1-a
Ê
ˆ
t
M
a
W µ M , L µ M fi
=Á
(a = 3 - 4)
˜
t S Ë MS ¯
†